高中數(shù)學(xué)函數(shù)及其表示知識點

函數(shù)及其表示

(-)知識梳理

1.函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的定義：

設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則對于集合A中的尤，在集合8

中都有的數(shù)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從A到8的一個函數(shù)，通常記為

(2)函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)y=/(x),xeA中，x叫做自變量，xA叫做y=/(x)的定義域；與尤的值相

對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，{/(x)|xeA}稱為函數(shù)y=f(x)的值域。

(3)函數(shù)的三要素：、和

2.函數(shù)的三種表示法：圖象法、列表法、解析法

(1).圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系；

(2).列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系；

(3).解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用等式來表示。

3.分段函數(shù)

在自變量的不同變化范圍中，對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。

4.映射的概念

設(shè)A、3是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則對于集合是中的任意元素,在集合B中都

有唯一確定的元素與之對應(yīng),那么這樣的單值對應(yīng)叫做從A到B的映射，通常記為了:AfB,f

表示對應(yīng)法則

注意：(1)A中元素必須都有象且唯一；(2)B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

(二)考點分析

考點1：判斷兩函數(shù)是否為同一個函數(shù)

如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，稱這兩個函數(shù)相等。

例1.試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？

(1)/(x)=V?>g(x)=V?;

Ixlfl

⑵/⑴g⑴=3x>0,

x<0;

(3)f(x)=VxJx+1，g(x)=ylx2+x；

(4)f(x)=x2-2x-l,g(t)=t2-2t-\

(5)/(X)=2聞//I,g(x)=(2"祗)2"T"GN*)；

考點2:映射的概念

例1.下述兩個個對應(yīng)是A到B的映射嗎？

(1)A=R,B={_y|y>0},/:xfy=|x|；

(2)A={x|x>0},B={y\yeR},f:x^y-±\/x.

例2.若A={1,2,3,4}，B={a,b,c],a,b,c&R,則A到B的映射有一個，B到A的映射有一個

例3.設(shè)集合M={-1,0,1},TV={-2,-1,0,1,2},如果從M到N的映射/滿足條件：對M中的

每個元素x與它在N中的象/(x)的和都為奇數(shù)，則映射/的個數(shù)是()

(A)8個(3)12個(。)16個(018個

考點3：求函數(shù)的定義域

題型1：求有解析式的函數(shù)的定義域

(1)方法總結(jié)：如沒有標(biāo)明定義域，則認(rèn)為定義域為使得函數(shù)解析式有意義的x的取值范圍，實際

操作時要注意：①分母不能為0；②對數(shù)的真數(shù)必須為正；③偶次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)；④零

指數(shù)幕中，底數(shù)不等于0；⑤負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉中，底數(shù)應(yīng)大于0;⑥若解析式由幾個部分組成，則定

義域為各個部分相應(yīng)集合的交集；⑦如果涉及實際問題，還應(yīng)使得實際問題有意義，而且注意：研

究函數(shù)的有關(guān)問題一定要注意定義域優(yōu)先原則，實際問題的定義域不要漏寫。

例1.函數(shù)“力=/2一4+」一的定義域為()

x3

A.[2,+oo)U(-oo，-2]B.[2,3)U(3,+8)

C.(TO,-2]U[2,3)U(3,+8)D.(-oo,-2]

(+1)

例2、函數(shù)/(x)=f°的定義域是()

TkR

A.{xIx<O}B.{xIx>O}C.{X|%<0且工力一1}D.{%|彳70且1k一1}

題型2：求復(fù)合函數(shù)和抽象函數(shù)的定義域

例1.已知y=/(x+2)的定義域是[a,b],求函數(shù)y=/(x)的定義域

例2.已知y=/(2x—1)的定義域是(-2,0),求y=/(2x+l)的定義域

例3、已知函數(shù)y=/(x+l)的定義域為卜2,3],則y=—的定義域是一

考點4：求函數(shù)解析式

方法總結(jié)：(1)若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，則用待定系數(shù)法；

(2)若已知復(fù)合函數(shù)/Ig(x)]的解析式，則可用換元法或配湊法；

(3)若已知抽象函數(shù)的表達式，則常用解方程組消參的方法求出/(x)

題型1：用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式

例1.己知函數(shù)〃力是一次函數(shù)，且/"(x)]=9x+4,求“X)表達式.

例2.已知/(x)是一次函數(shù)且2/(2)—3〃l)=5,2/(O)—/(—1)=1,貝叭x)=()

A.3x+2B.3x—2C.2x+3D.2x—3

例3.二次函數(shù)f(x)滿足f(x+l)-f(x)=2x,且f(O)=l.

⑴求f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x)>2x+5.

例4.己知g(x)=-f—3,/U)是二次函數(shù)，當(dāng)xG[—1,2]時，/U)的最小值為1,且f(x)+g(x)為奇函

數(shù)，求函數(shù)的表達式.

題型2：由復(fù)合函數(shù)的解析式求原來函數(shù)的解析式

例1.已知二次函數(shù)/(x)滿足/(2》+1)=4/-6x+5,求/(*)

例2.己知/+1)=%一1,則/(x)=。

1Y1_y2

例3.已知/(一)=匕二，則/(x)的解析式可取為________

1-X1+X

題型3：求抽象函數(shù)解析式

例1.已知函數(shù)/(x)滿足f(x)+2/(3=3x,求f(x)

X

例2、己知：2/(x)+3/(-x)=x1,求表達式.

例3.設(shè)函數(shù)/(燈與g(x)的定義域是xeR且xw±l,/(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且

J(x)+g(x)1,求/(尤)和gQ)的解析式

1.2函數(shù)及其表示

一、選擇題

1、函數(shù)y=/(x)的圖象與直線x=〃z的交點個數(shù)為()

A.可能無數(shù)個B.只有一個C.至多一個D.至少一個

2、設(shè)乂=何與《》42},汽={)，0WyW2},函數(shù)/(x)的定義域為M,值域為N,則/(x)的圖

4、已知“X)是一次函數(shù)且2/(2)-3/⑴=5,2/(0)-/(-1)=1,貝獷(力=()

A.3x+2B.3x—2C.2x+3D.2x—3

1_Yx<]1

5、設(shè)函數(shù)"一，則/—7-r的值為()

x~+x—2,x>l/(2)

-58

-ca8

--27一-

A.16B.9

116

6、一個面積為100。/的等腰梯形，上底長為xcm,下底長為上底長的3倍，則把它的高y表示

成x的函數(shù)為()

A.y=50x(x>0)B.y=100x(x>0)

50/八、100z八、

C.y——(x>0)D.y-(x>0)

7、函數(shù)〃x)=Jf—4+上的定義域為()

A.[2,+oo)U(e-2]B.[2,3)U(3，+8)

C.[2,3)U(3，+8)US，-2]D.(-oo,-2]

x+l,(x>0)

8、設(shè)/(尤)=?肛(尤=0),則/{/[/(一1)]}的值是()

0,(x<0)

A.7T4~1B.0C.7tD.—1

二、填空題

9、已知函數(shù)/(X)、g(x)分別由下表給出：

X123X123

“X)211“X)321

則/[g。)]的值為___________，當(dāng)g[/(x)]=2時，x=

10^已知了(6+1)=》一1,貝爐(*)=

11、函數(shù)/(x)=20[3：二2的定義域為

三、解答題

12、若函數(shù)y=/(x)=f+(a+2)x+3,x€[a,。]的圖象關(guān)于直線x=l對稱，求b的值。

13、已知/(x)是一次函數(shù)，且/{/[./■(x)]}=8x+7,求/(x)的解析式。

考點5：求函數(shù)的值域

1.求值域的幾種常用方法

(1)配方法：對于(可化為)“二次函數(shù)型”的函數(shù)常用配方法,

例1、y=-x2-2x+3

2

例2、y=-2x+8x-5(1)xG[-1,1](2)xe[1,4J(3)xG[4,8J

(3)換元法：通過等價轉(zhuǎn)化換成常見函數(shù)模型，例如二次函數(shù)

例5、y=x-\-—2x例6、/(x)=2x-3+V4x-13

(4)分段函數(shù)分別求函數(shù)值域，

例7、y=+3|+—5]

[2x—x2(0<x<3)

例8、函數(shù)/(x)=<,的值域是()