4.4.1 三角形中的爪型模型 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

4.4.1三角形中的“爪型”模型高考解讀

“爪型”三角形是指給定的一個(gè)三角形中,連接一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊上的任意

一點(diǎn)構(gòu)成的圖形.主要考查正弦定理、余弦定理、平面向量、坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí).“爪

型”三角形是高考常考的題目,學(xué)生應(yīng)從“爪型”三角形的代數(shù)特征和幾何特征出發(fā),

總結(jié)解題規(guī)律,從整體上認(rèn)識(shí)把握,做到高考備考有的放矢.高考溯源角平分線問題(2023全國(guó)甲理,16,5分)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=

,∠BAC的角平分線交BC于D,則AD=

.2解析

在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,即(

)2=22+AC2-2×2×AC×cos60°,即AC2-2AC-2=0,解得AC=1+

或AC=1-

(舍),由于AD平分∠BAC,且∠BAC=60°,所以∠BAD=∠CAD=30°.S△ABC=S△ABD+S△ACD,即

×2×(

+1)×

=

×2×AD×

+

×(

+1)×AD×

,即

×(

+1)=AD+

AD,解得AD=2.技巧

角平分線的兩個(gè)重要結(jié)論1.角平分線長(zhǎng)度公式在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,∠BAC、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則AD=

.證明如下:S△ABD=

c×AD×sin∠BAD,S△ADC=

b×AD×sin∠CAD,S△ABC=

cbsin∠BAC,因?yàn)镾△ABC=S△ABD+S△ADC,所以

cbsin∠BAC=

c×AD×sin∠BAD+

b×AD×sin∠CAD,因?yàn)椤螩AD=∠BAD=

∠BAC,所以整理得AD=

.2.角平分線定理在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,則

=

(由正弦定理證明).高考仿真1

(2024江蘇蘇州三模,6)已知△ABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,∠BAC=

,∠BAC的平分線交邊BC于點(diǎn)D,若AD=

,則b+2c的最小值為

(

)A.2+2

B.4

C.3+2

D.3+2

C解析

S△ABC=

bcsin∠BAC=

bc,因?yàn)椤螧AC的平分線交邊BC于點(diǎn)D,且AD=

,所以∠BAD=∠CAD=

,S△ABD=

×AD×c×sin∠BAD=

c,S△CAD=

×AD×b×sin∠CAD=

b,又S△ABC=S△ABD+S△CAD,所以

bc=

c+

b,化簡(jiǎn)得bc=c+b,即

+

=1,則b+2c=(b+2c)

=3+

+

≥3+2

=3+2

,當(dāng)且僅當(dāng)b=

c=

+1時(shí)取等號(hào),即b+2c的最小值為3+2

.故選C.高考仿真2

(2024浙江嘉興一模,15)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=3

,asinB=bsin

.(1)求角A;(2)作角A的平分線與BC交于點(diǎn)D,且AD=

,求b+c.解析

(1)由正弦定理可得asinB=bsinA,因?yàn)閍sinB=bsin

,所以sinA=sin

,因?yàn)锳∈(0,π),所以A+A+

=π,所以A=

.(2)因?yàn)锳D平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD=

.因?yàn)镾△DAB+S△DAC=S△ABC,所以

c·ADsin∠DAB+

b·ADsin∠DAC=

c·bsin∠BAC,即

c+

b=

cb,即c+b=cb,又由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos

=(b+c)2-3bc,把a(bǔ)=3

,b+c=cb代入化簡(jiǎn)得(b+c)2-3(b+c)-18=0,解得b+c=6或b+c=-3(舍去),所以b+c=6.高考變式1.“爪型”三角形中線問題典例1記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn),∠BAC=120°,

△ABC面積的最大值為4

,則中線AD的長(zhǎng)為

.

2解析

解法一:向量基底法設(shè)AD=x,因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以

=

(

+

),所以

=

(

+

+2

·

).即x2=

(c2+b2+2bccos120°),整理得b2+c2=bc+4x2.而b2+c2≥2bc,所以bc+4x2≥2bc,即bc≤4x2,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2x時(shí),等號(hào)成立,所以S△ABC=

bcsin∠BAC≤

×4x2×

=4

,解得x=2,即AD=2.解法二:中線長(zhǎng)定理設(shè)BD=CD=m,AD=n,利用中線長(zhǎng)定理可得n2+m2=

(b2+c2),①在△ABC中,由余弦定理得,4m2=b2+c2-2bccos120°,化簡(jiǎn)得m2=

(b2+c2+bc),②把②代入①化簡(jiǎn)得,4n2+bc=b2+c2,而b2+c2≥2bc,所以4n2+bc≥2bc,即bc≤4n2,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2n時(shí),等號(hào)成立,所以S△ABC=

bcsin∠BAC≤

×4n2×

=4

,解得n=2,即AD=2.技巧

在△ABC中,AD是邊BC上的中線.1.中線長(zhǎng)定理:AB2+AC2=2(BD2+AD2).

推導(dǎo)過程:在△ABD中,cosB=

,在△ABC中,cosB=

,聯(lián)立兩個(gè)方程可得:AB2+AC2=2(BD2+AD2).2.向量法:

=

(

+

+2|

||

|·cos∠BAC).推導(dǎo)過程:易知

=

(

+

),則

=

(

+

)2=

+

+

|

|·|

|·cos∠BAC,所以

=

(

+

+2|

||

|·cos∠BAC).3.向量法結(jié)論推廣:在△ABC中,若D點(diǎn)為BC邊上異于B,C兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn),且滿足|BD|

=m,|DC|=n,因?yàn)?/p>

=

=

-

,所以

=

+

=

+

-

=

+

.即

=

+

,則

=

+

+

·

.2.“爪型”三角形高線問題典例2記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若AD⊥BC交BC邊于D點(diǎn),∠BAC=120°,AD=2,則

·

的最大值是

.-8解析

解法一:等面積法因?yàn)镾△ABC=

bcsin∠BAC=

a·AD,AD=2,所以a=

bc①.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos120°②,①代入②得

b2c2=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,所以bc≥16.當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),等號(hào)成立.所以

·

=bc·cos120°=-

bc≤-8.故

·

的最大值為-8.解法二:坐標(biāo)法建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)AC=n,AB=m.

因?yàn)椤螧AC=120°,所以∠OAC=60°,則A

,C

,B

.則BC=

=

.S△ABC=

AC×ABsin∠BAC=

AD×BC,整理得,

m2n2=m2+n2+mn,而m2+n2≥2mn,所以

m2n2=m2+n2+mn≥3mn,解得mn≥16.所以

·

=|