廣東省汕頭二中2012屆高三第五次階段考試試題（數(shù)學(xué)理）

廣東省汕頭二中2012屆高三第五次階段考試試題（數(shù)學(xué)理）一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，求f(x)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。（1）極值點(diǎn)：x1=（），x2=（）（2）拐點(diǎn)：x1=（），x2=（）2.設(shè)向量a=(1,2,3)，b=(3,4,5)，求向量a與向量b的夾角余弦值。（1）夾角余弦值：cosθ=（）3.已知等差數(shù)列{an}，首項(xiàng)a1=2，公差d=3，求第10項(xiàng)an的值。（1）第10項(xiàng)an的值：an=（）4.已知函數(shù)f(x)=2x^3-6x^2+2x，求f(x)的單調(diào)區(qū)間。（1）單調(diào)遞增區(qū)間：（）（2）單調(diào)遞減區(qū)間：（）5.已知數(shù)列{an}滿足an=3an-1+2，且a1=1，求第5項(xiàng)an的值。（1）第5項(xiàng)an的值：an=（）6.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的零點(diǎn)。（1）零點(diǎn)：x1=（），x2=（）二、填空題7.設(shè)等比數(shù)列{an}，首項(xiàng)a1=2，公比q=3，求第n項(xiàng)an的通項(xiàng)公式。（1）通項(xiàng)公式：an=（）8.已知函數(shù)f(x)=x^2+2x-3，求f(x)的對稱軸。（1）對稱軸：x=（）9.已知向量a=(2,3)，b=(-1,2)，求向量a與向量b的數(shù)量積。（1）數(shù)量積：a·b=（）10.已知數(shù)列{an}滿足an=4an-1-5，且a1=1，求第5項(xiàng)an的值。（1）第5項(xiàng)an的值：an=（）三、解答題11.（15分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)。12.（15分）已知等差數(shù)列{an}，首項(xiàng)a1=2，公差d=3，求第10項(xiàng)an的值。13.（15分）已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，求向量a與向量b的夾角余弦值。四、證明題要求：證明以下等式成立。已知：等差數(shù)列{an}，首項(xiàng)a1=1，公差d=2，求證：an=2n-1。五、應(yīng)用題要求：根據(jù)下列條件，求解相關(guān)參數(shù)。已知：一個(gè)長方體的長、寬、高分別為x、y、z，體積V=48cm^3，表面積S=60cm^2。求長方體的長、寬、高的具體數(shù)值。六、綜合題要求：結(jié)合所學(xué)知識，完成以下綜合題。已知：函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求以下問題：（1）求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；（2）求f(x)的極值點(diǎn)；（3）求f(x)的單調(diào)區(qū)間。本次試卷答案如下：一、選擇題1.（1）極值點(diǎn)：x1=0，x2=1（2）拐點(diǎn)：x1=0，x2=1解析：首先求導(dǎo)f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x1=0，x2=1。再求二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x，代入x1和x2，f''(0)=0，f''(1)=6，由于f''(0)=0，f''(1)>0，所以x1=0是拐點(diǎn)，x2=1是極值點(diǎn)。2.（1）夾角余弦值：cosθ=1/√10解析：利用向量點(diǎn)積公式a·b=|a||b|cosθ，其中|a|=√(1^2+2^2+3^2)=√14，|b|=√(3^2+4^2+5^2)=√50，a·b=2*3+3*4+3*5=36，代入公式計(jì)算得cosθ=36/(√14*√50)=1/√10。3.（1）第10項(xiàng)an的值：an=2+(10-1)*3=29解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，計(jì)算得an=29。4.（1）單調(diào)遞增區(qū)間：（-∞，1）和（3，+∞）（2）單調(diào)遞減區(qū)間：（1，3）解析：求導(dǎo)f'(x)=6x^2-12x+2，令f'(x)=0，解得x1=1，x2=3。由于f'(x)在x1和x2之間為負(fù)，所以單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3），在x1和x2之外為正，所以單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）和（3，+∞）。5.（1）第5項(xiàng)an的值：an=1+3*4+2*4+1*4=26解析：根據(jù)遞推公式an=3an-1+2，代入a1=1，計(jì)算得a2=5，a3=17，a4=53，a5=26。6.（1）零點(diǎn)：x1=1，x2=3解析：令f(x)=0，即x^2-4x+3=0，因式分解得(x-1)(x-3)=0，解得x1=1，x2=3。二、填空題7.（1）通項(xiàng)公式：an=2*3^(n-1)解析：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1*q^(n-1)，代入a1=2，q=3，得an=2*3^(n-1)。8.（1）對稱軸：x=-1解析：函數(shù)f(x)=x^2+2x-3可以寫成f(x)=(x+1)^2-4，所以對稱軸為x=-1。9.（1）數(shù)量積：a·b=-1解析：向量a與向量b的數(shù)量積a·b=2*(-1)+3*2=-2+6=4。10.（1）第5項(xiàng)an的值：an=1+4*4+3*4+2*4+1*4=52解析：根據(jù)遞推公式an=4an-1-5，代入a1=1，計(jì)算得a2=3，a3=11，a4=39，a5=52。三、解答題11.（15分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)。解析：求導(dǎo)f'(x)=3x^2-6x+4。12.（15分）已知等差數(shù)列{an}，首項(xiàng)a1=2，公差d=3，求第10項(xiàng)an的值。解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，計(jì)算得an=29。13.（15分）已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，求向量a與向量b的夾角余弦值。解析：利用向量點(diǎn)積公式a·b=|a||b|cosθ，其中|a|=√(1^2+2^2)=√5，|b|=√(2^2+(-1)^2)=√5，a·b=1*2+2*(-1)=0，代入公式計(jì)算得cosθ=0。四、證明題要求：證明以下等式成立。已知：等差數(shù)列{an}，首項(xiàng)a1=1，公差d=2，求證：an=2n-1。解析：首先，當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，等式成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即ak=2k-1。當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=ak+d=(2k-1)+2=2k+1=2(k+1)-1。由數(shù)學(xué)歸納法可知，對于任意正整數(shù)n，等式an=2n-1成立。五、應(yīng)用題要求：根據(jù)下列條件，求解相關(guān)參數(shù)。已知：一個(gè)長方體的長、寬、高分別為x、y、z，體積V=48cm^3，表面積S=60cm^2。求長方體的長、寬、高的具體數(shù)值。解析：由體積公式V=xyz，得z=48/(xy)。由表面積公式S=2(xy+xz+yz)，代入z=48/(xy)，得S=2(xy+48/x+48/y)=60。整理得2xy^2+96y+2x^2+96x=120。將x=48/y代入上式，得2(48/y)y^2+96y+2(48/y)^2+96(48/y)=120?；喌?y^3+96y^2+2(2304/y^2)+4608/y=120。將方程兩邊同時(shí)乘以y^2，得2y^5+96y^4+4608+4608y=120y^2。移項(xiàng)得2y^5+96y^4-120y^2+4608y+4608=0。將y=2代入x=48/y，得x=24。將x=24代入z=48/(xy)，得z=6。所以長方體的長、寬、高分別為x=24cm，y=2cm，z=6cm。六、綜合題要求：結(jié)合所學(xué)知識，完成以下綜合題。已知：函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求以下問題：（1）求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；（2）求f(x)的極值點(diǎn)；（3）求f(x)的單調(diào)區(qū)間。解析：（1）求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)：f'(x)=3x^2-12x+9。（2）求f(x)的極值點(diǎn)：令f'(x)=0，解得x1=1，x2=3。由于f'(x)在x1和x2之間為負(fù)，所以f(x)在x1和x2之間單調(diào)遞減，在x1