備戰(zhàn)2024高考一輪復習數(shù)學（理） 課時驗收評價（六十七） 二項式定理

備戰(zhàn)2024高考一輪復習數(shù)學（理）課時驗收評價（六十七）二項式定理一、選擇題要求：從每題的四個選項中，選擇一個正確的答案，并將答案填入答題卡相應的位置。1.下列關(guān)于二項式定理的說法中，正確的是（）A.二項式定理只適用于二項式B.二項式定理可以表示任何多項式的展開C.二項式定理中的系數(shù)只與指數(shù)有關(guān)D.二項式定理可以表示任意一個有理數(shù)的展開2.若二項式$(a+b)^n$的展開式中，$T_{r+1}$的系數(shù)為60，且$T_{r+1}$是$T_r$的3倍，則$n$和$r$的值分別是（）A.$n=5$，$r=2$B.$n=4$，$r=2$C.$n=5$，$r=3$D.$n=4$，$r=3$二、填空題要求：將答案填入答題卡相應的位置。3.在二項式$(a+b)^n$的展開式中，$T_{r+1}$的系數(shù)為252，且$T_{r+1}$是$T_r$的2倍，則$n$和$r$的值分別是________。4.在二項式$(x+y)^5$的展開式中，$x^2y^3$的系數(shù)是________。三、解答題要求：請將解答過程寫在答題卡相應的位置。5.（1）求$(2x-3y)^6$的展開式中$x^3y^3$的系數(shù)。（2）求$(x+y)^7$的展開式中$x^4y^3$的系數(shù)。6.若二項式$(a+b)^n$的展開式中，$T_{r+1}$的系數(shù)為35，且$T_{r+1}$是$T_r$的2倍，求$n$和$r$的值。四、證明題要求：證明下列等式。7.證明：$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\ldots+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^nb^n$。五、應用題要求：根據(jù)二項式定理解決實際問題。8.一項工程，甲單獨做需要10天完成，乙單獨做需要15天完成?，F(xiàn)在甲乙兩人合作，為了按期完成工程，他們需要每天完成這項工程的$\frac{1}{6}$。若甲乙兩人合作完成這項工程，需要多少天？六、綜合題要求：綜合運用二項式定理解決綜合問題。9.已知二項式$(2x-3y)^n$的展開式中，$x^3y^3$的系數(shù)與$x^2y^4$的系數(shù)之比為1:2，求$n$的值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D解析：二項式定理可以表示任意一個有理數(shù)的展開，故選D。2.A解析：由題意得$C_n^r\cdot2^r=3\cdotC_n^{r-1}\cdot2^{r-1}$，化簡得$n-r+1=3$，即$n=2r-2$。又因為$C_n^r\cdot2^r=60$，代入$n=2r-2$得$C_{2r-2}^r\cdot2^r=60$。當$r=2$時，$C_{2\cdot2-2}^2\cdot2^2=60$，即$C_2^2\cdot4=60$，滿足條件，故$n=5$，$r=2$。二、填空題3.$n=7$，$r=4$解析：由$C_n^r\cdot2^r=252$，且$T_{r+1}$是$T_r$的2倍，得$C_n^r\cdot2^r=2\cdotC_n^{r-1}\cdot2^{r-1}$?；喌?n-r+1=2$，即$n=2r-1$。又因為$C_n^r\cdot2^r=252$，代入$n=2r-1$得$C_{2r-1}^r\cdot2^r=252$。當$r=4$時，$C_{2\cdot4-1}^4\cdot2^4=252$，即$C_7^4\cdot16=252$，滿足條件，故$n=7$，$r=4$。4.10解析：由二項式定理知，$x^2y^3$的系數(shù)為$C_5^2\cdot1^2\cdot1^3=10$。三、解答題5.（1）$-540$解析：由二項式定理知，$x^3y^3$的系數(shù)為$C_6^3\cdot2^3\cdot(-3)^3=-540$。（2）$280$解析：由二項式定理知，$x^4y^3$的系數(shù)為$C_7^4\cdot1^4\cdot1^3=35$。6.$n=6$，$r=3$解析：由題意得$C_n^r\cdot2^r=35$，且$T_{r+1}$是$T_r$的2倍，得$C_n^r\cdot2^r=2\cdotC_n^{r-1}\cdot2^{r-1}$?；喌?n-r+1=2$，即$n=2r-1$。又因為$C_n^r\cdot2^r=35$，代入$n=2r-1$得$C_{2r-1}^r\cdot2^r=35$。當$r=3$時，$C_{2\cdot3-1}^3\cdot2^3=35$，即$C_5^3\cdot8=35$，滿足條件，故$n=6$，$r=3$。四、證明題7.證明：$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\ldots+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^nb^n$解析：證明如下：首先，當$n=1$時，左邊$(a+b)^1=a+b$，右邊$C_1^0a^1+C_1^1a^0b=a+b$，等式成立。假設(shè)當$n=k$時等式成立，即$(a+b)^k=C_k^0a^k+C_k^1a^{k-1}b+C_k^2a^{k-2}b^2+\ldots+C_k^{k-1}ab^{k-1}+C_k^kb^k$。那么當$n=k+1$時，有：$(a+b)^{k+1}=(a+b)^k\cdot(a+b)=(C_k^0a^k+C_k^1a^{k-1}b+C_k^2a^{k-2}b^2+\ldots+C_k^{k-1}ab^{k-1}+C_k^kb^k)\cdot(a+b)$$=C_k^0a^{k+1}+C_k^1a^kb+C_k^2a^{k-1}b^2+\ldots+C_k^{k-1}ab^k+C_k^ka^{k+1}+C_k^1a^kb^2+C_k^2a^{k-1}b^3+\ldots+C_k^kab^{k+1}$$=(C_k^0+C_k^k)a^{k+1}+(C_k^1+C_k^{k-1})a^kb+(C_k^2+C_k^{k-2})a^{k-1}b^2+\ldots+(C_k^1+C_k^0)ab^k+(C_k^0+C_k^1)b^{k+1}$$=C_{k+1}^0a^{k+1}+C_{k+1}^1a^kb+C_{k+1}^2a^{k-1}b^2+\ldots+C_{k+1}^{k}ab^k+C_{k+1}^{k+1}b^{k+1}$即等式在$n=k+1$時也成立。由數(shù)學歸納法，可知等式對于所有正整數(shù)$n$成立。五、應用題8.3解析：設(shè)甲乙合作完成工程需要$x$天，則甲每天完成工程的$\frac{1}{10}$，乙每天完成工程的$\frac{1}{15}$。根據(jù)題意得：$\frac{1}{10}x+\frac{1}{15}x=\frac{1}{6}x$解得$x=3$。六、綜合題9.$n=5$解析：由題意得，$C_n^3\cdot2^3\cdot(-3)^3=2\cdotC_n^4\cdot2^4\cdot(-3)^4$?；喌茫?-27C_n^3=2\cdot81C_n^4$$-3C_n^3=2C_n^4$$C_n^4=-\frac{3}{2}C_n^3$$C_n^4=-\frac{3}{2}\cdot\frac{n!}{3!(n-3)!}$$C_n^4=-\frac{1}{2}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$$C_n^4=-\frac{1}{2}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{48}$$C_n^4=