4.1 三角函數(shù)的概念 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

4.1三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式命題形式本專題是歷年高考?？純?nèi)容,主要考查內(nèi)容有利用三角恒等變換“給值求角”“給值

求值”與“給角求值”,以及給定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象求解函數(shù)解析式及研

究函數(shù)性質(zhì).利用正、余弦定理解三角形.針對(duì)本專題公式與知識(shí)點(diǎn)比較多的特征,備考

時(shí)可以采用如下策略與方法:①掃除公式、定理“障礙”,將公式、定理、推論歸類整理形成公式脈絡(luò),尤其要熟練

運(yùn)用兩角和與差公式以及倍角公式;②規(guī)范解題步驟,注意解題中容易忽略的角的范圍

或多解問題,掌握角的變換技巧;③注重將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)融合交匯的綜合題目的處理方法

與思路解析明晰化.考點(diǎn)三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式一、三角函數(shù)的概念1.終邊相同的角(1)所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是{β|β=k·360°+α,k∈Z}或{β|

β=α+2kπ,k∈Z}.(2)角α,β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱?β=-α+2kπ,k∈Z.角α,β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱?β=π-α+2kπ,k∈Z.2.弧長與扇形面積公式(1)弧長公式:l=|α|r;(2)扇形面積公式:S=

lr=

|α|r2.(其中|α|為圓心角弧度數(shù)的絕對(duì)值,r為扇形半徑)3.任意角的三角函數(shù)的定義(1)借助單位圓:設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則sinα=y,cosα=x,tanα=

(x≠0).(2)借助終邊上點(diǎn)的坐標(biāo):設(shè)角α終邊上任意一點(diǎn)P(原點(diǎn)除外)的坐標(biāo)為(x,y),它與原點(diǎn)的

距離為r,則sinα=

,cosα=

,tanα=

(x≠0).(3)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)記憶口訣:一全正,二正弦,三正切,四余弦.二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1.2.商數(shù)關(guān)系:tanα=

.三、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式角正弦余弦正切口訣一2kπ+α(k∈Z)sinαcosαtanα函數(shù)名不變,符

號(hào)看象限二π+α-sinα-cosαtanα三-α-sinαcosα-tanα四π-αsinα-cosα-tanα五

-αcosαsinα

函數(shù)名改變,符

號(hào)看象限六

+αcosα-sinα

七

π+α-cosαsinα

八

π-α-cosα-sinα

即練即清1.判斷正誤.(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)終邊相同的角必相等.

(

)(2)第二象限的角一定大于第一象限的角.

(

)(3)若sinα>0且tanα<0,則α一定是鈍角.

(

)2.若角600°的終邊上有一點(diǎn)(-4,a),則a的值是

.3.已知圓心角為

的扇形,其周長為21,則該扇形的半徑為

,面積為

.4.已知tanα=-

,則

=

,sinαcosα=

.5.tan300°+sin450°=

.×××-46275-1-題型一三角函數(shù)定義的應(yīng)用典例1設(shè)角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-3,4),那么sinθ+2cosθ=

(

)A.

B.-

C.-

D.

C解析

根據(jù)三角函數(shù)定義知sinθ=

=

,cosθ=

=-

,所以sinθ+2cosθ=

+2×

=-

.思路點(diǎn)拔

由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值時(shí),首先要根據(jù)終邊過點(diǎn)的條件來確定

角度的大小和終邊在坐標(biāo)系中的位置,然后可以利用三角函數(shù)的定義式計(jì)算出相應(yīng)的

函數(shù)值.變式訓(xùn)練1-1

(設(shè)問條件變式)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(2,1)繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)B,則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為

.1+解析

由題意得OA=

=

,如圖所示,設(shè)OA與x軸正半軸的夾角為α,則sinα=

,cosα=

,由題意得OB與x軸正半軸的夾角為α-60°,

故點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為

cos(α-60°)=

(cosαcos60°+sinαsin60°)=

×

=1+

.變式訓(xùn)練1-2

(關(guān)鍵元素變式)已知角α的始邊為x軸的非負(fù)半軸,終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-3,4),則

=

(

)A.2

B.-

C.

或2

D.

D解析

由題意,得角α是第二象限角,則α∈

,k∈Z,故

∈

,k∈Z,當(dāng)k=2n,n∈Z時(shí),

∈

,n∈Z,

為第一象限角,當(dāng)k=2n+1,n∈Z時(shí),

∈

,n∈Z,

為第三象限角,所以

是第一象限角或第三象限角,則tan

>0,又因?yàn)閠anα=

=-

,所以tan

=2或tan

=-

(舍去),所以

=

=

=

.故選D.題型二同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用1.弦切互化:利用公式tanα=

實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化.2.和(差)積轉(zhuǎn)換:利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化,可以解決sinα+cosα,

sinαcosα,sinα-cosα知一求二的問題,注意方程思想的應(yīng)用.3.巧用“1”的變換:1=sin2α+cos2α=cos2α·(tan2α+1)

或1=sin2α

=tan

.典例2

(多選)若

=1,則

(

)A.tanx=2

B.sinx=

C.

=

D.cos4x-sin4x=-

AD解析

由

=

=

=1,解得tanx=2,A正確;由tanx=

=2,sin2x+cos2x=1,解得sinx=±

,B錯(cuò)誤;

=

,把tanx=2代入得

=-

,C錯(cuò)誤;cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x-sin2x=1-2sin2x,把sinx=±

代入得cos4x-sin4x=-

,D正確.故選AD.變式訓(xùn)練2-1

(高考題改編)(2023全國乙文,14改編)若θ∈

,tanθ=-

,則3cosθ-sinθ=

.-解析

因?yàn)棣取?/p>

,所以sinθ>0,cosθ<0.又因?yàn)閠anθ=

=-

,所以cosθ=-2sinθ,所以cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1,解得sinθ=

或sinθ=-

(舍去),所以3cosθ-sinθ=-6sinθ-sinθ=-7sinθ=-

.變式訓(xùn)練2-2

(條件變式)已知sinx+cosx=

,則sin3x+cos3x的值為

(

)A.

B.

C.

D.

D解析

由sinx+cosx=

,有(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx=

,得sinxcosx=-

,sin3x+cos3x=(sinx+cosx)(sin2x-sinxcosx+cos2x)=

×

=

.(立方和公式a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))故選D.變式訓(xùn)練2-3

(設(shè)問變式)(2024廣東新高考聯(lián)考)若θ∈

,sinθ-cosθ=

,則tanθ=

(

)A.

B.2

C.

D.3B解析

由(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2,sinθ-cosθ=

,得(sinθ+cosθ)2=

,由θ∈

,知sinθ>0,cosθ>0,得sinθ+cosθ=

,因此sinθ=

,cosθ=

,所以tanθ=

=2.故選B.題型三誘導(dǎo)公式的應(yīng)用典例3

cos1320°的值為

(

)A.

B.-

C.

D.-

D解析

cos1320°=cos(3×360°+240°)=cos(180°+60°)=-cos60°=-

.故選D.技巧點(diǎn)撥

利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟:(1)“負(fù)化正”:用公式一或公式三來轉(zhuǎn)化.(2)“大化小”:用公式一將角化為0°到360°間的角.(3)“小化銳”:用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角.(4)“銳求值”:得到銳角的三角函數(shù)后求值.變式訓(xùn)練3-1

(設(shè)問變式)(2024山東菏澤三中月考)已知角α(0°<α<360°)終邊上A點(diǎn)坐

標(biāo)為(sin310°,cos310°),則α=

(

)A.130°

B.140°

C.220°

D.230°B解析

因?yàn)閟