2023-2025北京高一（上）期末數(shù)學匯編：基本不等式

第1頁/共1頁2023-2025北京高一（上）期末數(shù)學匯編基本不等式一、單選題1．（2025北京密云高一上期末）設，且，則（

）A． B．C． D．2．（2025北京四中高一上期末）若，且，則下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．3．（2025北京朝陽高一上期末）已知不等式對任意恒成立，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．4．（2025北京八中高一上期末）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（2024北京密云高一上期末）已知，則有（

）A．最大值0 B．最小值0C．最大值 D．最小值6．（2024北京西城高一上期末）已知，則的最小值為（

）A．－2 B．0 C．1 D．7．（2024北京西城高一上期末）在中，已知，，，為線段上的一點，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．（2023北京豐臺高一上期末）已知，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．29．（2023北京十一學校高一上期末）已知實數(shù)，滿足，，且，則的最小值為（

）A．8 B．10 C．12 D．1410．（2023北京西城高一上期末）某物流公司為了提高運輸效率，計劃在機場附近建造新的倉儲中心．已知倉儲中心建造費用C（單位：萬元）與倉儲中心到機場的距離s（單位：）之間滿足的關系為，則當C最小時，s的值為（

）A．20 B． C．40 D．40011．（2023北京東城高一上期末）已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．512．（2023北京八中高一上期末）已知，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．413．（2023北京密云高一上期末）已知函數(shù)，則此函數(shù)的最小值等于（

）A． B． C． D．14．（2023北京高一上期末）已知實數(shù)，且，則的最小值是（

）A．21 B．25 C．29 D．33二、填空題15．（2025北京順義高一上期末）已知函數(shù)，那么當時，函數(shù)取得最小值且最小值為.16．（2025北京豐臺高一上期末）已知正數(shù)滿足，則的最大值是，的最小值是．17．（2025北京延慶高一上期末）已知，則的最大值為，當且僅當時，等號成立.18．（2025北京密云高一上期末）已知函數(shù)，則的最小值等于．19．（2024北京朝陽高一上期末）若，則的最小值是．20．（2024北京順義高一上期末）已知函數(shù)，則當時，函數(shù)取到最大值且最大值為.21．（2024北京石景山高一上期末）已知，則當時，取得最小值為.22．（2024北京東城高一上期末）設，則的最小值為.23．（2023北京平谷高一上期末）已知某產品總成本C（單位：元）與年產量Q（單位：件）之間的關系為．設年產量為Q時的平均成本為f（Q）（單位：元/件），那么f（Q）的最小值是．24．（2023北京通州高一上期末）已知，則的最大值為，最小值為．25．（2023北京大興高一上期末）若直角三角形斜邊長等于12，則該直角三角形面積的最大值為；周長的最大值為．26．（2023北京懷柔高一上期末）已知，則的最小值為.三、解答題27．（2023北京石景山高一上期末）有這樣一道利用基本不等式求最值的題：已知且求的最小值.小明和小華兩位同學都“巧妙地用了”，但結果并不相同.小明的解法：由于所以而那么則最小值為小華的解法：由于所以而則最小值為（1）你認為哪位同學的解法正確，哪位同學的解法有錯誤？（2）請說明你判斷的理由.

參考答案1．C【分析】對于A和D，利用作差法排除；對于B，利用不等式性質推理排除；對于C，利用基本不等式可推理得到.【詳解】對于A，由，因，故得，即A錯誤；對于B，由兩邊同除以，可得，故B錯誤；對于C，因，則，當且僅當時取等號，因，故得，即C正確；對于D，由，因，故得，故D錯誤.故選：C.2．B【分析】AD通過分析符號可完成判斷；B由基本不等式可判斷選項正誤；C由做差法可判斷選項正誤.【詳解】對于A，因，則同號，但由題不能判斷同為正或同為負，當為負數(shù)時，，則A錯誤；對于B，，當且僅當，即時，取等號，故B正確對于C，，故C錯誤；對于D，由A分析，當為負數(shù)時，，則D錯誤；故選：B3．A【分析】根據(jù)題意，由不等式恒成立可得，且是方程的一個正根，從而可得的關系，再由基本不等式代入計算，即可得到結果.【詳解】令，其對稱軸為，當時，，若，當時，要使不等式對任意恒成立，則對任意恒成立，當時，不滿足題意，所以，且是方程的一個正根，將代入可得，即，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：A4．B【分析】根據(jù)，展開根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】由題意，，當且僅當，即時取等號.故選：B5．B【分析】利用基本不等式求最值即可得到結果.【詳解】因為，所以，當且僅當即時等號成立.故選：B.6．B【分析】由基本不等式求得最小值．【詳解】∵，∴，當且僅當即時等號成立．故選：B．7．D【分析】由sinB=cosA?sinC化簡可求cosC=0即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考慮建立直角坐標系，由P為線段AB上的一點，則存在實數(shù)λ使得,由，為單位向量，可得，，可得,可得，則由，利用基本不等式求解最小值．【詳解】中設，，，，即，，，，，，，，，根據(jù)直角三角形可得，，，，，以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸建立直角坐標系可得，，，P為直線上的一點，則存在實數(shù)使得,設，，則，，,,，則,,故所求的最小值為,故選：D.【點睛】本題為平面向量的綜合題，考查解三角形、平面向量數(shù)量積、平面向量共線定理、基本不等式的應用，屬于綜合題，解題關鍵在于將三角形中數(shù)量關系利用向量坐標運算進行轉換，屬于較難題.8．B【分析】變形為，再根據(jù)基本不等式即可求解最值.【詳解】由于，故，所以，當且僅當，即時等號成立，故最小值為4.故選：B9．C【分析】利用1的妙用，結合基本不等式求解最值即可．【詳解】因為，，且，所以，當且僅當，即時取等號，則的最小值為12．故選：C．10．A【分析】根據(jù)均值不等式求解即可.【詳解】因為，當且僅當，即時等號成立，所以當C最小時，s的值為20.故選：A11．D【分析】利用基本不等式的性質求解即可.【詳解】因為，所以.當且僅當，即時等號成立.所以的最小值為.故選：D12．C【分析】根據(jù)給定條件利用均值不等式直接計算作答.【詳解】因為，則，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值為.故選：C13．D【分析】將函數(shù)配湊為，利用基本不等式可求得結果.【詳解】，，（當且僅當，即時取等號），的最小值為.故選：D.14．A【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】∵，等式恒成立，∴，由于，所以∵，當且僅當時，即時取等號．∴，∴，故的最小值為21．故選：A15．25【分析】應用基本不等式計算最小值及根據(jù)取等條件求x的值.【詳解】因為，所以函數(shù)，當且僅當，即時取最小值5.故答案為：2；5.16．/0.5【分析】由基本不等式直接進行求解，得到，再變形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】正數(shù)滿足，由基本不等式得，即，解得，當且僅當，即時，等號成立，，故，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故答案為：，17．【分析】利用基本不等式可得何時取何最大值.【詳解】，當且僅當即時等號成立，故的最大值為，此時，故答案為：，.18．5【分析】湊項利用基本不等式即可求得的最小值.【詳解】由，因，故，因，當且僅當時，即時等號成立，即當時，取得最小值為5.故答案為：5.19．3【分析】，利用基本不等式可得最值．【詳解】∵，∴，當且僅當即時取等號，∴時取得最小值3.故答案為：3．20．/【分析】利用均值不等式求解即可.【詳解】因為，所以，當且僅當時，即時等號成立.故答案為：；21．【分析】由基本不等式求解即可.【詳解】因為，，所以，當且僅當，即時取等，所以當時，取得最小值為.故答案為：；.22．5【詳解】，當且僅當時取等號點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.23．1600【分析】由題意得到年產量為Q時的平均成本為，再利用基本不等式求解.【詳解】解：因為某產品總成本C（單位：元）與年產量Q（單位：件）之間的關系為．所以年產量為Q時的平均成本為，當且僅當，即時，取得最小值，最小值為1600，故答案為：160024．【分析】由可推出，即得，即可得到最值.【詳解】因為成立，當且僅當時，等號成立.所以，即，解得.所以，當且僅當時，有最大值；當且僅當時，有最小值.故答案為：；.25．36；【分析】由條件，利用基本不等式可求面積的最大值和周長的最大值.【詳解】設兩條直角邊的邊長分別為，則，，，由基本不等式可得，故即，當且僅當時等號成立，故直角三角形面積的最大值為，又，，所以，即，當且僅當時等號成立，所以直角三角形周長的最大值為，故答案為：36，.26．【分析】由可得，將整理為，再利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，故答案為：【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立