高中數(shù)學(xué)第十一章 概率

第H--章概率

第三講離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差

練好題.考點(diǎn)自測(cè)

1.［2020全國(guó)卷HI,5分］在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p?p2,p3)p,,且2/=1p(=l,則下面四種情形

中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()

A.pi=p.i=0.1,p2=p3=0.4

B.pi=p.i=0.4,P2=P3=O.1

C.PFPFO.2,P2=P3=0.3

D.PFPFO.3,p2=P3=0.2

2.［2020蒲澤聯(lián)考］一盒中有12個(gè)乒乓球,其中9個(gè)新球、3個(gè)舊球,從盒中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后裝回(用過(guò)一次

的球就是舊球)，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X=4)的值為()

口

A?麗’1BR.西27Cp.—27D.2-1

3.［2019浙江,4分］設(shè)0<a〈l.隨機(jī)變量X的分布列是

X0a1

111

P

333

則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，()

A.D(X)增大B.D(X)減小

C.D(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大

4.［2021廣東模擬］設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率為失敗率的2倍,用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù),則P(X=O)的值

為)

A.1B.iC.iD.i

5.［2020浙江重點(diǎn)高中聯(lián)考］已知0<a<l,隨機(jī)變量X的分布列如下：

X-101

P(l-a)22a(1-a)a2

若E(X)=D(X),則實(shí)數(shù)a的值為()

AB.iCiD.當(dāng)

3422

6.［多選題］下列結(jié)論正確的選項(xiàng)是()

A.離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的

B.隨機(jī)變量的均值是常數(shù),樣本的均值是隨機(jī)變量

C.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量偏離于

均值的平均程度越小

D.均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況,因此它們是一回事

7.［遞進(jìn)型］已知離散型隨機(jī)變量廣B(5,p),且E(g)=2,則D(g)=;若n+1,則D(n)=.

8.［2020浙江,6分］盒中有4個(gè)球,其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球,2個(gè)黃球.從盒中隨機(jī)取球,每次取1個(gè),不放回，直到取

出紅球?yàn)橹?設(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為&,則P(g=0)=,E(g)=.

拓展變式

1.［2021河南省名校第一次聯(lián)考］某公司年會(huì)有幸運(yùn)抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，一個(gè)箱子里有相同的十個(gè)乒乓球,球上分別標(biāo)

0,1,2,…,9這十個(gè)自然數(shù),每位員工有放回依次取出三個(gè)球.規(guī)定:每次取出的球所標(biāo)數(shù)字不小于后面取出的球所標(biāo)

數(shù)字即中獎(jiǎng).中獎(jiǎng)項(xiàng):三個(gè)數(shù)字全部相同中一等獎(jiǎng),獎(jiǎng)勵(lì)10000元現(xiàn)金;三個(gè)數(shù)字中有兩個(gè)數(shù)字相同中二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)5

000元現(xiàn)金;三個(gè)數(shù)字各不相同中三等獎(jiǎng),獎(jiǎng)勵(lì)2000元現(xiàn)金.其他不中獎(jiǎng),沒(méi)有獎(jiǎng)金.

(1)求員工A中二等獎(jiǎng)的概率；

(2)設(shè)員工A中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為X,求X的分布列；

(3)員工B是優(yōu)秀員工,有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),求員工B中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的期望.

2.［2020天津新華中學(xué)模擬］某中學(xué)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取了100名同學(xué),對(duì)其社會(huì)實(shí)踐次數(shù)進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果如

社會(huì)實(shí)踐次數(shù)[0,3)[3,6)[6,9)[9,12)[12,15)[15,18]

男同學(xué)人數(shù)715111221

女同學(xué)人數(shù)51320932

將社會(huì)實(shí)踐次數(shù)不低于12次的學(xué)生稱為“社會(huì)實(shí)踐標(biāo)兵”.

(D將頻率視為概率，估計(jì)該校1600名學(xué)生中“社會(huì)實(shí)踐標(biāo)兵”有多少人.

(2)從已抽取的“社會(huì)實(shí)踐標(biāo)兵”中隨機(jī)抽取4名同學(xué)參加社會(huì)實(shí)踐表彰活動(dòng).

⑴設(shè)事件A為“抽取的4名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)”，求事件A發(fā)生的概率；

(ii)用X表示抽取的“社會(huì)實(shí)踐標(biāo)兵”中男同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

3.[2021福建省五校第二次聯(lián)考]某蔬菜種植基地有一批蔬菜需要兩天內(nèi)采摘完畢，這兩天是否有雨相互獨(dú)立，無(wú)雨

的概率都為0.8.現(xiàn)有兩種方案可以選擇，

方案一:基地人員自己采摘,不額外聘請(qǐng)工人,需要兩天完成，兩天都無(wú)雨收益為2萬(wàn)元,只有一天有雨收益為1萬(wàn)

元,兩天都有雨收益為0.75萬(wàn)元.

方案二:基地額外聘請(qǐng)工人,只要一天就可以完成采摘，當(dāng)天無(wú)雨收益為2萬(wàn)元,有雨收益為1萬(wàn)元,額外聘請(qǐng)工人的

成本為a萬(wàn)元.

(1)若不額外聘請(qǐng)工人,寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益.

(2)該基地是否應(yīng)該外聘工人?請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案

第三講離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差

目I練好題?考點(diǎn)自測(cè)

1.B對(duì)于A,當(dāng)p,=p.=0.1,p2=p3=0.4時(shí)，隨機(jī)變量X.的分布列為

222

E(XA)=1X0,1+2X0.4+3X0.4+4X0.1=2.5,D(XA)=(1-2.5)X0.1+(2-2.5)X0.4+(3-2.5)X0.4+(4-

2.5)2X0.1=1.52X0.1+0.52X0.4+0.52X0.4+1.52X0.1=0.65,所以師焉齊近百.對(duì)于B,C,D,同理可得

7D(XB)=VL85,VD(XC)=VT05,7D(X0)=A/L45,所以B中的標(biāo)準(zhǔn)差最大.

2.C當(dāng)X=4時(shí),表示從盒中取出的3個(gè)球中有2個(gè)舊球,1個(gè)新球,故P(x=4)=$墾照.故選C.

Ci2NNU

3.D由分布列得E(X)=1器.

解法一D(X)=(殍-0)2X1+(空-a)2X1+(1±2-1)2X1=?(a-1)好

所以當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí),D(X)先減小后增大.故選D.

解法二D(X)=E(X2)-[E(X)]2=0+碧-(。；)2=2。彳。+2=；[(a-1)2+1],

所以當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí),D(X)先減小后增大.故選D.

4.C設(shè)該項(xiàng)試驗(yàn)失敗的概率為p,則成功的概率為2p,所以X的分布列為

PP2p

由p+2p=l,得p=1,即P(X=0)=|.故選C.

5.D解法一由隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算公式知,E(X)-(1-a)2+a2=2a-l,D(X)=(-l-2a+l)2(1-

a)2+(-2a+1)2X2a(1-a)+(1-2a+1)a2=2a(『a).因?yàn)镋(X)=D(X),所以2aT=2a(-a),得a卷,故選D.

解法二令Y=X+1,則X=Y-1,隨機(jī)變量丫的分布列為

Y012

P(1-a)22a(l-a)2

由二項(xiàng)分布的有關(guān)知識(shí)知，丫?B(2,a),所以E(Y)=2a,D(Y)=2a(l-a),所以E(X)=E(Y-1)=E(Y)-l=2a-1,D(X)=D(Y-

l)=D(Y)=2a(l-a).又E(X)=D(X),所以2aT=2a(『a),得a*,故選D.

6.ABC由離散型隨機(jī)變量的分布列的特點(diǎn)可知A正確；由均值和方差的含義可知BC正確;均值反映的是一組數(shù)據(jù)

的整體水平,而方差反映的是一組數(shù)據(jù)的離散程度,故D錯(cuò)誤.故選ABC.

7.1因?yàn)椤窧(5,p),E(&)=2,所以5P=2,解得p=1,所以D(&)=5p(l-p)=5X/(展)嚏又所以

D(n)=D(1€+l)=lD(4)=^.

8.11g=0表示停止取球時(shí)沒(méi)有取到黃球,所以P(&=0)三隨機(jī)變量g的所有可能取值為0,1,2,則

PG=1片義找X衿碧X第笄

P(g=2)=2X1X1+1X|X1+|X1X1+1X1X1=1,所以E(g)=0X1+1X1+2X1=1.

國(guó):拓展變式

1.(1)記事件“員工A中二等獎(jiǎng)”為此有放回，依次取三個(gè)球的取法有10：'種.中二等獎(jiǎng)取法有兩類:一類是前兩次

取到同一數(shù)字,從10個(gè)數(shù)字中取出2個(gè),較大的數(shù)是前兩次取出的數(shù),較小的數(shù)是第3次取出的數(shù),取法數(shù)為

喙=45;另一類是后兩次取到同一數(shù)字,取法數(shù)同樣是%=45.共90種取法,則P(M)=^=0.09.

(2)X的可能取值為0,2000,5000,10000.

P(X=2000)第=0.12;P(X=5000)希0.09;

P(X=10000)=^=0.01;P(X=0)=1-P(X=2000)-P(X=5000)-P(X=10000)=0.78.

則X的分布列為

X10000500020000

p0.010.090.120.78

(3)由(2)可知A中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的期望E(X)=10000X0.01+5000X0.09+2000X0.12+0X0.78=790(元)(先求抽一次獎(jiǎng)

的獎(jiǎng)金期望,再乘以2即為抽二次獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金期望).

員工B每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的期望和A一樣，由題意可知員工B中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的期望是1580元.

2.(1)樣本中社會(huì)實(shí)踐次數(shù)不低于12次的學(xué)生有2+1+3+2=8(人)，

所以該校1600名學(xué)生中“社會(huì)實(shí)踐標(biāo)兵”約有1600義亮=128(人).

(2)由(1)知樣本中有8名“社會(huì)實(shí)踐標(biāo)兵”，其中男同學(xué)3人,女同學(xué)5人.

(i)記彳為“抽取的4名同學(xué)全是女同學(xué)”，則P(7)=1=^

所以P(A)=1-P(N)=1W.

1414

(ii)由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3.

P(X=。)專W，P(X=DP(X=2)=等號(hào),P(X=3)=^=看

則X的分布列為

X0123

P