五年級(jí)奧數(shù)數(shù)論特殊數(shù)的余數(shù)判定及同余定理（A級(jí)）學(xué)生版

一、余數(shù)定理：

a與6的和除以c的余數(shù)，等于〃力分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。

例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4,即兩個(gè)余數(shù)的和3+1.

當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。

例如：23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)為

2

。與人的差除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之差。

例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23—16=7除以5的余數(shù)等于2,兩個(gè)余數(shù)差3—1=

2.

當(dāng)余數(shù)的差不夠減時(shí)時(shí).，補(bǔ)上除數(shù)再減。

例如：23,14除以5的余數(shù)分別是3和4,23—14=9除以5的余數(shù)等于4,兩個(gè)余數(shù)差為3+5—4

=4

，與6的乘積除以C的余數(shù)，等于40分別除以C的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以C所得的余數(shù).

例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23x16除以5的余數(shù)等于3x1=3。當(dāng)余數(shù)的和比除

數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。

例如：23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23x19除以5的余數(shù)等于3x4除以5的余數(shù)，即2.

乘方：如果。與。除以〃?的余數(shù)相同，那么/與Z/”除以，〃的余數(shù)也相同.

同余定理

1、定義

整數(shù)a和b,除以一個(gè)大于1的自然數(shù)m所得余數(shù)相同，就稱a和b對(duì)于模m同余或稱a和b在

模m下同余,即a=b(modm)

2、同余的重要性質(zhì)及舉例。

⑴a=a(modm)(a為任意自然);

〈2)若a三b(modm),則b三a(modm)

(3)若a三b(modm),b=c(modm)則a=c(modm)；

〈4)若a三b(modm),貝4ac三be(modm)

(5)若a三b(modm),c三d(modm),貝ijac=bd(modm)；

(6)若a三b(modm)則an三bm(modm)

其中性質(zhì)(3)常被稱為"同余的可傳遞性”，性質(zhì)〈4〉、(5)常被稱為”同余的可乘性，”性質(zhì)〈6〉

常被稱為"同余的可開方性”

注意：一般地同余沒有"可除性",但是:如果：ac=bc(modm)且(c?m)=1則a三b(modm)

3、整數(shù)分類:

〈1〉用2來將整數(shù)分類，分為兩類:

I,3,5,7,9,(奇數(shù))

0,2,4,6,8,(偶數(shù))

⑵用3來將整數(shù)分類，分為三類:

0,3,6,9,12,(被3除余數(shù)是0)

I,4,7,10,13,(被3除余數(shù)是1)

2,5,8,11,14,(被3除余數(shù)是2)

⑶在模6的情況下,可將整數(shù)分成六類，分別是:

0(mod6)：0,6,12,18,24,

1(niod6)：1,7,13,19,25,

2(mod6)：2,8,14,20,26,

3(mod6)：3,9,15,21,27,

4(mod6)：4,10,16,22,29,

5(mod6)：5,11,17,23,29,

攵和這個(gè)自然數(shù)所有數(shù)字之和被9除的余數(shù)相同。

答競(jìng)賽題中有著廣泛的應(yīng)用.在這一講中，我們將深入理解同余的概念和性質(zhì)，悟出它的一

些運(yùn)用技巧和方法.

【例1】一個(gè)兩位奇數(shù)除1477,余數(shù)是49,那么，這個(gè)兩位奇數(shù)是多少？

【鞏固】1045除以一個(gè)兩位數(shù)，余數(shù)是44.求出符合條件的所有的兩位數(shù).

【例2】有一個(gè)整數(shù)，用它去除73,112,165所得到的3個(gè)余數(shù)之和是60,那么這個(gè)整數(shù)是，

【鞏固】用自然數(shù)〃去除65,94,129得到的三個(gè)余數(shù)之和為30,那么片.

【例3】求6443口+19的余數(shù)

【鞏固】2007X2007X…X2C07(2008個(gè)2007)的個(gè)位數(shù)字是。

【例4】在小于1000的自然數(shù)中，分別除以18及33所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個(gè)?(余數(shù)可以為0)

【鞏固】一個(gè)兩位數(shù)除以13的商是6,除以11所得的余數(shù)是6,求這個(gè)兩位數(shù).

【例5】ZZIS除以41的余數(shù)是多少？

1997個(gè)7

【鞏固】已知a=20082008…2008,問：a除以13所得的余數(shù)是多少？

v-----------V----------?

2008個(gè)2008

［例6］著名的斐波那契數(shù)列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21……這串?dāng)?shù)列當(dāng)中第2013個(gè)數(shù)除以

3所得的余數(shù)為多少？

【鞏固】有一列數(shù)：1,3,9,25,69,189,517,…其中第一個(gè)數(shù)是1,第二個(gè)數(shù)是3,從第三個(gè)數(shù)起，

每個(gè)數(shù)恰好是前面兩個(gè)數(shù)之和的2倍再加上1,那么這列數(shù)中的第2013個(gè)數(shù)除以6,得到的余數(shù)

是.

【例7］將從1開始的到1013的連續(xù)奇數(shù)依次寫成一個(gè)多位數(shù)：A……10111013c則數(shù)。共有位，

數(shù)〃除以9的余數(shù)是

【鞏固】在1995,1998,2000,2001,2003中，若其中幾個(gè)數(shù)的和被9除余7,則將這幾個(gè)數(shù)歸為一組.這

樣的數(shù)組共有組.

【例8】有一個(gè)整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3,求這個(gè)數(shù).

【鞏固】某個(gè)兩位數(shù)加上3后被3除余1,加上5后被5除余1,加上7后被7除余1,這個(gè)兩位數(shù)是0

【例9】有一個(gè)大于1的整數(shù)，除48,62,104所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù).

【鞏固】有一個(gè)整數(shù)，除259、404、810得到相同的余數(shù)。問這個(gè)整數(shù)是幾？

【例10］有一個(gè)自然數(shù)，它除以15、17、19所得到的商(>1)與余數(shù)(>0)之和都相等，這樣的數(shù)最小可

能是多少.

【鞏固】三個(gè)不同的自然數(shù)的和為2001,它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的余數(shù)也相同，這

三個(gè)數(shù)是,,。

”程菖臉蒯

【隨練1】求14389除以7的余數(shù).

【隨練2】絲二除以13所得余數(shù)是.

2013個(gè)“2"

【隨練3】從1,2,3,4,…，2007中取N個(gè)不同的數(shù)，取出的數(shù)中任意三個(gè)的和能被15整除.N最

大為多少？

I

【作業(yè)1】一筐蘋果分成小盒包裝，每盒裝3只，剩2只；每盒裝5只，剩3只。每盒裝6只，剩只。

【作業(yè)2】有一列數(shù)排成一行，其中第一個(gè)數(shù)是3,第二個(gè)數(shù)是1(),從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)恰好是前

兩個(gè)數(shù)的和，那么第2013個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)是多少？

【作業(yè)3】有一串?dāng)?shù)：1,1,2,3,5,8.....從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)之和，在這串?dāng)?shù)

的前2009個(gè)數(shù)中，有幾個(gè)是5的倍數(shù)？

【作業(yè)4】求478x296x351除以17的余數(shù).

【作業(yè)5】現(xiàn)有糖果254粒，餅干21()塊和桔子186個(gè).某幼兒園大班人數(shù)超過40.每人分得一樣多的糖果,

一樣多的餅干，也分得一樣多的桔子。余下的糖果、餅干和桔子的數(shù)量的比是：1：3：2,這個(gè)大

班有名小朋友，每人分得糖果粒，餅干塊，桔子個(gè)。

【作業(yè)6]在