2025年大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷及答案

2025年大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷及答案一、選擇題（每題2分，共12分）

1.下列各數(shù)中，絕對(duì)值最小的是：

A.-2

B.-1.5

C.0

D.1

答案：C

2.若實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=5，ab=6，則a^2+b^2的值為：

A.11

B.14

C.19

D.26

答案：B

3.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=1時(shí)取得最小值，則下列說法正確的是：

A.a>0

B.a<0

C.b=0

D.c=0

答案：B

4.若等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為1、3、5，則第10項(xiàng)為：

A.27

B.29

C.31

D.33

答案：C

5.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則復(fù)數(shù)z的取值范圍是：

A.實(shí)軸

B.虛軸

C.第一象限

D.第二象限

答案：A

6.若三角形的三邊長分別為3、4、5，則這個(gè)三角形是：

A.等腰三角形

B.等邊三角形

C.直角三角形

D.鈍角三角形

答案：C

二、填空題（每題2分，共12分）

7.已知函數(shù)f(x)=2x^2-3x+1，若f(x)在x=1時(shí)取得最大值，則f(1)的值為______。

答案：0

8.若等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為3，則第10項(xiàng)為______。

答案：29

9.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則z的取值范圍是______。

答案：實(shí)軸

10.若三角形的三邊長分別為3、4、5，則這個(gè)三角形的面積是______。

答案：6

11.已知函數(shù)f(x)=x^2-2x+1，若f(x)在x=1時(shí)取得最小值，則f(1)的值為______。

答案：0

12.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則z的取值范圍是______。

答案：實(shí)軸

三、解答題（每題10分，共30分）

13.（1）已知函數(shù)f(x)=2x^2-3x+1，求f(x)的對(duì)稱軸。

（2）若函數(shù)f(x)在x=1時(shí)取得最大值，求f(1)的值。

答案：（1）對(duì)稱軸為x=3/4；（2）f(1)的值為0。

14.（1）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為3，求第10項(xiàng)。

（2）若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n的表達(dá)式。

答案：（1）第10項(xiàng)為29；（2）S_n的表達(dá)式為n/2(2a+(n-1)d)。

15.（1）已知復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，求z的取值范圍。

（2）若復(fù)數(shù)z的實(shí)部為2，求z的虛部。

答案：（1）z的取值范圍是實(shí)軸；（2）z的虛部為0。

16.（1）已知三角形的三邊長分別為3、4、5，求這個(gè)三角形的面積。

（2）若三角形的面積公式為S=1/2*a*b*sinC，求角C的正弦值。

答案：（1）面積為6；（2）角C的正弦值為1/2。

四、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

17.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，若f(x)在x=1時(shí)取得最小值，求a、b、c的關(guān)系。

答案：a>0，b^2-4ac<0。

18.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為3，求第10項(xiàng)。

答案：第10項(xiàng)為29。

19.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，求z的取值范圍。

答案：z的取值范圍是實(shí)軸。

20.已知三角形的三邊長分別為3、4、5，求這個(gè)三角形的面積。

答案：面積為6。

五、證明題（每題10分，共20分）

21.證明：若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，則S_n=n/2(2a+(n-1)d)。

證明：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a_1，公差為d，則第n項(xiàng)為a_n=a_1+(n-1)d。

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S_n=a_1+a_2+...+a_n。

將a_n的表達(dá)式代入上式得：S_n=a_1+(a_1+d)+...+(a_1+(n-1)d)。

將上式進(jìn)行分組得：S_n=(n/2)(2a_1+(n-1)d)。

即S_n=n/2(2a+(n-1)d)。

證明完畢。

22.證明：若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則z的取值范圍是實(shí)軸。

證明：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b為實(shí)數(shù)），則|z-1|=|(a-1)+bi|，|z+1|=|(a+1)+bi|。

由復(fù)數(shù)模的定義可知，|z-1|=sqrt((a-1)^2+b^2)，|z+1|=sqrt((a+1)^2+b^2)。

由題意可得：sqrt((a-1)^2+b^2)=sqrt((a+1)^2+b^2)。

兩邊平方得：(a-1)^2+b^2=(a+1)^2+b^2。

化簡(jiǎn)得：a^2-2a+1=a^2+2a+1。

兩邊消去a^2，得：-2a=2a。

兩邊同時(shí)除以2，得：a=0。

因此，z的取值范圍是實(shí)軸。

證明完畢。

六、拓展題（每題10分，共20分）

23.（1）已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，若f(x)在x=1時(shí)取得最大值，求a、b、c的關(guān)系。

（2）若函數(shù)f(x)在x=1時(shí)取得最小值，求f(1)的值。

答案：（1）a>0，b^2-4ac<0；（2）f(1)的值為0。

24.（1）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為3，求第10項(xiàng)。

（2）若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n的表達(dá)式。

答案：（1）第10項(xiàng)為29；（2）S_n的表達(dá)式為n/2(2a+(n-1)d)。

25.（1）已知復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，求z的取值范圍。

（2）若復(fù)數(shù)z的實(shí)部為2，求z的虛部。

答案：（1）z的取值范圍是實(shí)軸；（2）z的虛部為0。

26.（1）已知三角形的三邊長分別為3、4、5，求這個(gè)三角形的面積。

（2）若三角形的面積公式為S=1/2*a*b*sinC，求角C的正弦值。

答案：（1）面積為6；（2）角C的正弦值為1/2。

本次試卷答案如下：

一、選擇題

1.C

解析思路：絕對(duì)值最小意味著距離原點(diǎn)的距離最小，因此選擇0。

2.B

解析思路：根據(jù)韋達(dá)定理，a和b是方程x^2-5x+6=0的根，所以a+b=5，ab=6。根據(jù)二次方程的性質(zhì)，a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-12=13。

3.B

解析思路：二次函數(shù)在對(duì)稱軸左側(cè)遞減，右側(cè)遞增，所以當(dāng)x=1時(shí)，如果函數(shù)取得最小值，則a必須小于0。

4.C

解析思路：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=1，d=3，n=10，得到a10=29。

5.A

解析思路：復(fù)數(shù)的模等于它到原點(diǎn)的距離，所以|z-1|=|z+1|意味著z到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的距離相等，這只能在實(shí)軸上發(fā)生。

6.C

解析思路：三邊長滿足勾股定理3^2+4^2=5^2，所以這是一個(gè)直角三角形。

二、填空題

7.0

解析思路：將x=1代入函數(shù)f(x)=2x^2-3x+1，得到f(1)=2*1^2-3*1+1=0。

8.29

解析思路：使用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得到a10=29。

9.實(shí)軸

解析思路：復(fù)數(shù)的模等于它到原點(diǎn)的距離，所以|z-1|=|z+1|意味著z到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的距離相等，這只能在實(shí)軸上發(fā)生。

10.6

解析思路：使用海倫公式，首先計(jì)算半周長s=(3+4+5)/2=6，然后代入海倫公式S=sqrt(s*(s-3)*(s-4)*(s-5))=sqrt(6*3*2*1)=6。

11.0

解析思路：將x=1代入函數(shù)f(x)=x^2-2x+1，得到f(1)=1^2-2*1+1=0。

12.實(shí)軸

解析思路：與第9題相同，復(fù)數(shù)的模等于它到原點(diǎn)的距離，所以|z-1|=|z+1|意味著z到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的距離相等，這只能在實(shí)軸上發(fā)生。

三、解答題

13.（1）對(duì)稱軸為x=3/4；（2）f(1)的值為0。

解析思路：（1）二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式為x=-b/(2a)，代入a=2，b=-3，得到x=3/4；（2）將x=1代入函數(shù)f(x)=2x^2-3x+1，得到f(1)=0。

14.（1）第10項(xiàng)為29；（2）S_n的表達(dá)式為n/2(2a+(n-1)d)。

解析思路：（1）使用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得到a10=29；（2）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為S_n=n/2(2a+(n-1)d)。

15.（1）z的取值范圍是實(shí)軸；（2）z的虛部為0。

解析思路：（1）根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，|z-1|=|z+1|意味著z到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的距離相等，這只能在實(shí)軸上發(fā)生；（2）由于z的實(shí)部為2，所以虛部必須為0。

16.（1）面積為6；（2）角C的正弦值為1/2。

解析思路：（1）使用海倫公式，首先計(jì)算半周長s=(3+4+5)/2=6，然后代入海倫公式S=sqrt(s*(s-3)*(s-4)*(s-5))=sqrt(6*3*2*1)=6；（2）由于三角形是直角三角形，角C的正弦值為對(duì)邊與斜邊的比值，即1/2。

四、應(yīng)用題

17.a>0，b^2-4ac<0。

解析思路：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/(2a),f(-b/(2a)))，如果函數(shù)取得最大值，則a必須大于0，且判別式b^2-4ac必須小于0。

18.第10項(xiàng)為29。

解析思路：使用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得到a10=29。

19.z的取值范圍是實(shí)軸。

解析思路：與第9題相同，復(fù)數(shù)的模等于它到原點(diǎn)的距離，所以|z-1|=|z+1|意味著z到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的距離相等，這只能在實(shí)軸上發(fā)生。

20.面積為6。

解析思路：使用海倫公式，首先計(jì)算半周長s=(3+4+5)/2=6，然后代入海倫公式S=sqrt(s*(s-3)*(s-4)*(s-5))=sqrt(6*3*2*1)=6。

五、證明題

21.S_n=n/2(2a+(n-1)d)。

解析思路：使用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，將an代入求和公式S_n=a1+a2+...+an，然后使用求和公式S_n=n/2(a1+an)。

22.z的取值范圍是實(shí)軸。

解析思路：根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，|z-1|=|z+1|意味著z到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的距離相等，這只能在實(shí)軸上發(fā)生。

六、拓展題

23.（1）a>0，b^2-4ac<0；（2）f(1)的值為