河北省邢臺市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期質(zhì)檢聯(lián)盟期中考試數(shù)學(xué)試題（含詳解）

2024—2025學(xué)年高一(下)質(zhì)檢聯(lián)盟期中考試注意事項：2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂答題卡上。寫在本試卷上無效。一、選擇題：本題共11小題，每小題5分，共55分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量a=(4,2√3),b=(1,√3),則向量a在向量b上的投影向量是2.下列命題正確的是A.棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面B.所有面都是三角形的幾何體一定是三棱錐C.所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱D.棱臺的所有側(cè)棱所在直線一定交于同一點3.如圖，△ABO在平面直角坐標(biāo)系中的斜二測直觀圖是△A'B'O′,其中O'A′=2,O′B'=√2,則AB=A.2√64.已知某圓柱的軸截面是邊長為6的正方形，則該圓柱的側(cè)面積是A.18πB.36πC.54π棱A?D?的中點，則直線BE與平面ABCD所成角的余弦值是6.已知圓錐SO的軸截面SAB是邊長為4的等邊三角形，C是SB的中點，一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓錐SO的表面爬到點C,則這只螞蟻爬行的最短距離是余弦值是其中正確結(jié)論的個數(shù)是10.某工藝品加工廠收到一塊底面棱長為2√3厘米，側(cè)棱長為2√7厘米的正三棱錐形狀的珍貴木材，現(xiàn)用這塊木材制作一個獨特的球形飾品，則這個球形飾品的表面積的最大值是A.平方厘米B平方厘米C.4π平方厘米D.8π平方厘米二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.12.若平面向量a,b不共線，則下列各組向量可以作為平面向量的一組基底的是A.a+2b,2a+bB.a—2b,—2a+4bC.a+b,a—bD.a—2b,13.已知某圓臺的上、下底面的半徑分別是3和4,且該圓臺的上、下底面的圓周都在半徑為5的球O的球面上，則該圓臺的體積可能是B.37πD.259π14.在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知a=4,a≠b,且8cosA=c,則A.角C的取值范圍是B.b的取值范圍是(4,8)C.△ABC周長的取值范圍是(4+4√2,8+4√3)D.的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分15.已知某棱錐的頂點個數(shù)為m,棱的條數(shù)為k,則k=▲.(用含m的式子表示)16.某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量A,B兩地之間的距離，測得B在C的北偏東30°方向上，A在C的北偏西30°方向上，A在D的北偏東15°方向上，B在D的北偏東75°方向上，C在D的正東方向上，且C,D相距20千米，則A,B兩地之間的距離是▲千米.四、解答題：本題共4小題，共62分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18.(13分)已知向量a=(2,—4),|b|=5.(2)若(2a—b)⊥(a+3b),求|a+19.(15分)如圖，在長方體ABCD-A?B?C?D?中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AA?=2√2,E為棱DD?的中點.(2)求點B到平面A?CD的距離.【高一數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)】·25-443A·掃描全能王20.(17分)(3)記三棱臺EBD-A?B?C?的體積為V?,多面體ACDEA?C?的體積為V?,?的值.21.(17分)(2)若D,E(異于A,B兩點)在線段AB上，且點D靠近點,cos2C=cosC,的取值范圍.2024—2025學(xué)年高一(下)質(zhì)檢聯(lián)盟期中考試數(shù)學(xué)參考答案1.C由題意可得向量a在向量b上的投影向量2.D正六棱柱中兩個互相平行的平面可能是側(cè)面，則A錯誤.正八面體的所有面都是三角形，則B錯誤.底面是菱形的直四棱柱的所有側(cè)面都是全等的矩形，則C錯誤.由棱臺的定義可知棱臺的所有側(cè)棱所在直線一定交于同一點，則D正確.4.B由題意可知該圓柱的底面半徑r=3,高h=6,則該圓柱的側(cè)面積是2πrh=36π.5.A取棱AD的中點F,連接BF,EF(圖略),易證EF⊥平面ABCD,則∠EBF是直線BE與平面ABCD所成的角.設(shè)AB=2,則EF=AA?=3,√AB2+AF2—2AB·AFcos∠BAF=√7,則BE=√BF2+EF2=4,故6.C由題意可知圓錐SO的底面半徑r=2,母線l=4,側(cè)面展開所得扇形的圓心角π,則.因為C是SB的中點，所以SC=2,則這只螞蟻爬行的最短距離AC=7.A取棱PC的中點E,連接AE,DE(圖略),易證DE//PB,則∠ADE是直線AD與PB所成的角或補角.由題中數(shù)據(jù)可知PE=3,AD=2√3,DE=3.由余弦定理可得cos∠APC=8.D因為D是線段BC的中點，所以因為E是線段AD的中點，所以BE=.因為A,F,C三點共線，所以BF=λBA+(1—λ)BC.因為9.B原正方體如圖所示，由正方體的性質(zhì)可知AB,CD相交，EF//CD,直線CD與CG所成的角為60°,AB⊥CG,則①③錯誤，②④正確.10.B由題意可得該木材的表面積√28-3×3=18√3平方厘米，體積=6√2立方厘米.要使這個球形飾品的表面積最大，則這個球形飾品是該木材的內(nèi)切球.設(shè)內(nèi)切球的半徑為r厘米，則,所以設(shè)這個球形飾品的半徑為R厘米，則,故這個球形飾品的表面積平方厘米.正弦定理得12.ACD因為向量a,b不共線，所以向量a+2b,2a+b不共線，向量a+b,a—b不共線，向可以作為平面向量的一組基底.因為),所以向量a-2b,-2a+4b共線，則向量a—2b,—2a+4b不可以作為平面向量的一組基底.13.AC當(dāng)球O的球心O在圓臺外時，圓臺的高h=1,則圓臺的體積為當(dāng)球O的球心O在圓臺內(nèi)時，圓臺的高h=7,則圓臺的體積14.ABD因為a=4,且8cosA=c,所以2acosA=c,所以2sinAcosA=sinC,所以sin2A=所以,A正確.因為,所以16cos2A-4.因為,所以,所以,所以4<16cos2A—4<8,即b的取值范圍是(4,8),B正確.b+c=16cos2A+8cosA-4.設(shè)t=cosA∈+4√2,8+4√3).因為a=4,所以△ABC周長的取值范圍是(8+4√2,12+4√3),C錯誤.,則BD=10√6千米.在△ACD中，由題意可知∠ACD=60°,17.如圖，在線段PE上取點H,使得PE=3PH.DF,BD,記AC∩BD=M,CE∩DF=N,連接MN.因為直線BF//平面ACE,且平面BDF∩平面ACE=MN,所以MN//BF.當(dāng)向量a,b反向時故b=(√5,—2√5)或b=(—√5,2√5).…………………7分(2)因為(2a—b)⊥(a+3b),所以(2a—b)·(a+3b)=0,所以2a2+5a·b—3b2=0.…………………8分因為(a+b)2=a2+2a·b+b2=20+2×7+25=59,12因為AA?=2√2,E為棱DD?的中點，所以DE=√2,則…………………2分因為∠ADE=∠DD?A?=90°,所以△ADE∽△DD?A?,所以∠DAE所以∠AFD=90°,即AE⊥A?D5由長方體的性質(zhì)可知CD⊥平面ADD?A?.因為AEC平面ADD?A?,所以CD⊥AE.………………7分因為A?DC平面A?CD,CDC平面A?CD,且A?D∩CD=D,所以AE⊥平面A?CD.………………8分由題意可得三棱錐A?-BCD的體積.…9分由長方體的性質(zhì)可知CD⊥平面ADD?A?,且A?DC平面ADD?A?,則CDLA?D.………………10分所以△A?CD的面積.…………12分設(shè)點B到平面A?CD的距離為d,則三棱錐B-A?CD的體積…………13分因為V?=V?,所!,解得,即點B到平面A?CD的距離…………………………15分所以DE//AC2分因為DEC平面A?C?DE,ACC平面A?C?DE,所以AC//平面A?C?DE3分(2)證明：由(1)可知DE.……4分因為AC//A?C?,AC=A?C?,所以DE//A?C?,DE≠A?C?,則直線A?E與C?D相交.………………6分設(shè)直線A?E與C?D的交點為P.因為點P在直線A?E上，且A?EC平面ABB?A?,所以P∈平面因為點P在直線C?D上，且C?DC平面BCC?B?,所以P∈平面因為平面ABB?A?∩平面BCC?B?=BB?,所以點P在直線BB?上，……………9分即直線A?E,C?D,B?B交于點P10分則三棱柱ABC-A?B?C?的體積V=Sh.…………………11分因為DE//AC,所以△BDE∽△BCA,且……12分所以△BDE