2025年高等數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽及答案

2025年高等數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共12分）

1.下列函數(shù)中，定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)的函數(shù)是：

A.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

B.\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

C.\(f(x)=\ln(x)\)

D.\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

2.下列函數(shù)中，有界函數(shù)是：

A.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

B.\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

C.\(f(x)=\ln(x)\)

D.\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

3.函數(shù)\(f(x)=e^x\)的一個(gè)反函數(shù)是：

A.\(f^{-1}(x)=\ln(x)\)

B.\(f^{-1}(x)=\frac{1}{e^x}\)

C.\(f^{-1}(x)=\ln(e^x)\)

D.\(f^{-1}(x)=\frac{1}{\ln(x)}\)

4.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=0\)處可導(dǎo)，則\(f'(0)\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.不存在

5.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)是：

A.0

B.1

C.2

D.3

6.下列函數(shù)中，連續(xù)函數(shù)是：

A.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

B.\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

C.\(f(x)=\ln(x)\)

D.\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

二、填空題（每題2分，共12分）

7.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)的定義域?yàn)開(kāi)________，值域?yàn)開(kāi)________。

8.函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)的定義域?yàn)開(kāi)________，值域?yàn)開(kāi)________。

9.函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)的定義域?yàn)開(kāi)________，值域?yàn)開(kāi)________。

10.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)的定義域?yàn)開(kāi)________，值域?yàn)開(kāi)________。

11.函數(shù)\(f(x)=e^x\)的反函數(shù)為_(kāi)________。

12.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)________。

三、判斷題（每題2分，共12分）

13.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處可導(dǎo)。（）

14.函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)在\(x=2\)處可導(dǎo)。（）

15.函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)在\(x=0\)處可導(dǎo)。（）

16.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)在\(x=0\)處可導(dǎo)。（）

17.函數(shù)\(f(x)=e^x\)在\(x=0\)處可導(dǎo)。（）

18.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)在\(x=0\)處可導(dǎo)。（）

四、計(jì)算題（每題6分，共36分）

19.計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）\(f(x)=\frac{1}{x}\)

（2）\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

（3）\(f(x)=\ln(x)\)

（4）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

（5）\(f(x)=e^x\)

（6）\(f(x)=x^3-3x\)

20.求下列函數(shù)的反函數(shù)：

（1）\(f(x)=\frac{1}{x}\)

（2）\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

（3）\(f(x)=\ln(x)\)

（4）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

（5）\(f(x)=e^x\)

（6）\(f(x)=x^3-3x\)

21.求下列函數(shù)的極值：

（1）\(f(x)=\frac{1}{x}\)

（2）\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

（3）\(f(x)=\ln(x)\)

（4）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

（5）\(f(x)=e^x\)

（6）\(f(x)=x^3-3x\)

22.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）\(f(x)=\frac{1}{x}\)

（2）\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

（3）\(f(x)=\ln(x)\)

（4）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

（5）\(f(x)=e^x\)

（6）\(f(x)=x^3-3x\)

23.求下列函數(shù)的反函數(shù)：

（1）\(f(x)=\frac{1}{x}\)

（2）\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

（3）\(f(x)=\ln(x)\)

（4）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

（5）\(f(x)=e^x\)

（6）\(f(x)=x^3-3x\)

24.求下列函數(shù)的極值：

（1）\(f(x)=\frac{1}{x}\)

（2）\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

（3）\(f(x)=\ln(x)\)

（4）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

（5）\(f(x)=e^x\)

（6）\(f(x)=x^3-3x\)

五、證明題（每題8分，共32分）

25.證明：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)。

26.證明：函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)在\(x=2\)處可導(dǎo)。

27.證明：函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)在\(x=0\)處可導(dǎo)。

28.證明：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)在\(x=0\)處可導(dǎo)。

29.證明：函數(shù)\(f(x)=e^x\)在\(x=0\)處可導(dǎo)。

30.證明：函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)在\(x=0\)處可導(dǎo)。

六、綜合題（每題10分，共40分）

31.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)，求\(f'(1)\)。

32.已知函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)，求\(f'(2)\)。

33.已知函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)，求\(f'(1)\)。

34.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)，求\(f'(1)\)。

35.已知函數(shù)\(f(x)=e^x\)，求\(f'(0)\)。

36.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，求\(f'(0)\)。

答案：

一、單項(xiàng)選擇題：

1.B2.B3.A4.A5.C6.C

二、填空題：

7.(-∞,0)∪(0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)

8.(-∞,-2]∪[2,+∞)[0,+∞)

9.(0,+∞)(-∞,+∞)

10.(0,+∞)(0,+∞)

11.\(f^{-1}(x)=\ln(x)\)

12.\(f'(x)=3x^2-3\)

三、判斷題：

13.×14.√15.×16.√17.√18.√

四、計(jì)算題：

19.（1）\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)（2）\(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\)（3）\(f'(x)=\frac{1}{x}\)（4）\(f'(x)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\)（5）\(f'(x)=e^x\)（6）\(f'(x)=3x^2-3\)

20.（1）\(f^{-1}(x)=\ln(x)\)（2）\(f^{-1}(x)=\sqrt{x^2-4}\)（3）\(f^{-1}(x)=e^x\)（4）\(f^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)（5）\(f^{-1}(x)=e^x\)（6）\(f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x^{\frac{2}{3}}\)

21.（1）極大值：1，極小值：-1（2）無(wú)極值（3）極大值：1，極小值：-1（4）無(wú)極值（5）極大值：1，極小值：-1（6）極大值：1，極小值：-1

22.（1）\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)（2）\(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\)（3）\(f'(x)=\frac{1}{x}\)（4）\(f'(x)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\)（5）\(f'(x)=e^x\)（6）\(f'(x)=3x^2-3\)

23.（1）\(f^{-1}(x)=\ln(x)\)（2）\(f^{-1}(x)=\sqrt{x^2-4}\)（3）\(f^{-1}(x)=e^x\)（4）\(f^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)（5）\(f^{-1}(x)=e^x\)（6）\(f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x^{\frac{2}{3}}\)

24.（1）極大值：1，極小值：-1（2）無(wú)極值（3）極大值：1，極小值：-1（4）無(wú)極值（5）極大值：1，極小值：-1（6）極大值：1，極小值：-1

五、證明題：

25.證明：當(dāng)\(x\neq0\)時(shí)，\(f(x)=\frac{1}{x}\)的導(dǎo)數(shù)為\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)。當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(f'(0)\)不存在，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)不相等。

26.證明：當(dāng)\(x\neq2\)時(shí)，\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)的導(dǎo)數(shù)為\(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\)。當(dāng)\(x=2\)時(shí)，\(f'(2)=1\)，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)相等。

27.證明：當(dāng)\(x\neq0\)時(shí)，\(f(x)=\ln(x)\)的導(dǎo)數(shù)為\(f'(x)=\frac{1}{x}\)。當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(f'(0)\)不存在，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)不相等。

28.證明：當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)的導(dǎo)數(shù)為\(f'(x)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\)。當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(f'(0)\)不存在，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)不相等。

29.證明：\(f(x)=e^x\)的導(dǎo)數(shù)為\(f'(x)=e^x\)，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)。

30.證明：\(f(x)=x^3-3x\)的導(dǎo)數(shù)為\(f'(x)=3x^2-3\)，因?yàn)槎囗?xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為多項(xiàng)式函數(shù)。

六、綜合題：

31.\(f'(1)=-1\)

32.\(f'(2)=1\)

33.\(f'(1)=1\)

34.\(f'(1)=-\frac{1}{2}\)

35.\(f'(0)=1\)

36.\(f'(0)=-3\)

本次試卷答案如下：

一、單項(xiàng)選擇題：

1.B解析：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞)，值域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞)。函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)的定義域?yàn)?-∞,-2]∪[2,+∞)，值域?yàn)閇0,+∞)。函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)的定義域?yàn)?0,+∞)，值域?yàn)?-∞,+∞)。函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)的定義域?yàn)?0,+∞)，值域?yàn)?0,+∞)。

2.B解析：有界函數(shù)是指存在實(shí)數(shù)\(M\)，使得對(duì)任意\(x\)，都有\(zhòng)(|f(x)|\leqM\)。函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)和\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)的值域?yàn)?0,+∞)，因此不是有界函數(shù)。函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)和\(f(x)=\ln(x)\)的值域?yàn)閇0,+∞)和(-∞,+∞)，因此是有界函數(shù)。

3.A解析：函數(shù)\(f(x)=e^x\)的反函數(shù)是\(f^{-1}(x)=\ln(x)\)，因?yàn)閈(e^{f^{-1}(x)}=e^{\ln(x)}=x\)。

4.A解析：函數(shù)\(f(x)=e^x\)在\(x=0\)處可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為\(f'(0)=e^0=1\)。

5.C解析：函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的導(dǎo)數(shù)為\(f'(x)=3x^2-3\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=±1\)，因此有兩個(gè)極值點(diǎn)。

6.C解析：連續(xù)函數(shù)是指函數(shù)在定義域內(nèi)任意一點(diǎn)處都連續(xù)。函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處不連續(xù)，函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)在\(x=±2\)處不連續(xù)，函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)在\(x=0\)處不連續(xù)，函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)在\(x=0\)處不連續(xù)。

二、填空題：

7.(-∞,0)∪(0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)

8.(-∞,-2]∪[2,+∞)[0,+∞)

9.(0,+∞)(-∞,+∞)

10.(0,+∞)(0,+∞)

11.\(f^{-1}(x)=\ln(x)\)

12.\(f'(x)=3x^2-3\)

三、判斷題：

13.×解析：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)不相等。

14.√解析：函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)在\(x=2\)處可導(dǎo)，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)相等。

15.×解析：函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)不相等。

16.√解析：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)在\(x=0\)處可導(dǎo)，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)相等。

17.√解析：函數(shù)\(f(x)=e^x\)在\(x=0\)處可導(dǎo)，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)相等。

18.√解析：函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)在\(x=0\)處可導(dǎo)，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)相等。

四、計(jì)算題：

19.（1）\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)（2）\(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\)（3）\(f'(x)=\frac{1}{x}\)（4）\(f'(x)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\)（5）\(f'(x)=e^x\)（6）\(f'(x)=3x^2-3\)

20.（1）\(f^{-1}(x)=\ln(x)\)（2）\(f^{-1}(x)=\sqrt{x^2-4}\)（3）\(f^{-1}(x)=e^x\)（4）\(f^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)（5）\(f^{-1}(x)=e^x\)（6）\(f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x^{\frac{2}{3}}\)

21.（1）極大值：1，極小值：-1（2）無(wú)極值（3）極大值：1，極小值：-1（4）無(wú)極值（5）極大值：1，極小值：-1（6）極大值：1，極小值：-1

22.（1）\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)（2）\(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\)（3）\(f'(x)=\frac{1}{x}\)（4）\(f'(x)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\)（5）\(f'(x)=e^x\)（6）\(f'(x)=3x^2-3\)

23.（1）\(f^{-1}(x)=\ln(x)\)（2）\(f^{-1}(x)=\sqrt{x^2-4}\)（3）\(f^{-1}(x)=e^x\)（4）\(f^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)（5）\(f^{-1}(x)=e^x\)（6）\(f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x^{\frac{2}{3}}\)

24.（1）極大值：1，極小值：-1（2）無(wú)極值（3）極