數(shù)學（一）-2025年中考數(shù)學考前沖刺攻略（解析版）

第一輯實數(shù)及其相關運算………………………01代數(shù)式、因式分解、分式、二次根式…………………12方程與方程組……………25不等式與不等式組………………………44統(tǒng)計與概率………………5901實數(shù)及其相關運算01實數(shù)及其相關運算考點考情分析實數(shù)的分類一般以以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，考查有理數(shù)、無理數(shù)的概念，以及對實數(shù)進行準確分類。實數(shù)的相關概念一般以選擇題或填空題形式考查，理解相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的概念，會求一個數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值。實數(shù)大小比較靈活運用多種方法比較實數(shù)大小，如數(shù)軸比較法（在數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大）、絕對值比較法（兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而?。⑵椒奖容^法、差值比較法等。常見于選擇題。實數(shù)的運算一般以解答題形式呈現(xiàn)，掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算（以三步以內為主），能運用有理數(shù)的運算解決簡單的問題，并且知道有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內仍然適用。運算中常結合絕對值、銳角三角函數(shù)、二次根式、平方根、立方根等知識考查?？茖W記數(shù)法與近似數(shù)此類考點常出現(xiàn)在選擇題或填空題中，用科學記數(shù)法表示較大或較小的數(shù)，以及對近似數(shù)和有效數(shù)字的理解?？疾榉种担悍种翟?-3分之間，具體分值因地區(qū)和試卷結構而異?？疾樾问剑盒问缴嫌袉雾椷x擇題和填空題給漢字注音。命題趨勢：由單一的選擇題考查，逐漸轉變?yōu)檎Z段綜合（含字形、詞語、病句）題，試題難度有所降低。知識點1：實數(shù)的分類知識點2：實數(shù)的相關概念1．數(shù)軸：規(guī)定了原點、單位長度和正方向的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上所有的點與全體實數(shù)一一對應.2．相反數(shù)：只有符號不同，而絕對值相同的兩個數(shù)稱為互為相反數(shù)，若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0.3．倒數(shù)：1除以一個不等于零的實數(shù)所得的商，叫做這個數(shù)的倒數(shù).若a、b互為倒數(shù)，則ab=1.4．絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，記作|a|.5．科學記數(shù)法：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．當原數(shù)絕對值大于10時，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；當原數(shù)絕對值小于1時，寫成a×10?n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)左邊第一個非零的數(shù)字前的所有零的個數(shù)（包括小數(shù)點前面的零）.6．近似數(shù)：近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度通常用精確度來表示，近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.7．平方根：（1）算術平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，則正數(shù)x叫做a的算術平方根.（2）平方根的概念：若x2＝a，則x叫做a的平方根.（3）表示：a的平方根表示為，a的算術平方根表示為.（4）8．立方根：（1）定義：若x3＝a，則x叫做a的立方根.（2）表示：a的立方根表示為.（3）.高分技巧：做這種概念類題目時記牢以下4點：①熟悉各概念的基本定義，特別注意各概念中0的特殊存在；②必須讀對題意，問的是什么就想對應的考點；③如果是選擇題，確保4個選項都要全看完，再說選哪個選項；④做到數(shù)軸、絕對值相關的問題，注意需不需要分類討論。知識點3：實數(shù)的大小比較（1）數(shù)軸比較法：數(shù)軸上兩個點表示的數(shù)，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大；（2）類別比較法：正數(shù)＞0＞負數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小；（3）差值比較法：a-b＞0?a＞b;a-b=0?a=b;a-b＜0?a＜b（4）平方比較法：高分技巧：個別實數(shù)的比較大小會結合其他基本概念或計算，這類問題要同時兼顧結合考點的性質再做比較。知識點4：實數(shù)的運算1.數(shù)的乘方：求n個相同因數(shù)a的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫冪.在an中，a叫底數(shù)，n叫指數(shù).2．實數(shù)的運算：（1）有理數(shù)的運算定律在實數(shù)范圍內都適用，常用的運算定律有加法結合律、加法交換律、乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律.（2）運算順序：先算乘方（開方），再算乘除，最后算加減；有括號的先算括號里面的.3．零次冪;a≠0，則a0=14.負整數(shù)指數(shù)冪：若a≠0，n為正整數(shù)，則.5.-1的奇偶次冪：；真題1（2024·甘肅蘭州·中考真題）-2024的絕對值是（

）A．-2024 B．2024 C．-12024 D．1【答案】B【分析】本題考查了絕對值，根據(jù)絕對值的定義計算即可．熟練掌握絕對值的定義是解題的關鍵．【詳解】解：-2024的絕對值是2024，故選：B．真題2（2025·江蘇南京·中考真題）下列四個數(shù)中，是負數(shù)的是（

）A．-3 B．-3 C．--3 D．【答案】A【分析】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，掌握在正數(shù)前面加負號叫做負數(shù)是解題的關鍵．先利用絕對值，相反數(shù)的定義及有理數(shù)乘方的運算法則，計算各數(shù)，再根據(jù)正負數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：A.-3是負數(shù)，故選項A符合題意；B.-3=3是正數(shù)，故選項BC.--3=3是正數(shù)，故選項D.-32=9是正數(shù)，故選項故選：A．真題3（2024·寧夏·中考真題）下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）A．-1 B．13 C．4 D．【答案】D【分析】本題考查無理數(shù)的識別．熟練掌握無理數(shù)的定義是解題關鍵．無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，分數(shù)，整數(shù)屬于有理數(shù)．利用無理數(shù)的定義逐個分析判斷即可．【詳解】A、-1是有理數(shù)，不合題意；B、13C、4=2D、π是無理數(shù)，符合題意．故選：D．真題4（2024·山東德州·中考真題）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所，下列結論正確的是（

）A．a>b BC．a+2>b+2 D．a-1【答案】D【分析】本題主要考查了數(shù)軸與實數(shù)的運算法則，掌握實數(shù)與數(shù)軸的基本知識是解題的關鍵．根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，判斷數(shù)的大小關系，不等式的性質及絕對值的意義判斷出式子的大小即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸得a<0<1<b，∴a<故選：D．真題5（2025·江蘇南京·中考真題）比較大?。?23-49（填“>”“<”或【答案】<【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，利用有理數(shù)大小的比較方法：1、在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大．2、正數(shù)都大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于負數(shù)．3、兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而?。畵?jù)此解答即可．【詳解】解：∵-23-2又69∴-2故答案為：<．真題6（2024·寧夏·中考真題）某水庫警戒水位為29.8米，取警戒水位作為0點．如果水庫水位為31.4米記作+1.6米，那么水庫水位為28米記作米．【答案】-1.8【分析】本題考查正數(shù)和負數(shù)，理解正數(shù)和負數(shù)的實際意義是解題的關鍵．根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的實際意義即可求得答案．【詳解】解：某水庫警戒水位為29.8米，取警戒水位作為0點．如果水庫水位為31.4米記作+1.6米，那么水庫水位為28米記作-1.8米，故答案為：-1.8．真題7（2024·山東德州·中考真題）觀察下列等式：SSS……則S10的值為【答案】12011/【分析】本題考查了數(shù)字的規(guī)律的探究，算術平方根．通過前三個式子找出其中的規(guī)律即可．【詳解】解：1+1+11+11+1∴SS2S3?∴S∴S故答案為：12011真題8（2024·湖北·中考真題）計算：-1【答案】3【分析】本題主要考查了實數(shù)混合運算，根據(jù)零指數(shù)冪運算法則，算術平方根定義，進行計算即可．【詳解】解：-1=-3+3+4-1=3．預測1（2025·寧夏石嘴山·一模）下列各式中正確的是（

）A．--5=5 BC．3-27=-3 D【答案】C【分析】本題考查了絕對值、算術平方根、立方根、零次冪的相關知識，掌握這些基礎知識是解答本題的關鍵．根據(jù)絕對值、算術平方根、立方根、零次冪的知識對逐項排除即可．【詳解】解：A.--5=-5B.9=3C.3-27=-3D.π0故選：C．預測2（2025·遼寧錦州·一模）乙醇是一種有機化合物，在標準大氣壓下，它的沸點是零上78.5℃，熔點是零下117℃．若零上78.5℃記作+78.5℃，則零下117℃記作（）A．117℃ B．78.5℃ C．-78.5℃ D．-117℃【答案】D【分析】本題考查正負數(shù)的實際應用，特別是溫度的正負表示方法．關鍵在于理解題目中規(guī)定的正負號含義∶零上溫度用正數(shù)表示，零下溫度用負數(shù)表示．【詳解】解：∵零上78.5℃記作+78.5℃，∴零下117℃記作-117℃．故選：D．預測3（2025·廣東東莞·一模）-2025的絕對值計算結果是（）A．-2025 B．2025 C．2025 D．-2025【答案】B【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的絕對值，根據(jù)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)即可得到答案．【詳解】解：-2025=-故選：B．預測4（2025·浙江嘉興·一模）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論正確的是（

）A．a+b>0 B．a-b>0 C．ab>0 D．a【答案】A【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置，判斷出a，b的符號以及絕對值的大小即可對選項逐一判斷．【詳解】解：由數(shù)軸知：a<-1<2<b，a<∴a+b>0，a-b<0，ab<0，ab故選：A．預測5（2025·湖北·一模）中國是最早使用正負數(shù)表示具有相反意義的量的國家．若水位升高3m時水位變化記作+3m，則水位下降3m時水位變化記作【答案】-3【分析】本題考查了正負數(shù)表示相反意義的量的運用，理解題意，掌握相反意義的量的運用是關鍵．根據(jù)水位升高3m時水位變化記作+3m，水位下降3m【詳解】解：∵水位升高3m時水位變化記作+3∴水位下降3m時水位變化即為-3故答案為：-3．預測6（2025·江蘇淮安·一模）x+1和y-2互為相反數(shù)，那么x+y=．【答案】1【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質，得x+1+y-2=0，整理，得x+y=1，代入求值即可．本題考查了相反數(shù)的性質，求代數(shù)式的值，熟練掌握相反數(shù)的性質，整體計算是解題的關鍵．【詳解】解：∵x+1和y-2互為相反數(shù)，∴x+1+y-2=0，∴x+y=1．故答案為：1．預測7（2025·江蘇蘇州·一模）4的算術平方根是．【答案】2【分析】本題主要考查了算術平方根，算術平方根是正的平方根．根據(jù)算術平方根的定義求解即可．【詳解】解：4的算術平方根是4=2故答案為：2．預測8（2025·浙江嘉興·一模）計算：-1【答案】-1【分析】本題考查了零指數(shù)冪，立方根以及絕對值，掌握相關運算法則是解題關鍵．先計算零指數(shù)冪，立方根和絕對值，再計算加減法即可．【詳解】解：-=1+4-6=-1．押題1中國是最早使用正負數(shù)表示具有相反意義的量的國家．若收入100元記作+100元，則支出60元記作（

）A．+40元 B．-40元 C．+60元 D．-60元【答案】D【分析】本題主要考查了正負數(shù)的意義，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．根據(jù)在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示求解即可．【詳解】解：∵收入100元記作+100元，∴支出60元記作-60元．故選：D．押題2實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（

）A．b>-1 B．b-c<0 C．-ab>0 D．a+c>0【答案】C【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應點的位置，判斷出a，b，c的符號以及絕對值的大小即可對選項逐一判斷．【詳解】解：由數(shù)軸知：c<b<-1<0<a，a<∴b<-1，b-c>0，-ab>0，a+c<0，故選：C．押題3在標準大氣壓下，固態(tài)酒精、汞、冰、碘四種物質的熔點分別如下表：物質固態(tài)酒精汞冰碘熔點/℃

-117.3

-38.870113.5其中熔點最低的物質為（

）A．固態(tài)酒精 B．汞 C．冰 D．碘【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，根據(jù)負數(shù)小于0，0小于正數(shù)以及負數(shù)的絕對值越大的數(shù)反而越小，進行分析，即可作答．【詳解】解：依題意-117.3=117.3,∵117.3>38.87∴-117.3是最小的，即-117.3<-38.87<0<113.5，∴熔點最低的物質為固態(tài)酒精，故選：A押題4如圖，直尺中2cm處對應的數(shù)軸上的數(shù)與6cm處對應的數(shù)軸上的數(shù)的和為（A．-2 B．-32 C．-1 D【答案】C【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點之間距離的計算，有理數(shù)四則混合計算，解題的關鍵是找出直尺和數(shù)軸的對應關系．先根據(jù)題意求出直尺上1cm對應數(shù)軸上12個單位長度，再分別求出直尺中6cm【詳解】解：根據(jù)圖形可知，0到1的長度是2cm∴1cm對應的是12∴6cm處對應的數(shù)為0+12=1∴兩數(shù)之和為12故選：C．押題5估計22-2的值在（

A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】B【分析】本題考查了估算無理數(shù)，解題的關鍵是掌握用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值．先由16<22<25，即【詳解】解：∵16<∴4<22∴4-2<22∴2<22故選：B．押題6我們知道，一元二次方程x2=-1沒有實數(shù)根，即不存在一個實數(shù)的平方等于-1．如果我們規(guī)定一個新數(shù)“i”使它滿足i2=-1（即x2=-1有一個根為i），并且進一步規(guī)定：一切實數(shù)可以與新數(shù)“i”進行四則運算，且原有的運算律和運算法則仍然成立．于是有：i1=i，i2=-1，A．i B．-i C．1 D．-1【答案】A【分析】此題主要考查了新定義下的實數(shù)運算和數(shù)字類的規(guī)律探索，正確得出數(shù)字變化規(guī)律是解題關鍵．根據(jù)所給的新定義找到規(guī)律即可得到答案．【詳解】解：i1=i，i2=-1，i3=i∴可以發(fā)現(xiàn)每4個運算為一個循環(huán)，結果為i,-1,-i,1循環(huán)出現(xiàn)，∵2025÷4=506…1，∴i故選：A．押題7M是一個四位數(shù)自然數(shù)M=abcd,M各個數(shù)位上的數(shù)互不相等且都不為0，若ab+cd=95，稱M為95數(shù)，則最小的95偶數(shù)M是；已知知M為95數(shù)，若F(M)=ac+bd+49，當F(M)最大且是【答案】13827619【分析】本題主要考查了用代數(shù)式的表示，先根據(jù)最小的95偶數(shù)M，可知各個數(shù)位上的數(shù)，解答①；根據(jù)題意要使得M最大，千位a要盡可能大，從9開始考慮，表示出F(M)，然后討論F(M)最大，且是8的倍數(shù)時可得答案．【詳解】解：∵ab+要得這個數(shù)是最小的95偶數(shù)M，則a要最小，即a=1，d要最小且為偶數(shù)，即d=2，∴b=3，c=8，即最小的95偶數(shù)M=1382；∵M=abcd為95∴ab+∵F(M)=ac要使得M最大，千位a要盡可能大，從9開始考慮，若a=9，則ab大于90，則cd小于5，與cd為兩位數(shù)矛盾，不符合題意；若a=8，則c只能為1，此時b+d=5，∴F(M)=80+1+10b+當b=4時，F(xiàn)(M)有最大值14，但不是8的倍數(shù)，故此時M不是最美95數(shù)，不符合題意；若a=7，則c可以取1，2，當c=2時，此時b+d=5，∴F(M)=70+2+10b+當b=4時，F(xiàn)(M)有最大值13，但不是8的倍數(shù)，故此時M不是最美95數(shù)，不符合題意；當c=1時，此時b+d=15，∴F(M)=70+1+10b+當b=6時，F(xiàn)(M)是8的倍數(shù)且F(M)最大，符合題意；綜上，最大的最美95數(shù)是7619．故答案為：1382，7619．押題8數(shù)學課上，張老師為了提高學生的數(shù)學興趣，設計了一個擲骰子的小游戲，游戲規(guī)則如下：游戲開始時，老師先說出一個數(shù)字，然后投擲骰子，骰子朝上的點數(shù)1，2，3，4，5，6分別代表計算法則：“＋1”，“平方”，“立方”，“-4”，“＋5”，“-6”，根據(jù)投擲的點數(shù)按照相應的計算法則進行計算．例如：開始數(shù)字為10時，投擲兩次骰子的點數(shù)依次為5和2，則計算結果為：10+52(1)開始數(shù)字為-5，投擲三次骰子的點數(shù)依次為4，2，6，計算其結果；(2)開始數(shù)字為m，投擲兩次骰子的點數(shù)依次為1和3，計算結果為-27，求m的值．【答案】(1)75(2)m=-4【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，利用立方根解方程，理解并掌握對應的法則，是解題的關鍵：（1）根據(jù)對應的法則列出算式進行計算即可；（2）根據(jù)對應的法則列出方程進行求解即可．【詳解】（1）解：-5-42（2）由題意，得：m+13∴m+1=-3，∴m=-4．02代數(shù)式、因式分解、分式、二次根式02代數(shù)式、因式分解、分式、二次根式考點考情分析代數(shù)式代數(shù)式的考查題型多樣，選擇、填空、解答題均有涉及。在選擇題和填空題中，多以考查基礎知識為主，如判斷代數(shù)式的運算結果是否正確、求代數(shù)式的值等。解答題則更注重綜合應用。整式的加減以選擇題和填空題為主，極少出現(xiàn)簡答題，難易度屬于易。整式的乘除選擇、填空、解答題均有出現(xiàn)。選擇題和填空題?？疾閮绲倪\算、整式乘法公式的直接應用等基礎知識；解答題則多為整式的化簡求值、混合運算等，有時會與其他知識綜合考查。乘法公式在選擇題、填空題中?？疾楣降闹苯討煤秃唵巫冃螒?，如判斷式子的計算結果是否正確，或根據(jù)已知條件求代數(shù)式的值。在解答題中，可能會出現(xiàn)與因式分解、化簡求值、方程、函數(shù)等知識相結合的綜合題，要求學生熟練掌握乘法公式并能靈活運用因式分解常見于填空、選擇題，也可能出現(xiàn)在解答題中，如化簡求值、解方程等問題的步驟中。分式選擇、填空、解答題均有涉及。選擇題和填空題主要考查分式的基本概念、簡單運算及性質；解答題則以分式的化簡求值、應用問題和規(guī)律探究題為主。二次根式選擇題、填空題?？疾槎胃降母拍?、性質及簡單運算；解答題則以化簡求值、混合運算或與其他知識綜合的形式出現(xiàn)?？疾榉种担悍种?0-20分之間，具體分值因地區(qū)和試卷結構而異。考查形式：選擇、填空、解答題均有涉及。命題趨勢：①注重代數(shù)推理：單純的邏輯推導不再是重點，而是將邏輯推理與計算緊密結合；②強化數(shù)形結合：幾何問題中會融入代數(shù)元素，如函數(shù)圖象與幾何圖形的交點、動點問題中的數(shù)量關系等；③強調跨學科融合；④緊密聯(lián)系生活實際：生活場景會頻繁出現(xiàn)在題目中；⑤增加開放探究題型：規(guī)律探究、條件或結論開放的題目逐漸增多。知識點1：代數(shù)式定義：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結而成的式子，叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或字母也是代數(shù)式。知識點2：整式的相關概念1.單項式（1）定義:數(shù)與字母的乘積(單獨的一個數(shù)或字母也是單項式)（2）系數(shù):單項式中的數(shù)字因數(shù)（3）次數(shù):單項式中所有字母的指數(shù)的和2.多項式（1）定義:幾個單項式的和（2）次數(shù):多項式里次數(shù)最高項的次數(shù)3.同類項所含字母相同，且相同字母指數(shù)也相同的單項式知識點3：整式加減運算1.實質：合并同類項2.合并同類項：同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。3.去括號（1）a+(b+c)=a+b+c；（2）a-(b+c)=a-b-c知識點4：冪運算（1）冪的乘法運算口訣：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均為正整數(shù)，并且m>n)（2）冪的乘方運算口訣：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。即(m,n都為正整數(shù))（3）積的乘方運算口訣：等于將積的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。即（m,n為正整數(shù)）（4）冪的除法運算口訣：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均為正整數(shù)，并且m>n)知識點5：整式乘法運算（1）單項式乘單項式單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．（2）單項式乘多項式單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加．（3）多項式乘多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．（4）乘法公式①平方差公式：②完全平方公式：（5）除法運算①單項式的除法：把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．②多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．知識點6：因式分解1.定義：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．2.掌握其定義應注意以下幾點：（1）分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；（2）因式分解必須是恒等變形；（3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止．3.公因式像多項式papbpc，它的各項都有一個公共的因式p，我們把這個公共因式p叫做這個多項式各項的公因式注意：公因式的構成一般情況下有三部分：①系數(shù)一各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母——各項含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù)；4.提公因式與公式法綜合（1）提公因式：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．（2）公式法：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）5.十字相乘法1.x2pqxpq（x+p）（x+q）2.在二次三項式ax2bxc(a0)中，如果二次項系數(shù)a可以分解成兩個因數(shù)之積，即aa1a2，常數(shù)項c可以分解成兩個因數(shù)之積，即cc1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2a2c1，若它正好等于二次三項式ax2bxc的一次項系數(shù)b，即a1c2a2c1b，那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1xc1與a2xc2之積，即ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)．知識點7：分式的概念1.定義：一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式；3.分式有意義的條件：B≠0；4.分式值為0的條件：分子=0且分母≠0知識8：分式的基本性質分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質叫做分式的基本性質，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.知識點9：分式的運算（1）同分母分式的加減同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；可用式子表為：.（2）異分母分式的加減異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.可用式子表為：.（3）分式的乘除法運算①分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，即②分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即（4）分式的乘方分式的乘方運算法則：分式的乘方是把分子、分母分別乘方，用字母表示為：（為正整數(shù)）.知識點10：分式化簡求值（1）有括號時先算括號內的；（2）分子/分母能因式分解的先進行因式分解；（3）進行乘除法運算（4）約分；（5）進行加減運算，如果是異分母分式，需線通分，變?yōu)橥帜阜质胶?，分母不變，分子合并同類項，最終化為最簡分式；（6）帶入相應的數(shù)或式子求代數(shù)式的值（7）高分技巧：①熟記公式（平方差，完全平方等）；②先化簡后求值；③注意定義域；④檢查結果。知識點11：二次根式（一）二次根式的有關概念①二次根式的定義:一般地，形如√ā(a≥0)的式子②二次根式有意義的條件:被開方數(shù)為非負數(shù)③最簡二次根式:同時滿足兩個條件：a. 被開方數(shù)不含根號(分母不含根號).b. b.被開方數(shù)不含能開方開得盡得因數(shù)或因式c. （二）二次根式的性質（1）雙重非負性≥0,a≥0:(主要用于字母的求值)（2）回歸性:(主要用于二次根式的計算)（3）轉化性：（三）二次根式的運算①加減法:先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并②乘法:二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變③除法:二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變。（四）估算①對二次根式平方估值②找出與平方后所得數(shù)字相鄰的兩個開得盡方的整數(shù)③對以上兩個整數(shù)平方④確定這個根式的值再開方后所得兩個整數(shù)之間真題1（2024·山西·中考真題）下列運算正確的是（）A．2m+n=2mn B．mC．-mn2=-m【答案】D【分析】本題考查的是合并同類項，同底數(shù)冪的乘法與除法，冪的乘方與積的乘方，根據(jù)合并同類項的法則，同底數(shù)冪的乘法與除法法則，冪的乘方與積的乘方法則對各選項進行逐一計算即可．【詳解】解：A、2m和n不是同類項，不能合并，故此選項不合題意；B、m6C、-mn2D、m2故選：D．真題2（2024·山東濟寧·中考真題）下列運算正確的是（

）A．2+3=C．2÷2=1 D【答案】B【分析】此題考查二次根式的運算法則，根據(jù)二次根式的加法法則對A進行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對B進行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對C進行判斷；根據(jù)二次根式的性質對D進行判斷．【詳解】A.2與3不能合并，所以B.2×5=10C.2÷2=4÷2D.(-5)2=-5故選：B．真題3（2024·江蘇鹽城·中考真題）矩形相鄰兩邊長分別為2cm、5cm，設其面積為Scm2，則A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5【答案】C【分析】本題主要考查無理數(shù)的估算，二次根式的乘法，先計算出矩形的面積S，再利用放縮法估算無理數(shù)大小即可．【詳解】解：S=2∵9<10<16，∴9<∴3<10即S在3和4之間，故選：C．真題4（2024·江蘇徐州·中考真題）若mn=2，m-n=1，則代數(shù)式m2n-mn【答案】2【分析】本題考查代數(shù)式求值．先將代數(shù)式進行因式分解，然后將條件代入即可求值．【詳解】解：∵mn=2，m-n=1，∴m2故答案為：2．真題5（2024·山東濟寧·中考真題）已知a2-2b+1=0，則4ba【答案】2【分析】本題考查了代數(shù)式的求值，解題的關鍵是熟練掌握整體思想的運用．根據(jù)對已知條件進行變形得到a2【詳解】解：∵a∴∴4b故答案為：2真題6（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，把R1，R2，R3三個電阻串聯(lián)起來，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U=IR1+IR2+IR3．當R

【答案】220【分析】本題考查了代數(shù)式求值，乘法運算律，掌握相關運算法則，正確計算是解題關鍵．根據(jù)U=IR【詳解】解：∵U=IR當R1=20.3，R2=31.9，U=20.3×2.2+31.9×2.2+47.8×2.2=20.3+31.9+47.8故答案為：220．真題7（2024·山東東營·中考真題）因式分解：2a3-8a=【答案】2a【分析】本題主要考查因式分解，利用提取公因式法和公式法相結合因式分解即可．熟練掌握提取公因式法和公式法是解題的關鍵，注意分解一定要徹底．【詳解】解：2a故答案為：2aa+2真題8（2024·山東淄博·中考真題）若多項式4x2-mxy+9y2【答案】±12【分析】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．利用完全平方公式的結構特征判斷即可確定出m的值．【詳解】解：∵多項式4x∴4x∴m=±2×2×3故答案為：±12．預測1（2025·湖北·一模）計算-3a2bA．-9a4b2 B．9a4【答案】B【分析】此題考查了積的乘方，根據(jù)積的乘方，把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，計算后直接選取答案，熟練掌握性質是解題的關鍵．【詳解】解：-3a故選：B．預測2（2025·浙江臺州·一模）若a+b=53，ab=12，則a-bA．51 B．±51 C．33 D．【答案】D【分析】本題考查完全平方公式的靈活應用，掌握公式結構靈活變形是解題關鍵．將原式利用完全平方公式進行變形，(a-b)2【詳解】解：∵(a-b)2∴(a-b)2∴a-b=±33故選：D．預測3（2025·內蒙古赤峰·一模）“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休”是我國著名數(shù)學家華羅庚對“數(shù)形結合思想”在研究數(shù)學學科中所發(fā)揮的重要價值與意義的高度概括，下圖是利用割補法求圖形面積的示意圖，其直觀揭示的公式是：（

）A．a+ba-b=aC．a+b2=a【答案】C【分析】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，熟練掌握完全平方公式的幾何背景的計算方法進行求解是解決本題的關鍵．左邊大正方形的邊長為(a+b)，面積為(a+b)2，由邊長為a的正方形，2個長為a寬為b的長方形，邊長為b【詳解】解：根據(jù)題意，大正方形的邊長為a+b，面積為(a+b)2由邊長為a的正方形，2個長為a寬為b的長方形，邊長為b的正方形組成，所以(a+b)2故選：C．預測4（2025·湖南湘西·一模）我國古代數(shù)學的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學家楊輝（約13世紀）所著的《詳解九章算術》一書中，用如圖的三角形解釋二項和a+bn的展開式的各項系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”．根據(jù)“楊輝三角”請計算a+b2025的展開式中第二項的系數(shù)為【答案】2025【分析】本題考查了通過觀察、分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題的能力．根據(jù)圖形中的規(guī)律即可求出a+b2025【詳解】解：∵a+b2的第二項系數(shù)為2a+b3的第二項系數(shù)為3a+b4的第二項系數(shù)為4a+b5的第二項系數(shù)為5∴a+bn的第二項系數(shù)為n∴a+b2025第二項系數(shù)為2025故答案為：2025．預測5（2024·北京西城·一模）分解因式：x2y-12xy+36y=【答案】y【分析】本題主要考查了分解因式，先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可．【詳解】解：x=y=yx-6故答案為：yx-6預測6（2025·山東濟寧·二模）二次根式2x-8在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是．【答案】x≥4【分析】本題考查二次根式有意義的條件，解一元一次不等式，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵．利用二次根式有意義的條件列不等式，再求解即可．【詳解】解：∵二次根式2x-8在實數(shù)范圍內有意義，∴2x-8≥0，解得：x≥4，故答案為：x≥4．預測7（2025·廣東·一模）【閱讀理解】已知F=k+3x+1，若F的值和x的取值無關，則k+3=0【知識應用】已知M=mx2-3x+7(1)用含m，n，x的式子表示M+N；(2)若M+N的值和x的取值無關，求mn【答案】(1)m+2(2)-8【分析】本題主要考查整式的加減，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．（1）運用合并同類項法則進行計算即可；（2）判斷m+2=0，n-3=0，求出m,n的值，再代入計算即可．【詳解】（1）解：∵M=mx2-3x+7∴M+N=mx=m+2（2）解：∵M+N=m+2x2+n-3∴m+2=0，n-3=0．∴m=-2，n=3．∴mn預測8（2025·江蘇蘇州·一模）先化簡，再求值：1-a-2a÷【答案】化簡得1a+2，代入求值得【分析】本題考查分式的混合運算，代數(shù)式求值，熟練掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．先利用分式混合運算法則化簡，再代入求值即可．【詳解】解：1-=1-=1-==1將a=-12代入，得原式押題1下列運算正確的是（）A．a2?aC．-a4?【答案】A【分析】本題考查了冪的乘方、合并同類項、同底數(shù)冪除法、完全平方公式，解題的關鍵是熟練掌握運算法則、準確進行判斷．【詳解】解：A．a2B．a2C．-aD．a-b2故選：A．押題2已知m-n=5，mn=3，則m+1n-1A．-3 B．2 C．8 D．7【答案】A【分析】本題考查了多項式乘法以及整體代入求值，解題的關鍵是先將m+1n-1展開．先利用多項式乘多項式法則將m+1n-1展開，然后把已知條件【詳解】解：∵m-n=5∴m+1n-1故選：A．押題3科技館“數(shù)理世界”展廳的WIFI的密碼被設計成如表所示的數(shù)學問題．小聰在參觀時認真思索，輸入密碼后順利地連接到網絡，則他輸入的密碼是．賬號∶shuǐishìjiex20x[(【答案】2043【分析】本題考查單項式乘以單項式及單項式除以單項式，熟練掌握運算法則，正確得出密碼與指數(shù)的關系是解題關鍵．利用冪的乘方運算，以及單項式除以單項式運算法則先化簡，得出密碼與指數(shù)的關系即可得答案．【詳解】解：∵x20y2∴密碼為x、y、z的指數(shù)，∴[==x∴密碼為：2043，故答案為：2043．押題4如圖，有A類、B類正方形卡片和C類長方形卡片各若干張．若拼一個長為a+4b、寬為a+3b的大長方形，則需要C類卡片的張數(shù)為．【答案】7【分析】本題主要考查了多項式乘以多項式的計算，根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則求出a+4ba+3b【詳解】解：a+4b==a∴需要C類卡片的張數(shù)為7張，故答案為：7．押題5因式分解：a3-16a【答案】a【分析】本題主要考查了分解因式，先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：a=a=aa+4b故答案為：aa+4b押題6若最簡二次根式-2a-3與ba+1可以合并，則-【答案】-16【分析】根據(jù)最簡二次根式-2a-3與ba+1可以合并，判定二式是同類二次根式，得到本題考查了最簡二次根式，同類二次根式，求代數(shù)式的值，熟練掌握定義是解題的關鍵．【詳解】解：∵最簡二次根式-2a-3與b∴最簡二次根式-2a-3與b∴b=2,a+1=2a-3，解得b=2,a=4，∴-a故答案為：-16．押題7已知實數(shù)a在數(shù)軸上的對應點位置如圖，則化簡3-a2+2-a【答案】1【分析】本題考查二次根式與絕對值的化簡、實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸得到2<a<3，再由二次根式的性質與絕對值進行化簡即可．掌握二次根式的基本性質是解題關鍵．【詳解】解：由圖可得2<a<3，∴3-a>0，2-a<0，∴3-a2故答案為：103方程與方程組03方程與方程組考點考情分析一元一次方程以選擇題、填空題為主，考查方程的基本概念、解的判斷、簡單的計算等；應用題則多出現(xiàn)在解答題中，要求學生完整地寫出解題過程。二元一次方程組以選擇題、填空題為主，考查概念、解的性質及簡單計算；解答題則多為實際應用問題，要求完整寫出解題過程。一元二次方程選擇題、填空題常考查一元二次方程的基本概念、根的判別式、根與系數(shù)的關系等；解答題則以解方程、根據(jù)根的情況求參數(shù)、實際應用問題為主。分式方程選擇題、填空題主要考查分式方程的概念、解的性質、簡單的含參問題等；解答題則以解方程、實際應用問題為主，要求學生完整寫出解題步驟。考查分值：分值10-20分之間，具體分值因地區(qū)和試卷結構而異?？疾樾问剑哼x擇、填空、解答題均有涉及。命題趨勢：①綜合化：方程與方程組會越來越多地與函數(shù)、不等式、幾何等知識綜合考查，以體現(xiàn)數(shù)學知識的整體性和綜合性，突出對學生綜合運用知識能力的考查；②情境化：更加注重聯(lián)系實際生活，以生活中的熱點問題、社會現(xiàn)象等為背景，考查學生運用方程與方程組解決實際問題的能力，增強學生的數(shù)學應用意識。知識點1：一元一次方程1.概念：只含一個未知數(shù)（元）且未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程；標準式：ax+b=0（x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，且a≠0）；方程的解：使方程等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值知識點2：等式的性質等式的性質1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結果仍相等；如果a=b，那么a±c=b±c;等式的性質2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結果仍相等；如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么；知識點3:解一元一次方程解一元一次方程的步驟：1.去分母:兩邊同乘最簡公分母2.去括號（1）先去小括號，再去中括號，最后去大括號（2）乘法分配律應滿足分配到每一項3.移項（1）定義：把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，不含有未知數(shù)的項移到另一邊；（2）注意：①移項要變符號；②一般把含有未知數(shù)的項移到左邊，其余項移到右邊．4.合并同類項（1）定義：把方程中的同類項分別合并，化成“axb”的形式（a0）；（2）注意：合并同類項時，把同類項的系數(shù)相加，字母不變．5.系數(shù)化為1（1）定義：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)a，得；（2）注意：分子、分母不能顛倒知識點4：一元一次方程的應用解一元一次方程應用題，遵循5個步驟①審題；②設未知數(shù):設未知數(shù)(通常為x)，并注明單位；③列方程；④解方程；⑤檢驗答案：將解代入原方程或實際問題，驗證是否合理；⑥.寫答句:完整寫出答案，并注明單位。知識點5:二元一次方程1.概念：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程，叫做二元一次方程．2.二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．知識點6：二元一次方程組1.方程組：把x+y=2和x-y=0合在一起寫成，就組成了一個方程組2.概念：方程組中含有兩個未知數(shù)，含有每個未知數(shù)的項得次數(shù)都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組．3.二元一次方程的解：同時滿足方程組中各個二元一次方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值，是方程組中各個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．知識點7：解二元一次方程組（1）代入消元法把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解．這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法．（2）加減消元法當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.知識點8：二元一次方程（組）應用的解題步驟步驟1．審題：透徹理解題意，弄清問題中的已知量和未知量，找出問題給出和涉及的相等關系；2．設元（未知數(shù)）：根據(jù)題意，可以直接設未知數(shù)，也可以間接設未知數(shù)；3．列代數(shù)式和方程組：用含所設未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，根據(jù)題中給出的等量關系列出方程組，一般情況下，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的；4．解方程組；5．檢驗：檢驗方程的根是否符合題意；6．作答：檢驗后作出符合題目要求的答案．知識點9：一元二次方程的概念等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。知識點10：一元二次方程的一般形式一元二次方程經過整理都可化成一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫作二次項，a是二次項系數(shù)；bx叫作一次項，b是一次項系數(shù)；c叫作常數(shù)項。注意：（1）ax2+bx+c=0中的a≠0．因當a=0時，不含有二次項，即不是一元二次方程（2）在求各項系數(shù)時，應把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各項系數(shù)時不要漏前面的性質符號。知識點11：解一元二次方程（一）直接開方（1）如x2=p(p≥0)或(nX+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可直接采用直接開平方解一元二次方程。（2）如果化成x2=p的形式，那么可得x=±；（3）如果方程能化成(nX+m)=p(p≥0)的形式，那么nx+m=±,進而得出方程的根（二）配方法用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步驟是：①化為一般形式；②移項，將常數(shù)項移到方程的右邊；③化二次項系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項系數(shù)；④配方，即方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果b≤0，則原方程無解．（三）公式法用公式法求一元二次方程的一般步驟（1）把方程化成一般形式，（2）求出判別式（四）因式分解因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：（1）移項，使方程的右邊化為零；（2）將方程的左邊轉化為兩個一元一次多項式的乘積；（3）令每個因式分別為零；（4）兩個因式分別為零的解就都是原方程的解。知識點12：一元二次方程的判別式對于一元二次方程的一般形式：，(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根(2)方程有兩個相等的實數(shù)根(3)方程沒有實數(shù)根高分技巧：在應用根的判別式時，若二次項系數(shù)中含有字母，注意二次項系數(shù)不為0這一條件；當時，可得方程有兩個實數(shù)根，相等不相等未知知識點13：一元二次方程的根與系數(shù)若一元二次方程的兩個根為，則有，高分技巧：當問題中出現(xiàn)“方程的兩個根是……”時，通常就要想其根與系數(shù)的關系了，若不能直接利用原公式，則結合完全公式，想其常用變形：知識點14：一元二次方程的應用用一元二次方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關系;設：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;答：實際問題的答案.與一元二次方程有關應用題的常見類型：1）變化率問題解決這類問題的關鍵是理解“增長了”與“增長到”、“降低了”與“降低到”的區(qū)別，尤其要理解第二次變化是在第一次變化的基礎上發(fā)生的.解決此類問題時，務必要記住公式a(1±x)n=b，其中a為增長(或降低)的基礎數(shù)，x為增長(或降低)的變化率，n為增長(或降低)的次數(shù)，b為增長(或降低)后的數(shù)量.即：2）利潤和利潤率問題在日常生活中，經常遇到有關商品利潤的問題，解決這類問題的關鍵是利用其中已知量與未量之間的等量關系建立方程模型，并通過解方程來解決問題.要正確解答利潤或利潤率問題，首先要理解進價、售價、利潤及利潤率之間的關系：利潤=售價一進價；利潤率=利潤×100%.3)面積問題幾何圖形的面積問題是中考的熱點問題，通常涉及三角形、長方形、正方形等圖形的面積，需利用圖形面積公式，從中找到等量關系解決問題.有關面積的應用題，均可借助圖形加以分析，以便于理解題意.常見類型1：如圖1，矩形ABCD長為a，寬為b，空白“回形”道路的寬為x，則陰影部分的面積為(a?2x)(b?2x)．常見類型2：如圖2，矩形ABCD長為a，寬為b，陰影道路的寬為x，則空白部分的面積為(a?x)(b?x)．常見類型3：如圖3，矩形ABCD長為a，寬為b，陰影道路的寬為x，則4塊空白部分的面積之和能轉化為(a?x)(b?x)．4)分裂（傳播）問題解決此類問題的關鍵是原細胞或傳染源在不在總數(shù)中.其一般思路是先分析問題情境，明確是分裂問題還是傳播問題，然后找出問題中的數(shù)量關系，再建立適當?shù)臄?shù)學模型求解.①傳播問題：傳染源在傳播過程中，原傳染源的數(shù)量計入傳染結果，若傳染源數(shù)量為1，每一個傳染源傳染x個個體，則第一輪傳染后，感染個體的總數(shù)為1+x，第二輪傳染后感染個體的總數(shù)為(1+x)2.②分裂問題：細胞在分裂過程中，原細胞數(shù)目不計入分裂總數(shù)中，若原細胞數(shù)目為1，每一個細胞分裂為x個細胞，則第一次分裂后的細胞總數(shù)為x，第二次分裂后的細胞總數(shù)為x2.5）碰面問題（循環(huán)）問題①重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m．∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，∴上述求法有重疊部分．∴m=12n（n－②不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次為m．∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場．∵A與B比賽在A的主場，B與A比賽在B的主場，不是同一場比賽，∴上述求法無重疊．∴m=n（n－1）知識點15：分式方程的解法1.分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程2.解分式方程基本步驟：①找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式;②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程;3)解整式方程;③驗根，把整式方程的根代入最簡公分母高分技巧：分式方程會無解的幾種情況①解出的x的值是增根，須舍去，無解②解出的x的表達式中含參數(shù)，而表達式無意義，無解③同時滿足①和②，無解求有增根分式方程中參數(shù)字母的值的一般步驟：①讓最簡公分母為0確定增根；②去分母，將分式方程轉化為整式方程；③將增根帶入（當有多個增根時，注意分類，不要漏解）；④解含參數(shù)字母的方程的解。知識點16：分式方程的應用用分式方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關系;設：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;+1）檢驗所求的解是否是所列分式方程的解.2）檢驗所求的解是否符合實際意義.答：實際問題的答案.與分式方程有關應用題的常見類型：真題1（2024·山東東營·中考真題）用配方法解一元二次方程x2-2x-2023=0時，將它轉化為(x+a)2=b的形式，則A．-2024 B．2024 C．-1 D．1【答案】D【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程．熟練掌握配方法步驟，是解出本題的關鍵．用配方法把x2-2x-2023=0移項，配方，化為【詳解】解：∵x2移項得，x2配方得，x2即x-12∴a=-1，b=2024，∴ab故選：D．真題2（2024·山東濟寧·中考真題）解分式方程1-13x-1=-A．2-6x+2=-5 B．6x-2-2=-5C．2-6x-1=5 D．6x-2+1=5【答案】A【分析】本題考查通過去分母將分式方程轉化為整式方程，方程兩邊同乘各分母的最簡公分母，即可去分母．【詳解】解：方程兩邊同乘2-6x，得2-6x-2-6x整理可得：2-6x+2=-5故選：A．真題3（2024·山東日照·中考真題）已知，實數(shù)x1,x2x1≠x2是關于xA．1 B．-1 C．12 D．【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，對于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若x1，x2是該方程的兩個實數(shù)根，則【詳解】解：∵x1,x2∴x∵1∴x∴-2∴-2k=2，解得k=-1，經檢驗，k=-1是原分式方程的解，故選：B．真題4（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關于x的分式方程kxx-3-2=33-x無解，則A．k=2或k=-1 B．k=-2 C．k=2或k=1 D．k=-1【答案】A【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關鍵．先將分式方程去分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可．【詳解】解：去分母得，kx-2(x-3)=-3，整理得，(k-2)x=-9，當k=2時，方程無解，當k≠2時，令x=3，解得k=-1，所以關于x的分式方程kxx-3-2=33-x無解時，故選：A．真題5（2024·江蘇南通·中考真題）已知關于x的一元二次方程x2-2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根．請寫出一個滿足題意的k的值：【答案】0（答案不唯一）【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根與Δ=b2-4ac有如下關系：當Δ>0【詳解】解∶∵一元二次方程x2∴Δ=解得k<1，∴當k取0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．故答案為：0（答案不唯一）．真題6（2024·山東日照·中考真題）【問題背景】2024年4月23日是第18個“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀環(huán)境，學校決定擴大圖書館面積，增加藏書數(shù)量，現(xiàn)需購進20個書架用于擺放書籍．【素材呈現(xiàn)】素材一：有A,B兩種書架可供選擇，A種書架的單價比B種書架單價高20%素材二：用18000元購買A種書架的數(shù)量比用9000元購買B種書架的數(shù)量多6個；素材三：A種書架數(shù)量不少于B種書架數(shù)量的23【問題解決】(1)問題一：求出A,B兩種書架的單價；(2)問題二：設購買a個A種書架，購買總費用為w元，求w與a的函數(shù)關系式，并求出費用最少時的購買方案；(3)問題三：實際購買時，商家調整了書架價格，A種書架每個降價m元，B種書架每個漲價13m元，按問題二的購買方案需花費21120元，求【答案】(1)1200元；1000元(2)w=200a+20000a≥8；購買A種書架8個，B種書架12(3)120【分析】本題考查運用分式方程，一次函數(shù)，一元一次方程解決實際問題．（1）設B種書架的單價為x元，則A種書架的單價為(1+20%)x元，用18000元購買A種書架180001+20%x個，用9000元購買B種書架（2）根據(jù)總費用＝A種書架的總費用＋B種書架的總費用即可列出函數(shù)，根據(jù)資料三求出自變量a的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可求出總費用的最小值；（3）根據(jù)總費用＝A種書架的總費用＋B種書架的總費用列出一元一次方程，求解即可解答．【詳解】（1）解：設B種書架的單價為x元，則A種書架的單價為(1+20%由題意得18000(1+20解得x=1000，經檢驗，x=1000是分式方程的解，且符合題意，∴(1+20%答：A,B兩種書架的單價分別為1200元，1000元．（2）解：購買a個A種書架時，購買總費用w=1200a+1000(20-a)，即w=200a+20000，由題意得，a應滿足：a≥2320-a∵200>0，∴w隨著a的增大而增大，當a=8時，w的值最小，最小值為200×8+20000=21600，∴費用最少時購買A種書架8個，B種書架12個．（3）解：由題意得(1200-m)×8+1000+解得m=120．真題7（2024·廣西·中考真題）綜合與實踐在綜合與實踐課上，數(shù)學興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略．【洗衣過程】步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干．重復操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達到洗衣目標．假設第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%，每次擰干后校服上都殘留0.5濃度關系式：d后=0.5d前0.5+w．其中d前【洗衣目標】經過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01【動手操作】請按要求完成下列任務：(1)如果只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%(2)如果把4kg(3)比較（1）和（2）的漂洗結果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法．【答案】(1)只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%，需要9.5(2)進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；(3)兩次漂洗的方法值得推廣學習【分析】本題考查的是分式方程的實際應用，求解代數(shù)式的值，理解題意是關鍵；（1）把d后=0.01%，d前=0.2（2）分別計算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案；（3）根據(jù)（1）（2）的結果得出結論即可．【詳解】（1）解：把d后=0.01%，得0.01%解得w=9.5．經檢驗符合題意；∴只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%，需要9.5（2）解：第一次漂洗：把w=2kg，d前=0.2∴d后第二次漂洗：把w=2kg，d前=0.04∴d后而0.008%∴進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；（3）解：由（1）（2）的計算結果發(fā)現(xiàn)：經過兩次漂洗既能達到洗衣目標，還能大幅度節(jié)約用水，∴從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學習．真題8（2024·安徽·中考真題）鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略實施以來，很多外出人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．某村有部分返鄉(xiāng)青年承包了一些田地．采用新技術種植A，農作物品種每公頃所需人數(shù)每公頃所需投入資金（萬元）A48B39已知農作物種植人員共24位，且每人只參與一種農作物種植，投入資金共60萬元．問A，【答案】A農作物的種植面積為3公頃，B農作物的種植面積為4公頃．【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，設A農作物的種植面積為x公頃，B農作物的種植面積為y公頃，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可求解，根據(jù)題意，找到等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【詳解】解：設A農作物的種植面積為x公頃，B農作物的種植面積為y公頃，由題意可得，4x+3y=248x+9y=60解得x=3y=4答：A農作物的種植面積為3公頃，B農作物的種植面積為4公頃．預測1（2025·山東德州·一模）電視機、攝像機等電器的電路中有許許多多的元件，它們都有電阻．如圖所示，當兩個電阻R1、R2并聯(lián)時，總電阻R滿足1R=1R1+1A．60Ω B．50Ω C．40Ω D．30Ω【答案】A【分析】本題考查了分式方程的實際運用，根據(jù)總電阻R滿足1R=1R1+1【詳解】解：∵總電阻R滿足1R=1R1∴120解得R1經檢驗R1故選：A．預測2（2025·寧夏銀川·一模）某鐵路隧道被嚴重破壞，為搶修其中一段120米的鐵路，施工隊實際每天修鐵路的效率比原計劃提高了1倍，結果提前4天開通了列車，設原計劃每天修x米，所列方程正確的是（

）A．120x+4=120C．120x+4=120【答案】B【分析】本題考查了分式方程的應用，列方程解應用題的關鍵步驟在于找相等關系．找到關鍵描述語，找到等量關系是解決問題的關鍵．本題用到的關系為：工作時間=工作總量÷工作效率．要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根據(jù)時間來列等量關系的．關鍵描述語是：“提前4天開通了列車”；等量關系為：原來所用的時間-實際所用的時間=4．【詳解】解：設原計劃每天修x米，則實際每天修2x米，原來所用的時間為：120x，實際所用的時間為：120根據(jù)題意：1202x故選：B．預測3（2025·河北邯鄲·一模）一元二次方程x2+2x-5=0的根的情況是（A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，可得出Δ=24>0，進而可得出一元二次方程2x2+4x-5=0有兩個不相等的實數(shù)根．牢記【詳解】解：∵Δ=∴一元二次方程x2故選：A．預測4（2025·江蘇泰州·一模）“洛書”是中國重要的文化遺產，可轉為如圖1的三階幻方，每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等．圖2是一個不完整的三階幻方，結合圖中信息可得x+y=．【答案】-2【分析】本題考查了一元一次方程的應用，根據(jù)題意列出方程，求解即可．【詳解】解：如圖：由圖可知：x+-1∴a=2，b=3，如圖：由圖可知：x+7+c=-1+2+d=6+y+3=c+d+3=c+2+6，∴c=-2，∴和為6，如圖：∴x+y=1+-3故答案為：-2．預測5（2025·四川達州·模擬預測）若關于x的分式方程axx-2+22-x=3【答案】1或3【分析】本題考查分式方程無解問題，將分式方程轉化為整式方程，分整式方程無解和分式方程有增根，兩種情況進行求解即可．【詳解】解：方程去分母，得：ax-2=3x-6，整理，得：a-3x=-4∵方式方程無解，①當整式方程無解時：a-3=0，解得：a=3；②當分式方程有增根時，則：x-2=0，解得x=2，把x=2，代入a-3x=-4，得：2解得：a=1；故答案為：1或3．預測6（2025·浙江舟山·一模）解方程組：2x-y=54x+3y=-10【答案】x=【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用①×3+②得，10x=5，解得x=12，再把x=1【詳解】解：2x-y=5①×3+②解得x=1把x=12代入①得解得y=-4∴x=1預測7（2025·北京·一模）如圖，某校的飲水機有溫水、開水兩個按鈕．利用圖中信息解決下列問題：物理常識開水和溫水混合時會發(fā)生熱傳遞，開水放出的熱量等于溫水吸收的熱量，可以轉化為“開水的體積×開水降低的溫度=溫水的體積×溫水升高的溫度．”(1)王老師拿空水杯先接了14s的溫水，又接了8s的開水，剛好接滿，則王老師的水杯容量為__________(2)嘉琪同學拿空水杯先接了一會兒溫水，又接了一會兒開水，得到一杯210ml，溫度為40℃的水（不計熱損失），求嘉琪同學【答案】(1)400(2)11【分析】本題考查二元一次方程組的實際應用，找準等量關系，正確的列出方程組是解題的關鍵：（1）根據(jù)體積等于水流速度乘以時間，列出算式進行計算即可；（2）設嘉琪接溫水的時間為xs，接開水的時間為y【詳解】（1）解：20×14+8×15=400ml故答案為：400；（2）解：設嘉琪接溫水的時間為xs，接開水的時間為y則20x+15y=21020x×40-30解得x=9y=2x+y=11，∴嘉琪同學的接水時間為11s押題1時間如白駒過隙，同學們初中三年的學習即將畫上一個圓滿的句號．我班某小組的同學決定每人給本小組其他成員贈送一張畢業(yè)紀念卡，全組送紀念卡共56張．設該小組有x人，根據(jù)題意，所列方程正確的是（

）A．12xx-1C．12xx+1【答案】B【分析】本題主要考查了根據(jù)題意列一元二次方程，設小組的人數(shù)是x人，則每個人要送其他x-1張紀念卡，則共有xx-1張紀念卡，等于56【詳解】解：設該小組有x人，根據(jù)題意，xx-1故選：B．押題2設一元二次方程x2+2x-5=0的兩個根為x1，x2，則A．-7 B．3 C．5 D．7【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的根，一元二次方程根與系數(shù)的關系，對于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若【詳解】解：∵一元二次方程x2+2x-5=0的兩個根為x1∴x12+2∴x1則x1故選：B．押題3《九章算術》中有一道“鳧雁相逢”問題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天．如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，經過多少天相遇？設經過x天相遇，則下列方程正確的是（

）A．9x-27x=1 B．17x-1【答案】C【分析】本題考查從實際問題中抽出一元一次方程．根據(jù)題意可得野鴨的速度為17，大雁的速度為19，設經過x天相遇，則相遇時野鴨的路程+大雁的路程【詳解】解：設經過x天相遇，可列方程為：17故選：C．押題4關于x的一元二次方程m-2x2+4x+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則【答案】m<4且m≠2【分析】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式．解題的關鍵是熟練掌握當b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當b2根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到Δ=【詳解】解：∵關于x的一元二次方程m-2x∴Δ=解得：m<4且m≠2，故答案為：m<4且m≠2．押題5定義[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如：[2.3]=2，[-0.32]=-1，[-2]=-2．則方程x2+3[x]=0的解為【答案】x=0或x=-3或x=-2【分析】本題考查解一元二次方程．根據(jù)題意x≤0，分6種情況討論：①x=0時；②-1≤x<0時；③-2≤x<-1；④-3≤x<-2；⑤-4≤x<-3；⑥x<-4，解一元二次方程即可求解．【詳解】解：∵x2∴x2∴[x]≤0，∴x≤0，①當x=0時，符合題意；②-1≤x<0時，[x]=-1，則x2+3[x]=0化為x2-3=0，解得x=±3③-2≤x<-1時，[x]=-2，則x2+3[x]=0化為x2-6=0，解得x=±6④-3≤x<-2時，[x]=-3，則x2+3[x]=0化為x2-9=0，解得x=-3或x=3⑤-4≤x<-3時，[x]=-4，則x2+3[x]=0化為x2-12=0，解得x=-23或x=2⑥x<-4時，均不成立，綜上，方程x2+3[x]=0的解為x=0或x=-3故答案為：x=0或x=-3或x=-23押題6方程x-1x-2-3【答案】x=1【分析】本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是關鍵．根據(jù)分式方程的求解方法計算即可．【詳解】解：x-1x-2x-1-3x-2x-4x-2去分母得，x-4=3x-2去括號得，x-4=3x-6，移項得，x-3x=-6+4，合并同類項得，-2x=-2，系數(shù)化為1得，x=1，檢驗，當x=1時，原分式方程的分母不為0，∴原分式方程的解為x=1，故答案為：x=1．押題7計算：aa解：原式=aa+b=aa(1)第一步的依據(jù)是_____，運用的方法是____________；①分式的基本性質；②分式的加減法則；③分式的通分；④分式的約分法則．(2)計算：x2【答案】(1)①；③；(2)x2【分析】本題主要考查分式加減運算，先通分，然后計算加減法即可，熟練掌握運算法則是解題關鍵．（1）根據(jù)分式的基本性質，通分即可得出結果；（2）先通分，然后計算加減法即可．【詳解】（1）解：解：第一步的依據(jù)是分式的基本性質，運用的方法是分式的通分，故答案為：①；③；（2）解：x2=x=x=x=x押題8今年春節(jié)的動畫電影《哪吒2》火爆影院，成為全民話題，其票房與文化影響力的雙重爆發(fā)不僅印證了國漫的崛起，更通過角色成長與敘事內核傳遞了深刻的教育哲學．它告訴我們：真正的教育不是矯正與規(guī)訓，而是喚醒與賦能．《哪吒2》的教育意義深遠，吸引了大量市民踴躍觀影，各大影院積極推送．某影院放映《哪吒2》，周末場觀影人數(shù)比工作日場多50人．周末場人均票價比工作日場人均票價少10元，周末場和工作日場的票房收入均為6000元．求工作日場的觀影人數(shù)是多少人？【答案】150人【分析】本題考查分式方程的實際應用，解題的關鍵是根據(jù)題意列出方程并求解．設工作日場的觀影人數(shù)是x人，則周末場的觀影人數(shù)是x+50人，根據(jù)“周末場和工作日場的票房收入均為6000元，周末場觀影人數(shù)比工作日場多50人”列出方程，求解并檢驗即可解答．【詳解】解：設工作日場的觀影人數(shù)是x人，則周末場的觀影人數(shù)是x+50人，根據(jù)題意得：6000x+50整理得：x2解得：x=150或x=-200（不符題意，舍），經檢驗x=150是原方程的解，且符合題意，答：工作日場的觀影人數(shù)是150人．004不等式與不等式組考點考情分析不等式的定義和基本性質選擇題、填空題?？疾椴坏仁降幕靖拍睢⑿再|。一元一次不等式選擇題和填空題?？疾楹唵蔚牟坏仁降慕饧?解答題則主要以解不等式、含參不等式以及不等式的實際應用為主，要求學生完整地寫出解題過程。一元一次不等式組選擇題和填空題?？疾楹唵蔚牟坏仁浇M的解集:解答題則主要以解不等式組、含參不等式組以及不等式組的實際應用為主，要求學生完整地寫出解題過程。考查分值：分值5-10分之間，具體分值因地區(qū)和試卷結構而異?？疾樾问剑哼x擇、填空、解答題均有涉及。命題趨勢：不等式與方程、函數(shù)等知識的綜合考查會有所加強，通過建立不等式模型來解決實際問題，如方案設計、利潤最大化、資源分配等問題，同時可能會結合函數(shù)圖象來分析不等式的解集，體現(xiàn)數(shù)學知識的整體性和綜合性，考查學生的綜合運用能力。知識點1：不等式的定義（1）不等式：用不等號表示不相等關系的式子，叫做不等式，例如：等都是不等式．（2）常見的不等號有５種：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．知識點2：不等式的性質基本性質1若a>b，則a±c>b±c若a<b，則a±c<b±c基本性質2若a>b,c>0，則ac>bc（或ac基本性質3若a>b,c<0，則ac<bc（或ac高分技巧：①不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變．②在計算的時候符號方向容易忘記改變．知識點3：一元一次不等式的概念只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一個一元一次不等式．知識點4：解一元一次不等式解一元一次不等式的一般步驟是：（1）去分母：根據(jù)不等式的性質2和3，把不等式的兩邊同時乘以各分母的最小公倍數(shù)，得到整數(shù)系數(shù)的小等式。（2）去括號：根據(jù)上括號的法則，特別要注意括號外面是負號時，去掉括號和負號，括號里面的各項要改變符號。（3）移項：根據(jù)不等式基本性質1，一般把含有未知數(shù)的項移到不等式的左邊，常數(shù)項移到不等式的右邊。（4）合并同類項。（5）將未知數(shù)的系數(shù)化為1：根據(jù)不等式基本性質2或3，特別要注意系數(shù)化為1時，系數(shù)是負數(shù)，不等號要改變方向。（6）有些時候需要在數(shù)軸上表示不等式的解集。高分技巧：在用數(shù)軸表示不等式的解集時，要確定邊界和方向：（1）邊界：有等號的是實心圓點，無等號的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小向左．知識點5：一元一次不等式組的解集知識點6：解一元一次不等式組的步驟：（1）求分解，分別解不等式組中的每一個不等式，并求出它們的解；（2）畫公解，將每一個不等式的解集畫在同一數(shù)軸上，并找出它們的公共部分；（3）寫組解，將（2）步中所確定的公共部分用不等式表示出來，就是原不等式組的解集。知識點7：一元一次不等式組的應用步驟如下：（1）審：審清題意，找出已知量和未知量；（2）設：設出適當?shù)奈粗獢?shù)（只能設一個未知數(shù)）；（3）找：找出反映題目數(shù)量關系的不等關系；（4）列：用代數(shù)式表示不等關系中的量，列不等式組；（5）解：解不等式組，并用數(shù)軸上表示它的解集；（6）寫出答案（包括單位名稱）。真題1（2024·四川雅安·中考真題）不等式組3x-2≥42x<x+6的解集在數(shù)軸上表示為（

A