流體力學習的題目及問題詳解

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第一章結論

1-1連續(xù)介質(zhì)假設的條件是什么？

答：所研究問題中物體的特征尺度L,遠遠大于流體分子的平均自由行程1,即1/Lvvl。1-

2設稀薄氣體的分子自由行程是幾米的數(shù)量級，問下列二種情況連續(xù)介質(zhì)假設是否成立？

。）人造衛(wèi)星在飛離大氣層進入稀薄氣體層時；

0）假象地球在這樣的稀薄氣體中運動時。

答：（1）不成立。

（2）成立。

1-3粘性流體在靜止時有沒有切應力？理想流體在運動時有沒有切應力？靜止流體沒有粘

性嗎？

答：（1）由于巴°，因此沒有剪切應力。

dydy

dv_

（2）對于理想流體，由于粘性系數(shù)0,因此_Un,沒有剪切應力。

dy

（3）粘性是流體的根本屬性。只是在靜止流體中，由于流場的速度為0,流體的粘性沒有

表現(xiàn)出來。

1-4在水池和風洞中進行船模試驗時，需孰定由下式定義的無?。ɡ字Z數(shù)）Re

其中u為試驗速度，L為船模長度，為流體的運動粘性系數(shù)。如果u20m/s,L4m,

溫度由10C增到40C時，分別計算在水池和風洞中試驗時的Re數(shù)。（10C時水和空氣

的運動粘性系數(shù)為0013104和0.014104,40C時水和空氣的運動黜性系數(shù)為

0.0075104和0.179104）0

UL20(m/s)4m

答：10C時水的Re為：Re6.154107o

0.013104m2/s

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ioc時空氣的Rc為：Re20(m/s)4m-------5.714107o

0.014104m2/s

40c時水的Re為：ReUL20(m/s)4m1.06710so

0.0075104m2/s

40C時空氣的Re為：ReUL20(m/s)4m-------446g}0()。

().1791()4m2/s

1?5底面積為15m2的薄板在靜水的表面以速度U16m/s做水平運動（如圖所示），已

知流體層厚度h4mm,設流體的速度為線性分布u—y求移動平板需要多大的力（其

h

中水溫為20C）o

du

答：平板表面受到剪切應力作用，根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律，剪切應力為:

dy

由于uLy,得到因此―。

hdyhh

UU?S

作用于平板上的粘性切向力為：FdS_dS_;其中水的密度為:

hh

s

1.0103kg/m3;

20C時水的運動粘性系數(shù)為:1.0037106m2/s；代入上式得到:

16m/s

F1.0103kg/ms1.0037106m2/s15m26.02N

0.004m

1-6設物面附近流體的流動如圖所示，如果邊界層內(nèi)流速按拋物線分布：

vU2?J,當U20m/s,,溫度為試問流體分別為水和空氣

910c15c,

m

時，作用于壁面OAB上的典切應力。

答：物體表面的剪切應力為：州

dy

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由于：吆4u22匕u^y—,當y。時.巴里

2UU

因此:乙I

(1)當流體為水時：

15C時水的密度和運動粘性系數(shù)分別為:

1.0lO^kg/n13,1.139106m2/s,

21.010Jkg/m31.139106m2/s20m/s/0.1m0.4556Pa。

(2)當流體為空氣時：

15C時空氣的空度和運動粘性系數(shù)分別為:

1.226kg/m3,1.45510sm2/s,

21.226kg/m?1.455105m2/s20m/s/0.1m7.14103Pao

1-7有一旋轉粘度計如圖所示。同心軸和筒中間注入牛頓流體，筒與軸的間隙很小，筒以

等角速度轉動。設間隙中的流體速度沿矢徑方向且為線性分布，彳艮長，底部影0向不計。如測得

軸的扭矩為M,求流體的粘性系數(shù)。

答：軸承受的剪切應力：色

dy2

則軸受到的剪切力為:

由于軸受到的扭矩為M,貝I」：

Fd_M,即M；

24

所以：

4M

-idT°

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第二章流體靜力學

2-1如果地面上空氣壓力為0.101325MPa,求距地面100m和1000m高空處的壓力。

答：取空氣密度為L226kg/m.1并注意到IMPa106Pao

(1)】()()米高空處：

ppgh1.01325105Pa1.226kg/rn?9.81m/s2100m

o

101325Pa1203Pa1.00122105Pa

(2)1000米高空處:

ppgh1.0132510?Pa1.226kg/m?9.81m/s21000m

o

101325Pa12027Pa0.89298105Pa

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2-2如果海面壓力為一個工程大氣壓，求潛艇下潛深度為50m、500m和5000m時所承

受海水的壓力分別為多少？

答：取海水密度為1.025103kg/m3,并注意到所求壓力為相對壓力。

(1)當水深為50米時:

pgh1.025103kg/m39.81m/s250m5.028105Pa。

(2)當水深為500米時：

pgh1.025103kg/m39.81m/S2500m5.028106Pao

(3)當水深為5000米時：

pgh1.02510,kg/m39.81m/s25000m5.028IO7Pa。

2-3試決定圖示裝置中A,B兩點間的壓力差。已知：h500mm,h200mm,

12

h150mm,h250mm,h400mm；酒精重度7848N/m3,水銀重度

345

I33400N/nn,水的重度9810N/nvo

3

答：設A,B兩點的壓力分別為p和P,123,4各個點處的壓力分別為p,p,p

B

和P。根據(jù)各個等壓面的關系有：

4

pph

.A3r

pph,

I222

P3P小

2

P3P42小

QPBI

整理得到：

pphhhhhh,

AB35424I3223I

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pphhhhhh

ABI32243541

7848().151334(X)0.250298100.40.2505

55419.3Pa

2-4有閘門如圖所示，其圓心角60,轉軸位于水面上。已知閘門寬度為B,半徑為R,

試求閘門受到的合力及合力與自由面的夾角。

答：（1）求水平分力PhS

iRsin

由于HRsin,則h1HSHBRsinB因此：

c22X

PJ_RsinRBsin

1吏R2B吏R2B。

x22~T8

（2）求垂向分力PV

其中：V—R：1RsinReos-正R2B,

2

B268

_3R?B0.5230.217R2B0.306R2B。

因此PV

68

（3）求合力P

合力大?。篜JP?P20.484LB；

VXz

合力方向：tanp/p0.306R2B/0375081639.2

R2Bo

ZX

2-5設水深為h,試對下述幾種剖面形狀的柱形水壩，分§附算水對單位長度水壩的作用力。

。）拋物線：zax2,（a為常數(shù)）；

0）正弦曲線：zasinbx,（b/a1,a,b為常數(shù)）。答:

(1)zaxz,a為常數(shù)0

水平分力：PhS；

XCX

其中hJhSh1h；因此PIhh1h2。

c2'xX22

垂直分力：Pv.

z

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其中VS1S,而Shxx^ax2dx,并注意到xJh/a,于是得到:

hoh

因此，Pid

(2)zasinbx,(b/a1,a,b為常數(shù))。

11

水平分力：PS1h2o

XcX2

垂直分力：pV；

z

1h

其中VS1S,而Shx\asinbxdx并注意到x-arcsin7于是得到：b

h0ha

Xax,a,a

VXhhasinbxdxxh_cosbxIhxhcosbx

hohbohb

hha1ha

_arcsin_—cosb_arcsin__

babbab

h.h].------a

_arcsin__J2ha—

babb

hi------

因此，p_harcsin—Ja2h2a。

zba

2-6試求圖示單位長度水渠壁面所受的靜水作用力。已知水的重度9810(N/m3),水

渠左壁為丫X的直線，右壁為yX2的拋物線。

答：（1）水渠左壁面受力

①采用平板公式計算

作用力大?。骸浮础?—"67岫

作用力方向：垂直作用于平板OA,并指向OAu

作用點:

乜,i1在，sa1

yy一其中y

ys2c126

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因此，y2^-09427g)hysiM52笊JI/、。

一求一_(m)

f3f323

②采用柱面公式計算

水平分力：PhS98101114905N.

XCX2

垂直分力：PV981011114905N

，2

合刀：P亞—P74905。6936.72N。

(2)水渠右壁面受力

水平分力：PhS98101114905N.

XCX2

垂直分力：PV；

Z

VSIS12

而，S11'X2dx1____；

~T3

o

2

因此PV9810_6540No

23

合力：P戶K8175N。

?XZ

2-7一圓筒形容器的半徑R,所盛水的高度H。若該容器以等角速度繞其中心軸轉動，設

r=0,z=h點的壓力為p0,試求容器內(nèi)水的壓力分布及自由表面方程（設容器足夠高，旋轉

時水不會流出）。

答：（1）作用于筒內(nèi)流體的質(zhì)量力包括兩項：

第一項：與z坐標方向相反的重力，重力加速度為g;

第二項：沿「坐標方向的離心力，離心加速度為2ro

囚此單位質(zhì)量力為：

f2rege,其中：e、e分別為Jz方向的單位向量。

rzrz

（2）對于靜止流體微分方程：f_LP,其中壓力梯度：p上e-Be；

rrz%

將質(zhì)量力f和壓力梯度P代入，則得到：

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pP

2rege_ee;

rzr「zz

比較方程兩端，則得到：

rz

(3)壓力的全微分：dp」drjdz,將P_

2r和

rzr

dp2rdrgdz;

將上式兩端同時積分，得到：

pL2r2gzC,其中C為常數(shù)。

2

將條件r0、zh時pp代入上式，則得到：

0

cpgho

o

即流體內(nèi)部的壓力分布為：

11

p—2r2gzp2ghpg(hz)2r2：

oo

又由于在自由表面上：pp,代入到上述壓力分布式中，則得到：

0

1

-2r2g(hz)0；

2

該式便是筒內(nèi)流體的自由面方程。

2-8底面積axa=200x200mm2的正方形容器的質(zhì)量為m=4kg,水的高度為

1

h=150mni,容器的質(zhì)量為m=25kg的重物作用下沿平板滑動，設容器底面與平板間的

2

摩擦系數(shù)為0.13,試求不使水溢出的最小高度H。

答：(1)求水平加速度a：

X

建立如圖所示坐標系，且設傾斜后不使水溢出地最小高度為Ho

設容器內(nèi)水的質(zhì)量為H1,容器和水的總質(zhì)量為m,則：

1

ma2h1010302020156(kg),

1

mmm4610(kg)。

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由牛頓第二定律：

mgmg（mm>,

22x

其中013為摩擦系數(shù)，則水平加速度為：

ammg」250.1310g0.667g。

xmm235

2

（2）求作用于流體上的單位質(zhì)量力：

1.=

單位質(zhì)量力為：fai勺代入到靜止流體平衡微分方程f_p中，有:

X

aigkJ——Ei_Bk;

XXZ

比較方程兩端，可以得到：

上a,匕&

xxz

（3）求自由表面方程

壓力的全微分為：dp」dx2z。

Xz

在自由液面上，PPconst,dp0o代入到上式中得到：adxgdz0

0

對其進仃積分，得到自由表面方程：

axgzC

X

其中C為常數(shù)。

***（確定常數(shù)c和高度H）：

由于自由表面方程通過兩點：（0，H）、（a，h）,代入到自由面方程中,則有：

1

0agHC(1)

X

aaghC(2)

X1

將（1）代入到（2）中，得到：

aaghgH(3)

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又由于傾斜前后，水體積（質(zhì)量）保持不變，則有：

a2h_a2（Hh）

2i

整理得到：h2hH⑷

將（4）代入（3）中,得到:

aag（2hH）gH,

X

整理得到：

H3ah0667g020J50218（m）,

2g2g

即不使水溢出的最小高度為0.218mo

2-9一物體位于互不相容的兩種液體的交界處。若兩液體的重度分別為，（>）,

1221

物體浸入液體中的體積為V,浸入液體、中的體積為V2,求物體的浮力。

答：設微元面積dS上的壓力為p,其單位外法向量為n,則作用于dS上的流體靜力為

dPpndSo

沿物體表面積分，得到作用于整個物體表面的流體靜力為PoPndS。

S

設V部分的表面積為s,設v部分的表面積為s,兩種液體交界面處物體的截面積為S,

I122o

交界面處的壓力為P。

0

并建立下述坐標系，即取交界面為xoy平面，z軸垂直向上為正，液體深度h向下為正，顯

然hzo

因此PopndSpndSpndSo

sss

I2

在s上pphpz,在S上ppZ；代入到上式中得到：

IUIUI/UX

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zndSpzndS

02

s

2

zndSpndzndS

2

ioc

;s〉

pndSpndzndSzndS

00sl2

S(S,S|S,

在此，需要注意到:由于在交界面上z0,因此有‘zndSzndS°。將這兩

12

SoSo

項分別加入到上式的第二個括號和第三個括號中，則原式成為：

PpndSpndSzndSzndSzndSzndS

o0I

sss

I2I0

opndSozndSczndS

0I2

SSSSS

I020

利用高斯公式，可以得到：

PpdVzdVzdV

0I2

VVV

0VkVk'VVk

II22II22

即物體受到的浮力為PVVk

I122°

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第三章流體運動學

3-1粘性流體平面定常流動中是否存在流函數(shù)？

答：對于粘性流體定常平面流動，連續(xù)方程為：

—L—Lo；

xy

存在函數(shù)：

P(x,y,t)v和Qx,y,tu,

并且滿足條件：

QP

—"V

因此，存在流函數(shù)，目為：

x,y,tPdxQdyvdxudyo

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3-2軸對稱流動中流函數(shù)是否滿足拉普拉斯方程？

答：如果流體為不可壓縮流體，流動為無旋流動，那么流函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，滿足拉普拉斯方程。

3-3就下面兩種平面不可壓縮流場的速度分布分別求加速度。

小、mxmy

0)u----------------------,v----------------------

2X2y22X2yz

0)uKUX2v-S"，其中m,K為常數(shù)。

X2y22X2y22

答：(1)流場的加速度表達式為：

xtxyytxy

由速度分布，可以計算得到：上9,v憶因此：

tt

umy2X2um2xy.

A

X2X2y2，y2X2y22

Vm2xyVmX2y2

y2X2y22

X~2~X2y2'

代入到加速度表達式中：

mxmy2x2mym2xy

m2x

2X2y22

nmxm2xymymX2y2

y2X2y?x2y222X2y22x2yz2

m2y

2X2y22

(2)由速度分布函數(shù)可以得到：

uKy2x2v2Kxy

tX2y22tX2y23

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u-

__2KtxX2U2Kty網(wǎng)上

XX2y23yX2*3

Z2Klyy23X2V2Ktxx?3）、

XX2y23yX2y23

代入到加速度表達式中：

aK”-Kt乎x?2KtxX23y2

xX2y22X2y22X2y23

Kt2xy2Kty3x2

X2ya2X2ya3

Ky2X2Kt22x

X2y22X2y23

aK2xyKtrX22Kty乎3x2

223

yX2yzxzy:x:y2

X2y22X2y23

K2"Kl2—h——

2

X2y2X2y23

3-4已知歐拉參數(shù)表示的速度場分布為uxt,vyI,試求質(zhì)點位移和速度的拉格朗日

表達式。已知t0時xa,ybo

答：（1）流體質(zhì)點的軌跡方程為：

dxudt

9

dyvdt

將速度分布帶入，得到：

dxxtdt

dyytdt

兩個方程除了自變量之外，完全一致，只需要解一個即可。將第一個方程改寫為：

dxdt

一xt

該方程為一階非齊次常微分方程，非齊次項為h先求齊次方程的通解，齊次方程為：

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dxdx

一X,即一出；

dtx

兩端同時積分得到：

InxtC,xCeto

(2)令非齊次方程的特解為:

x41Cte?,對其

兩端求導得到：

dx*t

CteiCtet;

~3U

將上述x*t和dx”代入到原非齊次方程中,有:

dt

Cte?CtetCte?

整理得到：

Ctte?,兩端

同時枳分:

Cttetdtt1CtC

代入到特解中得到:

x*tCte?t1etCeitIC

(3)將初始條件t0時xa代入上式，得到:

Ca1,

I

因此：

x41t1aIet,

同理可得：

y,tt1bIe?o

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軌跡方程為：

rtX*tiytjt1(al)eit1(bl)ej0

(4)用拉格朗日法表達的速度為：

rt...,.

vt-a-Unbleij0t

3-5繪出下列流函數(shù)所表示的流動圖形(標明流動方向)，計算其速度、加速度，并求勢

函數(shù)，繪出等勢線。⑴xy；⑵xy；(3)x/y；(4)x：y2o

答：⑴xy

①流動圖形：流線方程為xyC,流線和流動方向如圖中實線所示；

②速度：U——1，V

y

vuivjij,流場為均勻流動;

③加速度：aaiaj

xy

④求速度勢函I數(shù)：

°,因此流場為無旋流場，勢函

由于平均旋轉角速度L二」loo

Z2xy2

數(shù)(x,y)存在：

x.yx.0x.y

(x,y)udxvdyudxvdyxy；

0.00.0x,0

⑤等勢線：等勢線如圖中虛線所示(與流線垂直)。

(2)xy

①流動圖形：流線方程為叮c,流線和流動方向如圖口實線所示;

U——X,V-y；

yX

Vuivjxiyj；

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③加速度:

UU

au_v_x1y0x

xxy

VV

au_y_x0y1y

yxy

aaiajxiyj；

xy

④求速度勢函數(shù)：

0

由于平均旋轉角速度11——11°°,流場為無旋流場，勢函數(shù)

2xy2

(x,y)存在:

x.yx。x.y|

udxvdyxdxydy

(x,y)y2；

0.00.0xj)

⑤等勢線：等勢線如圖中虛線所示(與流線垂直)。

(3)x/y

①流動圖形：流線方程為K/yC,流線和流動方向如圖中實線所示;

V1

②速度：U_VL

yy2xy

vuivj1j--

y2y

③加速度：

④求速度勢函數(shù):

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由于1VU—°,流場為有旋流場，勢函數(shù)（x,y）不存在。

2~~平

(4)X2y2

①流動圖形：流線方程為X2Y2C,流線和流動方向如圖中實線所示；

②速度：U―2y,v—2X,

yx

vuivj2yi2xjo

③加速度：

uu,

au_v___4x

xxy

vv,

au_v_4y

Vxy

aaiaj4xi4yj；

xy

④求速度勢函數(shù)：

1v____u20,為有旋流場，勢函數(shù)（x,y）不存在。

z2xy

3-6已知平面不可壓縮流體的速度分布為（1）uy,Vx；（2）Uxyrvxy；

（3）ux2y2x,v2xyyo判斷是否存在勢函數(shù)和流函數(shù)，若存在，則

求之。

答：⑴uy,vx

①求速度勢函數(shù)：

12L11110,為有旋流動，勢函數(shù)（x,y）不存在。

z2xy2

②求流函I數(shù)：

由于二,000,滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程，流函數(shù)（x,y）存在：

xy

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xyx0x,y1

(x,y)vdxudyxdxydy-X2y2o

0.00.0x,0

(2)uxy,vxy

①求速度勢函數(shù)：

1V____uJ_1110,為有旋流動，勢國數(shù)（X,y）不存在。

，2xy2

②求流函數(shù)：

由于上二1120,不滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程，流函數(shù)（x,y）不存在。

y

(3)ux2y2x,v2xyy

①求速度勢函數(shù):

12^_u12y2y（）,為無旋流動，勢函數(shù)（x,y）存在:

z2xy2

x.yxjOx,y1

(x,y)udxvdyX2xdx2xyydy—X2Y2

j0,010.0x.O

—--X2xy2_y2

X322

②求流函數(shù):

由于二2xI2XI0,滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程，流函數(shù)（x,y）

xy

存在：

x,yxj)&yI

(x,y)vdxudy2xydxX2Y2ydy2xzyxy一》。

3

0.00.0x.O

3-7已知歐拉參數(shù)表示的速度分布為uAx,vAy,求流體質(zhì)點的軌跡。

答：由軌跡方程藝d[dt,并將uAx和v

Ay代入得到：

UV

dxAxdt

dyaydt

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或者寫成：

—Adtx

電Adt

y

兩端同時積分，得到：

InxAlCxCeAt

i,§Q0n?

InyAtCyCeAt2

2

3-8已知流場的速度分布為UXt,vyt,求t0時通過u,i點的流線。答:

將速度分布函數(shù)代入連續(xù)方程：

_U_V0

xyz

得到：

—0

z

因此可知，速度分布與z坐標無關，流動為二維流動。由流函數(shù)定義式得到：

x.yxX)x,y

(x,y)vdxudyytdxxtdyytxxtyo

0,00,0X。

由于流函數(shù)為常數(shù)時C表示流線，因此流線方程為：

ytxxtyCo

將將條件：當t0,x1、y1代入上式，得C2；因此該瞬時過LU的流線方

程為：

xy10。

3-9已知平面不可壓縮流體的速度分布為uX2t,v2xyt,求tI時過2,1點的流

線及此時處在這一空間點上流體質(zhì)點的加速度和軌跡。

答：(1)求流線方程：

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由于）---2xt2xt0,流函數(shù)（xy晤在，且為：xy

(2y,t)X2tdyX2yt；

則流線方程為：

X2ytC;

將條件：當t1時，x2、y1代入，得C4；則該瞬時過將（2,1）點的流線方程為:

X2y4。

（2）求加速度：

UUVU

—U—X2t2xt2xyt0X2

tX—

vv

2xyX2t2yt2xyt2xt2xy2xzyt2

將條件：t1時，x2、y1代入,得到該瞬時過將（2,1）點的流體質(zhì)點的加速度為:

a12

a'12

y

（3）軌跡方程：

2

x_,yG。

t2

3-10設不可壓縮流體的速度分布為（1）uax2byicz2,vdxyeyzIkx；

（2）uIn卷舁，vsin看皂。其中a、b、c、（1、e、f為常數(shù)試求第三個

速度分布w。

答：（1）將速度分布代入連續(xù)方程：---0,得到：

XyZ

ezd2ax，

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兩端同時積分得到：

1

wx,y,z_ez2d2axzCx,yo

2i

(2)將速度分布代入連續(xù)方程：二__二0,

由于:

u0,20；

因此:

兩端同時積分得到:

wx,y,zCx,yo

2

3-11有一擴大渠道，已知兩壁面交角為1弧度，在兩壁面相交處有一小縫，通過此縫隙流

出的體積流量為It(nVs)，試求(1)速度分布；(2)t0時壁面上「2處

的速度和加速度。

答：(I)求速度分布?

設半徑為r處的徑向速度為V,周向速度為V。顯然v0,且VSQ；其中:

rr

sIrlr,因此徑向速度分布為：

.QL1

(2)求加速度:

VV

7F3-2

(3)當t0時，在r2處:

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17

____u_'a________Jo

r2242232豆

3-12已知不可壓縮平面勢流的分速度為u3ax23ay2,O。點上uv0,試求通過

0。及Q1兩點連線的體積流量。答:

(1)求速度分布：

由平面不可壓縮流體的連續(xù)方程二_得到:

xy

Vu6ax,

yx

兩端同時對y積分：

v6axyC(x)；

將條件：在(°。)點vo代入上式，得到：

C(x)o,

因此：

v6axyo

流動的速度分布為：

u3ax?3ay2,v6axyo

(2)求流函數(shù):

xjOx.y

(x,y,t)udy0dx3ax23ay2dy3aX2yay3o

0.00.0x.O

(3)求流量:

利用流函數(shù)的性質(zhì)：流場中任意兩點的流函數(shù)之差等于通過兩點之間連線的體積流量。

由于：°?！?()1a；因此流量為：

Q0aao

0.00.1

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3-13設流場的速度分布為uax,vay,w2az,其中a為常數(shù)。（1）求線變形速率,

角變形速率，體積膨脹率；（2）問該流場是否為無旋場？若是無旋場求出速度勢。

答：（I）線形變速率為:

V

ua

——**?a.2a；

XXxw

yyy

角形變速率為:

1u1w

0,0,、0.

x，

xy2xy2yz2z

體積膨脹率為：

aa2a0o

xxyy

（2）求速度勢:

由于平均角速度的三個分量分別為：

IWV1UW

—?—U—1?121^0

'2yz>2zX2xy

因此：

ijk0

xyz

即流場為無旋流場，速度勢函數(shù)存在，且為:

X、Z11

(x,y,z)udxvdywdz_ax2_ay2az2o

22

0C0

3-14設流場的速度分布為Uy2z,v7.2x,wx2yo試求（i）渦量及渦線方程;

（2）xyz1平面上通過橫截面積dA1mm2的渦通量。答:

（1）求渦量和渦線方程:

流場的平均旋轉角速度的三個分量分別為：

1VV211

2~I7

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1UW121

y2zx22'

1Vu11

?乙1o

z2xy22

因此平均旋轉角速度為：

1..

_ijvk；

2

則渦量為：

2