2025年加拿大數(shù)學(xué)競賽（CMO）模擬試卷：組合數(shù)學(xué)與數(shù)論進(jìn)階競賽解題技巧精講

2025年加拿大數(shù)學(xué)競賽（CMO）模擬試卷：組合數(shù)學(xué)與數(shù)論進(jìn)階競賽解題技巧精講一、多項式與數(shù)論要求：掌握多項式的性質(zhì)，數(shù)論中的同余定理，以及多項式在數(shù)論中的應(yīng)用。1.設(shè)\(p\)是一個奇素數(shù)，證明：對于任意整數(shù)\(a\)，存在整數(shù)\(k\)，使得\(a^p\equiva^k\pmod{p^2}\)。2.設(shè)\(a\)和\(b\)是兩個互質(zhì)的整數(shù)，證明：存在整數(shù)\(x\)和\(y\)，使得\(ax+by=a^2+b^2\)。3.設(shè)\(p\)是一個素數(shù)，證明：對于任意整數(shù)\(n\)，\(n^p\equivn\pmod{p}\)。4.設(shè)\(p\)是一個素數(shù)，證明：對于任意整數(shù)\(a\)，若\(a\equivb\pmod{p}\)，則\(a^2\equivb^2\pmod{p}\)。5.設(shè)\(p\)是一個素數(shù)，證明：對于任意整數(shù)\(a\)，若\(a\equivb\pmod{p}\)，則\(a^3\equivb^3\pmod{p}\)。6.設(shè)\(p\)是一個素數(shù)，證明：對于任意整數(shù)\(a\)，若\(a\equivb\pmod{p}\)，則\(a^4\equivb^4\pmod{p}\)。二、組合數(shù)學(xué)要求：掌握組合數(shù)學(xué)的基本概念，如排列、組合、二項式定理等，并能靈活運(yùn)用。1.從5個不同的數(shù)字中取出3個數(shù)字，求不同排列的個數(shù)。2.從6個不同的字母中取出4個字母，組成一個沒有重復(fù)字母的4字母組合，求這種組合的個數(shù)。3.在一個4人的小組中，選出2個人作為隊長和副隊長，求不同的選法。4.在一個5人的小組中，選出3個人作為隊長、副隊長和裁判，求不同的選法。5.從7個不同的物品中取出4個物品，求不同的組合數(shù)。6.在一個6人的班級中，選出3個人組成一個小組，求不同的選法。三、數(shù)列與級數(shù)要求：掌握數(shù)列、級數(shù)的基本概念，并能運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)和級數(shù)的求和公式進(jìn)行計算。1.設(shè)\(a_n=3^n-2^n\)，求\(a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{10}\)。2.設(shè)\(a_n=2^n+3^n\)，求\(a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{10}\)。3.設(shè)\(a_n=\frac{n}{n+1}\)，求\(a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{10}\)。4.設(shè)\(a_n=\frac{1}{n^2}\)，求\(a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{10}\)。5.設(shè)\(a_n=\frac{1}{n(n+1)}\)，求\(a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{10}\)。6.設(shè)\(a_n=\frac{1}{n^3}\)，求\(a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{10}\)。四、圖論與網(wǎng)絡(luò)流要求：掌握圖的基本概念，圖的遍歷方法，以及網(wǎng)絡(luò)流的基本理論。1.設(shè)\(G\)是一個無向圖，其中\(zhòng)(V(G)=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\)，\(E(G)=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}\)，且\(e_1=(v_1,v_2)\)，\(e_2=(v_2,v_3)\)，\(e_3=(v_3,v_4)\)，\(e_4=(v_1,v_4)\)。求圖\(G\)的鄰接矩陣和度序列。2.設(shè)\(G\)是一個有向圖，其中\(zhòng)(V(G)=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\)，\(E(G)=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}\)，且\(e_1=(v_1,v_2)\)，\(e_2=(v_2,v_3)\)，\(e_3=(v_3,v_1)\)，\(e_4=(v_4,v_2)\)。求圖\(G\)的鄰接矩陣和入度序列、出度序列。3.設(shè)\(G\)是一個連通圖，其中\(zhòng)(V(G)=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\)，\(E(G)=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}\)，且\(e_1=(v_1,v_2)\)，\(e_2=(v_2,v_3)\)，\(e_3=(v_3,v_4)\)，\(e_4=(v_1,v_4)\)。求圖\(G\)的最小生成樹。4.設(shè)\(G\)是一個無向圖，其中\(zhòng)(V(G)=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\)，\(E(G)=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}\)，且\(e_1=(v_1,v_2)\)，\(e_2=(v_2,v_3)\)，\(e_3=(v_3,v_4)\)，\(e_4=(v_1,v_4)\)。求圖\(G\)的直徑。5.設(shè)\(G\)是一個有向圖，其中\(zhòng)(V(G)=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\)，\(E(G)=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}\)，且\(e_1=(v_1,v_2)\)，\(e_2=(v_2,v_3)\)，\(e_3=(v_3,v_1)\)，\(e_4=(v_4,v_2)\)。求圖\(G\)的拓?fù)渑判颉?.設(shè)\(G\)是一個連通圖，其中\(zhòng)(V(G)=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\)，\(E(G)=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}\)，且\(e_1=(v_1,v_2)\)，\(e_2=(v_2,v_3)\)，\(e_3=(v_3,v_4)\)，\(e_4=(v_1,v_4)\)。求圖\(G\)的歐拉回路。五、概率論與統(tǒng)計要求：掌握概率論的基本概念，隨機(jī)變量的分布，以及統(tǒng)計的基本方法。1.擲一枚公平的六面骰子3次，求至少出現(xiàn)一次6的概率。2.一個袋子里有5個紅球和7個藍(lán)球，從中隨機(jī)取出3個球，求取出的球中紅球和藍(lán)球個數(shù)之比為1:2的概率。3.設(shè)\(X\)是一個離散型隨機(jī)變量，其概率分布列為：\(P(X=1)=0.2\)，\(P(X=2)=0.3\)，\(P(X=3)=0.5\)。求\(X\)的期望和方差。4.設(shè)\(X\)是一個連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}&\text{if}0\leqx\leq2\\0&\text{otherwise}\end{cases}\)。求\(X\)的期望和方差。5.在一組數(shù)據(jù)\(1,2,3,4,5\)中，求中位數(shù)和眾數(shù)。6.從正態(tài)分布\(N(50,9)\)中隨機(jī)抽取一個樣本值，求其落在區(qū)間\((45,55)\)內(nèi)的概率。六、線性代數(shù)要求：掌握線性方程組、矩陣、行列式的基本概念，以及向量空間的基本理論。1.解線性方程組\(\begin{cases}x+2y+3z=6\\2x+y+4z=7\\3x+3y+2z=8\end{cases}\)。2.設(shè)\(A\)是一個\(3\times3\)的矩陣，\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)。求\(A\)的行列式。3.設(shè)\(\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\)，\(\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\)，\(\mathbf{v}_3=\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}\)。判斷\(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\)是否構(gòu)成一個向量空間的一個基。4.設(shè)\(A\)是一個\(3\times3\)的矩陣，\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)。求\(A\)的逆矩陣。5.設(shè)\(\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\)，\(\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\)，\(\mathbf{v}_3=\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}\)。求\(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\)的線性組合，使得\(2\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3=\mathbf{0}\)。6.設(shè)\(A\)是一個\(3\times3\)的矩陣，\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)。求\(A\)的特征值和特征向量。本次試卷答案如下：一、多項式與數(shù)論1.解：由費(fèi)馬小定理知，\(a^{p-1}\equiv1\pmod{p}\)對于任意整數(shù)\(a\)和素數(shù)\(p\)都成立。因此，\(a^p\equiva\cdota^{p-1}\equiva\cdot1\equiva\pmod{p}\)。又因為\(p\)是奇素數(shù)，所以\(p^2\)是偶數(shù)，所以\(a^p\equiva\pmod{p^2}\)。2.解：由于\(a\)和\(b\)互質(zhì)，根據(jù)貝祖定理，存在整數(shù)\(x\)和\(y\)，使得\(ax+by=1\)。兩邊同時乘以\(a\)得到\(ax^2+aby=a\)。再兩邊同時乘以\(b\)得到\(abx^2+aby^2=ab\)。將\(abx^2+aby^2\)替換為\(a^2+b^2\)得到\(ax^2+aby^2=a^2+b^2\)。3.解：由費(fèi)馬小定理知，\(n^p\equivn\pmod{p}\)對于任意整數(shù)\(n\)和素數(shù)\(p\)都成立。4.解：由費(fèi)馬小定理知，\(a^p\equiva\pmod{p}\)對于任意整數(shù)\(a\)和素數(shù)\(p\)都成立。因此，\(a^2\equiva\cdota\equiva^p\equiva\pmod{p}\)。5.解：由費(fèi)馬小定理知，\(a^p\equiva\pmod{p}\)對于任意整數(shù)\(a\)和素數(shù)\(p\)都成立。因此，\(a^3\equiva\cdota^2\equiva\cdota\equiva^p\equiva\pmod{p}\)。6.解：由費(fèi)馬小定理知，\(a^p\equiva\pmod{p}\)對于任意整數(shù)\(a\)和素數(shù)\(p\)都成立。因此，\(a^4\equiva\cdota^3\equiva\cdota\equiva^p\equiva\pmod{p}\)。二、組合數(shù)學(xué)1.解：這是一個排列問題，從5個數(shù)字中取出3個數(shù)字進(jìn)行排列，即\(P_5^3=5\times4\times3=60\)。2.解：這是一個組合問題，從6個字母中取出4個字母進(jìn)行組合，即\(C_6^4=\frac{6!}{4!(6-4)!}=15\)。3.解：這是一個排列問題，從4個人中選出2個人進(jìn)行排列，即\(P_4^2=4\times3=12\)。4.解：這是一個排列問題，從5個人中選出3個人進(jìn)行排列，即\(P_5^3=5\times4\times3=60\)。5.解：這是一個組合問題，從7個物品中取出4個物品進(jìn)行組合，即\(C_7^4=\frac{7!}{4!(7-4)!}=35\)。6.解：這是一個組合問題，從6個人中選出3個人進(jìn)行組合，即\(C_6^3=\frac{6!}{3!(6-3)!}=20\)。三、數(shù)列與級數(shù)1.解：這是一個等比數(shù)列求和問題，公比\(r=\frac{3}{2}\)，項數(shù)為10，首項\(a_1=1\)。使用等比數(shù)列求和公式\(S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}\)，得到\(S_{10}=1\frac{1-(\frac{3}{2})^{10}}{1-\frac{3}{2}}=\frac{1-59049}{-1}=59048\)。2.解：這是一個等比數(shù)列求和問題，公比\(r=\frac{3}{2}\)，項數(shù)為10，首項\(a_1=2\)。使用等比數(shù)列求和公式\(S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}\)，得到\(S_{10}=2\frac{1-(\frac{3}{2})^{10}}{1-\frac{3}{2}}=2\frac{1-59049}{-1}=118098\)。3.解：這是一個等差數(shù)列求和問題，公差\(d=1\)，項數(shù)為10，首項\(a_1=1\)。使用等差數(shù)列求和公式\(S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\)，得到\(S_{10}=\frac{10}{2}(1+10)=55\)。4.解：這是一個等比數(shù)列求和問題，公比\(r=\frac{1}{2}\)，項數(shù)為10，首項\(a_1=1\)。使用等比數(shù)列求和公式\(S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}\)，得到\(S_{10}=1\frac{1-(\frac{1}{2})^{10}}{1-\frac{1}{2}}=2\frac{1-\frac{1}{1024}}{1}=2047\)。5.解：這是一個等差數(shù)列求和問題，公差\(d=\frac{1}{2}\)，項數(shù)為10，首項\(a_1=1\)。使用等差數(shù)列求和公式\(S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\)，得到\(S_{10}=\frac{10}{2}(1+1+9\times\frac{1}{2})=55\)。6.解：這是一個等比數(shù)列求和問題，公比\(r=\frac{1}{2}\)，項數(shù)為10，首項\(a_1=1\)。使用等比數(shù)列求和公式\(S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}\)，得到\(S_{10}=1\frac{1-(\frac{1}{2})^{10}}{1-\frac{1}{2}}=2\frac{1-\frac{1}{1024}}{1}=2047\)。四、圖論與網(wǎng)絡(luò)流1.解：圖\(G\)的鄰接矩陣為\(\begin{pmatrix}0&1&0&1\\1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}\)，度序列為\(2,2,2,2\)。2.解：圖\(G\)的鄰接矩陣為\(\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&1&1\\1&0&0&0\\0&1&1&0\end{pmatrix}\)，入度序列為\(1,2,1,2\)，出度序列為\(1,1,1,1\)。3.解：圖\(G\)的最小生成樹為\(\{e_1,e_2,e_4\}\)。4.解：圖\(G\)的直徑為3。5.解：圖\(G\)的拓?fù)渑判驗閈(v_1,v_4,v_2,v_3\)。6.解：圖\(G\)的歐拉回路為\(v_1\rightarrowv_4\rightarrowv_2\rightarrowv_3\rightarrowv_1\rightarrowv_4\)。五、概率論與統(tǒng)計1.解：至少出現(xiàn)一次6的概率等于1減去一次都不出現(xiàn)的概率。一次都不出現(xiàn)的概率為\((\frac{5}{6})^3\)，所以至少出現(xiàn)一次6的概率為\(1-(\frac{5}{6})^3=\frac{91}{216}\)。2.解：取出的球中紅球和藍(lán)球個數(shù)之比為1:2的概率等于取出1個紅球和2個藍(lán)球的概率。從5個紅球中取出1個，從7個藍(lán)球中取出2個，總共有\(zhòng)(C_5^1\timesC_7^2\)種取法?？?cè)》閺?2個球中取出3個，共有\(zhòng)(C_{12}^3\)種取法。所以概率為\(\frac{C_5^1\timesC_7^2}{C_{12}^3}=\frac{7}{22}\)。3.解：期望\(E(X)=1\times0.2+2\times0.3+3\times0.5=2.2\)，方差\(D(X)=(1-2.2)^2\times0.2+(2-2.2)^2\times0.3+(3-2.2)^2\times0.5=0.38\)。4.解：期望\(E(X)=\int_{0}^{2}x\frac{1}{2}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}xdx=\frac{1}{2}\times\frac{x^2}{2}\bigg|_{0}^{2}=1\)，方差\(D(X)=\int_{0}^{2}(x-1)^2\frac{1}{2}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}(x^2-2x+1)dx=\frac{1}{2}\times(\frac{x^3}{3}-x^2+x)\bigg|_{0}^{2}=\frac{2}{3}\)。5.解：中位數(shù)為\(3\)，眾數(shù)為\(1,2,3,4,5\)。6.解：正態(tài)分布\(N(50,9)\)的標(biāo)準(zhǔn)差為\(3\)，將區(qū)間\((45,55)\)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)間，得到\((1,2)\)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得到概率為\(0.3413+0.1357=0.4770\)。六、線性代數(shù)1.解：將線性方程組轉(zhuǎn)換為增廣矩陣\(\begin{pmatrix}1&2&3&|&6\\2&1&4&|&7\\3&3&2&|&8\end{pmatrix}\)，通過初等行變換得到\(\begin{pmatrix}1&0&1&|&1\\0&1&2&|&1\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\)，因此\(x_1=1\)，\(x_2=1\)，\(x_3\)為自由變量。2.解：行列式\(\det(A)=1\cdot(5\cdot9-6\cdot8)-2\cdot(4\cdot9-6\cdot7)+3\cdot(4\cdot8-5