2025屆陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵對(duì)數(shù)函數(shù)在上為增函數(shù)，∴由得，故，∵，∴.故選：D.2.若，則cos2α＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，可得：即，解得

分子分母同時(shí)除以（因?yàn)?，若，則不存在），可得：，將代入上式可得：

，所以.故選：B.3.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以要使為純虛數(shù)，則，解得：．故選：B．4.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，可得：，因?yàn)?，所以，解得：，故選：C5.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為B．若，則該橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由橢圓的幾何性質(zhì)，因?yàn)椋傻?，所以，，則，所以橢圓的方程為.故選：A.6.一個(gè)圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，軸截面的面積為9，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B.2π C. D.7π【答案】D【解析】設(shè)圓臺(tái)的高為，由題意可知，，得，圓臺(tái)的體積.故選：D7.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，由余弦定理得，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以或（舍），所以，所?故選：B.8.已知是定義在R上的奇函數(shù)且滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，．若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，又因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù).因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.函數(shù)的草圖如下：根據(jù)圖象可知，若，則，，解得，.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：，.故選：D二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)是C的一條漸近線(xiàn)，P是l上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.C的虛軸長(zhǎng)為B.C的離心率為C.的最小值為D.過(guò)點(diǎn)能作4條直線(xiàn)與C僅有一個(gè)交點(diǎn)【答案】ACD【解析】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，依題意，解得，所以雙曲線(xiàn)，對(duì)于A，的虛軸長(zhǎng)，A正確；對(duì)于B，的離心率，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，即的最小值為，C正確；對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線(xiàn)為，此直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切與點(diǎn)，符合題意，設(shè)過(guò)點(diǎn)斜率存在的直線(xiàn)為，聯(lián)立方程組，得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，直線(xiàn)平行于漸近線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切，故過(guò)點(diǎn)能作4條直線(xiàn)與C僅有一個(gè)交點(diǎn)，D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是奇函數(shù)B.最小正周期為2πC.區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間內(nèi)有40個(gè)極值點(diǎn)【答案】AD【解析】A.函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以是奇函?shù)，故A正確；B.，故B錯(cuò)誤；C.時(shí)，，，當(dāng)，，此時(shí)，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)，，此時(shí)，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；D.時(shí)，，，，當(dāng)，則，共20個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以在區(qū)間有20個(gè)極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間共有40個(gè)極值點(diǎn)，故D正確.故選：AD11.對(duì)于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目（若兩個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù)是1，則稱(chēng)這兩個(gè)正整數(shù)互質(zhì)）．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱(chēng)為歐拉函數(shù)，例如，（10與1，3，7，9均互質(zhì)）則（）A.B.數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列C.若p為質(zhì)數(shù)，則數(shù)列為等比數(shù)列D.數(shù)列的前5項(xiàng)和等于【答案】AC【解析】A.12與1,5,7,11均互質(zhì)，所以，17與1,2,3,4,5,…,13,14,15,16均互質(zhì)，所以，所以，故A正確；B.7與1,2,3,4,5,6互質(zhì)，則，9與1,2,4,5,7,8互質(zhì)，所以，，所以數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；C.設(shè)為質(zhì)數(shù)，則小于等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)為，即每個(gè)數(shù)當(dāng)中就有一個(gè)與不互質(zhì)，所以互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為,故，所以為常數(shù)，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故C正確；根據(jù)選項(xiàng)C可知，，數(shù)列的前5項(xiàng)和為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)均為實(shí)數(shù)，且，則____________.【答案】【解析】，取對(duì)數(shù)得，，；.故答案為:.13.排球比賽實(shí)行“五局三勝制”（當(dāng)一隊(duì)贏得三場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束），根據(jù)此前的若干次比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可知，在甲、乙兩隊(duì)的比賽中，每場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率為，乙隊(duì)獲勝的概率為，則在這場(chǎng)“五局三勝制”的排球比賽中甲隊(duì)獲勝的概率為_(kāi)_______．【答案】【解析】命題可以轉(zhuǎn)化為：即使某一隊(duì)獲勝三場(chǎng)，也照常進(jìn)行后續(xù)的場(chǎng)次，直至五場(chǎng)全部結(jié)束，最后獲勝場(chǎng)次數(shù)多的隊(duì)獲勝。二者等效（區(qū)別僅在于勝負(fù)已定后，后續(xù)場(chǎng)次是否真正進(jìn)行）.此時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率即為甲隊(duì)獲勝場(chǎng)數(shù)不小于的概率，即．故答案為：．14.在三棱錐中，，且．記直線(xiàn)，與平面所成角分別為，，已知，當(dāng)三棱錐的體積最小時(shí)，平面截三棱錐的外接球的截面面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，則，由平面得.在中，，在中，，∴，故.由，得，且.當(dāng)三點(diǎn)構(gòu)成三角形時(shí)，，即，，，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，由得，，，此時(shí)三棱錐的高最小，體積最小.當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，由得，，取線(xiàn)段中點(diǎn)，由和為直角三角形得，，故點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，外接球半徑，∵為外接球直徑，平面，∴平面截三棱錐的外接球的截面面積為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.某校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展水平，組織本校2000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測(cè)（檢測(cè)分為初試和復(fù)試），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(jī)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本的80％分位數(shù)（四舍五入精確到整數(shù)）；（3）若所有學(xué)生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，．初試成績(jī)不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)（四舍五入精確到整數(shù)）．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．解：（1）設(shè)樣本平均數(shù)的估計(jì)值為，則.所以，樣本平均數(shù)的估計(jì)值為62.（2）由圖可知，前三組的頻率和為，第四組的頻率為，所以樣本的80％分位數(shù)為（3）由（1）可知，樣本平均數(shù)的估計(jì)值，所以，則所以，估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)為16.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入k個(gè)相同的數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，，，，，，，，，，…，求的前100項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，依題意，，，即，解得，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（2）設(shè)和插入的個(gè)數(shù)構(gòu)成一組數(shù)，則前組共有個(gè)數(shù)，令，又，解得：；當(dāng)時(shí)，，∴的前100項(xiàng)中包含前12組數(shù)和第13組數(shù)的前10個(gè)，∴．17.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)．（?。┣蟮闹?；（ⅱ）證明：存在實(shí)數(shù)，使得曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．解：（1）由題意可知，則的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，若，，若，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）（i）函數(shù)，則，，故．（ii）函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖?，使得曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，又．可知曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).18.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，三角形是正三角形，是棱的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線(xiàn)為．（1）證明：平面；（2）證明：；（3）若二面角為，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．（1）證明：四邊形是菱形，所以，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）證明：取與中點(diǎn)，．連接，，，，則運(yùn)用中位線(xiàn)性質(zhì)知，且,則，，則四邊形是平行四邊形，是正三角形，易知，，底面是菱形，，則是正三角形，則，平面，平面，平面，，由于四邊形是菱形，四邊形是平行四邊形，所以，，．（3）由（2）知為二面角的平面角，即，前面知道，則過(guò)做的垂線(xiàn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，則，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則進(jìn)而求得一個(gè)法向量為，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則．19.拋物線(xiàn)的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)形成的三角形稱(chēng)為阿基米德三角形，由拋物線(xiàn)的三條切線(xiàn)圍成的三角形稱(chēng)為拋物線(xiàn)的切線(xiàn)三角形．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)F，過(guò)x軸下方的一點(diǎn)P作C的兩條切線(xiàn)和，且，分別交x軸于點(diǎn)A，B，交l于點(diǎn)M，N．（1）求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若△PMN為阿基米德三角形，求∠MPN；（3）證明：切線(xiàn)三角形PAB的外接圓過(guò)定點(diǎn)．解：（1）由題意得，則，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為，（2）因?yàn)榘⒒椎氯切?，所以分別與拋物線(xiàn)切于點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)在軸左側(cè)，則.由，得，則，所以的斜率為的斜案為1，所以，所以.（3）由（1）可知拋物線(xiàn)，設(shè)分別與拋物線(xiàn)切于點(diǎn)，由（1）可知直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為.即直線(xiàn)的方程為，即，所以.設(shè)外接圓的圓心為，則圓心在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，所以，則圓的半徑為，所以圓的方程為，又點(diǎn)在圓上，所以，即，所以，所以整理得，即，令，得，所以的外接圓過(guò)定點(diǎn).陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵對(duì)數(shù)函數(shù)在上為增函數(shù)，∴由得，故，∵，∴.故選：D.2.若，則cos2α＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，可得：即，解得

分子分母同時(shí)除以（因?yàn)?，若，則不存在），可得：，將代入上式可得：

，所以.故選：B.3.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以要使為純虛數(shù)，則，解得：．故選：B．4.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，可得：，因?yàn)?，所以，解得：，故選：C5.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為B．若，則該橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由橢圓的幾何性質(zhì)，因?yàn)?，可得，所以，，則，所以橢圓的方程為.故選：A.6.一個(gè)圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，軸截面的面積為9，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B.2π C. D.7π【答案】D【解析】設(shè)圓臺(tái)的高為，由題意可知，，得，圓臺(tái)的體積.故選：D7.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，由余弦定理得，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以或（舍），所以，所?故選：B.8.已知是定義在R上的奇函數(shù)且滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，．若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，又因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù).因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.函數(shù)的草圖如下：根據(jù)圖象可知，若，則，，解得，.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：，.故選：D二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)是C的一條漸近線(xiàn)，P是l上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.C的虛軸長(zhǎng)為B.C的離心率為C.的最小值為D.過(guò)點(diǎn)能作4條直線(xiàn)與C僅有一個(gè)交點(diǎn)【答案】ACD【解析】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，依題意，解得，所以雙曲線(xiàn)，對(duì)于A，的虛軸長(zhǎng)，A正確；對(duì)于B，的離心率，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，即的最小值為，C正確；對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線(xiàn)為，此直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切與點(diǎn)，符合題意，設(shè)過(guò)點(diǎn)斜率存在的直線(xiàn)為，聯(lián)立方程組，得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，直線(xiàn)平行于漸近線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切，故過(guò)點(diǎn)能作4條直線(xiàn)與C僅有一個(gè)交點(diǎn)，D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是奇函數(shù)B.最小正周期為2πC.區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間內(nèi)有40個(gè)極值點(diǎn)【答案】AD【解析】A.函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以是奇函?shù)，故A正確；B.，故B錯(cuò)誤；C.時(shí)，，，當(dāng)，，此時(shí)，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)，，此時(shí)，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；D.時(shí)，，，，當(dāng)，則，共20個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以在區(qū)間有20個(gè)極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間共有40個(gè)極值點(diǎn)，故D正確.故選：AD11.對(duì)于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目（若兩個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù)是1，則稱(chēng)這兩個(gè)正整數(shù)互質(zhì)）．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱(chēng)為歐拉函數(shù)，例如，（10與1，3，7，9均互質(zhì)）則（）A.B.數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列C.若p為質(zhì)數(shù)，則數(shù)列為等比數(shù)列D.數(shù)列的前5項(xiàng)和等于【答案】AC【解析】A.12與1,5,7,11均互質(zhì)，所以，17與1,2,3,4,5,…,13,14,15,16均互質(zhì)，所以，所以，故A正確；B.7與1,2,3,4,5,6互質(zhì)，則，9與1,2,4,5,7,8互質(zhì)，所以，，所以數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；C.設(shè)為質(zhì)數(shù)，則小于等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)為，即每個(gè)數(shù)當(dāng)中就有一個(gè)與不互質(zhì)，所以互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為,故，所以為常數(shù)，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故C正確；根據(jù)選項(xiàng)C可知，，數(shù)列的前5項(xiàng)和為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)均為實(shí)數(shù)，且，則____________.【答案】【解析】，取對(duì)數(shù)得，，；.故答案為:.13.排球比賽實(shí)行“五局三勝制”（當(dāng)一隊(duì)贏得三場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束），根據(jù)此前的若干次比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可知，在甲、乙兩隊(duì)的比賽中，每場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率為，乙隊(duì)獲勝的概率為，則在這場(chǎng)“五局三勝制”的排球比賽中甲隊(duì)獲勝的概率為_(kāi)_______．【答案】【解析】命題可以轉(zhuǎn)化為：即使某一隊(duì)獲勝三場(chǎng)，也照常進(jìn)行后續(xù)的場(chǎng)次，直至五場(chǎng)全部結(jié)束，最后獲勝場(chǎng)次數(shù)多的隊(duì)獲勝。二者等效（區(qū)別僅在于勝負(fù)已定后，后續(xù)場(chǎng)次是否真正進(jìn)行）.此時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率即為甲隊(duì)獲勝場(chǎng)數(shù)不小于的概率，即．故答案為：．14.在三棱錐中，，且．記直線(xiàn)，與平面所成角分別為，，已知，當(dāng)三棱錐的體積最小時(shí)，平面截三棱錐的外接球的截面面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，則，由平面得.在中，，在中，，∴，故.由，得，且.當(dāng)三點(diǎn)構(gòu)成三角形時(shí)，，即，，，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，由得，，，此時(shí)三棱錐的高最小，體積最小.當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，由得，，取線(xiàn)段中點(diǎn)，由和為直角三角形得，，故點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，外接球半徑，∵為外接球直徑，平面，∴平面截三棱錐的外接球的截面面積為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.某校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展水平，組織本校2000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測(cè)（檢測(cè)分為初試和復(fù)試），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(jī)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本的80％分位數(shù)（四舍五入精確到整數(shù)）；（3）若所有學(xué)生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，．初試成績(jī)不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)（四舍五入精確到整數(shù)）．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．解：（1）設(shè)樣本平均數(shù)的估計(jì)值為，則.所以，樣本平均數(shù)的估計(jì)值為62.（2）由圖可知，前三組的頻率和為，第四組的頻率為，所以樣本的80％分位數(shù)為（3）由（1）可知，樣本平均數(shù)的估計(jì)值，所以，則所以，估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)為16.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入k個(gè)相同的數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，，，，，，，，，，…，求的前100項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，依題意，，，即，解得，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（2）設(shè)和插入的個(gè)數(shù)構(gòu)成一組數(shù)，則前組共有個(gè)數(shù)，令，又，解得：；當(dāng)時(shí)，，∴的前100項(xiàng)中包含前12組數(shù)和第13組數(shù)的前10個(gè)，∴．17.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)．（ⅰ）求的值；（ⅱ）證明：存在實(shí)數(shù)，使得曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．解：（1）由題意可知，則的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，若，，若，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）（i）函數(shù)，則，，故．（ii）函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖?，使?/p>