空間距離（練） -2025年高考數學一輪復習一隅三反系列

7.4空間距離（精練）

基礎訓練

1.（2023?全國?高三專題練習）已知"CO-A/CA是棱長為1的正方體，則平面A8Q與平面。出。的距

離為.

【答案】昱

3

【解析】以。為坐標原點，OAOCOR所在直線分別為x，yz軸建、'/：如圖所示的空間直角坐標系，

則A(1,0,0),8(1,1,0。D(0,0,0)，G(0,1,1),2(0,(),I),4(1,1,1),

可得A4=(0,l,l),AD1=(-l,0,l),BCI=(-1,0,1),r>C,=(0,1,1),

因為AD{=BCM=DC.,則AQ//BQ,AB、//DC,,

所以AA〃8G，A4〃￡>C，

因為平面C8。，8Gu平面CB。，4片0平面。/。，7）6匚平面。聲。,

所以平面G8Q,A4"平面C8D,

又ARcAB]=A,AD,,AB、u平面ABR,

所以平面夕平面。了。，

所以平面ABR與平面C,BD的距離等于點C,到平面4片。的距離d,

設平面MR的法向量為則[”n-由AB.=…y+…z=0。

令z=l,可得X=l,y=-1,所以〃=(1,-1,1),

乂因為G4=（1,0,0）,所以d二

所以平面ABR與平面C.BD的距離為由.

3

故答案為：皇.

3

2.(2023?全國?高三專題練習)棱長為1的正方體A8CZ)-EFG”如圖所示，M,N分別為直線AF,BG上的

動點，則線段MN長度的最小值為.

Eb

【答案】曲

3

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，設。([%[-^，。(/，與八當/^為兩異面直線的公垂線段時,

PQ長度最短，此時PQ長度為MN的最小值，

則「。=(%-1,1一%,%+%-1),4尸=(0,1,-1),68=(1,0,1),

產?叱。22122

所以玉=%=s所以

[GBPQ=0

所以MM*=|PQ|=jY)2+J-l)Y—；)2=與

故答案為：B.

3

3.(2023?廣西南寧?南寧三中?？寄M預測)如圖，在菱形43CD中，AB=26，NB4O=60。，沿對角線

8。將△A8。折起，使點A,C之間的距離為3人，若。，。分別為線段30,CA上的動點，則線段PQ的

最小值為.

【解析】取塊＞的中點E,連接AE,EC,則/比」陰)，EC1.BD,AE=EC=5.

因為AC=3夜，所以人石2+3=472,即A￡_LEC.

以E為原點，分別以E8,EC,E4所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系石一不？,

則8(30⑼,C(0,3,0),A(0,0,3),Db百,0,0).設尸(a,0,0),CQ=404=(0,-32,32),

所以PQ=QC+CQ=(-〃,3,0)+(0,-3Z,3/l)=(-4Z,3-3432),

從而有pQ卜｛/+(3—3/1)2+(342=dig2--+2,

vI2J2

4.(2023?全國?高三專題練習)如圖，在正方體A8CQ-A4CA中，A13=l,M,N分別是棱A3,CG的中

點，E是8。的中點，則異面直線?V間的距離為.

【解析】

以。為原點，的方向為x，）'，z軸建立空間直角坐標系，易知

口（0,0』）.M（1,；,0）尾；0）,N（0,1,；）,

〃?RM=x+—y-z=0

12|1，令

D]M=a,,設〃=（x,y.z）同時垂宜于D】M、EN,由，

LJJJ

n-EN=——x+—y+—z=0

222

得用=（1,0,1）,

又MN=（-1，121），則異面直線AM，EN間的距離為E竺

=>/2

22Id_拉~T

故答案為:亨

5.（2022?全國?高三專題練習）如圖，正四棱錐尸-ABCC的極長均為2,點E為側棱PQ的中點.若點

N分別為直線AB,CE上的動點，則MN的最小值為

3

建立如圖所示的空間百角坐標系。-町2，則有：

A（-1,-1,O）,C（IJ,O）,D（-1,1,O）,P（0,0,V2）,E卷;當

可得：&=（u，用

設”（冷TO）,且N（孫必，4）

則有：CN=ACEf

可得：N1一；以,1一

\7

一(31<0

則有：MN=1——^―Xp2——A,—^―A

=卜9-內)+%-22+4

4T2限

則當且僅當a=§小=-1時，MN

min3

故答案為：巫

3

6.：2023?全國?高三專題練習）如圖，棱長為1的正方體/WCQ-A/B/。。中，N是棱4。的中點，M是棱C。

89

【解析】正方體的棱長為1,如圖，以。為坐標原點，所在方向分別為％y，z軸正方向建立空

0.1,—,N(/QO,

回威=(0,0,1),,4N=「；,T—1).

2

設直線與B/N的公垂線方向上的向量/；=&,）,"），由

〃HM=0，〃gN=0,

-x+-z=0

3

得3,令x=2,則z=6,產-7,=(2,-7,6)?

x-j-z=0

2

|8朱〃|66闞

設直線BM與8/N之間的距離為d,則d=

1川

故答案為：-----.

89

7.（2023秋?廣東東莞?高三校聯考階段練習）如圖所示，在四棱錐P-48CO中，側面▲W）是正三角形,

且與底面A8C。垂宜，BC〃平面PAO,4c=1AQ=1,E是棱PO上的動點.

C

⑴當正是棱P。的中點時，求證：CE〃平面附8；

（2）若AB=1,/W_L4）,求點8到平面ACE距離的范圍.

【答案】（1）證明見解析

栓

【解析】（1）證明：因為AC〃平面PAO,ACu平面48CQ,且平面RAOc平面=所以BC//AD.

取R4的中點尸，連接EF,

因為正是棱丹）的中點，所以，EF//AD且EF=gAD,

2

囚為3C〃AOFL6C=LA/）,所以，EF//BCEF=BC,

2

所以，四邊形BC即為平行四邊形，則CE//BF,

因為CEU平面小4,4產（=平面弘8,所以CE//平面F44.

（2）解：取A。的中點。，連接P。

因為&P4O是正三角形，所以PO14O.

乂因為平面R4O_L平面相C。，平面BAOc平面A5CQ=4。，POu平面24。，

所以，PO工平面A8CD,

因為BC〃AO,BC=-AD,0為人。的中點，所以，BC〃AO且BC=AO,

2

所以，四邊形A8CO為平行四邊形，則CO//A8,

因為人3_LU>,則CO_LA。，

以點。為坐標原點，0。、OD.OP所在直線分別為工、>\z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

PA

則A（O,-1,O）、C（1,0,0）,P（0,0,x/3）,D（0,l,0）,所以AC=（11,O）,

設DE=40P=2（0,—1,6）=（0-A&）,其中0W2W1,

則AE=AD+DE=[0,2,0）+（0,-A,&）=（0,2-A,Gl）,

設平面ACE的法向“〃=（x,y,Z1）,

n-AC=%+M=0

所以

ziME=（2-2）^4-73/12,

令4=2—4,^n=（>/32,->/32,2-2）,

設點8到平面ACE距離為",=---:-----=—―

\nV722-4A+4

當丸=0時，J=0；

當0"?1時,

當且僅當％=1時等號成立.

綜上，點8到平面ACE距離的取值范圍是0,

8.（2022秋?福建泉州?高三校聯考期中）如圖，已知四棱錐產-A88的底面是菱形，對角線4C,BD交于

點。，Q4=4,08=3,OP=4,OP_L底面A8CD,設點用是PC的中點.

⑴直線PB與平面BDM所成角的正弦值；

(2)點A到平面BDM的距離.

【答案】(1)也

5

(2)2拒

【解析】(1)因為四邊形48CO為菱形，所以

乂?面A8co，故以OA為x軸，08為了軸，。尸為2釉建立如圖所示的空間直角坐標系O-“z,如圖,

因為0A=4,03=3,OP=4,且M為PC中點，

則4(4,0,0),8(0,3,0),0((),-3,0),20.0,4),C(-4,0,0),M(-2,0,2),

故P8=(0,3,—4),=(-2,—3,2),BD=(0,-6,0),

n-BM=-2.r-3y+2z=0

設面BDM的法向量為n=(A;)，,z),則

n-BD=-6y=0

令x=I,則)，=0,z=l,故〃=0,0,1),

\nPi42x/2

所以卜os(〃?網卜

MHM\/2X55

故直線PB與平面BDM所成角的E弦值為逆：

5

(2)由(1)可知AM=(-6,0,2),而BDW的?個法向量為〃=(l,0,l),

\n-AM

所以點A到平面BDM的距離d="TT卡2a

故點A到平面BDM的距離為2尤.

9.(2023?黑龍江哈爾濱?哈師大附中?？寄M預測)三棱臺ABC-AdC中,明，平面ABC,Z4BC=90°,

且48=80=44=2,BC=1,尸是AA的中點.

Q）求二角形/WC重心G到直線的距離；

（2）求二面角4-尸的余弦值.

【答案】（1）且

3

（2）亞

35

【解析】（1）因為AB]=B]C]=1,所以AG=JLAC=\IAB2+BC2=25/2?

在平面ABC內過點A作AT_LAC,建立如圖所示空間直角坐標系4-冷2,則

B（x/2,V2,0）,C（0,272,0）,C,（0.72,2）,尸（0,0,1）,G停，技0,媯冬冬,2

過點G作設片〃=義4。；，

AH=A4+與H=A4+ZB?

則H停當易爭q

GHB?=0

所以八=0,解得行;,

Zlo2.212]3

所以G，=一日，一系,2,6公卜乎卜一§+2?=孚.

即三角形A8C重心G到直線B￡的距離為巨.

4尸二（一拉，一夜,1）,與8=與，與,一2

(2)BC,=(-72,0,2),

Mf-\/2x+2z=0

./、n-BC.=0n

設平面88c的法向量〃=(.%)，,z),則{=<&V2

11^13=0—x+—y-2z=0

i.22

取z=l,則〃=（夜,夜』

in-BC]=0-\{2a+2c=0

設平面MG的法向量團=（4,b,c）,則

m-BF=0—42a—\p2b+c=0

取c=l,則〃?=3,--—J

/

/\n-m2-1+12>/70

所以，cos{n'm}=m=^~

由圖可知，二面角片-BG-尸為史角，所以，二面角片-BG-尸的余弦值為旭.

35

10.（2023?江蘇鹽城?鹽城中學?？既＃┤鐖D，該幾何體是由等高的半個圓柱和。個圓柱拼接而成，點G為

4

弧。。的中點，且C,E,D,G四點共面.

G

（1）證明：平面平面8CG；

⑵若平面3。尸與平面A8G所成二面角的余弦值為姮，且線段A8長度為2,求點G到直線D尸的距離.

5

【答案】（1）證明見解析

⑵W

2

【解析】（1）過G作G〃〃C8,交底面弧于“，連接“B，易知："8CG為平行四邊形，

所以“8〃CG,又G為弧。。的中點，則〃是弧48的中點，

所以47BA=45。，而由題設知：ZABF=45°,WJZHBF=ZHBA+ZABF=90°.

所以“4_L/〃3,即A/J_CG,由CAJ?底面A8尸，"4u'l：面A8/1則C3J_F8,乂CBcCG=C,CB,CGu

平面BCG,

所以產8_L平面BCG,又FBu平面BDF,所以平面用才_L平面BCG.

（2）由題意，構建如卜.圖示空間直角坐標系A一4*,

令半圓柱半徑為，高為〃，則8（0,2r,0）,F（2r,0,0）,￡＞（0,0㈤,G（-r,r,/t）,

所以產。=(一2二0,〃)，?D=(0,-2r,A),AB=(0,2r,0),AG=(-r,r,/?),

..[m-FD=-2rx+hz=0

若〃f“z)是面8ZWL個法向量，則《"一,/『

令z=2廠，則m=(〃,/?,2廠),

,、n-AB=2rb=0,、

若〃=(〃,/>?是面ABG的一個法向量，則｛,令c=r,則〃=(〃,0,r),

n-AG=-ra+r力+he=0

所以COS(〃2,〃)=m-n

HR

整理可得("-4-)("+2，)=0,貝股=2'又45=2,

由題設可知，此時點G(—1J2),D(0,0,2),F(2,0,0),

則Db=(2,0,—2),OG=(—1,1,0),

DGDF~

2_V6

DG~--------

一2

JDF

G

11.（2023?天津?校聯考模擬預測）如圖，在三棱錐P-A8C中，P4_L底面A8C,Z^C=90°.點。，E,

N分別為楂P4,PC,8c的中點，M是線段A。的中點，PA=AC=2,AB=\.

（1）求證：MAW平面8OE；

（2）求點N到直線ME的距離;

（3）在線段如_L是否存在一點〃，使得直線N”與平面MNE所成角的正弦值為偵，若存在，求出線段A"

21

的值，若不存在，說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2嚕

（3）1

【解析】（1）因為FAJJ氐面ABC,/BAC=900,

建7：空間直角坐標系如圖所示，

ZA

所以OE=(0,1,0),力8=(1,0,-1),

設〃=(x,y,z)為平面8Z汨的法向量,

n-DE=0y=0

則,即《L=。,不妨設z"可得…，0」)，

n-DB=0

又揚N=(j,l,一耳

可得MN-〃=0，因為MNu平面8。￡,

所以MN〃平面8。七，

Vio5

io

設平面MNE的法向量為m-(a,b,c),

31

即20產―28，-3=0.解得/=/或7=-而(舍去)，

3

所以A〃二二.

2

12.(2023?全國?高三專題練習)已知直三棱柱ABC-中，側面AA4B為正方形.AB=8C=2,E,F

分別為AC和C￡的中點，BFIAM

⑴求四棱錐E-B8C7的體積；

⑵是否存在點。在直線上，使得異面直線BF,。月的距離為1?若存在，求出此時線段OE的長；若不

存在，請說明理由.

【答案】⑴1

回側面人人因聲為正方形，團人與_￡8與，

又BFJ.A片,宜BBiCBF=B,BFu面BB￡C,

團Ag_L平面8旦GC,又AB"AB\,

團AB工平面84G。，取BC中點G,

則EG//A8,回￡G_L平面8BCC.

團匕網y=；x](CL+“J心C/EG=；x；(l+2)21=l.

(2)以〃為原點，分別以BA,RC,8片所在直.線建立空間電角坐標系，如圖,

則B(0,0,0),E(1,LO),尸(021),

設D(q0,2),則加=(0,2,1),ED=(?-1,-1,2),BE=(l,l,0).

設與8尸，均垂直的向量為〃=(x,yz),

BFn-02v+z=0-、/

則.,即,取，7=z(3,aT,_2(a-l)),

ED-n-0(fl-l)x-y+2z=0V〃

7

因異面直線B凡OE的距離4=，一1=丁^------U==1解得a=1或5.

忖,25+5(4—1)-

因同卜J(a—I)：+5;逐或述.

故存在點相直線的上，使得異面直線叱歷的距禽為「且此時吁喬或苧.

13.(2023?全國?高三專題練習)三棱錐S—48c中，SA=BC=2,SC=AB=BSB=AC=6.記8c中

點、為M,弘中點為N

(1)求異面直線/W與CN的距離;

(2)求二面角A-SM-C的余弦值.

【答案】(1)叵；(2)--

HII

【解析】三校錐S-ABCT且對棱相等，因此三棱錐5-四。的外接平行六面體為長方體，將一.梭錐5-45。

放在長方體中研究

a2+b2=SA2a2+b2=4a=1

設長方體的三維分別為。、〃、c且竹+c?=s父，即，從+不=5,解得:?b=下)

a2+c2=SC2a2+c2=3c=y/2

因此以6為坐標原點，長方體在8處的三條棱的方向為正方向建立空間直角坐標系，則

S(0,△⑹，4(1,0,72),5(0,0,0),5(1,6,0),M,N\,乎,0

乙乙IN>N

RY同

(1)AM=,CN=

-冷，-夜22

設〃=(x,y,z)垂直于AM和CN，

n-AM=-—x+—y-y/2z=0

22-

所以

n-CN=-^x-^-y+\/2z=0

令？=&,z=—?x=0,所以n=。，&

2

而MN=(0.0,收)，因此所求距離為：d=

(2)AS=(-1,>/3,0)'SM=14,-同，M。心?。

設平面ASM的一個法向量為％=zj,

ni-AS=-X)+6yl=0

則e亭一當一―W則'ii犯

所以勺=(-#,-四,0b

設平面SMC的一個法向量為丐=\x2,y2,z2）,

，令々=乎，則%=一乎，z?T.

〃

所產如/沙\麗1,%=-3G+1=5F/22，

2

所以所求角的余弦值為-叵.

14.（2023秋?云南?高三校聯考階段練習）如圖所示，在四棱錐P-A8CO中，底面ABCO是矩形，側棱PO_L

底面ABC。，PD=DC=\,E是PC的中點，作EFLPB交PB于點、F.

⑴求證：24〃平面8。石：

⑵若平面4。與平面6。2的夾角為求點尸到平面8CZ）的距離.

【答案】⑴證明見解析

連接4c交8。于點G,連接GE,

團月是PC的中點，

G1PA//GE,平面/3D￡,GEi平面/"）￡.

團以〃面BDE.

（2）解：設以。為原點，DA,DC,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系,

則D（0,0,0）,￡（。，另），A（a,0,0）,C（O,1,O）,3（a,l,0）,P（0,0,l）,

8c=（-a.0,0）,CP=（O.-1J）,

設平面3b的一個法向量為仆=a，y,zj,

8c外=（）,/、

由，"也;產=（°」』）'

同理，由OB=（a/,0）,。尸=（0,0,1）,

設平面BDP的一，個法向量為〃2=（人2，，2，Z?），

DB?〃■）=（）.、

由，，得%=（-1,。,0）,

DPn2=0

由平面6b與平面BDP的夾角為:,

則cosg二g,解得。=1,

聞.聞\/2-\la2+\

、/、UU

134（1,0,0）,5（1,1,0）,=

__.?

設F（x,y,z）,PF=iPB，則戶EF=/J--,-

1"=0,焦點/=；,

又EFIPB,團EFP3=0，即/+

42

團哈

又PD_L平面ABCD,則平面ACZ）的一個法向量為。P=（O,O,l）,

又麗=（另哥,則點尸到平面BCD的距離d=2

I，J）3

15.（2023?湖北襄陽?襄陽四中?？寄M預測）斜三楂柱"C-A4G的各棱長都為4,NAA8=60,點兒在

下底面ABC的投影為A4的中點0.

⑴在棱（含端點）上是否存在一點。使AD_L4G?若存在，求出8。的長：若不存在，請說明理由:

（2）求點4到平面8CC內的距離.

4

【答案】⑴存在，BD=-

（2）警

【解析】（1）因為點A在下底面ABC的投影為43的中點。，故平面A8C,

連接OC,由題意.A8C為正三角形，故

以。為原點，OA,oc,0A分別為xy、z軸建立如圖所示空間直隹坐標系：

則A(2,0,0)，A(0,0,26),C(0,2G0),B(-2,0,0),B.(-4,0,273),C.(-2,273,2y/3),

設BD=尢BBrBB1=(-2,0,2x/3),可得0(-2%-2,0,2&),

AO=(-2%-2,0,2四-2@MG=(-4,2?2現

假設在棱（含端點）上存在一點/）使其。，4q，

則a。~LAG4(22+2)+26(2后/1-2x/J)=0,/.％=g,

I4

則8D=二期=-；

55

(2)由(1)知BM=(—2,0,26),BC=(2,26,0),

設平面4CC蜴的法向最為h=(樂y,z),

n-BB]=0-2x+2>/3z=0

則令x=6，則z=l,y=-l,

/rBC=02x+2G.y=0

則〃二(6,-1,1),

又38=(-2,0,_26),

則A,到平面BCC^的距離為"=始型=華=羋,

l〃lJS5

即點A到平面BCC^距離為警.

16.（2023?浙江寧波?鎮(zhèn)海中學?？寄M預測）在直角梯形4BCQ中，COJLAO,AB=8C=2CD=2,AO=6,

現將..ACZ）沿著對角線AC折起，使點。到達點P位置，此時二面角P-AC-O為

⑴求異面直線以，所成角的余弦值;

⑵求點A到平面P8C的距離.

【答案】釁

⑵手

【解析】（1）過點。做/X?_L4C交4c于O,連接0P,

以。點為原點，以。4為x軸，在平面A8C。內，過點0垂直于AC的線為），軸,

過點。垂直于平面A8CD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.

因為DOJLAC,所以POJ.AC,

所以NOOP為二面角P-AC-O的平面角.所以/。00=1，

又因為8=8=立，所以點P|O,一半/，

乂因為C（-；，0,0），嗚，0,0），由等邊三角形可得哈6,0

33

所以cost'AP,BC\/=網產產的?=J]1u"一

V41616

所以4＞與8c夾角的余弦值為空.

8

(2)PC=，5C=(-l,-x/3,0),

設：=（x,y,z）為平面P8C的一個法向量,

小PC=(x,y,z)(_g,2—；_L+且),「z=。

則24?4

n-BC=(x,y,z)1,-6,0)=t-Gy=0

令》=6，貝ljy=-l,z=-G,

故八=(鳳1,-G),

|AP?“26_2歷

所以點A到平面PBC的距離為d=

同一石一_F

能I力,提“升

L12023?全國?高三專題練習)己知正方體ABCO-A/CA的棱長為1,點區(qū)O分別是4圈、4G的中點,

P在正方體內部且滿足40=彳48+］4。+；朋，則下列說法錯誤的是()

A.點A到直線BE的距離是攣B.點O到平面ABG。的距離為正

54

C.平面A%)與平面用。。間的距離為正D.點P到直線AB的距離為§

336

【答案】D

【解析】如圖，建立空間宜角坐標系，則4(000),玫1。0),。(04,0),4(0,0,1),C,(1,1,1),D,(0,1,1),

(\A/、(1A0BABE小

E(J，叫，所班=(-1,0,0),BE十展0,1)設ZABE:出則8s"網碼=T，sin^=

d"coC=吟.故A到直線8E的距離4=］阻卜而。=以半=苧，故A對；

易知C0=；G4平面A8GR的一個法向量。A=(O,T，1)，則點。到平而AEG"的距離

,D\cp1f-

W嗓邛’故'對；

9=(1,0,-1),40=(0,11),aA=(0,1,0).設平面ABC的法向量為〃=(x+y+z),則｛：：：［：，所

以=令Z=l,得)=1,X=1,所以〃=(1』/)，所以點。到平面ABQ的距離

-z=0、/

.AD.-n1\/3

4=中一二百=彳.因為平面A/。#平面用CR,所以平面4以)與平面4cq間的距離等于點4到平

面A8D的距離，即為#，故C對；

312(3\,、APAR3

因為從尸二7八^+孑八0+鼻胴，所以AP=-,y,~,A8=(l,0,0),則FT=W，所以點尸到斗⑶的距

故D錯.

故選：D

2.（2023?北京?高三專題練習）如圖，在直三棱柱人8C-AqG中，ACJ.BC,AC=2,BC=1,AA,=2,

點D在棱AC上，點E在楂3片上，給出下列三個結論：

①三棱錐石-4處的體積的最大值為3

②入。+。8的最小值為&

③點Q到直線GE的距離的最小值為半.

其中所有正確結論的個數為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】在直三棱柱"C-ABG中叫，平面A8C,

對于①：因為點E在棱8瓦上88=44,=2,所以8e?0,2],又匕一八陋枷，

又XC上BC,AC=2,8C=1,點/）在棱AC上，所以AO?0,2],S八9=：AO8C=；AOE[0.1],

乙乙

I2

所以％八加4彳，當且僅當。在C點、E在用點時取等號，故①正確；

對于②：如圖將45c翻折到與矩形ACGA共面時連接入了交AC于點。，此時4。+/用取得最小值,

因為AG=CG=2,BC=1,所以8C1=3,所以A8=Jqcj+GB-=9,

即AO+O8的最小值為如，故②錯誤;

對于③：如圖建立空間直角坐標系，設。(40,0),?e[o,2],E(OJc),CG[0,2],

G(0,0,2),

所以GO=(?0,—2),C1E=(0,l,c-2),

I/~yI7y

則點。到直線C￡的距離d=|C,D|2-半半=L2+4-7(I)

f1用J1[gM

」占Yip

當c=2時d工22，

，1Vl,1>50<——-<—

當0Wc<2時0<(c—2)Y4,W^^7,，則1+25,

(c-2)

所以當產w取最大值與，且，2=。時%=m=與，

(C-2)+15V55

即當。在C點E在8點時點D到直線CE的距離的最小值為竽，故③正確：

3.（2023春?河南?高三階段練習）（多選）如圖1,《盧卡?帕喬利肖像》是意大利畫師的作品周1中左上方

懸著的是一個水晶多面體，其表面由18個全等的正方形和8個全等的正三角形構成，該水晶多面體的所有

頂點都在同一個正方體的表面上，如圖2.若=貝U（）

圖1圖2

A.AB=342

B.該水晶多面體外接球的表面積為（10+4拒卜

C.直線的與平面"PQ所成角的正弦值為正

3

D.點G到平面"PQ的距離為漁

3

【答案】BCD

【解析】該水晶多面體的俯視圖如圖1所示,

對于A,EM=NF=與MN、AB=EM+MN+NF=[^l+，MN=2+6,故A錯誤;

對于B,建立如圖2所示的空間直角坐標系，則”（1+夜,1+夜,2+&）,G（l[+夜,2+夜）.

記該水晶多面體外接球的半徑為小球心SI+爭+率用則

r^SH|2=(1+--l-x/2+fl+--I-A/2>1+fl+--2->/2=|+夜，故該水晶多面體外接球的表

2I2)I2

面積為4"2=（］（）+40）冗，故B正確.

對于C,因為〃PAB\,PQ6BR,HPPQ=Pf”產，尸Qu平面，尸Q,

所以平面HPQ，,平面A4a.

根據正方體的對稱性易得平面AB.的一個法向量為方=（1,1,1）,即"=（1,1,1）為平面”夕。的一個法向量.

GHn=6

GH=(a0,0),cos(GH,n)=

HH-T

故有線/右與平面，P0所成角的F弦值為當,故C正確.

4.（2023?福建寧德?校考模擬預測）（多選）在正方體ABC。-ABCA中，E,F,G,HJ分別為

AD,Aa四出G，￡>￡的中點,則（）

A.直線。E與直線GO垂直

B.點。與點3到平面。式月的距離相等

C.直線放與平面〃/G平行

D.A尸與G，的夾角為9

O

【答案】AB

【解析】如圖，以。為原點，“LDGOR所在直線為人XZ軸建立空間直角坐標系,

設正方體的棱長為2,則4(2,0,0),3(220),0(020),。(0,0,0),A(2,0,2),耳(。2,2),G(0,2,2),〃(0,0,21

且E(LO,O),尸(Z1,O),G(2,2,1),H(L2,2),/(O,1,2),

對于A,D,E=(l,0,-2),GD=(-2-2,-1),所以〃EGO=-2+0+2=0,所以直線RE與直線GD垂直，故

A正確：

對干B,設平面〃設尸的法向量為〃=(x,y,z),又于E=(l,0,-2),所=(1,1,0),

n-DE=x-2z=0x=2z

所以l令z=l得〃=(2,-2,1),

n-EF=x+y=0x=-y

又D￡=(l,0,0),5E=(—1,-2,0),所以點Z)到平面RE尸的距離為叱4=包9姐=2,點3到平面〃的

同33

距離為限—鶴

對于C因為班'=(1,1,0),出=(1,1,0),G”=(-L0,1),所以E戶〃JH,即EF///H,

rn-GH=-a+c=0

設￥面H/G的法向量為〃7=(〃也c),則=>/?=(1,-1,1),

inIH=a+b=0

又尸G二（O,l』），/G〃?=0,則產G_L〃Z，

所以所u平面”/G,故C錯誤；

/、z、八1，3D1FGH-2+0-22加

對干D,因為QL=（2J—2）,G〃=（T0,l）,所以cos.EG""/=Zx及=一《~，所以。尸與

G”的夾角余弦值為述了正，夾角大小不為g,故D錯誤.

326

故選:AB.

5.（2023?遼寧朝陽?校聯考一模）（多選）如圖，在棱長為1正方體A8CO-A&G。中，M為8c的中點,

E為AG與的交點，F為3M與C耳的交點，則下列說法正確的是（）

A.AG與D18垂直

B.故是異面直線AG與修。的公垂線段，

c.異面直線AG與用c所成的角為］

D.異面直線A&與BC間的距離為坐

【答案】ABD

【解析】以。為原點，D4為x軸，QC為,，軸，。。為z軸，建立如下圖所示坐標系:

\L

（）,0」），RM=3,1,0,AG=（-1,1,0）,RA=（1,0,0）,

IZ7

設E（y,%，Zo）,b（N，y,zJ，AE=%AG，QE=4）/）|M,

則有：D、E=fj0D\M=氏，AE=4AG=4（AG-〃A）,

又D[E=O]A+“）（D]C[+gc>iA）=AA+4）（D]C1-AA）,

I

53

2.22'七（1川2、，同理可得七（2七2卜A

解得〃0=4=§，?.?AE=a）T）b，Zo-l）=§（TI,O）

z°=l

對「A,AC=（-U,0）,,AG?力用=°，正確:

」、

對于B,W'5'一五々C二（一1,0,—1）,E『?qc=0,所?AG=0,.?.EF±B0,EF1,

即E產J.BC，石產，AC，乂EFcAC】=E、EFc=F,

故即是異面直線AC與qc的公垂線段，正確;

1

對于C,設AG與修。所成的角為，，則cosO==-

2

?.?備［。創(chuàng)，/.。=方，錯誤；

對「D,由B知所是AG與8。的公垂線段，河卜@』=印，正確;

故選：ABD.

6.（2023?福建漳州?統(tǒng)考模擬預測）（多選）在棱長為1的正方體A8CO-A4CA中，點石為BC的中點,

點P,。分別為線段BQ,AO上的動點，則（）

A.ACA.DPB.平面。砂可能經過頂點C1

C.PQ的最小值為變D./APC的最大值為多

23

【答案】ACD

【解析】建立空間直角坐標系，如圖所示：

則D（0Q,0）,4100）,8（1,1,0）,C（0,1,0）,G（O,1J）,。（001）,4（1。1）酒（1,1,1）,

設BP=NAR=(T,-％〃)，則尸(1-2，1一/16),A€[OZ1]；

設DQ=〃OA=(〃,0,0),則。(〃,0,C),〃w[0,1],

所以