2025屆山東省濰坊市壽光市、安丘市數(shù)學(xué)七下期末預(yù)測試題含解析

2025屆七下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列分解因式正確的是（）A．a(chǎn)﹣16a3=（1+4a）（a﹣4a2） B．4x﹣8y+4=4（x﹣2y）C．x2﹣5x+6=（x+3）（x+2） D．2．《九章算術(shù)》中記載：“今有甲乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十.問甲乙持錢各幾何？”其大意是：今有甲、乙兩人各帶了若干錢.如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50；如果乙得到甲所有錢的三分之二，那么乙也共有50.問甲、乙兩人各帶了多少錢？設(shè)甲帶錢為x，乙?guī)уX為y，根據(jù)題意，可列方程組為（）A．x+y2=502x3+y=503．下列運(yùn)算正確的是（）A．（﹣2a）3=﹣6a3 B．﹣3a2?4a3=﹣12a5C．﹣3a（2﹣a）=6a﹣3a2 D．2a3﹣a2=2a4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．下列語句中，不正確的個數(shù)是（）①直徑是弦；②弧是半圓；③長度相等的弧是等??；④經(jīng)過圓內(nèi)一定點(diǎn)可以作無數(shù)條直徑．A．1個B．2個C．3個D．4個6．下面四個圖形中，∠1與∠2是鄰補(bǔ)角的是()A． B． C． D．7．如圖所示，在長方形紙片中，，為邊上兩點(diǎn)，且；，為邊上兩點(diǎn)，且．沿虛線折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)上，點(diǎn)落在點(diǎn)上；然后再沿虛線折疊，使落在點(diǎn)上，點(diǎn)落在點(diǎn)上．疊完后，剪一個直徑在上的半圓，再展開，則展開后的圖形為（）A． B． C． D．8．不等式3x﹣5＜3+x的正整數(shù)解有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．不等式組的整數(shù)解為()A．0，1，2，3 B．1，2，3 C．2，3 D．310．在聯(lián)歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點(diǎn)位置上，他們在玩“搶凳子”游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃诘模ǎ〢．三邊中垂線的交點(diǎn) B．三邊中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊上高的交點(diǎn)二、填空題(本大題共有6小題，每小題3分，共18分)11．若一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，則這個三角形中的最大的角度是．12．若x2﹣25＝0，則x＝_____．13．如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)；②作直線交于點(diǎn)，連接．若，則________（填“”、“”或“”）．14．不等式的解集是，則的取值范圍是__________．15．如果是一個完全平方式，那么m的值為________.16．使式子有意義的m的取值范圍是_______三、解下列各題(本大題共8小題，共72分)17．（8分）為了更好治理某湖水質(zhì)，保護(hù)環(huán)境，市治污公司決定購買臺污水處理設(shè)備．現(xiàn)有，兩種型號的設(shè)備，其中每臺的價格，月處理污水量如下表．經(jīng)調(diào)查：購買一臺型設(shè)備比購買一臺型設(shè)備多萬元，購買臺型設(shè)備比購買臺型設(shè)備少萬元．型型價格（萬元/臺）處理污水量（噸/月）（）求，的值．（）經(jīng)預(yù)算：市治污公司購買污水處理設(shè)備的資金不超過萬元，你認(rèn)為該公司有哪幾種購買方案．（）在（）問的條件下，若每月要求處理該湖的污水量不低于噸，為了節(jié)約資金，請你為治污公司設(shè)計一種最省錢的購買方案．18．（8分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，，將線段平移得到線段，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連結(jié).（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為__________________（用含的式子表示）；（2）若的面積為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，在（2）的條件下，延長交軸于點(diǎn)，延長交軸于，是軸上一動點(diǎn)，的值記為，在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，的值是否發(fā)生變化，若不變，請求出的值，并寫出此時的取值范圍，若變化，說明理由.19．（8分）若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足，求出滿足條件的m的所有正整數(shù)值．20．（8分）某校為了解九年級學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽樣調(diào)查了部分九年級學(xué)生的視力，以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分．分組視力人數(shù)A3.95≤x≤4.253B4.25＜x≤4.55C4.55＜x≤4.8518D4.85＜x≤5.158E5.15＜x≤5.45根據(jù)以上信息，解谷下列問題：（1）在被調(diào)查學(xué)生中，視力在3.95≤x≤4.25范圍內(nèi)的人數(shù)為人；（2）本次調(diào)查的樣本容量是，視力在5.15＜x≤5.45范圍內(nèi)學(xué)生數(shù)占被調(diào)查學(xué)生數(shù)的百分比是%；（3）在統(tǒng)計圖中，C組對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為°；（4）若該校九年級有400名學(xué)生，估計視力超過4.85的學(xué)生數(shù)．21．（8分）某縣特色早餐種類繁多，色香味美，著名的種類有“干挑面”、“鍋貼”、“青團(tuán)子”“粢米飯”等.一數(shù)學(xué)興趣小組在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了一些同學(xué)進(jìn)行“我最喜愛的特色早餐”調(diào)查活動，每位同學(xué)選擇一種自己最喜歡的早餐種類，將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：（1）請將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整.（2）在扇形統(tǒng)計圖中，表示“粢米飯”對應(yīng)的扇形的圓心角是多少度?（3）該校共有1200名學(xué)生，請你估計該校學(xué)生中最喜愛“青團(tuán)子”的學(xué)生有多少人?22．（10分）問題情景：如圖1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù).(1)天天同學(xué)看過圖形后立即口答出：∠APC=110°，請你補(bǔ)全他的推理依據(jù).如圖2,過點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD．(___)∴∠A+∠APE=180°.∠C+∠CPE=180°.(___)∵∠PAB=130°,∠PCD=120°，∴∠APE=50°,∠CPE=60°∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.(___)問題遷移：(2)如圖3,AD∥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A．B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由。(3)在(2)的條件下,如果點(diǎn)P在A．B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(點(diǎn)P與點(diǎn)A．B．O三點(diǎn)不重合)，請你直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系.23．（10分）(1)已知xy=2,,求x-y的值?（2）求證：無論x、y為何值，代數(shù)式的值不小024．（12分）信息化時代的到來，手機(jī)已經(jīng)成為我們生活中不可缺少的一部分．為了解中學(xué)生在假期使用手機(jī)的情況（選項：．聊天；．游戲．學(xué)習(xí)；．其它），端午節(jié)后某中學(xué)在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如圖表（部分信息未給出）．（1）這次被調(diào)查的學(xué)生有多少人？被調(diào)查的學(xué)生中，用手機(jī)學(xué)習(xí)的有多少人？（2）將兩個統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；（3）在扇形統(tǒng)計圖中，請計算本項調(diào)查中用手機(jī)學(xué)習(xí)部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)；（4）如果全校共1200名同學(xué)，請你估算用手機(jī)學(xué)習(xí)的學(xué)生人數(shù)．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【解析】

分別利用提取公因式法以及公式法等分解因式進(jìn)而得出答案．【詳解】A、a-16a3=a（1+4a）（1-4a），故A錯誤；B、4x﹣8y+4=4（x﹣2y+1），故B錯誤；C、x2﹣5x+6=（x-3）（x-2），故C錯誤；D、-x2+2x-1=-（x-1）2，故D正確．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．2、A【解析】

設(shè)甲需帶錢x，乙?guī)уXy，根據(jù)題意可得，甲的錢+乙的錢的一半=50，乙的錢+甲所有錢的23【詳解】解：設(shè)甲需帶錢x，乙?guī)уXy，根據(jù)題意，得：x+故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組．3、B【解析】

先根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算即可?！驹斀狻緼.;故本選項錯誤;B.﹣3a2?4a3=﹣12a5;故本選項正確;C.;故本選項錯誤;D.不是同類項不能合并;故本選項錯誤;故選B.【點(diǎn)睛】先根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則,冪的乘方,積的乘方,合并同類項分別求出每個式子的值,再判斷即可.4、A【解析】試題解析：①m﹣3＞0，即m＞3時，﹣2m＜﹣6，4﹣2m＜﹣2，所以，點(diǎn)P（m﹣3，4﹣2m）在第四象限，不可能在第一象限；②m﹣3＜0，即m＜3時，﹣2m＞﹣6，4﹣2m＞﹣2，點(diǎn)P（m﹣3，4﹣2m）可以在第二或三象限，綜上所述，點(diǎn)P不可能在第一象限．故選A．考點(diǎn)：點(diǎn)的坐標(biāo)．5、C【解析】

根據(jù)弦、弧、等弧的定義即可求解．【詳解】①根據(jù)直徑的概念，知直徑是特殊的弦，故正確；②根據(jù)弧的概念，知半圓是弧，但弧不一定是半圓，故錯誤；③根據(jù)等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧是等弧．長度相等的兩條弧不一定能夠重合，故錯誤；④如果該定點(diǎn)和圓心不重合，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，則只能作一條直徑，故錯誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考差了圓的基本概念．理解圓中的一些概念（弦、直徑、弧、半圓、等?。┦墙忸}的關(guān)鍵．6、D【解析】

根據(jù)鄰補(bǔ)角的意義，可知兩個角有一條公共邊，有一個角的邊是另一角的邊的延長線，因此可知D符合條件，且∠1+∠2=180°.故選D.7、B【解析】

可按照題中的要求動手操作或通過想象，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】把一個矩形三等分，標(biāo)上字母，嚴(yán)格按上面方法操作，剪去一個半圓，或者通過想象，得到展開后的圖形實際是從原矩形最左邊的一條三等分線處剪去一個圓，從矩形右邊上剪去半個圓，選項B符合題意，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的展開，主要訓(xùn)練學(xué)生的動手操作能力或空間想象能力．8、C【解析】試題分析：因為，所以3x-x＜3+5，所以x＜4，所以x取正整數(shù)解有1、2、3共3個，故選C．考點(diǎn)：不等式的整數(shù)解．9、B【解析】試題分析：解不等式4x＞2，可得x＞；解不等式，解得x≤3，因此不等式組的解集為＜x≤3，所以整數(shù)解為1，2，3.故選B.點(diǎn)睛：此題主要考查了不等式組的解法，根據(jù)不等式的解法分別解兩個不等式，取其公共部分，然后確定其整數(shù)解即可.10、A【解析】

為使游戲公平，則凳子到三個人的距離相等，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上．【詳解】解：∵三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)距離相等，∴凳子應(yīng)放在△ABC的三邊中垂線的交點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題是一種能力，要注意培養(yǎng)．二、填空題(本大題共有6小題，每小題3分，共18分)11、90°【解析】試題分析：已知三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比，可以設(shè)一份為k，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列方程求三個內(nèi)角的度數(shù)，從而確定三角形的最大角的度數(shù)．解：設(shè)三個內(nèi)角的度數(shù)分別為k，2k，3k．則k+2k+3k=180°，解得k=30°，則2k=60°，3k=90°，這個三角形最大的角等于90°．故答案為90°．考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理．12、±1【解析】

直接利用平方根的定義分析得出答案．【詳解】解：∵x2﹣21＝0，∴x2＝21，解得：x＝±1．故答案為：±1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用平方根解方程，正確把握定義是解題關(guān)鍵．13、=【解析】

根據(jù)作圖步驟可判定MN為線段BC的垂直平分線，然后利用垂直平分線的性質(zhì)和題中的條件，即可確定線段BD與AC的大?。驹斀狻坑勺鲌D步驟①可得：直線MN是線段BC的垂直平分線，點(diǎn)D在MN上∴BD=CD又∵CD=AC∴BD=AC故答案為：=【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)作圖的過程判定直線MN是線段BC的中點(diǎn)是本題解題的關(guān)鍵．14、【解析】

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2求解可得．【詳解】解：∵不等式（m?1）x＜6的解集是，∴m?1＜0，解得m＜1，故答案為：m＜1．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式的基本性質(zhì)2．15、6或?4.【解析】

利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值．【詳解】∵多項式是一個完全平方式，∴開方得：m?1=5或m?1=?5，解得：m=6或?4，故答案為6或?4.【點(diǎn)睛】考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.16、m≤【解析】

直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．【詳解】∵式子有意義，

∴3-2m≥0，

解得：m≤．

故答案為m≤．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．三、解下列各題(本大題共8小題，共72分)17、(1)a=12,b=10;（2）見解析,（3）應(yīng)選購A型設(shè)備1臺，B型設(shè)備9臺【解析】試題分析：（1）因為購買一臺A型設(shè)備比購買一臺B型設(shè)備多2萬元，購買2臺A型設(shè)備比購買3臺B型設(shè)備少6萬元，所以有，解之即可；

（2）可設(shè)購買污水處理設(shè)備A型設(shè)備x臺，B型設(shè)備臺，則有，解之確定x的值，即可確定方案；

（3）每月要求處理洋瀾湖的污水量不低于1860噸，有，解之即可由x的值確定方案，然后進(jìn)行比較，作出選擇．試題解析：（）由題意得，解得．（）設(shè)購買型設(shè)備臺，型設(shè)備臺，，解得，∵取非負(fù)整數(shù)，∴，，，∴，，，∴有三種購買方案：①型設(shè)備臺，型設(shè)備臺．②型設(shè)備臺，型設(shè)備臺．③型設(shè)備臺，型設(shè)備臺．（）由題意得，，∴，∵，∴，．當(dāng)時，購買資金為（萬元），當(dāng)時，購買資金為（萬元），∴為了節(jié)約資金，應(yīng)選購型設(shè)備臺，型設(shè)備臺．18、（1）；（2）D(1，3)；（3）當(dāng)時，，變化；當(dāng)時，，不變；當(dāng)時，，變化.【解析】

（1）各對應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系是橫坐標(biāo)加m，縱坐標(biāo)減1，即可得到結(jié)論；（2）（2）如圖1中，作DH⊥OC于H．根據(jù)S△ADC=S梯形ADHO-S△AOC-S△DCH，計算即可．

（3）分三種情形：①如圖2-1中，當(dāng)t＜-時．②如圖2-2中，當(dāng)-≤t≤2時．③如圖2-3中，當(dāng)t＞2時，分別求解即可．【詳解】解：（1）由平移到，可得平移后各對應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系是橫坐標(biāo)加m，縱坐標(biāo)減1，所以平移后坐標(biāo)為；（2）如圖1中，作DH⊥OC于H．

∵S△ADC=S梯形ADHO-S△AOC-S△DCH，

∴（1+3）（m+2）-×1×m-×2×3=1，

解得m=2，

∴D（1，3）．

（3）①如圖2-1中，當(dāng)t＜-時，S=2-3t，變化．

理由：由題意P（t，0），E（0，-3），C（2，0），F(xiàn)（-，0），B（2，1）．A（0，1）．

S=S△PAB+S△PEC=S△PBF-S△PAF+S△PCE=?（--t）?（1-1）+?（2-t）?3=2-3t．

②如圖2-2中，當(dāng)-≤t≤2時，s=1不變．

理由：S=S△PAB+S△PEC=S△PBF-S△PAF+S△PCE=?（t+）?（1-1）+?（2-t）?3=1．

③如圖2-3中，當(dāng)t＞2時，S=3t-2

變化．

理由：S=S△PAB+S△PEC=S△PBF-S△PAF+S△PCE=?（t+）?（1-1）+?（t-2）?3=3t-2．【點(diǎn)睛】本題考查線段在平面直角坐標(biāo)系中的平移規(guī)律，解題關(guān)鍵是熟練掌握：上下平移縱坐標(biāo)上加下減，左右平移橫坐標(biāo)左加右減.19、1、2、3、4.【解析】

將方程組中兩個方程相加，化簡得出：，由得到關(guān)于m的不等式，解之即可得到答案.【詳解】解：由①+②得：，，解得：為正整數(shù)，∴滿足條件的m的所有正整數(shù)值為：1、2、3、4.【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，以及一元一次不等式的整數(shù)解，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.20、（1）3；（2）40，12.5；（3）162；（4）130人．【解析】

（1）由分布表即可得；（2）由D組人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)乘以B組百分比求得其人數(shù)，再根據(jù)各分組人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求得E組人數(shù)，最后用所得人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可得；（3）用360°乘以C組人數(shù)所占比例即可得；（4）總?cè)藬?shù)乘以樣本中D、E組人數(shù)和所占比例即可得．【詳解】解：（1）由頻數(shù)分布表知，在被調(diào)查學(xué)生中，視力在3.95≤x≤4.25范圍內(nèi)的人數(shù)為3人，故答案為3；（2）本次調(diào)查的樣本容量是8÷20%＝40，∵B組人數(shù)為40×15%＝6，∴E組人數(shù)為40﹣（3+6+18+8）＝5，則視力在5.15＜x≤5.45范圍內(nèi)學(xué)生數(shù)占被調(diào)查學(xué)生數(shù)的百分比是×100%＝12.5%，故答案為40、12.5；（3）在統(tǒng)計圖中，C組對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為360°×＝162°，故答案為162；（4）估計視力超過4.85的學(xué)生數(shù)為400×＝130人．【點(diǎn)睛】本題考查扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體、頻數(shù)分布表，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．21、（1）答案見解析；（2）54°；（3）60.【解析】

（1）由選擇“鍋貼”的人數(shù)及所占百分比可求出總?cè)藬?shù)，即可求出選擇“干挑面”的學(xué)生人數(shù)，補(bǔ)全統(tǒng)計圖即可；（2）用360°乘以選擇“粢米飯”的所占百分比即可得答案；（3）用1200乘以選擇“青團(tuán)子”的所占百分比即可得答案.【詳解】（1）由題意得：抽取的學(xué)生人數(shù)為：15÷25％=60人。選擇“干挑面”的學(xué)生人數(shù)為：60-3-9-15-12=21人；補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如下，（2）由題意得：360°×=54°，答：表示“粢米飯”對應(yīng)的扇形的圓心角是54°；（3）解：該校學(xué)生中最喜愛“青團(tuán)子”的學(xué)生有1200×=60人，答：該校學(xué)生中最喜愛“青團(tuán)子”的學(xué)生有60人.【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，正確得出統(tǒng)計圖的信息是解題關(guān)鍵.22、（1）平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等量代換；（2）∠CPD=∠α+∠β；（3）∠CPD=∠β?∠α，∠CPD=∠α?∠β.【解析】

（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)填寫即可；（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）畫出圖形（分兩種情況①點(diǎn)P在BA的延長線上，②點(diǎn)P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】(1)過點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD.(平行于同一條直線的兩條直線平行)∴∠A+∠APE=180°.∠C+∠CPE=180°.(兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ))∵∠PAB=130°,∠PCD=120°，∴∠APE=50°,∠CPE=60°∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.(等量代換)故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等量代換.(2)∠CPD=∠α+∠β，理由是：如圖3,過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；(3)當(dāng)P在BA延長線時，過P作PE∥AD交CD于E，如圖4同(2)可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β?∠α；當(dāng)P在AB延