2025屆陜西省咸陽市高考模擬檢測(二)數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1陜西省咸陽市2025屆高考模擬檢測(二)數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則的子集個數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】∵，即，∴，∴，一共有3個元素，∴的子集個數(shù)為.故選：C.2.若是虛數(shù)單位，則的值為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】.故選：C.3.已知命題：，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】：，.故選：D4.已知，則函數(shù)的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，，易知是減函數(shù)，因為，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又當時，，當時，，則函數(shù)最大值是，故選：C.5.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，所以，所以，，所以在上的投影向量為.故選：A.6.已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】由圖易知，函數(shù)的最小正周期滿足：，得到，又，所以，解得，又函數(shù)圖象經(jīng)過點，則有，解得，所以，則，故選：D.7.已知數(shù)列滿足（，），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，則，故選：B.8.2025年有雙春年之寓意，雙春年是指在一個農(nóng)歷年中出現(xiàn)兩個立春節(jié)氣的現(xiàn)象.這是由于農(nóng)歷和陽歷之間的差異造成的，為了使農(nóng)歷與季節(jié)變化相適應，農(nóng)歷中會設置閏月，2025年有閏六月，從而導致一年中出現(xiàn)兩個立春.在傳統(tǒng)文化中，雙春年通常被認為是非常吉利的年份，雙字寓意著好事成雙，在這一年做任何事都會有好兆頭.那么，用2025，66，2，0，2，5組成不同的10位數(shù)的個數(shù)為（）A.294 B.297 C.298 D.300【答案】B【解析】用2025，66，2，0，2，5這6個數(shù)的全排列為，又0排在首位有排法，又有2個2，它位之間的排序有種排法，當2，0，2，5這4個以2025這種順序與66和2025排序有，所以用2025，66，2，0，2，5組成不同的10位數(shù)的個數(shù)為.故答案為：.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.下列與基本不等式有關命題中正確的是（）A.若，，，則的最大值為B.若，，，則的最小值為C.若，，則D.若，，，則的最小值為【答案】BCD【解析】對于A，因為，，所以，所以，所以，當且僅當時，取等號，則的最大值為，故A錯誤；對于B因為，，，所以，當且僅當，即，時，的最小值為，故B正確；對于C，因為，，則，當且僅當時取等號，故C正確；對于D，因為，，，所以，所以，所以，當且僅當，時取等號，所以的最小值為，故D正確.故選：BCD.10.已知圓C的方程為，點是圓C上任意一點，O為坐標原點，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓C的半徑為2B.滿足的點M有1個C.的最大值為D.若點P在x軸上，則滿足的點P有兩個【答案】ABC【解析】選項A：圓的方程可化為，所以圓心，半徑等于2，故A正確；選項B：由于，所以圓上任意一點到原點的最大距離是，最小距離是，因此滿足的點有兩個，故B正確；選項C：令，則，所以，將點的坐標代入圓的方程并整理，得，依題意有，即，解得，因此的最大值為，故C正確．選項D：不妨設，由于，所以，整理得．因為點在圓上，所以，則，因為為點的橫坐標，且點為圓上任意一點，所以，得，所以符合要求的點是唯一的，故D錯誤．故選：ABC.11.若數(shù)列滿足，，（），則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)、化學等領域，斐波那契數(shù)列都有直接的應用.則下列結(jié)論成立的是（）A.， B.C.，使得，，成等比數(shù)列 D.【答案】ABD【解析】對于選項A，因為，因為，所以選項A正確，對于選項B，因為又，所以，故選項B正確，對于選項C，假設，使得，，成等比數(shù)列，則有，即，前幾項：，，，，，則，，，猜想，當時，猜想成立，假設時，猜想成立，即成立，則時，則所以，對于任意的，都有成立，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，，，則，所以選項D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在直三棱柱中，，，則三棱錐的體積為__________.【答案】【解析】.故答案為：.13.已知O為坐標原點，過雙曲線（）的左焦點的直線與的右支交于點，與左支交于點Q，若，，，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】如圖所示，設雙曲線的右焦點為，的中點為，連接，因為，且為的中點，所以，又因為，可得，即，所以，則為等腰三角形，所以，因為，所以，可得，由雙曲線的定義，可得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.14.已知方程的兩根為，（），若，不等式對任意的，恒成立，則正實數(shù)m的最小值為__________.【答案】【解析】因為分別是方程的兩個根，即.兩式相減，則，則不等式，可變?yōu)?，兩邊同時除以得，，令，則在上恒成立.整理可得，在上恒成立，令，則，①當，即時，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，則在上恒成立，②當，即時，當時，，則在上單調(diào)遞減，則，不符合題意.綜上：，所以的最小值為1，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程和演算步驟.15.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若.（1）求角C；（2）已知，，D為AB邊上一點，且，求CD.解：（1）因為，所以由余弦定理可得，整理得，所以，所以，所以，因為，所以；（2）因為，所以，又，兩邊平方得，又，，，所以，所以.16.為增強學生的法制意識，打造平安校園，某高中學校組織全體學生開展了“智慧法治，平安校園”知識競賽，根據(jù)成績，制成如下統(tǒng)計圖.（1）估算成績的中位數(shù)；（2）以頻率估計概率，從該校學生中隨機抽取人，用X表示成績在的人數(shù)，求X的分布列和方差；（3）用分層抽樣的方法從成績在，的兩組中共抽取人，再從這人中隨機抽取人，記為這人中至少一人成績落在的人數(shù)，求的數(shù)學期望.解：（1）由圖知，解得，設中位數(shù)為，則，解得.（2）由題知成績在內(nèi)的概率為，，的可能取值為，又，，，，所以的分布列為.（3）因為，則抽取的人中，有個成績在，個在，由題知的可能取值為，又，，，所以的數(shù)學期望為.17.在空間直角坐標系中，若平面過點，且平面的一個法向量為，則平面的方程為，該方程稱為平面的點法式方程，整理后為（其中），該方程稱為平面的一般式方程.如圖，直三棱柱中，，點E，F(xiàn)分別為棱AC，的中點，.（1）求證：平面平面ABF；（2）若.①求平面的點法式方程和一般式方程；②求平面與平面所成二面角的正弦值.（1）證明：由四邊形是正方形，所以，由于，，故，所以，即，由題得平面，又平面，所以，因為，且，平面，所以平面，又平面，所以．因為，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：①由于，且平面，以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以．設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為．因為平面過定點，所以平面的點法式方程為，即平面的一般式方程為；②設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為．所以，所以平面與平面所成二面角的正弦值為．18.已知，是橢圓：（）的左，右焦點，焦距為2，離心率，過左焦點的直線交橢圓于兩點.（1）求橢圓C的方程；（2）求證為定值；（3）求內(nèi)切圓的面積的最大值.解：（1）由題意知，則，，則，∴，∴橢圓C的方程：.（2）由題意可知，①當直線斜率不存在時，即直線方程為，∴，即；②當直線斜率存在時，設直線方程為：，，，假設，則聯(lián)立方程組整理得，∴,,,,∴，綜上所述：定值.（3）的周長，設的內(nèi)切圓的半徑為，則，∴當面積最大時，的內(nèi)切圓的半徑最大，即內(nèi)切圓面積最大.，由（2）可知，①當直線斜率不存在時，，②當直線斜率存在且不為0時，，令，∴，綜上所述：，當直線斜率不存在時取得最大值，此時圓的半徑，圓的面積.19.已知，.（1）當時，求函數(shù)在的最小值；（2）若函數(shù)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）若時，，，證明：.（1）解：當時，，則，因為，當且僅當，即時取等號，所以在上恒成立，當且僅當時取等號，則在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在的最小值為.（2）解：因為，則，因為函數(shù)為增函數(shù)，則恒成立，由（1），當且僅當，即時取等號，所以.（3）證明：因為時，，即，得到，令，則，令，則，所以，即，所以，即.陜西省咸陽市2025屆高考模擬檢測(二)數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則的子集個數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】∵，即，∴，∴，一共有3個元素，∴的子集個數(shù)為.故選：C.2.若是虛數(shù)單位，則的值為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】.故選：C.3.已知命題：，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】：，.故選：D4.已知，則函數(shù)的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，，易知是減函數(shù)，因為，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又當時，，當時，，則函數(shù)最大值是，故選：C.5.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，所以，所以，，所以在上的投影向量為.故選：A.6.已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】由圖易知，函數(shù)的最小正周期滿足：，得到，又，所以，解得，又函數(shù)圖象經(jīng)過點，則有，解得，所以，則，故選：D.7.已知數(shù)列滿足（，），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，則，故選：B.8.2025年有雙春年之寓意，雙春年是指在一個農(nóng)歷年中出現(xiàn)兩個立春節(jié)氣的現(xiàn)象.這是由于農(nóng)歷和陽歷之間的差異造成的，為了使農(nóng)歷與季節(jié)變化相適應，農(nóng)歷中會設置閏月，2025年有閏六月，從而導致一年中出現(xiàn)兩個立春.在傳統(tǒng)文化中，雙春年通常被認為是非常吉利的年份，雙字寓意著好事成雙，在這一年做任何事都會有好兆頭.那么，用2025，66，2，0，2，5組成不同的10位數(shù)的個數(shù)為（）A.294 B.297 C.298 D.300【答案】B【解析】用2025，66，2，0，2，5這6個數(shù)的全排列為，又0排在首位有排法，又有2個2，它位之間的排序有種排法，當2，0，2，5這4個以2025這種順序與66和2025排序有，所以用2025，66，2，0，2，5組成不同的10位數(shù)的個數(shù)為.故答案為：.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.下列與基本不等式有關命題中正確的是（）A.若，，，則的最大值為B.若，，，則的最小值為C.若，，則D.若，，，則的最小值為【答案】BCD【解析】對于A，因為，，所以，所以，所以，當且僅當時，取等號，則的最大值為，故A錯誤；對于B因為，，，所以，當且僅當，即，時，的最小值為，故B正確；對于C，因為，，則，當且僅當時取等號，故C正確；對于D，因為，，，所以，所以，所以，當且僅當，時取等號，所以的最小值為，故D正確.故選：BCD.10.已知圓C的方程為，點是圓C上任意一點，O為坐標原點，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓C的半徑為2B.滿足的點M有1個C.的最大值為D.若點P在x軸上，則滿足的點P有兩個【答案】ABC【解析】選項A：圓的方程可化為，所以圓心，半徑等于2，故A正確；選項B：由于，所以圓上任意一點到原點的最大距離是，最小距離是，因此滿足的點有兩個，故B正確；選項C：令，則，所以，將點的坐標代入圓的方程并整理，得，依題意有，即，解得，因此的最大值為，故C正確．選項D：不妨設，由于，所以，整理得．因為點在圓上，所以，則，因為為點的橫坐標，且點為圓上任意一點，所以，得，所以符合要求的點是唯一的，故D錯誤．故選：ABC.11.若數(shù)列滿足，，（），則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)、化學等領域，斐波那契數(shù)列都有直接的應用.則下列結(jié)論成立的是（）A.， B.C.，使得，，成等比數(shù)列 D.【答案】ABD【解析】對于選項A，因為，因為，所以選項A正確，對于選項B，因為又，所以，故選項B正確，對于選項C，假設，使得，，成等比數(shù)列，則有，即，前幾項：，，，，，則，，，猜想，當時，猜想成立，假設時，猜想成立，即成立，則時，則所以，對于任意的，都有成立，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，，，則，所以選項D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在直三棱柱中，，，則三棱錐的體積為__________.【答案】【解析】.故答案為：.13.已知O為坐標原點，過雙曲線（）的左焦點的直線與的右支交于點，與左支交于點Q，若，，，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】如圖所示，設雙曲線的右焦點為，的中點為，連接，因為，且為的中點，所以，又因為，可得，即，所以，則為等腰三角形，所以，因為，所以，可得，由雙曲線的定義，可得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.14.已知方程的兩根為，（），若，不等式對任意的，恒成立，則正實數(shù)m的最小值為__________.【答案】【解析】因為分別是方程的兩個根，即.兩式相減，則，則不等式，可變?yōu)?，兩邊同時除以得，，令，則在上恒成立.整理可得，在上恒成立，令，則，①當，即時，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，則在上恒成立，②當，即時，當時，，則在上單調(diào)遞減，則，不符合題意.綜上：，所以的最小值為1，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程和演算步驟.15.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若.（1）求角C；（2）已知，，D為AB邊上一點，且，求CD.解：（1）因為，所以由余弦定理可得，整理得，所以，所以，所以，因為，所以；（2）因為，所以，又，兩邊平方得，又，，，所以，所以.16.為增強學生的法制意識，打造平安校園，某高中學校組織全體學生開展了“智慧法治，平安校園”知識競賽，根據(jù)成績，制成如下統(tǒng)計圖.（1）估算成績的中位數(shù)；（2）以頻率估計概率，從該校學生中隨機抽取人，用X表示成績在的人數(shù)，求X的分布列和方差；（3）用分層抽樣的方法從成績在，的兩組中共抽取人，再從這人中隨機抽取人，記為這人中至少一人成績落在的人數(shù)，求的數(shù)學期望.解：（1）由圖知，解得，設中位數(shù)為，則，解得.（2）由題知成績在內(nèi)的概率為，，的可能取值為，又，，，，所以的分布列為.（3）因為，則抽取的人中，有個成績在，個在，由題知的可能取值為，又，，，所以的數(shù)學期望為.17.在空間直角坐標系中，若平面過點，且平面的一個法向量為，則平面的方程為，該方程稱為平面的點法式方程，整理后為（其中），該方程稱為平面的一般式方程.如圖，直三棱柱中，，點E，F(xiàn)分別為棱AC，的中點，.（1）求證：平面平面ABF；（2）若.①求平面的點法式方程和一般式方程；②求平面與平面所成二面角的正弦值.（1）證明：由四邊形