2025屆湖南省高三下學期“一起考”大聯(lián)考（模擬二）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1湖南省2025屆高三下學期“一起考”大聯(lián)考（模擬二）數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，則.故選：C.2.以為漸近線的雙曲線可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，由得漸近線方程為，故A錯誤；對于B，由得漸近線方程為，故B正確；對于C，由得漸近線方程為，故C錯誤；對于D，由得漸近線方程為，故D錯誤.故選：B.3.已知平面向量，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，由，得，故，則.故選：B.5.甲?乙?丙?丁?戊5名同學進行勞動技術比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老師詢問成績，老師對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍.”對乙說：“你當然不會是最差的.”從這兩個回答分析，5人的名次排列的情形有（）A.36種 B.48種 C.54種 D.64種【答案】C【解析】分三步完成：冠軍有種可能，乙的名次有種可能，余下3人有種可能，所以5人的名次排列有（種）不同情況，故選：C.6.已知，函數(shù)，在上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】當時，，若無解，則或；當時，，若無解，則.綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.7.已知某正三棱柱外接球的表面積為，則該正三棱柱體積的最大值為（）A.1 B. C. D.4【答案】A【解析】設外接球的半徑為，則，解得.設正三棱柱的底面三角形的邊長為，則該三角形外接圓的半徑為，故該正三棱柱的高為，所以該正三棱柱的體積.由，解得.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在時取得最大值，故，所以該正三棱柱體積的最大值為1.故選：A.8.記數(shù)列的前項和為，若，且，則的最小值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】數(shù)列中，由，得，即，所以，又，所以又由，得且，可知，所以是整數(shù)，于是是整數(shù)，且是偶數(shù)的平方，則，當取等號.下面舉例說明可以取到，，，此時，所以的最小值為3.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，都是復數(shù)，下列正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】設，對于A，若，則，故，故A正確；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，當時，，故C錯誤；對于D，若，則，所以，，同理，所以，所以，故D正確.故選：AD.10.下列四棱錐的所有棱長都相等，，，，，是四棱錐的頂點或所在棱的中點，則直線不與平面垂直的是（）A B.C. D.【答案】BCD【解析】由條件可知四棱錐為正四棱錐，對于A：設的交點為，由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知：面，易知：，又，為平面內(nèi)兩條相交直線，所以直線與平面垂直；對于B：取的中點為，連接，有中位線性質(zhì)可知：，，所以四邊形為平行四邊形，所以，可證直線平行平面；對于C：設棱長為2，，所以，所以與不垂直，所以直線不與平面垂直；對于D：設棱長為2，，，所以所以與不垂直，所以直線不與平面垂直；故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（）A.B.對任意實數(shù)C.D.若直線與函數(shù)和的圖象共有三個交點，設這三個交點的橫坐標分別為，則【答案】ACD【解析】對A，，故A正確；對B，，而，故B錯誤；對C，，故C正確；對D，，令，得，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.所以在處取得極小值1，當時，；當時，.恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當；當.所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，不妨設，由為偶函數(shù)可得，直線與和的圖象有三個交點，顯然，令，整理得，解得或（舍去），所以，即，又因為，所以，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知實數(shù)滿足，且，則__________.【答案】【解析】由可知，所以，即，所以.故答案為：.13.已知函數(shù)，且的最小值為，則__________.【答案】1【解析】因為，又，且的最小值為，所以函數(shù)的最小正周期，由，所以.故答案為：1.14.已知過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點（在第一象限），以為直徑的圓與拋物線的準線相切于點.若為坐標原點，則的面積為__________.【答案】【解析】依題意，得，則拋物線的方程為.由題意可知與拋物線準線垂直，在中，，則，則直線的方程為.由消去并化簡整理得：易得，則，又原點到直線的距離為，故.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.中國是茶的故鄉(xiāng)，茶文化源遠流長，博大精深.某興趣小組，為了了解當?shù)鼐用駥炔璧膽B(tài)度，隨機調(diào)查了100人，并將結(jié)果整理如下：單位：人年齡段態(tài)度合計不喜歡喝茶喜歡喝茶35歲以上（含35歲）30306035歲以下251540合計5545100（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡有關？（2）以樣本估計總體，用頻率代替概率.該興趣小組在當?shù)叵矚g喝茶的人群中，隨機選出2人參加茶文化藝術節(jié).抽取的2人中，35歲以下的人數(shù)記為，求的分布列與期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設為：該地居民喜歡喝茶與年齡沒有關系.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，據(jù)此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡沒有關系.（2）由題意可知，的取值可能為.則.所以的分布列為012所以的期望為.16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）判斷的形狀；（2）設，且是邊的中點，求當最大時，的面積.解：（1）由二倍角公式得，所以，整理得，即.因為，所以，即，即為等腰三角形.（2）由（1）及題設，有，所以，當且僅當時，等號成立.又為三角形內(nèi)角，所以，即的最大值為，此時，又，所以，故，可得為直角三角形且.又由（1）可得為正三角形，所以當最大時，的面積.17.在三棱錐中，平面平面平面.（1）求證：；（2）若二面角的余弦值為，且，求.（1）證明：如圖，過作于.因為平面平面，平面平面平面所以平面.又平面，所以.又平面平面，所以.因為平面，且，所以平面，又平面，所以.（2）解：法1：過作于，連接，由（1）平面，平面，可得，因平面，，故平面，又平面，所以.所以即為二面角的平面角，所以則.又由（1）平面，平面，則，因平面，平面，則.設，因為，，則，，所以，解得，則，從而.法2：由（1）可得.如圖，以為原點，所在直線分別為軸，軸建立空間直角坐標系，記二面角為，設，因為，所以，則，所以.設平面的法向量為，則即令，得，易知平面的一個法向量為，又，所以，解得，則，所以.18.已知函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若恒成立，求的值；（3）求證：.（1）解：當時，，則，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，在處取得極小值0，無極大值.（2）解：由題意得，①當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，與矛盾；②當時，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以，因為恒成立，所以.記，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以，所以.又，所以，所以.（3）證明：先證，設，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即.所以，再證.由（2）可知，當時等號成立，令，則，即，所以，累加可得，所以.19.已知點，動點滿足，動點的軌跡記為.（1）求的方程；（2）直線與軸交于點為上的動點，過作的兩條切線，分別交軸于點.①證明：直線的斜率成等差數(shù)列；②經(jīng)過三點，是否存在點，使得？若存在，求；若不存在，請說明理由.解：（1）因為，所以的軌跡是以為焦點，且長軸長為4的橢圓，設的軌跡方程為，則，可得.又，所以，所以的方程為.（2）設，易知過且與相切的直線斜率存在，設直線方程為，聯(lián)立，消去得，由，得設兩條切線的斜率分別為，則①證明：設的斜率為，則，因為，所以的斜率成等差數(shù)列.②法1：在中，令，得，所以，同理，得，所以的中垂線為.易得的中點為，所以的中垂線為，聯(lián)立解得，所以，，要使，則，即，整理得，而，所以，解得，因此，故存在符合題意的點，使得，此時.法2：在中，令，得，因此，同理可得，所以的中垂線為.易得的中點為，所以的中垂線為，聯(lián)立解得，因為，所以，即，而，所以，解得，因此，故存在符合題意的點，使得，此時.法3：要使，即或，從而，又，所以，因為，所以，解得，所以，故存在符合題意的點，使得，此時.法4：要使，即或，從而.在中，令，得，故，同理可得，因此，所以，故，即，整理得，所以，整理得，解得或（舍去），因此，故存在符合題意的點，使得，此時.法5：要使，即或，從而.在中，令，得，故，同理可得，由等面積法得，即，整理得，所以，整理得，解得或（舍去），因此，故存在符合題意的點，使得，此時.湖南省2025屆高三下學期“一起考”大聯(lián)考（模擬二）數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，則.故選：C.2.以為漸近線的雙曲線可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，由得漸近線方程為，故A錯誤；對于B，由得漸近線方程為，故B正確；對于C，由得漸近線方程為，故C錯誤；對于D，由得漸近線方程為，故D錯誤.故選：B.3.已知平面向量，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，由，得，故，則.故選：B.5.甲?乙?丙?丁?戊5名同學進行勞動技術比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老師詢問成績，老師對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍.”對乙說：“你當然不會是最差的.”從這兩個回答分析，5人的名次排列的情形有（）A.36種 B.48種 C.54種 D.64種【答案】C【解析】分三步完成：冠軍有種可能，乙的名次有種可能，余下3人有種可能，所以5人的名次排列有（種）不同情況，故選：C.6.已知，函數(shù)，在上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】當時，，若無解，則或；當時，，若無解，則.綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.7.已知某正三棱柱外接球的表面積為，則該正三棱柱體積的最大值為（）A.1 B. C. D.4【答案】A【解析】設外接球的半徑為，則，解得.設正三棱柱的底面三角形的邊長為，則該三角形外接圓的半徑為，故該正三棱柱的高為，所以該正三棱柱的體積.由，解得.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在時取得最大值，故，所以該正三棱柱體積的最大值為1.故選：A.8.記數(shù)列的前項和為，若，且，則的最小值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】數(shù)列中，由，得，即，所以，又，所以又由，得且，可知，所以是整數(shù)，于是是整數(shù)，且是偶數(shù)的平方，則，當取等號.下面舉例說明可以取到，，，此時，所以的最小值為3.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，都是復數(shù)，下列正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】設，對于A，若，則，故，故A正確；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，當時，，故C錯誤；對于D，若，則，所以，，同理，所以，所以，故D正確.故選：AD.10.下列四棱錐的所有棱長都相等，，，，，是四棱錐的頂點或所在棱的中點，則直線不與平面垂直的是（）A B.C. D.【答案】BCD【解析】由條件可知四棱錐為正四棱錐，對于A：設的交點為，由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知：面，易知：，又，為平面內(nèi)兩條相交直線，所以直線與平面垂直；對于B：取的中點為，連接，有中位線性質(zhì)可知：，，所以四邊形為平行四邊形，所以，可證直線平行平面；對于C：設棱長為2，，所以，所以與不垂直，所以直線不與平面垂直；對于D：設棱長為2，，，所以所以與不垂直，所以直線不與平面垂直；故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（）A.B.對任意實數(shù)C.D.若直線與函數(shù)和的圖象共有三個交點，設這三個交點的橫坐標分別為，則【答案】ACD【解析】對A，，故A正確；對B，，而，故B錯誤；對C，，故C正確；對D，，令，得，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.所以在處取得極小值1，當時，；當時，.恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當；當.所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，不妨設，由為偶函數(shù)可得，直線與和的圖象有三個交點，顯然，令，整理得，解得或（舍去），所以，即，又因為，所以，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知實數(shù)滿足，且，則__________.【答案】【解析】由可知，所以，即，所以.故答案為：.13.已知函數(shù)，且的最小值為，則__________.【答案】1【解析】因為，又，且的最小值為，所以函數(shù)的最小正周期，由，所以.故答案為：1.14.已知過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點（在第一象限），以為直徑的圓與拋物線的準線相切于點.若為坐標原點，則的面積為__________.【答案】【解析】依題意，得，則拋物線的方程為.由題意可知與拋物線準線垂直，在中，，則，則直線的方程為.由消去并化簡整理得：易得，則，又原點到直線的距離為，故.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.中國是茶的故鄉(xiāng)，茶文化源遠流長，博大精深.某興趣小組，為了了解當?shù)鼐用駥炔璧膽B(tài)度，隨機調(diào)查了100人，并將結(jié)果整理如下：單位：人年齡段態(tài)度合計不喜歡喝茶喜歡喝茶35歲以上（含35歲）30306035歲以下251540合計5545100（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡有關？（2）以樣本估計總體，用頻率代替概率.該興趣小組在當?shù)叵矚g喝茶的人群中，隨機選出2人參加茶文化藝術節(jié).抽取的2人中，35歲以下的人數(shù)記為，求的分布列與期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設為：該地居民喜歡喝茶與年齡沒有關系.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，據(jù)此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡沒有關系.（2）由題意可知，的取值可能為.則.所以的分布列為012所以的期望為.16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）判斷的形狀；（2）設，且是邊的中點，求當最大時，的面積.解：（1）由二倍角公式得，所以，整理得，即.因為，所以，即，即為等腰三角形.（2）由（1）及題設，有，所以，當且僅當時，等號成立.又為三角形內(nèi)角，所以，即的最大值為，此時，又，所以，故，可得為直角三角形且.又由（1）可得為正三角形，所以當最大時，的面積.17.在三棱錐中，平面平面平面.（1）求證：；（2）若二面角的余弦值為，且，求.（1）證明：如圖，過作于.因為平面平面，平面平面平面所以平面.又平面，所以.又平面平面，所以.因為平面，且，所以平面，又平面，所以.（2）解：法1：過作于，連接，由（1）平面，平面，可得，因平面，，故平面，又平面，所以.所以即為二面角的平面角，所以則.又由（1）平面，平面，則，因平面，平面，則.設，因為，，則，，所以，解得，則，從而.法2：由（1）可得.如圖，以為原點，所在直線分別為軸，軸建立空間直角坐標系，記二面角為，設，因為，所以，則，所以.設平面的法向量為，則即令，得，易知平面的一個法向量為，又，所以，解得，則，所以.18.已知函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若恒成立，求的值；（3）求證：.（1）解：當時，，則，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為