11.2 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析 課件-2025屆高三數(shù)學三輪專項復習

11.2成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析考點1變量間的相關(guān)關(guān)系1.相關(guān)關(guān)系兩個變量有關(guān)系,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度,這種關(guān)

系稱為相關(guān)關(guān)系.溫馨提示

相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系均是指兩個變量的關(guān)系,但函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)

系,相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.2.散點圖將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中的對應點畫出來,得到表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,

這樣的圖形叫做散點圖.利用散點圖,可以判斷兩個變量是否相關(guān),相關(guān)時是正相關(guān)還是

負相關(guān).3.正相關(guān)和負相關(guān)(1)正相關(guān):從整體上看,當一個變量的值增加時,另一個變量的相應值也呈現(xiàn)增加的趨

勢,我們就稱這兩個變量正相關(guān).(2)負相關(guān):從整體上看,當一個變量的值增加時,另一個變量的相應值呈現(xiàn)減少的趨勢,

則稱這兩個變量負相關(guān).4.線性相關(guān)和非線性相關(guān)(1)一般地,如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān),而且散點落在一條直線附近,我

們就稱這兩個變量線性相關(guān).(2)一般地,如果兩個變量具有相關(guān)性,但不是線性相關(guān),那么我們就稱這兩個變量非線

性相關(guān)或曲線相關(guān).5.樣本相關(guān)系數(shù)(1)r=

=

,稱r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù).(2)樣本相關(guān)系數(shù)r是一個描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征,它的正負性和絕對值的大小可

以反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征:①當r>0時,稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);②當r<0時,稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān).(3)樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1,1],樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值大小可以反映成對數(shù)據(jù)

之間線性相關(guān)的程度:①當|r|越接近1時,成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強;②當|r|越接近0時,成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.6.一元線性回歸模型(1)經(jīng)驗回歸方程我們將

=

x+

稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程,其中

提醒

1.根據(jù)經(jīng)驗回歸方程進行預測,得到的僅是一個估計值,而不一定是真實發(fā)生的

值.2.經(jīng)驗回歸直線一定過樣本點的中心,即必過點(

,

).(2)判斷模型擬合效果的方式①利用殘差平方和:

(yi-

)2,殘差平方和越小,擬合效果越好.②利用殘差圖:若殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域

內(nèi),該區(qū)域越窄,說明擬合效果越好.(殘差:觀測值減去預測值)③利用決定系數(shù)R2:R2=1-

,R2越大,擬合效果越好.考點2獨立性檢驗1.2×2列聯(lián)表假設兩個分類變量X和Y,它們的可能取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列聯(lián)表為XY合計y1y2x1aba+bx2cdc+d合計a+cb+da+b+c+d2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).可構(gòu)造一個隨機變量χ2=

,其中n=a+b+c+d為樣本容量.2.獨立性檢驗利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗,讀作“卡方獨立

性檢驗”,簡稱獨立性檢驗.即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)散點圖是判斷兩個變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段.

(

)(2)殘差平方和越大,模型的擬合效果越好.

(

)(3)經(jīng)驗回歸直線

=

x+

至少經(jīng)過點(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一個點.

(

)(4)若分類變量X,Y關(guān)系越密切,則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2的觀測值越小.

(

)√×××2.某食品研究部門為了解一種酒品的儲藏年份與芳香度之間的相關(guān)關(guān)系,在市場上收

集到了一部分不同儲藏年份的該酒品,并測定了其芳香度(如表).儲藏年份x014568芳香度y1.31.85.6

7.49.3由最小二乘法得到經(jīng)驗回歸方程

=1.03x+1.13,但不小心在檢測后滴到表格上一滴檢測液,污損了一個數(shù)據(jù),則推斷該數(shù)據(jù)為

.6.1題型一變量間的相關(guān)關(guān)系及回歸方程典例1

(2025屆河南省實驗中學開學考,17)為實施鄉(xiāng)村振興,科技興農(nóng),某村建起了田

園綜合體,并從省城請來專家進行技術(shù)指導.根據(jù)統(tǒng)計,該田園綜合體西紅柿畝產(chǎn)量的增

加量y(千克)與某種液體肥料每畝使用量x(千克)之間的對應數(shù)據(jù)如下.x/千克24568y/千克300400400400500(1)由上表數(shù)據(jù)可知,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請計算相關(guān)系數(shù)r并加以說明

(若|r|>0.75,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合);(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程,并預測當液體肥料每畝使用量為20千克時,西紅柿畝產(chǎn)量

的增加量約為多少千克.附:對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式,

相關(guān)系數(shù)r的公式分別為

=

,

=

-

,r=

.參考數(shù)據(jù):

≈3.16.解析

(1)由已知數(shù)據(jù)可得

=

=5,

=

=400,

(xi-

)(yi-

)=600,

(xi-

)2=20,

(yi-

)2=20000,∴相關(guān)系數(shù)r=

=

≈0.95.∵|r|>0.75,∴可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.(2)由(1)知

=

=

=30,∴

=400-30×5=250,∴經(jīng)驗回歸方程為

=30x+250,當x=20時,

=30×20+250=850,即當液體肥料每畝使用量為20千克時,西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為850千克.方法總結(jié)

求經(jīng)驗回歸方程的步驟1.計算出

、

、

+

+…+

、x1y1+x2y2+…+xnyn;2.計算

、

;3.寫出經(jīng)驗回歸方程

=

x+

.變式訓練1-1

(關(guān)鍵元素變式)某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品測得數(shù)據(jù)如下:尺寸x/mm384858687888質(zhì)量y/g16.818.820.722.42425.5(1)若按照檢測標準,合格產(chǎn)品的質(zhì)量y(g)與尺寸x(mm)之間近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=c·xd(c,d為

大于0的常數(shù)),求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程;(2)已知產(chǎn)品的收益z(單位:千元)與產(chǎn)品尺寸和質(zhì)量的關(guān)系為z=2y-0.32x,根據(jù)(1)中經(jīng)驗

回歸方程分析,當產(chǎn)品的尺寸x約為何值時(結(jié)果用整數(shù)表示),收益z的預報值最大?附:①參考數(shù)據(jù):

(lnxi·lnyi)≈75.3,

lnxi≈24.6,

lnyi≈18.3,

(lnxi)2≈101.4.②參考公式:對于樣本數(shù)據(jù)(vi,ui)(i=1,2,…,n),其經(jīng)驗回歸直線

=

v+

的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

=

=

,

=

-

,e≈2.7182.解析

(1)第一步:兩邊取自然對數(shù),將非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系.對y=c·xd(c,d>0)兩邊取自然對數(shù)得lny=lnc+dlnx.令vi=lnxi,ui=lnyi,則

=

v+

,其中

=lnc.第二步:利用公式求出經(jīng)驗回歸方程.根據(jù)所給統(tǒng)計量及最小二乘估計公式得

=

=

≈

=

=

,

=

-

=

-

·

≈

-

×

=1,又

=lnc=1,所以c=e,所以y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為

=e·

.(2)由(1)得y=e·

,(2)由(1)得y=e·

,所以z=2e

-0.32x=-0.32(

)2+2e

.令t=

,則當t=

時,z取得最大值,此時x=t2≈72,所以當產(chǎn)品的尺寸x約為72mm時,收益z的預報值最大.歸納總結(jié)

求非線性回歸模型的步驟

題型二獨立性檢驗典例2

(2025屆海南海口摸底,17)制訂適合自己的學習計劃并在學習過程中根據(jù)自己

的實際情況有效地安排和調(diào)整學習方法是一種有效的學習策略.某教師為研究學生制

訂學習計劃并堅持實施和數(shù)學成績之間的關(guān)系,得到如下數(shù)據(jù):

成績>120分成績≤120合計制訂學習計劃并堅持實施14620沒有制訂學習計劃22830合計163450(1)依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗,能否認為制訂學習計劃并堅持實施和數(shù)學成績

高于120分有關(guān)聯(lián)?(2)若該校高三年級每月進行一次月考,該校學生小明在高三開學初認真制訂了學習計

劃,其中一項要求自己每天要把錯題至少重做一遍,做對為止,以下為小明堅持實施計劃

的月份和他在學校數(shù)學月考成績的校內(nèi)名次數(shù)據(jù):月考時間11月初12月初次年1月初次年2月初次年3月初時間代碼x12345月考校內(nèi)名次y881857729569475參考數(shù)據(jù):

xiyi=9433,

=702.2.(i)求月考校內(nèi)名次y與時間代碼x的經(jīng)驗回歸方程

=

x+

;(ii)該校教師給出了上一年該校學生高考(6月初考試)數(shù)學成績在校內(nèi)的名次和在全省

名次的部分數(shù)據(jù):校內(nèi)名次w5100200300全省名次u202576662780利用數(shù)據(jù)分析軟件,根據(jù)以上數(shù)據(jù)得出了兩個回歸模型和決定系數(shù)R2:模型①模型②

=9.5

-449

=28

R2=0.7927R2≈0.9973在以上兩個模型中選擇“較好”模型(說明理由),并結(jié)合問題(i)的回歸方程,依據(jù)“較

好”模型預測小明如果能堅持實施學習計劃,他在次年高考中數(shù)學成績的全省名次(名

次均保留整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):e2.272≈9.7,e2.432≈11.4,e0.672≈2.0)附:(1)χ2=

,其中n=a+b+c+d.α0.050.010.0050.001xα3.8416.6357.87910.828(2)對于一組數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),其經(jīng)驗回歸直線

=

x+

的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

=

=

,

=

-

.解析

(1)零假設為H0:制訂學習計劃并堅持實施和數(shù)學成績高于120分沒有關(guān)聯(lián).由題中數(shù)據(jù)得χ2=

=

≈22.120>10.828=x0.001,依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即制訂學習計劃并堅持實施和

數(shù)學成績高于120分有關(guān)聯(lián).(2)(i)由題知:

=

×(1+2+3+4+5)=3,

=12+22+32+42+52=55,所以

=

=

=-110,

=

-

=702.2-(-110)×3=1032.2,所以月考校內(nèi)名次y與時間代碼x的經(jīng)驗回歸方程為

=-110x+1032.2.(ii)模型②為“較好”模型,因為模型②的決定系數(shù)大于模型①的決定系數(shù).高考對應的時間代碼為8,預測小明高考數(shù)學成績的校內(nèi)名次為

=-110×8+1032.2=152.2≈152,全省名次為

=28e0.016×152=28e2.432=28×11.4=319.2≈319.所以預測小明高考數(shù)學成績的全省名次為319名.歸納總結(jié)

應用獨立性檢驗解決實際問題的基本步驟1.提出零假設H0:X和Y相互獨立,并給出在問題中的解釋;2.根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計算χ2的值;3.查表確定臨界值xα;α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8284.得出推斷結(jié)論.當χ2≥xα時,我們就推斷H0不成立,即認為X和Y不獨立,該推斷犯錯誤的概率不超過α;當χ2<xα時,我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,可以認為X和Y獨立.變式訓練2-1

(設問條件