浙江省9 1聯盟2024-2025學年高二下學期4月期中考試數學試卷（含答案）

2024-2025學年浙江省91聯盟高二下學期4月期中考試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={-2,-1,0,1,2,3}，B={XIX(X-2)≥0}，則A∩B=()A.{-2,-1,0}B.{-2,-1,3}C.{-2,-1,0,2,3}D.{-2,-1,0,3}2.若復數z滿足2z+z=3+2i(其中i為虛數單位)，則復平面內該復數z所對應的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知A、B、C是球0的球面上三個點，且AB=AC=BC=3，球心0到平面ABC的距離為1，則球0的表面積為()B.8πC.πD.16π4.已知Sn為等比數列{an}的前n項和，且a1=1，則“S3=3”是“q=-2”的()條件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要5.已知a=，b=ln2.2，C=e0.2，則a，b，C的大小關系為()6.已知拋物線C:y2=4X的焦點為F，過點F的直線l與C交于M，N兩點(其中點M在第一象限)，點M到拋物線C的準線的距離為5，則的值為()A.2B.C.D.47.從0，1，2，3，4，5這6個數中任選2個奇數和1個偶數，組成沒有重復數字的三位數的個數為()A.36B.42C.48D.548.記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，C，滿足2(a-bcosC)=CsinB，BC邊上的高為2，且b=3，則△ABC周長為()二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，一個正八面體，八個面分別標以數字1~8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數字，得到樣本空間為Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，設事件A={1,2,7,8}，事件B=“得到的點數為偶數”，事件C=“得到的點數為質數”，則下列說法正確的是()C.事件B與C互斥D.事件A與B相互獨立10.已知函數下列說法正確的是()B.函數f(x)的圖象關于點中心對稱C.將f(x)的圖象向左平移個單位長度，可得到g(x)=2sin3x的圖象D.函數f(x)在區(qū)間(0,)上單調遞增11.已知函數y=ex-e-1與y=ln(x+e+1)交于M、N兩點，如圖截取兩函數在M、N之間部分圖像得到A.τ關于直線y=-x對稱B.若點M的橫坐標為x0，則x0∈(1,2)C.τ上的點到直線y=x距離的最大值為eD.A，B是τ上互異的兩點，分別過A，B作τ的切線，斜率記為K1，K2，若K1=K2，稱(A,B)為τ的一組關聯點，則τ的關聯點有無數組．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。的展開式中的常數項為．13.已知點M(0,3)，直線x-ky-2=0被圓x2+y2=8所截得弦的中點為N，則IMNI的最大值是．14.若三次函數f(x)=ax3+x2+Cx+1(a>0)有三個相異且成等差的零點，則a的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，AP=AD=4，AB=3，點M為PD的中點，連接MC．(1)求三棱錐M-ACD的體積;(2)求異面直線MC與PB所成的角的余弦值．16.(本小題15分)D公司開發(fā)了兩款AI圖像檢測模型(分別記為甲模型、乙模型)，用于檢測圖像中的特定目標.已知甲模型在單張圖像中檢測到目標的概率為，乙模型在單張圖像中檢測到目標的概率為.假設每張圖像在同一模型中的檢測結果相互獨立，現用甲、乙模型分別獨立地檢測3張圖像，記甲模型檢測到目標的圖像張數為X，乙模型檢測到目標的圖像張數為Y．(1)寫出隨機變量X的分布列、均值及方差．(2)求事件“X+Y=3”的概率．17.(本小題15分)已知f(x)=lnx，g(x)=a(x2-1)(a∈R)．(1)令?(x)=f(x)+g(x)，討論?(x)的單調性和極值;(2)若x≥1時，不等式xf(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范圍．18.(本小題17分)已知雙曲線C的頂點與橢圓的左右頂點A1，A2重合，且離心率為．(1)求雙曲線的標準方程．(2)過雙曲線上一點R(R位于第一象限)作切線l，l分別與x軸，y軸交于M，N兩點，與橢圓E交于P，Q兩點．(i)若點R，M，N的橫坐標成等差數列，求直線l的斜率．(i)已知△OPQ的面積為求點R的坐標．19.(本小題17分)無窮整數數列{an}滿足0≤a1≤a2≤…≤an-1≤an≤…,對任意的k∈N*，記bk為數列{an}中小于k的項的個數，稱數列{bn}是數列{an}的“聯盟數列”．(1)若數列{xn}有前9項分別為1，1，2，4，5，7，7，9，9，寫出數列{xn}的“聯盟數列”的前七項;(2)若數列{xn}的“聯盟數列”為{yn}，數列{yn}的“聯盟數列”為{zn}，(i)證明：zn=xn;(i)記S=x1+x2+…+xn-1+xn，T=y1+y2+…+ym-1+ym，證明：S+T>nm．參考答案3.B4.B5.C7.C15.解：(1)過點M作MH//AP，又點M為PD中點，所以又底面為矩形，可知S△所以三棱錐M一ACD的體積△則匕OMC(或其補角)即為異面直線MC與PB所成的角，在△OMC中所以異面直線MC與PB所成的角的余弦值為16.解：(1)由題可知隨機變量X服從二項分布：所以隨機變量X的分布列為一k，k=0，1，2，3．均值為E(X)=3×=2．(2)由題可知“X+Y=3”的情況可分為四類：①X=0，Y=3:P1=()3.()3=，②X=1，Y=2:P2=CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(1),3)()1()2.CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),3)()3=，③X=2，Y=1:P3=CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),3)()2()1.CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(1),3)()3=，④X=3，Y=0:P4=()3.()3=，所以P(X+Y=3)=P1+P2+P3+P4==．17.解：(1)?(x)=f(x)+g(x)=lnx+a(x2一1);①a≥0時，?′(x)>0恒成立，?(x)在(0,+∞)上單調遞增，沒有極值：②a<0時，令?′(x)>0，則2ax2>一1，x2<一;解得所以?在上單調遞增：(2)當x≥1時，xf(x)≤g(x)恒成立，即xlnx≤a(x2一1)恒成立，+∞)，則φ(x)≤0恒成立，令m(x)=lnx+1一2ax，m′(x)=一2a，m(x)≤m(1)=1一2a≤0，即φ′(x)≤0，m(x)≥m(1)=1一2a>0，即φ′(x)>0，即φ′(x)>0，φ(x)單調遞增，φ(x)>φ(1)=0，不滿足條件。綜上，a的取值范圍是[,+∞)。18.解：(1)由題意可得，橢圓E左右頂點A1A2分別為(一3,0)，(3,0)，而雙曲線的頂點與A1，A2重合，故可設雙曲線的標準方程為一此時，(2)(i)由題意可得，切線l的斜率存在，由于l與雙曲線相切：因此△=0，即36m2k2+12(m2+1)(1一3k2)=0，經化簡可得：m2+1=3k2一若m=0，則根據(*)式可得，此時l為雙曲線的漸近線，不可能為切線，故一解得切點在第一象限)，(ii)不妨設p(x1,y1)，Q(x2,y2)，此時切線l:y=kx+m與橢圓聯立：x2+3y2=3整理得：(1+3k2)x2+6mkx+3m2一3=0(解得或則R的坐標為(,)或(,).設數列{xn}的“聯盟數列”為{yn}，(2)(i)yi表示數列{xn}中小于i的項的個數，yi+1表示數列{xn}中小于i+1的項的個數，顯然yi≤yi+1，因此0≤y1≤y2≤y3≤…≤yn—1≤yn≤…,設{yn}的聯盟數列{zn}中的任意一項zk=t(k∈N*,t∈N)，則由“聯盟數列”的定義可知yt<k，yt+1≥k，這表明在數列{xn}中，xk≥t，xk<t+1，又因為xk∈N，則xk=t，所以zn=xn．=—(y1+y2+…+yxn)+n.xn，當x