北京市一零一中學2024-2025學年高二下學期期中考試數(shù)學試題

北京市一零一中學2024-2025學年高二下學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=2x-1，若函數(shù)g(x)=x^2-3x+2是f(x)的反函數(shù)，則g(x)的對稱軸為（）A.x=-1B.x=1C.x=2D.x=32.若等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則該數(shù)列前n項和為Sn，若S5=35，S9=63，則數(shù)列{an}的通項公式為（）A.an=4n-3B.an=5n-4C.an=3n+2D.an=2n+1二、填空題要求：把答案填在題目的橫線上。3.在直角坐標系中，點A(-2,3)，點B(4,5)，則線段AB的中點坐標為（）。4.若函數(shù)f(x)=(x-1)^2+1在區(qū)間[0,3]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）。三、解答題要求：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。5.（本大題共6分）已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+2x-1，求f(x)的極值點及對應的極值。（1）求f(x)的一階導數(shù)f'(x)；（2）令f'(x)=0，解得x的值；（3）求f(x)的二階導數(shù)f''(x)，判斷極值點處的函數(shù)性質(zhì)。6.（本大題共10分）已知數(shù)列{an}的首項a1=1，公比為q，且數(shù)列{an}的前n項和為Sn。（1）若q=2，求Sn的表達式；（2）若q=-1/2，求an的表達式；（3）若q為常數(shù)，且數(shù)列{an}是等比數(shù)列，求q的取值范圍。四、應用題要求：結(jié)合實際情境，運用所學知識解決問題。7.某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，已知生產(chǎn)成本與生產(chǎn)數(shù)量成正比，生產(chǎn)數(shù)量增加時，平均成本逐漸降低。如果生產(chǎn)100件產(chǎn)品時，平均成本為100元，生產(chǎn)150件產(chǎn)品時，平均成本為90元?，F(xiàn)計劃生產(chǎn)200件產(chǎn)品，請計算這批產(chǎn)品的總成本。五、證明題要求：證明下列各題中的結(jié)論。8.證明：對于任意實數(shù)x，都有x^3-3x+2≥2。9.證明：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1+a2>0，a2+a3<0，則數(shù)列{an}不可能為遞增數(shù)列。六、解答題要求：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。10.（本大題共12分）已知函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1，求f(x)的極值點及對應的極值。（1）求f(x)的一階導數(shù)f'(x)；（2）令f'(x)=0，解得x的值；（3）求f(x)的二階導數(shù)f''(x)，判斷極值點處的函數(shù)性質(zhì)；（4）根據(jù)極值點的性質(zhì)，判斷f(x)在實數(shù)范圍內(nèi)的最大值和最小值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數(shù)g(x)=x^2-3x+2的反函數(shù)為f(x)，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，有f(g(x))=x。將g(x)代入f(x)得到f(x^2-3x+2)=x，即x^2-3x+2=1。解得x^2-3x+1=0，這是一個完全平方公式，即(x-1)^2=0，解得x=1。因此，g(x)的對稱軸為x=1。2.A解析：等差數(shù)列的前n項和公式為Sn=n/2*(a1+an)。根據(jù)題目給出的條件，有S5=35和S9=63，代入公式得到：35=5/2*(a1+a5)63=9/2*(a1+a9)解得a1=1，d=4/3。因此，an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*4/3=4n/3-1?；喌胊n=4n-3。二、填空題3.(1,4)解析：線段AB的中點坐標為兩個端點坐標的算術(shù)平均，即中點坐標為((-2+4)/2,(3+5)/2)=(1,4)。4.(-1,3]解析：函數(shù)f(x)=(x-1)^2+1是一個開口向上的拋物線，其頂點為(1,1)。在區(qū)間[0,3]上，函數(shù)單調(diào)遞增，因此實數(shù)a的取值范圍是(-1,3]。三、解答題5.解答：（1）f'(x)=6x^2-6x+2；（2）令f'(x)=0，解得x=1/3或x=1/2；（3）f''(x)=12x-6，f''(1/3)<0，f''(1/2)<0，因此x=1/3和x=1/2是極大值點，對應的極大值分別為f(1/3)=5/27和f(1/2)=1/4。6.解答：（1）Sn=2^n-1；（2）an=(-1/2)^(n-1)；（3）q的取值范圍為q≠1。四、應用題7.解答：設生產(chǎn)成本與生產(chǎn)數(shù)量的比例系數(shù)為k，則有100=100k，90=150k。解得k=1/10。因此，生產(chǎn)200件產(chǎn)品的總成本為200*1/10=20元。五、證明題8.解答：考慮函數(shù)h(x)=x^3-3x+2，其導數(shù)h'(x)=3x^2-3。令h'(x)=0，解得x=1。由于h''(x)=6x，h''(1)=6>0，所以x=1是h(x)的極小值點。因此，對于任意實數(shù)x，有h(x)≥h(1)=2。9.解答：假設數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則有a2>a1，a3>a2。由題意知a1+a2>0，a2+a3<0。將a2>a1和a3>a2相加得到a3>a1，這與a1+a2>0矛盾。因此，數(shù)列{an}不可能是遞增數(shù)列。六、解答題10.解答：（1）f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4；（2）令f'(x)=0，解得x=1/2，x=1，x=3/2；（3）f''(x)=12x^2-24x+12，f''(1/2)<0，f''(1)=0，f''(3/2)>0，因此x=1/