2025年三維空間解析與立體幾何核心要點(diǎn)深度梳理

一對(duì)一講課教案

學(xué)員姓名：年級(jí)：所授科目：

上課時(shí)間：年月日時(shí)分至?xí)r分共小時(shí)

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教學(xué)主題空間向量與立體幾何

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本次作業(yè)

知識(shí)要點(diǎn)。

1.空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向線段表達(dá),同向等長(zhǎng)的有向線段表達(dá)同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不變性

2.空間向量的運(yùn)算。

定義：與平面向晨運(yùn)算同樣，空間向最的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）。

OB=OA-^-AB=a+b,BA=dA-dB=d-h\OP=^a（A^R）

運(yùn)算律：⑴加法互換律：a+b=b+a

⑵加法結(jié)合律：=a

⑶數(shù)乘分派律：4（日+方）=而+之方

運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則

3.共線向曷。

（D假如表達(dá)空間向量的有向線段所在的直線平行或重疊，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，2平行于

b,記作d〃bO

（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量”B（Bw。），3〃月存在實(shí)數(shù)九使之=i5。

（3）三點(diǎn)共線：A、B、C三點(diǎn)共線＜=＞而=義/

＜=＞OC=xOA+）而（其祗+尸1）

（4）與。共線的單位向量為￡

士同

4.共面向量

（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。

闡明：空間任意的兩向量都是共面的。

（2】共面向量定理：假如兩個(gè)向量吊5不共線，力與向量值）共面的條件是存在實(shí)數(shù)使力=xM+y5。

（3）四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四點(diǎn)共面V=＞而=.t而+y而'

＜=＞而=工礪+），0后+2比（其中X+y+Z=l）

5.空間向量基本定理：假如三個(gè)向量2,反？不共面，那么對(duì)空間任歷來(lái)量P,存在一種唯一的有序?qū)崝?shù)組X,y,z,

—?

使p=ya+yb+zcu

若三向量不共面，我們把伍.瓦為叫做空間的一種基底，7瓦？叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量

都可以構(gòu)成空間的一種基底。

推論：設(shè)。A8,c是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)X,y,Z,使

OP=xOA+yOB+zOC。

6.空間向量的直角坐標(biāo)系：

(I)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：

在空間直角坐標(biāo)系O-A>'Z中，對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,.y,z),使OA=xi+yi+zk,有序?qū)?/p>

數(shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系。一冷2中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z),x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐

標(biāo)。

注：①點(diǎn)A(x,y,z)有關(guān)x軸的的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x「y,-z),有關(guān)xoy平面為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x,y,-z).即點(diǎn)有關(guān)什么軸/平面對(duì)?稱(chēng)，什

么坐標(biāo)不變，其他的分坐標(biāo)均相反。②在y軸上的點(diǎn)設(shè)為(0,y,0),在平面yOz中的點(diǎn)設(shè)為(0,y,z)

⑵若空間的一種基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為1,這個(gè)基底叫單位正交基底，用｛if｝表達(dá)。空間中任歷

來(lái)量a=xi-\-yj-\-zk=(x,y,z)

(3)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：

①走\(yùn)a—(4、ci?,ciy),b—(b]，仿,")，則a+Z?=(q+b],出+瓦+么),

a-b={a}-b],a2-h2,a3-b3)tAa=,Aa2,Aa3)(2GR),

―?—?

a-b=a]bx+a2b2+貼3，

..

al/b=a、=獨(dú)嗎=勿(幾￡R),

a±b<^>+02b2+a3h=0o

②若A(X，X，Z|),B(x2,y2,z2),則A月=(W一為，%-凹4-zj。

一種向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表達(dá)這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐蹩去虺的坐標(biāo)。

③定比分點(diǎn)公式：若A(x，y,Z1),B(x29y2,z2),~AP=XPB,則點(diǎn)P坐標(biāo)為

%]+AX2必+Ay2Z]+AZ2

)。推導(dǎo)：設(shè)P(x,y,z)則(不一元］)一)1,2-4)=4％一兒力一)'，22—2),顯然,

1+2'l+X'1+4

當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，夕(干工中，手)

222

④A(x]9yl,zl),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),三角形重心P坐標(biāo)為

P產(chǎn)+&+&?+4+34+Z2+Z*

3'2'2

⑤4ABC的五心：

內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。一通正(單位向量)

A”俞卡前

外心P:外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)。|西卜|麗卜］正］

垂心P：高的交點(diǎn)：PA~P13=PAPC=7BPC(移項(xiàng)，內(nèi)積為0,則垂直)

重心P:中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)(中位線比)(麗+而

中心：正三角形的所有心的合一。

(4)模長(zhǎng)公式:若。=(4生,%)，萬(wàn)=(〃［也也)，

則Ia|=\/a-a=4a；+"，仍h^/^=Jb：+蠟+么?

（5J夾角公式：?os（ab\-"I_4“+a也+。也°

-I司?仍「、一+aJ+a；揚(yáng)、b；+b；

AABC中①麗?AC>0<=>A為銳角②Q?AC<0<=>A為鈍角，鈍角A

（6）兩點(diǎn)間的距離公式:若4%,y,zJ,B（x2,y2,z2）,

則|AB|=4AB=J（%2—X1）2+（了2—）））2+（Z?-Z］）2'

或d,\B=,（弓一%）2+（%一乂）2+（22—4）2

7.空間向量的數(shù)量積。__

（1）空間向量的夾角及其表達(dá)：已知兩非零向量乙4,在空間任取一點(diǎn)O,作厲礪=5,則NAO3叫

做向量2與日的夾角，記作<，/>；且規(guī)定04</花><〃，顯然有<五石>=<5,萬(wàn)>：若<G.B>=巴,則稱(chēng)日

2

與5互相垂直，記作：alb.

（2〕向量的模：設(shè)方=5,則有向線段次的長(zhǎng)度叫做向量M的長(zhǎng)度或模，記作：|力|。

（3）向量的數(shù)量積：已知向量則151?出叫做方的數(shù)量積，記作小6,即

a-b=\a\-\h\'cos<a,h>0

（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：

—?—?

①=|M|cosv萬(wàn),0>。②M_L〃0M?0=（）。③111'1?萬(wàn)。

（5）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：

①（義㈤B=4（⑦5）=萬(wàn)?（25）°②a?BB?d（互換律）。

@a-（b^c）=a-b-^d-c（分派律）。

—?—?——?—

④不滿(mǎn)足乘法結(jié)合率：（a?，）cw〃（/??（?）

二.空間向量與立體幾何

1.線線平行o兩線的方向向量平行

|-|線面平行=線的方向向量與面的法向量垂直

1-2面面平行。兩面的法向量平行

2線線垂直（共面與異面）O兩線的方向向量垂直

2-1線面垂直O(jiān)線與面的法向量平行

2-2面面垂直。兩面的法向量垂直

——?—*—*

3線線夾角。（共面與異面）［0",90"］<=>兩線的方向向量〃|,4的夾角或夾角的補(bǔ)角，cos6=cos<m,〃2〉

3-1線面夾角〃［00,90°］：求線面夾角的環(huán)節(jié)：先求線的方向向量4P與面的法向量〃的夾角，若為銳角角即可,

若為盹角，則取其補(bǔ)角；再求其他用，即是線面的夾角.sin6=cos<AP,〃>

3-2面面夾角（二面角），［0。,180°］：若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量〃I，2的夾角；法向

量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.cos0=±cos<7?1,n2>

4.點(diǎn)面距離/2：求點(diǎn)尸（七,%）到平面。的距離：在平面。上去一點(diǎn)Q（x,y），得向量Pd；；計(jì)算平面。的法

向量〃;?〃PQ?7z|

TT

4；線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離

4-2面面距離(面面平行)：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離

【經(jīng)典例題】

1.基本運(yùn)算與基本知識(shí)()

例1.已知平行六面體ABCD—ATTCD，，化簡(jiǎn)下列向量體現(xiàn)式，標(biāo)出化簡(jiǎn)成果的向量。

(DAB+BC；(2)AB+AD^AA

⑶AB^AD+^CC；(4)1(AB+AD+A4;)。

例2.對(duì)空間任一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)AB,C,問(wèn)滿(mǎn)足向量式：

OP=xOA+yOBzOC(其中x+y+z=l)的四點(diǎn)P,ARC與否共面?

例3已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,I,6),C(1,一1,5)。

⑴求以向量而，恁為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

⑵若向量不分別與向量而，而1垂直，且|團(tuán)=有，求向量2的坐標(biāo)。

2.基底法(怎樣找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算)

3.坐標(biāo)法(怎樣建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo))

4.幾何法

例4.如圖，在空間四邊形O4BC中，04=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC=45,ZOAB=60,求

Q4與8c的夾角的余弦值。

闡明：由圖形知向量的夾角易出錯(cuò)，如<O4,A(?>=135易錯(cuò)寫(xiě)成<OAAC>=45。，牢記！

例5.長(zhǎng)方體AB?！狝MGR中，AB=BC=4,E為A?與BR的交點(diǎn),F為BC1與的交點(diǎn),又

AFA.BE,求長(zhǎng)方體的高

【模擬試題】

I.已知空間四邊形4BCD,連結(jié)AC,40,設(shè)M,G分別是5C,CO的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)卜列各體現(xiàn)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)成果

向量：（1）AB+BC+CD；

⑵而+g（而+麗；（3）而一而+宿。

2.已知平行四邊形A8CD,從平面AC外一點(diǎn)O引向吊:。

0E=k0A,0F=k0B,0G=k0C,0H=k0D.

（1）求證：四點(diǎn)E,F,G,”共面；

（2）平面AC〃平面EG。

3.如田正方體八8845C4中，用片=；44，求8月與。再所成角的余弦。

5.已知平行六面體ABCO—ABT'Q'中，

AB=4,A。=3,AAf=5,NBAD=90,

NA44=ADAA:=60,求AC的長(zhǎng)。

［參照答案］

I.解:如圖,A

(I)AS+BC+CS=XC+CD=AD；

(2)AB+-(BD+BC)=AB+-BC+-BD

222O

=AB+~BM+MG=AG；

⑶AG-^(AB-i-AC)=AG-AM=MG.

2.解：(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，：,AC=AB+AD,

-EG=OG-OE,

=k-OC-kWi=k(OC-OA)=kAC=k(AB+AD)

=k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE

=EF+EH

???ERG,“共面；

(2)解：t：EF=OF-OE=k(OB-OA)=kAB,又?:百=k?衣,

???EF//AB,EG//AC.

因此，平面AC〃平面EG。

3.解：不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,建立空間直角坐標(biāo)系。-冷z,

則B(1,1,O),耳(11,1),D(0,0,0),『0,；』),