2024年小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理

小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理

序言

小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理，對(duì)于小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要，不過(guò)，對(duì)于知識(shí)點(diǎn)

的概括很也許出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬(wàn)的現(xiàn)象，為此，本人參照了單尊主編的《小學(xué)數(shù)學(xué)

奧林匹克》、中國(guó)少年報(bào)社主編的《華杯賽教材》、《華杯賽集訓(xùn)指南》以及《寒假班

系列教材》和華羅庚學(xué)校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構(gòu)建十

七塊體系(其第十七為解題措施匯集，可補(bǔ)充對(duì)應(yīng)雜題)，原則上簡(jiǎn)要扼要，努力刻畫小

學(xué)奧數(shù)知識(shí)的主樹(shù)干。

概述

一、計(jì)算

1.四則混合運(yùn)算繁分?jǐn)?shù)

(1)運(yùn)算次序

⑵分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運(yùn)算技巧

一般而言：

①加減運(yùn)算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式；

②乘除運(yùn)算中，統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式。

⑶帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化

⑷繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)

2.簡(jiǎn)便計(jì)算

⑴湊整思想

⑵基準(zhǔn)數(shù)思想

⑶裂項(xiàng)與拆分

⑷提取公因數(shù)

⑸商不變性質(zhì)

⑹變化運(yùn)算次序

①運(yùn)算定律的綜合運(yùn)用

②連減的性質(zhì)

③連除的性質(zhì)

④同級(jí)運(yùn)算移項(xiàng)的性質(zhì)

⑤增減括號(hào)的性質(zhì)

@變式提取公因數(shù)

形如：+/?+%……++〃=(〃[+生+……+〃”)+方

3.估算

求某式的整數(shù)部分：擴(kuò)縮法

4.比較大小

①通分

a.通分母

b.通分子

②跟“中介”比

③運(yùn)用倒數(shù)性質(zhì)

若則c>b>a.o形如：,貝U——

abcn2%n\m2m3

5.定義新運(yùn)算

6.特殊數(shù)列求和

運(yùn)用有關(guān)公式：

①1+2+3…〃

2

②12+22+...+。=〃(〃+m〃+1)

6

③4=〃(〃+1)=“2+〃

@13+23+...+^=(1+2+...^=zL0Mi

4

⑤abcabc=abcx1001=abcx7x11x13

@a2-b~=(ci4-b'ici-b)

⑦1+2+3+4…(n-l)+n+(n-l)+-4+3+2+l=n2

數(shù)論

1.奇偶性問(wèn)題

奇土奇=偶奇乂奇=奇

奇士偶=奇奇乂偶=偶

偶土偶二偶偶X偶;偶

2.位值原則

形如：而=100a+10b+c

3.數(shù)的整除特性:

整除數(shù)特征

2末尾是0、2、4、6、8

3各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)

5末尾是0或5

9各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)

11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是H的倍數(shù)

4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)

8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)

7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)

4.整除性質(zhì)

①假如c|a、c|b,那么c|（a±b）。

②假如bc|a,那么b|a,c|a,

③假如b|a,c|a,且（b,c）=1,那么bc|a。

④假如c|b,b|a,那么c|a.

⑤a個(gè)持續(xù)自然數(shù)中必恰有一種數(shù)能被a整除,

5.帶余除法

一般地，假如a是整數(shù)，b是整數(shù)(bWO)，那么一定有此外兩個(gè)整數(shù)q和r,OWrVb,

使得a=bXq+r

當(dāng)r=0時(shí)，我們稱a能被b整除。

當(dāng)r#0時(shí)，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全

商(亦簡(jiǎn)稱為商)。用帶余數(shù)除式又可以表達(dá)為a+b=q……r,O^r<ba=bXq+r

6.唯一分解定理

任何一種不小于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即

n=plaiXp2"2X...Xpk""

7.約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理

設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如"pl?！縓p2"2x...Xp"那么：

n的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(n)=(al+l)(a2+l)....(ak+1)

n的所有約數(shù)和：(l+Pl+Pl2+-plal)(l+P2+P22+-p2fl2)…(l+Pk+Pk2+-pk^)

8.同余定理

①同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a,b被自然數(shù)m除有相似的余數(shù)，那么稱a,b對(duì)于模

m同余，用式子表達(dá)為a=b(modni)

②若兩個(gè)數(shù)a,b除以同一種數(shù)c得到的余數(shù)相似，則a,b的差一定能被c整除。

③兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。

④兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差。

⑤兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。

9.完全平方數(shù)性質(zhì)

①平方差：A2-B2=(A+B)(A-B),其中我們還得注意A+B,A-B同奇偶性。

②約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。

約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。

③質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。

④平方和。

10.孫子定理(中國(guó)剩余定理)

11.輾轉(zhuǎn)相除法

12.數(shù)論解題的常用措施：

枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對(duì)、估計(jì)

三、幾何圖形

1.平面圖形

⑴多邊形的內(nèi)角和

N邊形的內(nèi)角和二(N-2)X180°

⑵等積變形(位移、割補(bǔ))

①三角形內(nèi)等底等高的三角形

②平行線內(nèi)等底等高的三角形

③公共部分的傳遞性

④極值原理（變與不變）

⑶三角形面積與底的正比關(guān)系

Si*Sz=a：b；Si：S2=S4：S3或者S|XS3=S2XS4

⑷相似三角形性質(zhì)（份數(shù)、比例）

22

②Si:S3：S2：S4=a：b：ab：ab;S=(a+b)

⑸燕尾定理

A

F

D

BEC

SAABG：SAAGC=SABGE：SAGEC=BE：EC；

SABGA：SABGC=SAAGF：SAGFC=AF：FC；

SAAGC：SABCG=SAADG：SADGB=AD：DB；

⑹差不變?cè)?/p>

???????

■■■■■■■■

知5?2=3,則圓點(diǎn)比方點(diǎn)多3。

⑺隱含條件的等價(jià)代換

例如弦圖中長(zhǎng)短邊長(zhǎng)的關(guān)系。

⑻組合圖形的思索措施

①化整為零

②先補(bǔ)后去

③正反結(jié)合

2.立體圖形

⑴規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式

⑵不規(guī)則立體圖形的表面積

整體觀照法

⑶體積的等積變形

①水中浸放物體：V開(kāi)水=丫物

②測(cè)啤酒瓶容積：V=V空氣+V水

⑷三視圖與展開(kāi)圖

最短線路與展開(kāi)圖形狀問(wèn)題

⑸染色問(wèn)題

幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長(zhǎng)、頂點(diǎn)、面數(shù)的關(guān)系。

四、經(jīng)典應(yīng)用題

1.植樹(shù)問(wèn)題

①開(kāi)放型與封閉型

②間隔與株數(shù)的關(guān)系

2.方陣問(wèn)題

外層邊長(zhǎng)數(shù)?2=內(nèi)層邊長(zhǎng)數(shù)

（外層邊長(zhǎng)數(shù)-1）乂4=外周長(zhǎng)數(shù)

外層邊長(zhǎng)數(shù)2-中空邊長(zhǎng)數(shù)2=實(shí)面積數(shù)

3.列車過(guò)橋問(wèn)題

①車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)=速度X時(shí)間

②車長(zhǎng)甲+車長(zhǎng)乙二速度和X相遇時(shí)間

③車長(zhǎng)甲+車長(zhǎng)乙=速度差X追及時(shí)間

列車與人或騎車人或另一列車上的司機(jī)的相遇及追及問(wèn)題

車長(zhǎng)二速度和X相遇時(shí)間

車長(zhǎng)=速度差X追及時(shí)間

4.年齡問(wèn)題

差不變?cè)?/p>

5.雞兔同籠

假設(shè)法的解題思想

6.牛吃草問(wèn)題

原有草量=（牛吃速度?草長(zhǎng)速度）X時(shí)間

7.平均數(shù)問(wèn)題

8.盈虧問(wèn)題

分析差量關(guān)系

9.和差問(wèn)題

10.和倍問(wèn)題

11.差倍問(wèn)題

12.逆推問(wèn)題

還原法，從成果入手

代換問(wèn)題

列表消元法

等價(jià)條件代換

五、行程問(wèn)題

1.相遇問(wèn)題

旅程和=速度和X相遇時(shí)間

2.追及問(wèn)題

旅程差二速度差X追及時(shí)間

3.流水行船

順?biāo)俣?船速+水速

逆水速度;船速-水速

船速=（順?biāo)俣?逆水速度）4-2

水速=（順?biāo)俣?逆水速度）+2

4.多次相遇

線型旅程：甲乙共行全程數(shù)二相遇次數(shù)X2-1

環(huán)型旅程：甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)

其中甲共行旅程二單在單個(gè)全程所行旅程X共行全程數(shù)

5.環(huán)形跑道

6.行程問(wèn)題中止反比例關(guān)系的應(yīng)用

旅程一定，速度和時(shí)間成反比。

速度一定，旅程和時(shí)司成正比。

時(shí)間一定，旅程和速度成正比。

7.鐘面上的追及問(wèn)題。

①時(shí)針和分針成直線；

②時(shí)針和分針成直角。

8.結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問(wèn)題的某些類型。

9.行程問(wèn)題時(shí)常運(yùn)用“時(shí)光倒流”和“假定當(dāng)作”的思索措施。

六、計(jì)數(shù)問(wèn)題

1.加法原理：分類枚舉

2.乘法原理：排列組合

3.容斥原理：

①總數(shù)量=A+B+C(AB+AC+BC)+ABC

②常用：總數(shù)i：=A+B?AB

4.抽屜原理：

至多至少問(wèn)題

5.握手問(wèn)題

在圖形計(jì)數(shù)中應(yīng)用廣泛

①角、線段、三角形,

②長(zhǎng)方形、梯形、平行四邊形

③正方形

七、分?jǐn)?shù)問(wèn)題

1.量率對(duì)應(yīng)

2.以不變量為“I”

3.利潤(rùn)問(wèn)題

4.濃度問(wèn)題

倒三角原理

例

??

5.工程問(wèn)題

①合作問(wèn)題

②水池進(jìn)出水問(wèn)題

6.按比例分派

八、方程解題

等量關(guān)系

①有關(guān)聯(lián)量的表達(dá)法

例：甲+乙=100甲+乙二3

x100-x3xx

②解方程技巧

恒等變形

2.二元一次方程組的求解

代入法、消元法

3.不定方程的分析求解

以系數(shù)大者為試值角度

4.不等方程的分析求解

九、找規(guī)律

⑴周期性問(wèn)題

①年月日、星期幾問(wèn)題

②余數(shù)的應(yīng)用

⑵數(shù)列問(wèn)題

①等差數(shù)列

通項(xiàng)公式an=ai+(n-l)d

求項(xiàng)數(shù)：n=Mn+l

d

求和：S=^>

2

②等比數(shù)列

求和：s二必修

③裴波那契數(shù)列

⑶方略問(wèn)題

①搶報(bào)30

②放硬幣

⑷最值問(wèn)題

①最短線路

a.一種字符陣組的分線讀法

b.在格子路線上的最短走法數(shù)

②最優(yōu)化問(wèn)題

a.統(tǒng)籌措施

b.烙餅問(wèn)題

十、算式謎

1.填充型

2.替代型

3.填運(yùn)算符號(hào)

4.橫式變豎式

5.結(jié)合數(shù)論知識(shí)點(diǎn)

十一、數(shù)陣問(wèn)題

1.相等和值問(wèn)題

2.數(shù)列分組

⑴知行列數(shù)，求某數(shù)

⑵知某數(shù)，求行列數(shù)

3.幻方