備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)7.5外接球(精講)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)7.5外接球(精講)(原卷版+解析)一、選擇題要求：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知三角形ABC的邊長(zhǎng)分別為a=3，b=4，c=5，則三角形ABC的外接圓半徑R為（）A.2B.3C.4D.52.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2，3），點(diǎn)Q（2，3，4），則點(diǎn)P關(guān)于平面x+y+z=1的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（）A.（-1，-2，-3）B.（-1，-2，3）C.（-1，2，-3）D.（-1，2，3）二、填空題要求：將正確答案填入空格中。3.已知三角形ABC的邊長(zhǎng)分別為a=6，b=8，c=10，則三角形ABC的外接圓半徑R等于______。4.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2，3），點(diǎn)Q（2，3，4），則點(diǎn)P到平面x+y+z=1的距離d等于______。三、解答題要求：寫出解答過(guò)程，并化簡(jiǎn)結(jié)果。5.（1）已知三角形ABC的邊長(zhǎng)分別為a=5，b=6，c=7，求三角形ABC的外接圓半徑R。（2）已知點(diǎn)P（1，2，3），點(diǎn)Q（2，3，4），求點(diǎn)P到平面x+y+z=1的距離d。四、證明題要求：證明以下命題。6.證明：若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=c^2，則該三角形的外接圓半徑R等于c/2√2。五、應(yīng)用題要求：解決以下實(shí)際問(wèn)題。7.一根長(zhǎng)為10cm的均勻直桿，兩端分別放置在平面xOy的兩個(gè)不同高度上，直桿的中點(diǎn)在平面z=3上。若直桿與平面xOy所成的角為60°，求直桿兩端在平面xOy上的高度差。六、綜合題要求：綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決以下問(wèn)題。8.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（4，5，6），點(diǎn)C（7，8，9）構(gòu)成一個(gè)三角形，求該三角形外接圓的圓心和半徑。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：根據(jù)勾股定理，三角形ABC是直角三角形，所以外接圓半徑R等于斜邊的一半，即R=c/2=5/2=2.5。2.A解析：點(diǎn)P關(guān)于平面x+y+z=1的對(duì)稱點(diǎn)P'可以通過(guò)將點(diǎn)P的坐標(biāo)分別取相反數(shù)得到，即P'（-1，-2，-3）。二、填空題3.4解析：根據(jù)海倫公式，三角形ABC的面積S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s是半周長(zhǎng)，s=(a+b+c)/2=(6+8+10)/2=12。代入公式計(jì)算得S=√[12(12-6)(12-8)(12-10)]=√[12*6*4*2]=√[576]=24。由于S=πR^2，所以R=√[S/π]=√[24/π]≈4。4.√[2]解析：點(diǎn)P到平面x+y+z=1的距離d可以通過(guò)點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算，即d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A^2+B^2+C^2)，其中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2，3），平面的方程為x+y+z=1，所以A=1，B=1，C=1，D=-1。代入公式計(jì)算得d=|1*1+1*2+1*3-1|/√(1^2+1^2+1^2)=|1+2+3-1|/√3=5/√3=√[5/3]≈√[2]。三、解答題5.（1）R=√[7/2]解析：根據(jù)海倫公式，三角形ABC的半周長(zhǎng)s=(5+6+7)/2=9。代入公式計(jì)算得S=√[9(9-5)(9-6)(9-7)]=√[9*4*3*2]=√[216]=6√6。由于S=πR^2，所以R=√[S/π]=√[(6√6)/π]≈√[7/2]。（2）d=√[5/3]解析：點(diǎn)P到平面x+y+z=1的距離d可以通過(guò)點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算，即d=|1*1+1*2+1*3-1|/√(1^2+1^2+1^2)=|1+2+3-1|/√3=5/√3=√[5/3]。四、證明題6.證明：若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=c^2，則該三角形的外接圓半徑R等于c/2√2。解析：由于a^2+b^2=c^2，根據(jù)勾股定理，三角形ABC是直角三角形，所以外接圓半徑R等于斜邊的一半，即R=c/2。又因?yàn)橹苯侨切蔚男边吺侵苯侨切瓮饨訄A的直徑，所以R=c/2√2。五、應(yīng)用題7.高度差=5√3cm解析：直桿與平面xOy所成的角為60°，所以直桿兩端在平面xOy上的高度差等于直桿長(zhǎng)度乘以sin60°，即高度差=10*√3/2=5√3cm。六、綜合題8.圓心O（3，3，3），半徑R=√[3]解析：三角形ABC的外接圓圓心O是三角形三邊的中垂線的交點(diǎn)。由于點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，2，3