空間向量及其運算(單元教學設計)-高中數(shù)學新教材選擇性必修第一冊

1.1空間向量及其運算單元教學設計零向量、單位向量、相等向量、相反向量、零向量、單位向量、相等向量、相反向量、共線向量（平行向量）、空間直線的方向向量空間向量基本概念本單元知識結構圖：空間直線的方向向量空間向量基本概念空間的共面向量空間向量及其運算空間的共面向量空間向量及其運算空間向量的線性運算空間向量的線性運算空間向量的運算空間向量的運算空間向量的投影向量空間向量的空間向量的投影向量空間向量的數(shù)量積運算1.1內(nèi)容（1）空間向量及其相關概念；（2）共線向量定理和共面向量定理；（3）空間向量的線性運算；（4）空間向量的數(shù)量積運算.1.2內(nèi)容解析內(nèi)容本質(zhì)：本節(jié)課是本單元的起始課，在建立單元學習框架的基礎上，通過本節(jié)的知識內(nèi)容空間向量的定義，幾種常見的空間向量，零向量、單位向量、共線向量、相等向量、相反向量、方向向量，空間向量的線性運算，向量加法、向量減法、向量數(shù)乘，空間向量的夾角以及數(shù)量積，空間向量的投影向量等的學習，我們可利用空間向量解決有關立體幾何中的夾角，距離，平行，垂直等問題.空間向量是解決立體幾何問題的重要手段之一，了解并掌握空間向量在立體幾何中的使用有利于解決立體幾何中的關鍵問題.對于本節(jié)課，它既是空間向量的基礎，以及在以后學習中要用空間向量求異面直線的夾角，線面角，面面角，還是兩點之間的距離，證明平行，垂直都離不開空間向量的線性運算和數(shù)量積，掌握本節(jié)知識點對空間向量以后的學習是至關重要的.同時本節(jié)課的內(nèi)容本質(zhì)是通過對向量的概念從平面向量的認識向空間向量的過渡，有平面內(nèi)的向量都可以看作空間中的向量，因此空間向量的概念、表示和平面向量具有一致性，但在維數(shù)上發(fā)生了變化，空間向量是三維的，平面向量是二維的.由于任意兩個空間向量都可以平移到一個平面內(nèi)，因此兩個空間向量的運算可以看作兩個平面向量的運算，它們的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積運算也具有一致性，當然也要注意維數(shù)的變化.蘊含的思想方法：（1）向量作為代數(shù)對象，通過類比數(shù)及其運算，抽象與表示運算對象、構建運算體系；向量作為幾何對象，以平面幾何、立體幾何中關于幾何對象的抽象與表示、圖像性質(zhì)的內(nèi)涵與發(fā)現(xiàn)等為參照發(fā)現(xiàn)和提出問題.向量運算法則、運算律都具有幾何意義，而且這些定義的給出都是以幾何的相關定理例如平行四邊形定理、相似三角形定理、勾股定理等等作為邏輯基礎的.（2）在教學時，類比平面向量得出空間向量的相關概念，體現(xiàn)了直觀想象的核心素養(yǎng)；通過空間向量的性質(zhì)與運算，強化數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，通過幾何體中的線性運算，鞏固學習空間向量的含義與運算，有利于培養(yǎng)學生空間想象能力即數(shù)學抽象、直觀想象和數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).過空間向量的數(shù)量積運算，強化數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，通過幾何體中的數(shù)量積運算，有利于培養(yǎng)學生空間想象能力即數(shù)學抽象、直觀想象和數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).知識的上下位關系：在平面向量知識的基礎上，結合具體實例，繼續(xù)研究空間向量；通過空間向量的相關知識的學習，加深對平面向量知識的認識和理解；通過利用空間向量知識來解決實際問題，提高用向量方法解決問題的能力。類比平面向量的知識，歸納得出空間向量的基本概念及其運算，為后續(xù)的學習奠定了基礎.育人價值：通過具體實例,學生經(jīng)歷空間向量的相關概念的得出，在探究過程中，體悟平面向量與空間向量的區(qū)別于聯(lián)系，用空間向量的線性運算以及數(shù)量積運算來解決空間立體幾何的簡單的平行、垂直、距離和夾角等問題，感受由特殊到一般、具體到抽象的思想，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).幫助學生在學習平面向量的基礎上，利用類比的方法理解空間向量的概念、運算、基本定理和應用，體會平面向量和空間向量的共性和差異；運用向量的方法研究空間基本圖形的位置關系和度量關系，體會向量方法和綜合幾何方法的共性與差異；運用向量方法解決簡單的數(shù)學問題和實際問題，感悟向量是研究幾何問題的有效工具.教學重點：通過類比平面向量的概念來歸納并理解空間向量的含義，發(fā)現(xiàn)空間向量也與平面向量滿足線性運算(加法、減法和數(shù)乘），并能熟練運用線性運算法則進行空間向量的運算，熟練掌握空間向量的數(shù)量積.二、目標及其解析2.1單元目標經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量概念.經(jīng)歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程，掌握空間向量的線性運算和數(shù)量積運算.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.2.2目標解析達成目標的標志：能類比平面向量的學習，經(jīng)歷平面向量推廣到空間向量的過程，并初步建構空間向量及其運算的研究框架.能類比平面向量，用自己的語言解釋空間向量的概念，說明空間向量與平面向量的共性與差異.能將平面向量的線性運算推廣到空間，給出空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算的定義及其幾何意義.能將平面向量的線性運算的運算律推廣到空間，并能借助圖形解釋其意義；會用空間向量的線性運算表示空間中的基本元素，體會空間向量的線性運算在解決立體幾何問題中的作用.能將平面向量數(shù)量積的運算推廣到空間，給出空間向量數(shù)量積的概念，會計算兩個向量的數(shù)量積；能將平面向量數(shù)量積運算律推廣到空間向量數(shù)量積的運算律，能用自己的語言解釋空間向量運算律和實數(shù)運算律的聯(lián)系與區(qū)別.能借助圖形解釋空間向量投影的概念以及投影向量的意義.能利用向量數(shù)量積解決幾何度量問題，證明與垂直有關的簡單問題；體會空間向量的數(shù)量積運算及其運算律在解決立體幾何中的作用.學情分析3.1學生已有基礎分析(1)知識準備：空間向量是平面向量的延伸，經(jīng)歷了高一必修二第六章的平面向量的知識的學習，學生應該很容易理解空間向量及其相關概念，在較好地進行平面向量的線性運算的基礎上推廣到空間向量，但對于將空間中平移到同一起點即同一平面上后,再利用平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則計算這兩個向量的線性計算，學生可能很難理解或想象空間向量進行平移到同一平面上，因此在教學中可以適當利用教學設備，展示向量移動的動畫，加強學生的理解。（2）思維準備、研究方法：通過學生對之前平面向量的學習，學生已經(jīng)積累了一些經(jīng)驗，但數(shù)學抽象能力較低，在將知識推廣到空間時，對空間想象力的要求很高；再有將空間立體圖形平面化的化歸轉(zhuǎn)化能力不強，也會導致對后續(xù)知識學習理解的匱乏，因此在教學過程中，還是形象直觀為主，可以通過具體實例切入探究，如，為了加深對概念的辨析、理解，可借助于向量的有向線段表示法進行分析，或在已有的平行六面體上，解決簡單有關空間向量的概念問題，如：相等向量、相反向量、共線向量和共面向量等等，體會從具體到抽象、從特殊到一般的思想方法.3.2.學生基礎與目標的差距（1）缺乏基本活動經(jīng)驗.在研究的范圍內(nèi)已由平面擴展到空間，一個向量可以確定空間的一個平移，兩個不平行向量確定的平面已經(jīng)不只是一個平面，二是互相平行的“平面集”，這需要學生對向量有新的理解，另外，盡管在形式上空間向量的運算、運算律和平面向量的一致，但因為維數(shù)發(fā)生了變化，所以它們的幾何表示式不同的，這些是本單元學習的難點.破解的方法:在空間中，零向量、單位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相對應的概念完全相同．由于向量是由其模和方向確定的，因此解答空間向量有關概念問題時，通常抓住這兩點來解決．研究空間向量時，學生對向量的直覺經(jīng)驗、已學過的有限平面向量的知識不足，以高中平面向量的學習基礎的直接經(jīng)驗，致使學生抽象過程不充分，導致學生對空間向量概念及數(shù)學表達的認識不牢固，對其線性運算理解不深入，使后續(xù)的空間向量運算的學習缺乏必要的基礎。遵循從具體到抽象的原則，通過熟悉的實例，發(fā)揮立體幾何圖形的直觀性作用，學生在直觀感知的基礎上,正確找出相等向量、相反向量、共線向量和共面向量等，厘清立體圖形中出現(xiàn)的向量相互關系等角度，引導學生進行歸納，明確研究對象的基本特征。再通過具體實例進行辨析、理解。（2）學生還缺乏利用空間向量解決立體幾何問題的經(jīng)驗.另外，由于圖形的維數(shù)增加了，也更抽象了，想到向量方法以及把空間圖形的位置關系轉(zhuǎn)化為向量表示，對學生來講都是難點.破解的方法:學生缺乏實際問題數(shù)學化的經(jīng)驗，如何選擇數(shù)學語言和工具刻畫空間向量存在困難，學生不容易將立體圖形用向量平移描述出來，一部分停留在平面向量的記憶上，為深入的理解空間向量相關概念造成障礙。為此選取以長方體、正方體和平行六面體為實例，從不同角度讓學生經(jīng)歷用數(shù)學語言表達空間向量平移的過程，加深對三維空間向量的理解，讓學生初步認識空間向量的基本特征，“平面向量---空間向量”是一個立體幾何平面化的過程，在此基礎上利用集合關系和運算研究空間向量的關系和運算，為研究空間點、直線和平面的向量表示法做好準備，也是將空間立體圖形的問題轉(zhuǎn)化為空間向量的問題打好基礎.（3）對于空間向量的投影，將其轉(zhuǎn)化為平面向量的投影，并畫出投影向量，需要較強的空間想象能力，這也是本單元的一個難點.破解的方法:投影向量的概念在必修二的第六章第二節(jié)中，學習平面向量的數(shù)量積概念后的新的定義，為平面向量的數(shù)量積的幾何意義打下基礎，我們空間向量的投影概念就要從這個概念出發(fā)：如圖，設a，b是兩個非零向量，＝a，＝b，作如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.借助圖形來理解向量a在向量b上的投影向量的求法：將已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cosθe(e是與b方向相同的單位向量，且e＝eq\f(b,|b|))中計算即可．通過具體實例，從中找到類比對象，抽象出空間一個向量在一條直線上的投影向量如何去求，再繼續(xù)研究空間一個向量在一個平面內(nèi)的投影向量如何操作.類比直線在平面內(nèi)的投影問題，其本質(zhì)問題就是點在直線上的投影，點在平面內(nèi)的投影；對于向量的投影向量的研究，相當于空間一點向另一個對象（直線或平面）作投影的研究，為了使學生充分理解空間向量投影的概念，我們先將平面向量的投影向量的本質(zhì)弄清楚，其實質(zhì)問題就是我們進行了降維處理，降低了學生學習的難度.教學難點:空間向