2025年歐幾里得競(jìng)賽解析幾何專項(xiàng)突破模擬試卷（坐標(biāo)與向量）-競(jìng)賽技巧版

2025年歐幾里得競(jìng)賽解析幾何專項(xiàng)突破模擬試卷（坐標(biāo)與向量）-競(jìng)賽技巧版一、選擇題要求：在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案的字母填入題后的括號(hào)內(nèi)。1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(4,5)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）。A.(3,4)B.(3,5)C.(4,3)D.(5,4)2.已知向量a=(1,2)，向量b=(2,3)，則向量a與向量b的夾角θ的余弦值為（）。A.1/5B.2/5C.3/5D.4/53.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為（）。A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,-2)D.(-2,-1)4.已知向量a=(3,4)，向量b=(4,3)，則向量a與向量b的點(diǎn)積為（）。A.25B.24C.23D.225.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(4,5)，則線段AB的長(zhǎng)度為（）。A.2B.3C.4D.5二、填空題要求：將正確答案填入題后的括號(hào)內(nèi)。6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(4,5)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）。7.已知向量a=(1,2)，向量b=(2,3)，則向量a與向量b的夾角θ的余弦值為（）。8.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為（）。9.已知向量a=(3,4)，向量b=(4,3)，則向量a與向量b的點(diǎn)積為（）。10.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(4,5)，則線段AB的長(zhǎng)度為（）。三、解答題要求：解答下列各題，寫出解答過(guò)程，求出答案。11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(4,5)，求線段AB的長(zhǎng)度。12.已知向量a=(1,2)，向量b=(2,3)，求向量a與向量b的點(diǎn)積。13.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(1,2)，求點(diǎn)P關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)。14.已知向量a=(3,4)，向量b=(4,3)，求向量a與向量b的夾角θ的余弦值。四、應(yīng)用題要求：根據(jù)題意，運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題。15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,3)，點(diǎn)B(-2,1)，點(diǎn)C(-1,2)。求：（1）線段AB的斜率；（2）線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)；（3）直線AC的方程。五、證明題要求：證明下列各題，寫出證明過(guò)程。16.已知點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(4,5)，點(diǎn)C(6,7)，證明：三角形ABC是直角三角形。六、綜合題要求：綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題。17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(a,b)在直線y=2x+1上，且向量OP與向量OA的夾角為60°，其中O為原點(diǎn)，A(1,2)。求點(diǎn)P的坐標(biāo)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)可以通過(guò)取兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)的平均值得到，即中點(diǎn)坐標(biāo)為((2+4)/2,(3+5)/2)=(3,4)。2.B解析：向量a與向量b的夾角θ的余弦值可以通過(guò)點(diǎn)積公式計(jì)算，即cosθ=(a·b)/(|a|·|b|)。向量a和向量b的點(diǎn)積為1*2+2*3=8，向量a的模長(zhǎng)為√(1^2+2^2)=√5，向量b的模長(zhǎng)為√(2^2+3^2)=√13。因此，cosθ=8/(√5*√13)≈2/5。3.B解析：點(diǎn)P關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)可以通過(guò)交換點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)得到，即對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)。4.A解析：向量a與向量b的點(diǎn)積可以通過(guò)坐標(biāo)乘積的和得到，即a·b=3*4+4*3=12+12=24。5.C解析：線段AB的長(zhǎng)度可以通過(guò)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算，即|AB|=√((4-2)^2+(5-3)^2)=√(2^2+2^2)=√8=2√2。二、填空題6.(3,4)解析：同選擇題第1題解析。7.2/5解析：同選擇題第2題解析。8.(2,1)解析：同選擇題第3題解析。9.24解析：同選擇題第4題解析。10.2√2解析：同選擇題第5題解析。三、解答題11.線段AB的長(zhǎng)度為√2解析：同選擇題第5題解析。12.向量a與向量b的點(diǎn)積為8解析：同選擇題第4題解析。13.點(diǎn)P關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(2,1)解析：同選擇題第3題解析。14.向量a與向量b的夾角θ的余弦值為2/5解析：同選擇題第2題解析。四、應(yīng)用題15.（1）線段AB的斜率為(5-3)/(4-2)=1（2）線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為((-2-1)/2,(1+2)/2)=(-1.5,1.5)（3）直線AC的方程可以通過(guò)點(diǎn)斜式得到，斜率為(2-3)/(-1-2)=1/3，使用點(diǎn)A(2,3)代入點(diǎn)斜式y(tǒng)-y1=m(x-x1)，得到直線AC的方程為y-3=(1/3)(x-2)。五、證明題16.證明：計(jì)算向量AB和向量AC的點(diǎn)積，如果點(diǎn)積為0，則說(shuō)明AB和AC垂直，即三角形ABC是直角三角形。向量AB=(4-2,5-3)=(2,2)，向量AC=(6-2,7-3)=(4,4)。向量AB·向量AC=2*4+2*4=8+8=16≠0。因此，三角形ABC不是直角三角形。六、綜合題17.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3)解析：由于點(diǎn)P在直線y=2x+1上，所以b=2a+1。又因?yàn)橄蛄縊P與向量OA的夾角為60°，所以cos60°=(向量OP·向量OA)/(|向量OP|·|向量OA|)。向量OP=(a,