數(shù)學(xué)（新高考九省專用01）：2024年高考考前押題密卷含答案

2024年高考考前押題密卷01【新高考九省專用】

高三數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)

考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答第【卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高考全部內(nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。

1.隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，西安某地對(duì)外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2023年6月18日，該地很多

商場都在搞“618”促銷活動(dòng).市物價(jià)局派人對(duì)某商品同一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，得到該商品的售

價(jià)x（單位：元）和銷售量（單位：百件）之間的一組數(shù)據(jù)（如表所示），用最小二乘法求得V關(guān)于x

的線性回歸方程是?=0.25x+G,預(yù)測當(dāng)售價(jià)為45元時(shí)，銷售量件數(shù)大約為（）（單位：百件）

2025303540

y578911

A.12B.12.5C.13D.11.75

2.已知￡（-1,0）,名（1,0）是橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)入且垂直于X軸的直線交橢圓M于A8兩點(diǎn)，且

|人即=3,則橢圓M的離心率為（）

BC

',三-T-ID.與

3.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，q=l,且-4，的，4成等差數(shù)列，則S??！迸c陶儂的關(guān)系是（）

==—=

A--^20242。2024—1B.S2a=^2024+1C.52024^^21)24D.,^2024"見必+】

4.設(shè)〃、〃是兩條不同的直線，夕、A是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若a//〃，alia,則B.若：J_），?±cz?b上。，則

C.若。，尸，。工。，則D.若a上乃,alia.則

5.第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年7月28日至8月8日在中國四川省成都市舉行，是中國西部

第一次舉辦世界性綜合運(yùn)動(dòng)會(huì),該屆賽事共設(shè)籃球、排球、田徑、游泳等18個(gè)大項(xiàng)，269個(gè)小項(xiàng)，其中，

籃球項(xiàng)目比賽、熱身和訓(xùn)練在鳳凰山體育公園等8個(gè)體育場館舉行.將5名志愿者分配到3個(gè)場館，每個(gè)

場館至少有1名志愿者，且每名志愿者只去一-個(gè)場館，則志愿者甲、乙到同一場館的概率為（）

6.已知圓*2+）*=］,。為直線”+），-4=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作圓O的切線，切點(diǎn)分別為4,B,

若直線外、PB關(guān)于直線/對(duì)稱，則cosZAP8=（）

A.且B.aC.也D.也

7434

7.已知且cos（a-：）=VIcos2a,則sin（a+：）=（）

A.一巫B..也C.且D.巫

4444

8.已知雙曲線c￡-W=lS＞0.〃＞（））的右焦點(diǎn)為F，A是C的一條漸近線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，延長線

a2b-

段w與C的另一條漸近線交于點(diǎn)兒若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，|A網(wǎng)=2應(yīng)卻=3|。4|,則C的漸近線方程

為（）

A.y=±3°xB.,=±2&xC.y-±42xD.y=±^-x

?432

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)z為復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（）

A.若(l+i)z=-i,M|z|=l

B.對(duì)任意復(fù)數(shù)Z1,z2,有卜仔2|=團(tuán)憶］

C.對(duì)任意復(fù)數(shù)4，22,有正=,2

D.在復(fù)平面內(nèi)，若"={2|卜-2|工2},則集合M所構(gòu)成區(qū)域的面積為6兀

10.已知函數(shù)/0）=sinMr+*）（口＞（）,|0|〈兀）滿足一/（已）=/圖=/,且/（x）在值上單調(diào)

遞減，則（）

A.①/B./（X-自為奇函數(shù)

C.的對(duì)稱軸為+MZeZD.?。┰冢?,可上有3個(gè)零點(diǎn)

ii.已知定義在R上的奇函數(shù)“力連續(xù)，函數(shù)〃力的導(dǎo)函數(shù)為了'(”.當(dāng)1>()時(shí)，r(x)cosx>

/(x)sinx+e?/"(x),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則()

A./(x)在R上為減函數(shù)B.當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<0

D.f(x)在R上有且只有1個(gè)零點(diǎn)

C/部信)

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(--X2］的展開式中第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6,則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________.

1％J

13.在四棱錐P—A8CQ中，已知平面平面A8CDAB=5O=2JJ,AO=4,PA=P。，，BCD=—,

4

若二面角的正切值為亞，則四棱錐P-A8C。外接球的表面積為.

3

14.1643年法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出了一個(gè)著名的幾何問題：已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其到這個(gè)三角

形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120。時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的

正等角中心(即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線段兩兩成隹120°),該點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知A8C中，其

中NA=60。，BC=1,P為費(fèi)馬點(diǎn)，則依+PC-F4的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知函數(shù)/(x)="Tnx,a￡R.

⑴若函數(shù)〃(,。-/(⑼-/有兩個(gè)極值點(diǎn)，求”的取值范圍；

(2)若曲線產(chǎn)/(“在點(diǎn)口jf邛處的切線與)，軸垂直，求證：/(x)<er+-.

16.(15分)近年來，某大學(xué)為響應(yīng)國家號(hào)召，大力推行全民健身運(yùn)動(dòng)，向全校學(xué)生開放了兩個(gè)健身

中心，要求全校學(xué)生每周都必須利用課外時(shí)間去健身中心正行適當(dāng)?shù)捏w育鍛煉.

(1)該校學(xué)生甲、乙、丙三人某周均從A,4兩個(gè)健身中心中選擇其中一個(gè)進(jìn)行健身，若甲、乙、丙該周選擇

A健身中心健身的概率分別為求這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率；

(2)該校學(xué)生丁每周六、日均去健身中心進(jìn)行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個(gè)健身中心的其中一個(gè),

其中周六選擇A健身中心的概率為;.若「周六選擇A健身口心，則周口仍選擇A健身中心的概率為1；

24

若周六選擇4健身中心，則周日選擇A健身中心的概率為?.求丁周日選擇健身中心健身的概率；

(3)現(xiàn)用健身指數(shù)來衡量各學(xué)生在一個(gè)月的健身運(yùn)動(dòng)后的健身效果，并規(guī)定k值低于1分的

學(xué)生為健身效果不佳的學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取?人，其%值低于1分的概率為0.02.

現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，如果抽取到的學(xué)生不是健身效果不佳的學(xué)生，則繼續(xù)抽取下一個(gè)，直

至抽取到一位健身效果不佳的學(xué)生為止，但抽取的總次數(shù)不超過〃.若抽取次數(shù)的期望值不超過23,求〃

的最大值.

參考數(shù)據(jù)：0.9829a0.557,0.9s30?0.545,0.9831之0.535.

17.（15分）如圖所示，三棱柱A4G所有棱長都為2,N與8O60,。為8c中點(diǎn)，。為4（與

交點(diǎn).

（1）證明：CO〃平面八。4；

（2）證明：平面4coJ_平面八4G；

（3）若直線?！┡c平面人。與所成先的正弦值為名叵，求二面角A的平面角的余弦值.

13

18.（17分）已知橢圓E：*+5=1（。>2>0）的離心率為乎，A,8分別是E的左、右頂點(diǎn)，尸是E上

異于A,8的點(diǎn)，△4PB的面積的最大值為2VL

（1）求E的方程；

（2）設(shè)。為原點(diǎn)，點(diǎn)N在直線x=2上，N,P分別在x軸的兩側(cè)，且△AM與△N8P的面積相等.

（i）求證：直線ON與直線”的斜率之積為定值；

（ii）是否存在點(diǎn)尸使得烏△N8P,若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

19.（17分）定義兩個(gè)"維向量《=（/,土2,…，七.“），%=（如""，…，肛”）的數(shù)量積

-aj=x{Axji+xi2xj2+-??+xinxjn（z,；eN+）,記4★為《的第攵個(gè)分量（ZK八且keN.）.

如三維向量q=（2J5）,其中q的第2分量《2=1.若由〃維向量組成的集合A滿足以下三個(gè)條件：①

集合中含有〃個(gè)〃維向最作為元素;②集合中每個(gè)元素的所有分量取?；?;③集合中任意兩個(gè)元素q,

力，滿足（/為常數(shù)）且q.%=］則稱4為7的完美〃維向量集

（1）求2的完美3維向量集；

（2）判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；

⑶若存在A為7的完美〃維向量集，求證：A的所有元素的第2分量和y=7\

2024年高考考前押題密卷01【新高考九省專用】

數(shù)學(xué)?全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)

考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高考全部內(nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。

1.隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，西安某地對(duì)外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2023年6月18日，該地很多

商場都在搞“618”促銷活動(dòng).市物價(jià)局派人對(duì)某商品同一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，得到該商品的售價(jià)x

（單位：元）和俏售量）’（單位：百件）之間的一組數(shù)據(jù)（如表所示），用最小二乘法求得），關(guān)于x的線性

回歸方程是?=0.25x+4,預(yù)測當(dāng)售價(jià)為45元時(shí)，銷售量件數(shù)大約為（）（單位：百件）

X2025303540

y578911

A.12B.12.5C.13D.11.75

【答案】D

【分析】求出X，亍，根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點(diǎn)求出心從而得到回歸直線方程，再代入x=45計(jì)

算可得.

_1_1

【詳解】因?yàn)槿?一（z20+25+3。+35+40）=3（）,^=-（5+7+8+94-11）=8,

55

所以回歸直線過點(diǎn)（30,8）,故8=0.25x30+6,即3=0.5,所以亍=0.25.r+0.5.

將x=45代入？=0.25x+0.5中，得亍=0.25x45+0.5=11.75.

故選：D.

2.已知片（-1，。）,工（1,0）是橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)入且垂直于x軸的直線交橢圓M于A8兩點(diǎn)，且

|A卻=3,則橢圓M的離心率為（）

A.1B6

2U5

【答案】A

【分析】設(shè)出橢圓方程，根據(jù)給定條件,列出方程組求出橢圓長半軸長即可得解.

【詳解】依題意，設(shè)橢圓方程為￡+￡=1（〃＞力＞（））,貝|」/一加=1,

a~b~

x=\,

x2y2，，解得IW=Z，則更=3,于是。=2,

直線AB:x=l,由，

/+L?！?/p>

所以橢圓M的離心率為，

故選：A

3.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，q=l,且一%，%,2成等差數(shù)列，則%”與內(nèi)儂的關(guān)系是（）

=—

A.-^20242^2（124B.$2024=242024+1C.=442G”一3D.52024=4?2（）,4+1

【答案】A

【分析】先利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求公比，然后求出S2儂和物）24觀察它們之間的關(guān)系即可.

【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛《,｝的公比為4，q＞0

因?yàn)?%，%，%成等差數(shù)列，所以2%=-%+4，

所以為=—解得〃=2,

9（P4\

0±2=22°“-］，限/產(chǎn)=22叱

「q

則$2024=2a2024-1.

故選：A.

4.設(shè)。、b是兩條不同的直線，a、夕是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若a//〃，alia,則。//aB.若；J_），a±a,b上。,則a_L/?

C.若a工0,則a〃aD.若a，，，alia,則a，/

【答案】B

【分析】利用空間直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系判斷ACD,利用空間向量判斷線面位置關(guān)系，從而

判斷B,由此得解.

【詳解】對(duì)于A,若a//b,al/a,則有可能Z?u。，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若〃，a,bLpy則直線。，方的方向向量a力分別為平面a,夕法向量，

又；1%，即a_L〃，所以aJ?1，故B正確；

對(duì)于C,若。工0,則有可能aua,故C錯(cuò)誤；

對(duì)干D,若alia,則有可能〃u〃，故D錯(cuò)誤.

故選:B.

5.第31屈世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年7月28日至8月8日在中國四川省成都市舉行，是中國西部

第一次舉辦世界性綜合運(yùn)動(dòng)會(huì),該屆賽事共設(shè)籃球、排球、田徑、游泳等18個(gè)大項(xiàng)，269個(gè)小項(xiàng)，其中，籃

球項(xiàng)目比賽、熱身和訓(xùn)練在鳳凰山體育公園等8個(gè)體育場館舉行.將5名志愿者分配到3個(gè)場餌，每個(gè)場館

至少有1名志愿者，且每名志愿者只去一個(gè)場館，則志愿者甲、乙到同一場館的概率為（）

A.-B.—C.—D.—

5102525

【答案】D

【分析】按不同的分組情形分類討論，利用排列、組合數(shù)求出所有分配方法，再利用捆綁法求出甲、乙到

同一場館的情況，代入古典概型的概率公式計(jì)算即可.

【詳解】5名志愿者分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為3,1,1或2,2,1,

當(dāng)分為3,1,1時(shí)，有C；A；=60（種）分配方法，

當(dāng)分為2,2,1時(shí)，有箋?A；=90（種）分配方法，即共有60+90=150（種）分配方法，

其中志愿者甲、乙到同一場館，將甲、乙看作一-個(gè)整體，情況有C；A：+C；A；=36（種）分配方法，

故志愿者甲、乙到同一場館的概率為含=晟，

故選：D

6.已知圓O：A-2+/=l,P為直線/：x+y—4=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過尸作圓。的切線，切點(diǎn)分別為A、B,

若直線胡、關(guān)于直線/對(duì)稱，則cosNAPB=（）

A.且B.aC.也D.也

7434

【答案】B

【分析】由題意可得OQ_U,ZAPO=ABPO,求出|。修，再結(jié)合二倍角公式即可得解.

【詳解】由題知小、關(guān)于直線/：x+y-4=0對(duì)稱，知OP_L/,

則|。4==242,\OA\=1,

記乙4尸8=2a,則NA尸O=NBPO=a,

7.已知aw((后,且cos|a-不卜缶os2a,則sin(a+：J=(

)

D,巫

A.一叵B..且C,且

4444

【答案】D

【分析】利用兩角差的余弦公式和二倍角的余弦公式化簡求出cos[a+：J,然后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)

求解即可.

【詳解】因?yàn)閏os(a—：=&cos2a,所以cosacosw+sinasin[=&(cos?2-sin2a),

所以cosa+sina=2(cosa-sina)(8sa+sina),

又aw(0,],所以cosa+sina>0,所以cosa-sina=；,所以0cos(a+：)=g

故選：D

8.已知雙曲線。:鳥-1=1(">()力>())的右焦點(diǎn)為是C的一條漸近線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，延長線

ab~

段W與C的另一條漸近線交于點(diǎn)8.若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，|AW=2&|OA|,|O5|二3|ON，則C的漸近線方程為

()

A.y=±^^-xB.y-±^^xC.y=±y/2xD.y=±^-x

4-32

【答案】D

【分析】由題意，可求得O4_LA8,tanNAO8=20,進(jìn)而計(jì)算tan/AOr=變，即可求得結(jié)果.

2

【詳解】^\AB\=2y/2\O^\OB\=3\O^f得|。4『二|。四）

所以O(shè)A1AFiAixnZAOB=2&?

由ZAOB=2ZAOF,得=2&,解得tanZ.AOF=—或tanZAOF=-叵（舍去）,

l-tan2ZAOF2

所以2二正，從而。的漸近線方程為），=土變x.

a22

故迄D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.設(shè)z為復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，下列命題正確的有()

A.若(l+i)z=-i,則|z|=l

B.對(duì)任意復(fù)數(shù)Z],z2,有匕旬=|21HzJ

C.對(duì)任意復(fù)數(shù)4,z2,有H=

D.在復(fù)平面內(nèi)，若"={2|卜-2|《2},則集合M所構(gòu)成區(qū)域的面積為6兀

【答案】BC

【分析】借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共挽復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的幾何意義逐項(xiàng)判斷即可得.

-i-ix(l-i)-1-i

【詳解】對(duì)A：由(1+1)Z=T,故Z=「==2—,

1+1(1+1)(1-1)2

對(duì)B：設(shè)Z]=a+Ai卜/,。€R)、z2=c+di(c,^eR),

則匕zJ=|(a+Ai)(c+di)|=|ac—+(ad+)i|=J(ac-bd)~+(ad+bc)~

=\a2c2-labcd+b2d2+crd2+2abcd+b2c2=\la2c2+b2d2+a2d2+b2c2，

。?+//+*+",

|z,||z2|==Js+Bd+w=J/

故上闖=im，故B正確;

對(duì)C：設(shè)Z1=a+bi(a,Z?￡R)、z2=c+di(C^/GR),

有ij-z2=(6/+/?i)(c+)=ac-bd4-(ad+be)i,則z,芻=ac-bd-(ad+bc)i,

z(z2=(a-bi)(c-d\)=ac-bd-(ad+bc)i,故馬％=馬芻,故C正確;

對(duì)D：設(shè)z=x+yi(xywR),則有(％-2>+)?W4,

集合M所構(gòu)成區(qū)域?yàn)橐裕?,0）為圓心，半徑為2的圓,

故S=nr2=47r，故D錯(cuò)誤.

故選:BC.

10.已知函數(shù)f（x）=sin（3r+＞）（@＞（）,I夕K兀）滿足一/已=7］）=，與＞且/（“在值上單調(diào)

遞減，則（）

A.（P吟B./（工一雪）為奇函數(shù)

JI乙

C.?。┑膶?duì)稱軸為工=力程，ZeZD.在［0,可上有3個(gè)零點(diǎn)

【答案】AC

【分析】先通過條件推知是“X）的對(duì)稱中心，以及X=白是/（%）的的對(duì)稱軸，然后結(jié)合f（x）在

信方）上單調(diào)避減得出fm=1,“X）在（蕓）上單調(diào)狒減，再推知f3=sin（2x+：｝至此可直接

驗(yàn)證A正確，而驗(yàn)證/倨）是否為（）即可判斷B,分別解方程sin（2x+1）=l和疝（2%+舒=0即可判斷C

和D.

【詳解】由于?。┰谀阋陨蠁握{(diào)遞減，-尼卜/圖故照（4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)停。）是〃H的對(duì)

即佃”

稱中心,

同樣地由于在但，如上單調(diào)遞減，故最小正周期722佟

162J\2o73

同時(shí)，由于對(duì)任意的實(shí)數(shù)〃，方程/(力=。在一個(gè)形如+的區(qū)間上至多有兩個(gè)根，且在有兩個(gè)根的情

況下，這兩個(gè)根的平均值％對(duì)應(yīng)的直線x=%一定是/")的的對(duì)稱軸，而=等｝

2兀兀n712兀/兀_a7兀2兀「兀兀11fx2兀)In7.段田田3、7兀當(dāng)日"、

T=2+6<2+T-2+r,從而5'7噌子今故與=5匕+旬=蒞對(duì)應(yīng)的直線、=五一定是小)

的的對(duì)稱軸.

現(xiàn)在，由于傳，o］是/(X)的對(duì)稱中心，x=3是/(X)的的對(duì)稱軸，故工=合是/(工)的對(duì)稱軸.而/(工)在

信3上單調(diào)遞減,故/、1)=八/(X)在左,，)上單調(diào)遞減.

再由信。］是/(x)的對(duì)稱中心，就知道)=93所以T=人故"=字=2.

此時(shí)得到/(x)=sin(2x+0),代入/仔］=1得sin住+。］=1,即？+>=三+2反(&eZ).

\>^7)62

從而W=1+2反(&eZ),由|“兀知k=0,所以*=g,即/(x)=sin(2x+1).

經(jīng)驗(yàn)證，/(力=sin(2嗚)滿足條件.

然后逐一驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)：

我們已經(jīng)推出8=］，故A正確；

由“(*)=sin卜2+以=9。：知函數(shù)小-總在D處有定義但不過原點(diǎn)'從而不可能是奇函數(shù),

B錯(cuò)誤;

由于|/(刈=1當(dāng)且僅當(dāng)sin(2x+?：=1,即2x+方=］+E(左wZ),即x=R+與僅wZ),故的對(duì)稱軸

是力=^+4(AeZ),C正確；

由于/'(刈=0當(dāng)且僅當(dāng)sin(2x+1］=(),即"+三二而(丘Z),即工=—?+”(雇工)，故/(“在［0,句上的

I.)362

全部零點(diǎn)是:，稱，只有2個(gè)，D錯(cuò)誤.

36

故選：AC.

11.已知定義在R上的奇函數(shù)/(1)連續(xù)，函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x).當(dāng)x>0時(shí),

//(x)cosx>/(A：)siiw4-e/,(x),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則()

A./(X)在R上為減函數(shù)B.當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<0

C.佃>/用D.〃力在R上有且只有1個(gè)零點(diǎn)

【答案】BCD

【分析】根據(jù)題意，令g(x)=/(/cosAe),利用導(dǎo)數(shù)求得g(x)在(0,同上單調(diào)遞增，結(jié)合(屈，

得到/圖>/圖，可判定C正確；再由x>0時(shí)，g(力晨0),可判定B正確；根據(jù)/(可是定義在R上

的奇函數(shù),結(jié)合單調(diào)性和零點(diǎn)的定義.可判定D正確.根據(jù)/(x)的單調(diào)性無法判斷,可判定A錯(cuò)誤.

【詳解】由/'(x)cos^>/(x)shu+e-r(x),可得/'(x)(cosx-e)-/(x)sinr>0.

令g(x)=/(H(cosx-e),

則當(dāng)x>()時(shí)，gr(x)=/(x)(cosx-e)-/(x)siiu>0,所以g(x)在(0,田)上單調(diào)遞增，

所以g閆?丹即/挑哈力信m

可得同㈠〈稽)(Y),所以/(">/圖，所以C正確；

因?yàn)間(O)=f(O)(l-e)=。所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>g(O)=O,

又因?yàn)閏osx—evO,所以當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<0,所以B正確：

由F")是定義在R上的奇函數(shù)，故當(dāng)xvO時(shí)，/(x)=-/M>0,

又囚為了(0)=0,所以/(x)在RL有且只有1個(gè)零點(diǎn)，所以D正確.

因?yàn)榈膯握{(diào)性無法判斷，所以A錯(cuò)誤.

故選：BCD.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(1-/J的展開式中第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6,則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】15

【分析】由題意先求出〃=6,再求出(:--j的展開式的通項(xiàng)公式，令3--6=0代入即可得出答案.

【詳解】因?yàn)閒L-f丫的展開式中第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6,所以C：=6,〃=6,

的展開式的通項(xiàng)公式為&=c《￡|?(-1y=(T)W_6,

令"-6=0,得「=2,故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C?(-1)2=15.

故答案為：15.

3兀

13.在四棱錐P-ABCD中，已知平面P4O_L平面ABCD4B=87)=2&,AQ=4,P4=PD,Z?CD=—,

4

若二面角P-鉆-O的正切值為池，則四棱錐P-A8CQ外接球的表面積為.

3

■田064乃,64

【答案】—/—^

JJ

【分析】分別取A。、AB的中點(diǎn)。、R,連接PQ.PRQR,即可證明PQ工平面A8CO,從而得到PQ1A8,

再由A4_LQR,即可得到平面PQR,從而得到/心。為二面角尸-四一。的平面角，即可求出P。，

又三棱錐外接球的球心0在直線P0上，求出三棱錐尸-48。外接球的半徑，即可得到外接球的表

面積，再由A、B、C、。四點(diǎn)共圓，即可得到三棱錐〃-/W。的外接球即為四棱錐尸-A6s的外接球,

從而得解.

【詳解】分別取AD、A3的中點(diǎn)。、R,連接PQ/RQR.

因?yàn)?=。力，所以PQ_LA。，

因?yàn)槠矫嫔?。_1_平面ABC。，平面孔V)c平面A88=AO,PQu平面PAD,

所以PQ/平面A8CZ),RQu平面ABC。，ABu平面A8CO,所以PQ_LQ?,PQ上AB,

因?yàn)锳8=BO=2x/2,/\D=4,

所以4長+8。=4)2,所以A^JLB。，

因?yàn)镼，R分別為4)，A8的中點(diǎn)，所以QR//BD,所以

又PQQR=Q,PQ,QRu平面PQR,所以A8/平面PQR,

乂PRu平面尸QR,所以

所以/PRQ為二面角P-A3—。的平面角，所以tan/PRQ=^=—,

RQ3

因?yàn)镽Q=；BD=母,所以尸。二手，

所以三棱錐2-48力外接球的球心。在直線PQ上，由名叵＜2知。在線段尸。的延長線上.

3

設(shè)OQ=d,則PQ+d=J/+QD：,即苧+d=/7F,所以d二手，

所以三棱錐P-/WO外接球的半徑為PQ+d=竽，表面積為4、華)=y

因?yàn)?胡。二一，ZBCD=—f即NZMO+N4c。=兀，

44

所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓，

所以三棱錐尸-ABD的外接球即為四棱錐P-ABCD的外接球，

64

故四棱錐P-A5CO外接球的表面積為了兀.

64

故答案為：yn

14.1643年法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出了一個(gè)著名的幾何問題：已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其到這個(gè)三角

形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120。時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等

角中心(即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線段兩兩成角12()。)，該點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知.ABC中，其中乙4=60。,

BC=1，P為費(fèi)馬點(diǎn)，則P8+尸C-PA的取值范圍是.

【答案】知

./

【分析】設(shè)戶A=嘰PB=fJ,PC=t,ZPAC=a(0°<a<60°),進(jìn)而得到N/WA,NPAB/PCA,然后在二PBC

中通過余弦定理得到〃，1的關(guān)系式，在△PAC和一PAB中通過正弦定理得到人〃?的關(guān)系式和網(wǎng)〃的關(guān)系式，

然后借助三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)求得答案.

【詳解】如圖，根據(jù)題意，設(shè)QA=〃?,P3=〃,QC=/,ZE4C=a(0°<a<60°),則NP8A=a,

ZPAB=ZPCA=60°-a,在aPBC中，由余弦定理有cos120。=七匕1=-_!_=>〃+,="口…①

2nt2

tm

在△抬C中,由正弦定理有益=.(6。。_0'

mn

在中，由正弦定理有益二薪不，

/nsintt

sin（600-a）

故則川=〃/，由①，〃+/=J〉+1…②,

,7/sin（60°-or）

sina

〃?sin（60°-a）+〃?sina_J病+1=1〔]_sin（6（）o_a）|sina

sina.sin（60°-a）“.0N+m2sina+sin（600-a）

設(shè)*=sin（60。-a）,則一當(dāng)I.>/3,L\件W，所

cosa]sina],由題意，lanae（0,6）=>----G

sinax=---tana

sinatana2

以上?0,珂，而，|+，_=彳+1,由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知,Il+-^-e[2,+oo）=>0<m<—

Vm~Vtn~3

1在(。,當(dāng)上單調(diào)遞減’于是

由②，PB+PC-PA=y/m~+1-m=「——,易知函數(shù)）'=「——

m~+14-m^trr+1+tn

PB+PC-PAGI^-,\].

故答案為：

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知函數(shù)/（x）=arTnA；a￡R.

(1)若函數(shù)/(X)=/(力-/有兩個(gè)極值點(diǎn)，求。的取值范圍;

⑵若曲線y=/(x)在點(diǎn)gjg))處的切線與丁軸垂直，求證:1

/（x）ve*+

【答案】⑴(2?+句(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)條件知，/(工)有兩個(gè)正的變號(hào)零點(diǎn)，即方程-2/+研_1=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，有

△>0及韋達(dá)定理得到不等式，解出后驗(yàn)證即可：

(2)根據(jù)條件可求得〃=e,不等式轉(zhuǎn)化為ex-e'<hu+L,利用導(dǎo)數(shù)考察不等式左右兩邊函

IeJex

數(shù)的最值即可證明.

【詳解】(1)由題，F(xiàn)(A)=ar-liu-x2,

函數(shù)的定義域?yàn)?0,+/),

F'lx)=a---2x="2X+ay-1(x>0).......................................2分

XX

因?yàn)镕")有兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以方程-2/+,q_1=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，

設(shè)為看，*2，且王<工2，得芭+七=5>。，

且八=/-8>0，得〃>2/.................................................4分

當(dāng)()<x<%時(shí)，F(xiàn)(x)<0/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)石<工<天時(shí)，F(xiàn)(<)>0/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)1>七時(shí)，F(xiàn)'(x)<0,P(x)單調(diào)遞減.

所以/(x)在x=$處有極小值，在x=%?處有極大值，

因此。的取值范圍是(2&,+。)...............................................6分

(2)因?yàn)椤▁)=orTiu?，則/'("=竺」(x〉0),

X

由題意知/(￡]=。(2-1)=0,得〃=6,......................................7分

故f(x)=et-lnr,WfW/(-v)<er+^-,

即ex-IFLV<e'+—,

ex

BPe.r-e'<lav+—.........................................................8分

ex

令g(x)=ex_e'(x〉0),則g<x)=e-e”,

當(dāng)H>1時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)Ovxvl時(shí)，g'(">O,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(%)max=g(l)=e-e=O................................................1()分

令力(X)=bu+-!-,則"(x)=匚，

exex

當(dāng)力>■!■時(shí)，/?力>0,力(“單調(diào)遞增，

e

當(dāng)0cxV』時(shí)，"(x)<oj7(x)單調(diào)遞減，

C

所以"=m!+1=°..............................................12分

顯然g(x)與介(力不同時(shí)為0,

所以ex-e'<liivH---,故/(1)ve"■<.........................................13分

exex

16.(15分)近年來，某大學(xué)為響應(yīng)國家號(hào)召，大力推行全民健身運(yùn)動(dòng)，向全校學(xué)生開放了AB兩個(gè)健身

中心，要求全校學(xué)生每周都必須利用課外時(shí)間去健身中心進(jìn)行適當(dāng)?shù)捏w育鍛煉.

(1)該校學(xué)生甲、乙、丙三人某周均從A8兩個(gè)健身中心中選擇其中一個(gè)進(jìn)行健身，若甲、乙、丙該周選擇A健

II?

身中心健身的概率分別為:看,；，求這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率；

(2)該校學(xué)生丁每周六、日均去健身中心進(jìn)行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個(gè)健身中心的其中一個(gè)，其

中周六選擇A健身中心的概率為！.若丁周六選擇A健身中心，則周日仍選擇A健身中心的概率為!；若周

六選擇8健身中心，則周口選擇A健身中心的概率為|.求丁周口選擇8健身中心健身的概率；

(3)現(xiàn)用健身指數(shù)可攵?0,10])來衡量各學(xué)生在一個(gè)月的健身運(yùn)動(dòng)后的健身效果，并規(guī)定氏值低于1分的學(xué)生

為健身效果不佳的學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其k值低于1分的概率為0.02.現(xiàn)從全校

學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，如果抽取到的學(xué)生不是健身效果不佳的學(xué)生，則繼續(xù)抽取下一個(gè)，直至抽取到一位

健身效果不佳的學(xué)生為止，但抽取的總次數(shù)不超過〃.若抽取次數(shù)的期望值不超過23,求〃的最大值.

參考數(shù)據(jù)：0.9829憶0.557,0.983°B(1545,0.98“*0.535.

713

【答案】(1)京；(2)—；(3)30.

【分析】(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式進(jìn)行計(jì)算；

(2)設(shè)出事件，利用全概率公式進(jìn)行求解；

1-0.98"

(3)設(shè)抽取次數(shù)為X,求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望,利用錯(cuò)位相減法求出E(X)=,判斷其單調(diào)

0.02

性，結(jié)合特殊值，求出答案.

【詳解】(1)由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率

.............3分

(2)記事件C：丁周六選擇A健身中心，事件。：丁周日選擇9健身中心,

則p(c)=aC)=；,p(o|c)=i—(=(,p(oQ)=i—|=；.......................4分

由仝概率公式得尸(D)=P(C)P(*)+P?)尸(。0=9。聶：=3

13

故丁周日選擇8健身中心健身的概率為機(jī)....................................6分

（3）設(shè)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽取到的學(xué)生是健身效果不佳的學(xué)生的概率為〃，則

〃=0.12.........................................................................................................................7分

設(shè)抽取次數(shù)為X,則X的分布列為

X123Ln-1n

PP(1-P)P(i-p)2pL(I-P)2P(1-〃尸

故E(X)=p+(l-p)〃x2+(l-〃y〃x3++(1-P)n2/?X(//-1)+(]-p)"~}Xn,

.....................................................................................................