新亮劍數(shù)學(xué)第7章立體幾何

第七章立體幾何

第1節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)和直觀圖

磨劍?爆前自學(xué)

課標(biāo)要求譽(yù)向分析

1.利用實粉、計算機(jī)軟件等視察空間

圖形，口識桂、錐、臺、球及簡單坦

合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這空特征描

空間幾何體是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的一個很好的載體，有單獨考杳的，如幾何體的識別，求距

述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).

哀、賽面面根等，也有與體積、表面積結(jié)合考查的

2僂用斜二測畫法畫出簡單空間圖形

（長方體、球、圓柱、圓健、橫柱及

其簡單蛆合）的直觀圖

知識|清;ZHISHIQINGDAN

一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

一1~贏1只「-秘上極、下都底」面什是里上柏普匕的多邊形，并且相互平行

而斗問產(chǎn)而是任意外形

--------11~]L例而是有一個聲電二的三角形

,一,?■山千行于?面的平面翻根儺得到的底面

H-臺凡與極面之間的部分

L上、下底面息柯似的多邊影

二、空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用畫法策畫,基本規(guī)則是：

1.原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中,X軸、y軸的夾角為45°（或135°）]軸與*即、y軸所在平面垂直.

2.原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中.平行于x軸和z軾的線段長度在直觀圖中

不⑥，平行于y軸的線段長度在直觀圖中.

拓展TUOZHANZHISHI

1.臺體可以看成是由椎體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)核延長后必交于一點.

2.斜二測畫法中的u三變"與"三不變"

“三變坐標(biāo)軸的夾角改變:②與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼摹霭?③圖形改變.

“三不變”:①平行性不變;②與x軸,z軸平行的境段長度不變;③相對位置不改變.

KeCHAQUEBULQU

【概念辨析】

判斷下列結(jié)論的正誤.(對的打V”,錯的打“才)

⑴有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()

(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()

(3)用斜二測畫法畫水平放置的時，若/人的兩邊分別平行于4軸和p軸，且//1=90°,則在直觀隆中/4=90°.()

(4)夾在兩個平行的平面之間,其余的面都是梯形:這樣的幾何體一定是棱臺.()

答案⑴*(2)*(3)*(4)*

解析(1)錯談.棱柱必須滿足所有側(cè)棱都平行且相等.

(2)錯誤.棱錐必須滿足所有側(cè)面有一個公共質(zhì)點.

(3)楮諜.在直觀圖中二4的兩邊分別平行x軸和y軸，故直觀圖中2/IN5°或/A=135°.

(4)錯誤.棱臺必須滿足所有側(cè)棱的延長線交于一點，

【基礎(chǔ)自測】

關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說法中不正碑的是().

A.棱柱的側(cè)梭長都相等

B.棱鍵的側(cè)棱長都相等

C.三棱臺的上、下底面是相似三角形

D.有的樓臺的側(cè)棱長都相等

B根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知卷錐的側(cè)模長不一定都相等.

2.

如圖所示,三樓臺ABMBya中，沿面48。截去三樓錐4/日。,則剝余部分是().

A.三梭錐B.四棱錐

C.三棱臺D.四樓臺

B由施意知，剿余部分是四樓僂4-38CC故選B.

一水平放置的平面四邊形Q48c用斜二測畫法畫出它的直觀圖。為3。如圖所示,此直觀圖恰好是一個邊長為1的正方形，則原

平面四邊形048c的面積為.

2近因為直觀圖的面積是原圖形面積的學(xué)，且直觀圖的面積為1,所以原圖形的面積為2衣.

4

【易錯檢測】

4.

B'

如圖所示，等腰自/3'C是心H8C的直觀圖，那么綺18。是().

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.鈍角三角形

B解，由新圖知,ACRy軸釉.由斜二測畫法知，在A/8c中/Cl|y軸軸,..AQ/18又

AC=A'B'v.AC=2AB^ABr^ABC是直角三角形.

5.從長方體的一個頂點出發(fā)的三條棱上各取一點EAW不與頂點重合入過此三點作長方體的截面，那么這個截面的形狀是().

A,銳角三角形B.矩形

C.平行四邊形D.正方形

A

悟劍?媒堂精講

6二'/三三

對應(yīng)學(xué)生書《自學(xué)聽講》P132

|考點

KAODIANTANJIU

怎箱i>iWJL何體的結(jié)

例0(1)下列敘述中，正確的個數(shù)是().

①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；

②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；

③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；

④用一個平面去截圓錐,一定能得到一個圓錐和一個圓臺.

A.OB.1C.2D.3

(2)下列關(guān)于棱臺的說法中，正確的個數(shù)為().

①所有的側(cè)棱交于一點；

②只有兩個面互相平行；

③上下兩個底面全等；

④所有的側(cè)面中不存在兩個面互相平行.

A.1B.2C.3D.4

分析(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的幾何特征即可判斷正誤.

(2)利用棱臺的定義與性質(zhì)判斷選項的正誤即可.

(1)B(2)C解析(1)。錯誤，以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓

髭以斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐;②錯誤，以直角梯形垂直二底邊的一腰所在直線為軸

旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓臺;③正確;端誤，用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以得到一個圓錐和一個圓臺，故

港B.

(2)由棱臺的定義可知,所有的側(cè)枝交于一點，①正確;只有上、下底面互相平行，②正確;上下兩個底面相似

而非全等，③不正確;所有的側(cè)面中不存在兩個面互相平行,仞正確.故選C.

方法息tfi

解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的技巧熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)基幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線

面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題亶判定.（2）通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說明一個命題是鐳誤的，只要舉出一個反例即可.

【針對訓(xùn)練1】

給出下列命題：

。棱柱的側(cè)棱都相等制面都是全等的平行四邊形；

②存在每個面都是直角三角形的四面體；

③樓臺的側(cè)樓延長后交于一點.

其中正確命題的序號是.

答案②③解析

①不正確，根據(jù)樓柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等;②正確，如圖，正方體中的三樓

唯G-/I8G,四個面都是直角三角形;③正確，由樓臺的概念可知.

%初空間兒何體的截面判斷

劭自己知正方體48co-48的棱長為1,點￡戶分別是棱。iG,81G的中點，過￡尸作一平面a,

費得平面司平面力則平面。截正方體的表面所得平面圖形為（）.

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

會析根據(jù)平面的性質(zhì)作出截面的圖形，然后判斷形狀.

D如圖所示，平面。是平面￡尸GAJK截面是六邊形，故選D.

我截面的依據(jù)是平面的性質(zhì)，判斷截面的形狀的關(guān)犍是作出做此而作威面的根據(jù)是確定戴點，有了位于多面體同一表面上的兩個微點，即可

連接龍截線,進(jìn)而得藏面.

【針對訓(xùn)練2】

在所有棱長均為2的正三棱柱48c?4自。中式EG分別為48CG/C的中點，則羥過三點的截面是（）.

A,三角形B.梯形

C.四邊形D.五邊形

答案

B如圖，取BB、的中點為“連接FH、4石根據(jù)平面性所可知四邊形￡G戶”是梯形,故選B.

砥初）空間幾何做

D

:例?有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所

示則這塊菜地的面積為.

2號解析過點工作4￡1的于點刊圖略），在中,484〃降考

仁

而四邊形百ECO為矩形乂。;，

..EC=AD=A.

BC=BE+EC^+A.

由此可還原直觀圖如圖所示.

在原圖形中4。'=1/夕=2,6。4，1,

且4OH6'C；A8：L8'C：

二這塊菜地的面積為S^A'D'+B'CyA'B^+1+￥）或=2殍.

［變靈&看若本例改為"481G是邊長為。的正三角形，且“出。1是"8。的直觀圖"，則以8。的面積為多少？

如圖在"QG中油正弦定理

【針對訓(xùn)練3】

已知等腰梯形/8C0,上底。。=1,腰4?=^,下底4建3以下底所在直線為*軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖

4萬。。的面積為.

72

答案如圖所示,作出等腰梯形片8。的直觀圖.

因為0￡=J（近聲閆,所以0嗚E嗯.

則直觀圖力的面積S號號邛.

素養(yǎng)SUYANGDACHENG

直觀想象一空間幾何體的展開問題

空間幾何體的展開問題是立體幾何的主要問題，這種方式的轉(zhuǎn)變是空間幾何體與平面幾何問題的轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn).處理這類

例里的關(guān)鍵是抓住兩圖的特征關(guān)系,折疊問題是立體幾何的一類典型問題.是實踐能力與創(chuàng)新能力考查的好素材.而表面展開問題

是折疊問題的逆向思維、逆過程,一般地，涉及多面體表面的問題,解題時不妨將它展開成平面圖形試一試.

第

C,

如圖，在正三棱柱48cHi61G中八8夕,刈1之行,。尸分別是棱AB.AA^的中點/為棱4C上的動點，則心0回戶的周長的最小值

故).

A.2及+2B.2V3*2

C.V6*2D."+2

答案D

R

:三棱柱/8C-48G為正三棱柱,.?48C為等邊三角形且加口平面48C.

S￡X=平面ABC,..AA^AD,.'.DF^/TT3^2.

把底面48C與側(cè)面ACCyAy在同■平面展開，如圖所示:

當(dāng)0,￡尸三點共戰(zhàn)時，。三十斤取得最小值，

又zFAD^50。4戶時/。=1,

.(DE*￡^)mm=V4F2+AD2-2AFADcosFA9=j4-2y/3x卜爭巾

:&0E尸周長的最小值為0，2,故選D.

【突破訓(xùn)練】

在三棱錐夕〃8。中,以=%=必眸乂0°,則從點A出發(fā)繞三棱檢表面一周后再回到點4的最短路程

為.

答案1OV5解析

將三棱鞋PXGC沿以展開，展開圖如圖所示.

則最短距離為44],由題意知外也4月0,/4以=120°,

所以明=10百.

高考真題GAQKAQZHENTI

1.

（2018年上海卷）《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱催為陽馬.設(shè)91是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若

陽馬以該正六樓柱的頂點為頂點，以M為底面矩形的■邊,則這樣的陽馬的個數(shù)是（）.

A.4B.8C.12D.16

答案D解析

如圖,若陽馬的底面矩形為刖，88,則其頂點可以為￡白,0,01；

若陽馬的底面矩形為/Wi巧6則其頂點可以為GG,0,0i；

若陽馬的底面矩形為24GG則其頂點可以為D,Dy,F、F\；

若陽馬的底面矩形為則其頂點可以為BBQ。.

故滿足題意的陽馬有16個.故選D.

（2019年全國健）中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時

期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形隹成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了

數(shù)學(xué)的對稱美用2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所看頂點都在同一個正方體的表面上,巨此正方體的棱長為1.則該羋正

多面體共有個面，箕棱長為

?1圖2

答案26V2-1解析

a

k/

由圖2知最上面是一個正方形，即1個面，其4條棱對應(yīng)4正方形，其4個頂點對應(yīng)4個三角形，共計9個面;4個正方形與4個三

為形分別對應(yīng)8個正方形，共計17個面.由半正多面體的對稱性可知，共17*9=26個面.

設(shè)小正方形的樓長為a,則由題意知a.2釁，引,解得

亮劍?高效訓(xùn)練

?…二.…yf

對應(yīng)￡高效調(diào)練｝P59

N基礎(chǔ)打磨

用任意一個平面猿一個幾何體，各個猿面都是圓面，則這個幾何體一定是（）.

A.圓柱B.圓錐

C.球體D.圓柱、圓錐、球體的組合體

C解析截面是任意的且都是圓面則該幾何體為球體.

2.

（2020屆湖北省孝感市聯(lián)考）如圖,已知某BQ柱的底面周長為12,高為2,矩形是該圓柱的軸截面,則在此圓柱的側(cè)面上，從月

到。的路徑中，最短路篌的長度為（）.

A.2網(wǎng)B.2遙C.3D.2

A圓柱的惻面展開圖是如圖所示的矩形,且矩形的長為12,寬為2.

則在此圓柱惻面上從4到C的最短路徑為線段4C4CHF彳不=2回.

3.下列命題正確的是（）.

A.兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是樓臺

B.兩個面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體是樓臺

C.直角梯形以一條直角膜所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺

D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形

答案C解析

如圖所示,可排除A、B選項.對于D選項，只有截面與圓柱的母線平行或垂直時，截得的截面為矩形或圓，否則截面為橢圓或

桶圓的一部分.故選C.

4.已知一個圓椎底面半徑為1,母線長為3,則該回錐內(nèi)切球的半徑為（）.

A.yB.1C.V2D.2

A

依題意，作出圓錐與球的軸戴面，如圖所示,設(shè)球的半徑為易知軸戴面三角形邊<8上的高為2a,因此竽壬解得等.

已知直三樓柱人8c49G的6個頂點都在球。的球面上，若48=3,4。4,4/人￡>1462,則球。的半徑為（）.

A.季B.2\fl0C.yD.3VI0

C

如圖,由球心作平面48c的垂線，則垂足為8c的中點例又4g序不不忘。嶼加1W,所以球0的半徑

R=0在胞/+62岑.

6.（本題為多項選擇題）以下命題中為真命題的是（）.

A.若棱柱被一平面所截，則分成的兩部分不一定是棱柱

B.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫橫柱

C.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐

D.當(dāng)球心到平面的距寓小于球面半徑時，球面與平面的交線總是一個圓

答案AD解析只有平行于底面的平面豉棱柱分成的兩部分一定是棱柱，故A正確；

有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫梭柱，故B不正確；

有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體不一定是模錐,由三棱錐的定義可知，其余備面都是共有同一個頂點的三角

秋故C不正碉；

當(dāng)晚心到平面的距離小于球面半徑時，球面與平面的交線總是—個?I,故D正確.

綜上可得,AD正確.

7（2020屆江蘇模擬）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為6,圓心角為g的扇形，則圓錐的高為（）.

A.V33B.V34C.V35D.6

C因為側(cè)面展開圖是一個半徑為6,圓心角為g的扇形，所以圓錐的母線長為6,設(shè)其底面半徑為。則;悠或口/*,

U（J

所以F,所以圓錐的高為質(zhì)RR5G.故選C.

8.

（2020屆四川樂山市第一次調(diào)研）如圖所示，用一邊長為蜴的正方形硬紙,按各邊中點垂直折起四個小三角形,做成一個里巢，將體

現(xiàn)為專的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋集形狀保持不變，則雞蛋腐蛋集底面的最短距禹為（）.

A粵B粵

"TnV3-1

D因為蛋巢的底面是邊長為1的正方形,所以過四個頂點截雞蛋所得的截面S3的直徑為1.又因為雞蛋的體

根為與，所以球的半徑為1,所以球心到截面的距離d=回耳，故截面到球體最低點的距離為1弓,而蛋巢的高度為故球體到蛋

第底面的最短距離為與岑.

（2020屆廣州模擬）正方體中,例聲分別是核DDy和88上的點，位片。。1,施38%那么正方體中過

的截面圖形是（）.

A.三角形B.四邊形

C.五邊形D.六邊形

答案C解析

先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點，再確定截面與幾何體的棱的交點會直級CMC。相交于點只直線

3NC8相交于點Q,

連接尸Q交直線力。于點￡交直線48于點F,

則五邊形&朋為所求截面圖形.

圓臺的兩個底面面積之比為49母線與底面的夾角是60°,軸截面的面積為180打.則圓臺的母線長月）.

A.6V3B,6&C.12V3D.12

D設(shè)圓臺的上底面半徑為21則其下底面半徑為3。

可作圓臺的軸截面如圖所示：

其中DEIAB,CFLAB,ZDAE=ZCBF=^Q°,

.DE=GF=^r.AE=BF=r,EF=4r,

:軸截面面積S=S-EFCO+S-ADE+S，BFCRr陋Hr6E806保得

.閥線長用40=24m2.

W能力拔高

11.下列說法一定正確的是（）.

R.直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)形成圓惟

B.等邊三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)形成圓錐

C.平面截圓錐所得的圖形是圓

D.過圓錐頂點的截面圖形是等腰三角形

答至D解析直角三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)形成的是兩個圓錐組成的組合體，故A錯誤；

等邊三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)組成的是兩個圓隹組成的組合體，故B錯誤；

平面截圓錐所得的圖形是圓虱橢圓或拋物線或雙曲線的一支，故C情誤；

圓錐的母線均相等，故過圓錐頂點的截面圖形是等腰三角形，故D正確.

2.（云南名校2020屆聯(lián)考）校長為2的正方體.48CD-48G中,EQG分別是48,4。8G的中點，那么正方體內(nèi)過￡；EG

的藏面面積為（）.

A.3企B.3百C.2百D.2x/z

B分析正方體結(jié)構(gòu)可以得知,該截面為一個邊長為夜的正六邊形，其面枳為6邛故選B.

3.如圖，長方體ABCD-A\B\C\D\中，8=3,8C=2,g=1,則線段BCh的長是（）.

A.V14B.2V7C.28D.3V2

A解析BD\5MBz+AD?+刈R9+4+1故選A.

設(shè)球。是正方體ABCD-ABCiR的內(nèi)切球,若平面ACD.截球。所得的截面面積為6TT,則球。的半徑為（）.

A.1B.3C.yD.V3

答案B解析

如圖，易知8。過球心。且801平面47。,不妨設(shè)垂足為“正方體棱長為a,則球羋徑/?4,易知

截面圓半徑尸、府◎外￥國由截面圓面積得理日=\后,日寸,.球。的半徑為華=3.

X\Z/t>oZ

區(qū)思維拓展

（湖南長沙市2020屆高三月考）圓錐的母線長為2,其惻面展開圖的中心角為。弧度，過圓錐頂點的截面中湎積的最大值為2.

則6的取值范圍是（）.

A.[V2TT,2TT）B.[n,72n]

C.{>/2n}D.愕m）

答案A解，設(shè)軸轂面的中心角為G過圓錐頂點的截面的頂角為￡且廬a

過圓錐頂點的截面的面積為或咫in/?=2Sin網(wǎng)

又過圓錐頂點的磁面中，面積的最大值為2,

故此時叫做新a<m

圓錐底面半徑Wsin*[及,2）,

故側(cè)面展開圖的中心角為。弧度網(wǎng)善=2nsin*（6n,加）.

（2020屆湖北部分重點中學(xué)聯(lián)考）如圖,已知四面體，8C。為正四面體,匈3=2石尸分別是47,8C為中點.若用一個與直線守垂

直，且與四面體的每一個面都相交的平面。去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形敬面面積的最大值為（）.

A.1B.V2C.百D.2

A解析

將四面體48C0補(bǔ)成正方體，如圖所示.

:日二％截面為平行四邊形MNKL,可得NK+KLQ

又MN\AD,KL\BC,且AD±BC,..KNiKL,

可得=/vx/as（畔今2=1,當(dāng)且，又當(dāng)Mf=/a時取等號，故選A.

L

第2節(jié)空間幾何體的表面積與體積

磨劍?源前自學(xué)

對應(yīng)學(xué)生書《自學(xué)聽講2P133

高考GAOKAODONGTAI

諛標(biāo)要求考向分析

知道球、棱柱、棱1規(guī).則幾何體的表面稹與體積.

錐、梗臺的表面枳和體枳2組.合體的表面積與體枳.

的計算公式.能用公式解決3.體積中的最值問談.

簡單的實際問題4空.間幾何體的切接問題

知識ZHISHIOINGDAN

一、幾何體的表面積

1.棱柱、棱鍍、樓臺的表面積就是各個面的面積之和.

2.圓柱、圓錐、圓臺的惻面展開圖分別是矩形、扇形、一環(huán).

3,若圓柱,圓錐的底面半徑為A母線長為《則其表面積為5柱2113+2開〃$程=.

4.若圓臺的上、下底面半徑分別為八色母線長為/則圓臺的表面積為S=_中_琢

5.半槎為々的球的表面積為.

二、幾何體的體積

1.%/Sh.

2.P慎體qs/z.

3.l/fj體l/團(tuán)臺小昭父)。

4.%=*TN.

■S

拓展TUOZHANZHISHI

1.與體積有關(guān)的幾個結(jié)論

(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.

(2)庭面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等.

2.幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

(1)正方體的梗長為a球的半徑為尺

沸球為正方體的外接球廁2RNU

②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R形

靖球與正方體的各楂相切，則2/?個5a

(2)若長方體過同一頂點的三條棱長分別為a,Ac,外接球的羋徑為尺則2立6EG.

(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3.1.

查缺CHAQUEBULOU

【概念辨析】

判斷下列結(jié)論的正誤.（對的打、匚錯的打-2）

⑴椎體的體積等于底面面積與高之積.（）

（2）球的體積之比等于半徑比的平方.（）

（3）臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個健體的體積之差.（）

（4）已知球。的半程為用其內(nèi)接正方體的棱長為a,則月號2（）

答案⑴*⑵*⑶，（4H

⑴錯誤雉體的體積等于孑底面積*菽

（2）錯誤.球的體積之比等于半徑比的立方.

（3）正聃,臺體是由一個錐體截去一個較小的椎體形成的，

（4）正確.若球為正方體的外接球網(wǎng)2R/a

【基礎(chǔ)自測】

1.已知圓錐的表面積等于12ncm2,其側(cè)面展開圖是一個半圓，則圓錐底面圓的半徑為（）.

A.1cmB.2cmC.3cmD.|cm

答案B解析SsAT/4+nr2/^3n/e=\2n,.=4,.：f=2cm.

2（2015年全國推）

卷九章算術(shù)3是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題、今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其

意思為:“在屋內(nèi)珞角處堆放米（如圖，米堆為一個EI椎的四分之一）,米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放

的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有（）.

A14斛B22斛C.36M666斛

B斛，,設(shè)圓錐底面半徑為視觸如=8（尺），所以嶗尺），所以米堆的體積為另*3巖了對等立方尺），故堆放

的米約為竽*.62=22（斛）.

3.平面。截球。所得截面圓的半徑為1,球心。到平面a的距離為&，則此球的體積為（）.

A.廝B.4V3nC.4V6TTD.6百開

B解析設(shè)球的半徑為/?,由球的被面性質(zhì)得/?水涼鼻子療，所以球的體積看TT斤H6m

【易錯檢測】

若明錐的側(cè)面積是底面積的2倍,則其母線與度轉(zhuǎn)軸所成角的大小是.

普豐I設(shè)圓錐的母線與旋轉(zhuǎn)軸所成角為8,由題意得用腳上2凡所以sin若毛即練.

故母線與軸所成角的大小吃

5.

h

cl-------ID

如圖，直角梯形48C0中/。若將該直角梯形繞SC邊旋轉(zhuǎn)一周，川所得的幾何體的寰面積

為.

答案（立#3）TT解析

B

根據(jù)通意可知，該幾何體的上半部分為圓僮（底面半徑為1,高為1）,下半部分為圓柱（底面半徑為1,高為1）,如圖所示，則所得

幾何體的表面積為圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積以及圓柱的下底面面積之和，即表面積為

IT*1*V12+l2*2n*12*n*12^Vz*3)n.

悟劍?課堂精講

務(wù),方）空間幾何體的表面方

:例仙1）已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為4cm和8cm的正方形，側(cè)面是腰長為8cm的等腰梯形,

則它的物面積為cm2.

（2）已知正三棱錐24SC的底面邊長為6,PA所在直線與底面4SC所成的角為60。廁該三棱錐的側(cè)面積

為________.

一（1）根據(jù)此四棱臺的惻面積是由四個面積全部相等的等腰梯形構(gòu)成，所以先求出等腰梯形的面積，從

而得到四棱臺的側(cè)面積.（2）畫出圖形，過尸作底面的垂線，垂足。落在底面正三角形的中心，得/以。求出AO,

即可求出4Z進(jìn)而得出側(cè)面積.

（1）48任（2）9廊解析

⑴如圖，在四棱臺ABCD-AyByC^中，過&作&危6&垂足為￡在4中8戶-質(zhì)示之而cm,

所以梯形BC6B1的面積8鳥M8。田6）哈尸弓《8判或屈H2任cm2.

故四棱臺的側(cè)面積S=4S=I*12屈=48屈cm2.

（2）如圖，作AALSC于點因為三棱椎尸一月8。為正三棱錐，所以。為8c的中點，連接尸則PD?過

點9作271平面/18G則點。為正三角形的中心，點。在47上，

所以/%。=60。,正三角形的邊長為6,則4。//^矛=3后,

40=plO=2百,。。力氏所以P0=A04an60。=6,

斜高PD^JPO2+OD2=^,

故三棱錐的側(cè)面積為SW弓粉酒中歷.

方法手結(jié)

分別求出各例面的面枳，則幾何體的例面積為各惻面的面枳之和.

【針對訓(xùn)練1】

1,

如圖，已知四棱錐PX8CD的底面是邊長為2的正方形，血底面。，陽則四棱錐P/8C0的惻面積為

2+2向：故底面48CQ8Cm平面ABCD,.PD1BC.

又BCLCDFSCD二DFDCDc平面PCGSCl平面PCD,

;P8平面PCD"BC'PC、

同理可得BALAP,

..四樓倦的側(cè)面積為S竽DADRFAAB部:B*PDCDH嶇曲e2底

2.

（2018遼寧沈陽三模）幺九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中提到了一種名為的襄”的五面體（如圖）:底面48。

為矩形，棱閉在此幾何體中力8=4,￡尸4J4。￡和43C5都是邊長為2的等邊三角形，則此幾何體的表面積為（），

A.8V3B.8用百

C.6a*2百D.8*6V2*2^

答案B

過點尸作尸g平面A8C0,垂足為。，取8C的中點尸，連接尸尸,。尸,過點尸作尸Q148,垂足為Q連接0Q.T4宏和08b

都是邊長為2的等邊三角形…0P與AB-ERXEFXQQ?C=KQFNPF-OPZ*,FQ=yjOF?+0Q2$模彩EFSA=S?

影EFCD^*(2*4)*百=3百.

又S，BCF=S-ADE*或2=百,S矩形ABCD=4或4,

.,.該幾何體的表面積S=36*2W5或用=8用百.

為成)空間幾何體的體積

考向1:直接法求體積

例自⑴在梯形H8C。中,“6CgHq|8G8C=247=2月6=2.將梯形A8C0統(tǒng)4?所在的直線旋轉(zhuǎn)一周

形成的曲面所圍成的幾何體的體積為().

A當(dāng)B等C.,D.2TT

(2)在棱長為3的正方體中戶在線段8。上，且就弓”為線段8G上的動點，則三棱椎

，懷陽C的體積為.

(1)畫出空間幾何體的直觀圖，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征代入體積公式求解.(2)根據(jù)比例求出三棱

篋的高，然后求△朋8c的面積，代入體積公式得出結(jié)論.

(1)C(2)|解析

中

力

?…i…?、?

A'-

(1)過點C作跳垂直力。所在直線于點三梯形ABCD繞/。所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線

段46的長為底面圓半徑，線段為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓的半徑,為高的圓椎,如圖所

示.

由于l/圓柱寺/田?女”TTM2或=2仃，

卜圓椎4小第，0￡」11*12?2-1)三，

JJJ

所以該幾何體的體積HVQB枝-/圓糧女開？^^故選C.

⑵:母卷,?，點尸到平面mGC的距離是點。到平面MGC距離的士

即三棱錐P-MBC的高加蜉＜

為線段8G上的點，

.SMBC=

■.VM-PBC=VP-MBC^4W弓.

考向2;轉(zhuǎn)化法求體積

:例?如圖，在三棱柱ABC-AyByCy中戶43c是邊長為4的正三食形，惻面8BGC是矩形QE分別是線段BBy,ACi的中

⑴求證：?！陓|平面A8C,

(2)若平面48cL平面88iGC88i=10,求三棱錐4。綏的體積.

(1)設(shè)47的申點為“連接由申位線定理得陽即證得平行四邊形EHBD,于是宿砥即證

專線面平行；

解析

(1)如圖，設(shè)4C的中點為H連接

BD\CG.BD=GG,gCCi,fCGj.hEQBD,

..四邊形是平行四邊形,.力國|￡?工

又平面ABQDBt^/坎?,.:。目|平面ABC.

⑵E是線段"1的中點，連接g則以2=心8=%小昌匕3昌*35分10網(wǎng)等.

考向3：分割法求體積

〔例0

如圖，在多面體工所"?￡戶中，己知四邊形46。是邊長為1的正方形，且，/?！臧?”均為正三角形，&128曰之2,則該多面

球的體積為.

本地是不規(guī)則圖形.不能直接求解.轉(zhuǎn)化也不方便，可以通過割補(bǔ)法求解.

答案?解析

如圖，分別過點A8作尺的垂線，垂是分別為G,及連接0G,C〃易求得EG=g、AG=GD=BH=HC持酈8HC中8c邊

的高松系.5460=5?8?*釁*14,

LLL4

.,.V多面體=%“￡>(?，VF.&HC+VAQPSMQ^2.V^QQ*-VAQ^-QHQ招

方法總仲

1.若所給的幾何缽是規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求其表面積與缽積.在求三棱械的體積時,如果條件給出的底面和高不好計算,可以考

慮轉(zhuǎn)換三技惟的底面或高進(jìn)行求解.

2.若所給的幾何體不規(guī)則，則可用分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.

【針對訓(xùn)練2】

1.

如圖所示,正方體ABCD-AyB^Ch的核長為1,￡戶分別為線段44BC上的點，則三棱椎Oi-￡0戶的體積為

三梭帷。-以加的體積即為三極錐后叩E的體積.因為E尸分別為上的點，所以△￡叩的面積

O

為定值;，戶到平面的距離為定值1，所以hpP[EWp「EDP

2.

如圖,49=8,8C=10/C=6,。0平面48C且4日卬|改8。=3尸04/￡=5.求此幾何體的體積.

用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個直三棱柱，使力'二88三GC'=8,所以V幾何體41/,柱，xS/wcWg或4裕柳.

A'

為新求球的表面積、體枳

【例白在封閉的直三棱柱/8C-48G內(nèi)有一個體積為卜的球.若力,加1=3,則卜的最

大值是（

A.4TTB.yC.6uD.等

要使球的體積最大油體積公式可知，只需半徑最大，然后根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑.

B解析由得4CH0,要使球的體積1/最大，則球與直三棱柱的部分面相切,

若球與三個側(cè)面相切，設(shè)底面心48c的內(nèi)切圓的半徑為。貝心對毋鳥可6用+10)7；則k2,

此時2廣4>3,不合題意.

因此當(dāng)球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑/?最大.由2/?=3,得月與故球的最大體積片TT斤3仃.

故選氏

:5^KH(1若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC-AxByCy的6個頂點都在球。的球面上"若a8=3,ZCM,48i>lG44iN2,

求球。的衰面積.

解桁將直三棱柱補(bǔ)形為長方體/8EC48EC(圖略)，

則球。是長方體口EC的外接球，

,；長方體對角線8c的長為球0的直徑.

因此2-R32+42+122=13,

故S球=4TT#669TT.

:交夷0月電若本例中的條件變?yōu)椤罢睦庑捻旤c都在球。的球面上"，且該棱錐的高為4,底面邊長為2,求該球的體積.

解析

如圖,設(shè)所求球心為Q半徑為r.

則在RMA0尸中,(4力2*/)2可e,解得r2

則球。的體積7手嗚口咽『爺?

方法總結(jié)

(1)與球有關(guān)的蛆合體問題「種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋新體的組合體通常是作它們的軸俄面來儲題;以與多面體的組合，通過多面體的一

條側(cè)棱和球心，或“切點”-接點?作出截面圖.把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

(2)若球面上四點￡48,C中，外尸8尸C兩兩垂直或三棱惟的三條ft!棱兩兩垂直，則可聞過補(bǔ)形構(gòu)造長方體或正方體確定直徑,進(jìn)而解決外接

問題.

［針對訓(xùn)練3】

已知48是球。的球面上兩點"408*0°,。為該球面上的動點，若三棱錐0/8C體積的最大值為36,則球。的表面積為

().

A.36nB.64TTC.144nD.2561T

C因為的面積為定值所以當(dāng)。。筵直于平面408時，此時三棱帽的高為尺三棱椎0X8。的體積取

W最大值.由不用?=36彳號/?巧.從而球。的表面積S=4TTq=144TT.

SUYANGDACHENG

數(shù)學(xué)運算——體積中的最值問題

體積中的最值問題是近年來高考考查的熱點內(nèi)容之■，立體幾何中的最值問題涵蓋了長度、面積、體枳等最值問理,命題的

方式多祥,常用到函數(shù)、基本不等式等進(jìn)行解答.