2025屆湖北省十一校高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1湖北省十一校2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為對數(shù)函數(shù)是上的減函數(shù)，所以由，得，則；因為指數(shù)函數(shù)是上的增函數(shù)，所以由，得，則，由此，.故選：B.2.設復數(shù)（為虛數(shù)單位），的共軛復數(shù)是，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以.故選：C3.函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當時，，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】因為函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當時，，則，故.故選：A.4.已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，則數(shù)列的前2025項和為（）A. B. C.505 D.1013【答案】D【解析】設首項為，因為成等比數(shù)列，所以，則，解得或，當時，，此時與成等比數(shù)列矛盾，故排除，當時，，此時令，而其前2025項和為，.故選：D5.已知向量滿足：，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知：，因為，即，可得，所以在上的投影向量為.故選：B.6.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的是（）A.B.關于點對稱C.將函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到的函數(shù)圖象恰好關于原點對稱D.在區(qū)間上單調遞增【答案】D【解析】因為.因為函數(shù)的最小正周期為，且，所以，故A錯誤；因為，所以，所以是函數(shù)的一條對稱軸，不是函數(shù)的對稱中心.故B錯誤；將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的函數(shù)，不是奇函數(shù)，故C錯誤；當時，，因為在遞增，由復合函數(shù)單調性法則知在區(qū)間上單調遞增，故D正確.故選：D7.如圖，在棱長為1的正方體內部，有8個以正方體頂點為球心且半徑相等的部分球體，有1個以正方體體心為球心的球體與均相切，則該9部分的體積和的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設球體的半徑為半徑為，所以，即得，又，所以開口向下，對稱軸為，所以，該9部分的體積和為：.故選：C.8.函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設在上恒成立，知，此時在上都單調遞增，所以只需在上零點相同，即，所以，令，則，當時，，即在上單調遞增，當時，，即在上單調遞減，所以，即的取值范圍是.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分.9.下列命題正確的是（）A.在經驗回歸方程中，當解釋變量每增加1時，響應變量平均增加2.3B若，則事件相互獨立與互斥不可能同時成立C.在對高三某班學生物理成績的比例分配的分層隨機抽樣調查中，抽取男生12人，其平均數(shù)為75，方差為；抽取女生8人，其平均數(shù)為70，方差為23，則這20名學生物理成績的方差為33D.對于獨立性檢驗，隨機變量的觀測值越小，判定“兩變量有關系”犯錯誤的概率越大【答案】BCD【解析】對于A，因為，所以當解釋變量x每增加1時，響應變量y平均減少0.85，故A錯誤；對于B選項，若互斥，則.若A，相互獨立，則（因為.所以事件A，B相互獨立與A，B互斥不可能同時成立，B選項正確；對于C：這20名同學物理成績的平均數(shù)為：，所以這20名同學物理成績的方差為：，故C正確；D項，對于獨立性檢驗，隨機變量的觀測值越小，判定“兩變量有關系”犯錯誤的概率越大，故D項正確.故選：BCD10.已知為坐標原點，雙曲線的左頂點為，右焦點為，以為直徑的圓與軸正半軸交于點，過且垂直于軸的直線與的某條漸近線交于點，且與軸垂直，則下列式子中與的離心率相等的有（）A B.C. D.【答案】BCD【解析】由題可知，，∵軸，且交曲線漸近線與點，∴，∵以為直徑的圓與y軸正半軸交于點，且軸，∴，又，由射影定理得，所以，A錯誤；由得，故，即，解得，D正確.又，B正確，又，C正確.故選：BCD11.對于任意兩個正數(shù)，當時，記曲線與直線，直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積為，當時，約定，并約定.德國數(shù)學家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn).關于，下列說法正確的是（）A.B.C.D.對正數(shù)，有【答案】AD【解析】由題意，所以，當時，；當時，；當時，；當或時，也成立；綜上所述：.對于選項A：，故A正確；對于選項B：如圖，因為，所以即，故B錯誤.對于選項C，取，則，故C錯誤；對于選項D：因為陰影部分的面積小于上底長為，下底長為，高為的直角梯形的面積，所以，又陰影部分面積大于長為，寬為的矩形的面積，所以，綜上故有對正數(shù)有，故D正確.故選：AD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中第14題第一空2分，第二空3分.12.若，則__________.【答案】1【解析】由題意可得：..故答案為：113.若，則__________.【答案】【解析】由題意，，由通項公式可知：.故答案為：14.已知點在拋物線上，為直線上的一動點，過點作的2條切線，切點分別為，直線分別交軸于點，則的最小值為__________，外接圓半徑的最小值為__________.【答案】①.②.【解析】由題意知，，所以，所以拋物線，設，因為，則，故，直線，直線，令，有，由，可得，故，所以，即.，所以當時，的最小值為2；由題意可知C的焦點，故，，同理，故，所以四點共圓，則的外接圓的直徑為，即為到直線的距離，此距離為，即的外接圓的半徑的最小值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內角所對的邊分別為的面積為.已知①；②，從這兩個條件中任選一個，回答下列問題.（1）求角；（2）若，求周長的取值范圍.解：（1）選①，，由正弦定理可得，，，又.選②，由可得：，故有，又.（2）由余弦定理得.，當且僅當時取等號又有，.16.如圖，在四棱錐中，，底面是邊長為的菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若平面與平面所成角的正切值為2，點滿足，求直線與平面所成角的余弦值.（1）證明：連接交于點，連接，因為是菱形，所以，又因為為中點，，所以，又面，且，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：過作交于點，面面，面面面，所以面，因為面，所以面，又面，所以，所以為的交點，為等邊三角形，所以H為的重心，設DH與AB交點為M，連接，則為二面角的平面角，因為，在中，解得，因為，所以，所以平面，以為原點，所在直線為軸建立如圖坐標系，則，，設平面的法向量為，則，即，令，可得：即，又，設平面和直線所成的角為，則，所以.17.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間；（3）若不等式恒成立，求整數(shù)的最大值.解：（1）函數(shù)的定義域為，則曲線在點處的切線為，即.（2）因為，時，由，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.綜上所述，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（3）依題知，恒成立，即恒成立，設，則，當時，由，得，由，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則恒成立，整理得.設，則恒成立，所以在上單調遞增，又，且故整數(shù)的最大值為.18.某學校數(shù)學小組建立了如下的數(shù)學模型：將一個小盒里放入6個小球，其中4個黑球，2個紅球.模型一為：若取出黑球，則放回小盒中，不作任何改變；若取出紅球，則放回小盒并再往小盒里加入2個紅球；模型二為：若取出黑球，則放回小盒中，不作任何改變；若取出紅球，則用黑球替換該紅球重新放回小盒中.（1）分別計算在兩種模型下，抽兩次球，第二次取到的球是紅球的概率；（2）在模型二的前提下：①求在第次抽球時，抽到的球恰好是第二個紅球的概率（結果用表示）.②現(xiàn)規(guī)定當兩個紅球都被抽出來時停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球結束后無論盒中是否還有紅球均停止抽球，記抽球的次數(shù)為，求的數(shù)學期望.解：（1）記在模型一下，第二次取到紅球的概率為，則分為取到“黑紅”和“紅紅”兩種情況，則；記在模型二下，取到紅球的概率為，同樣分為取到“黑紅”和“紅紅”兩種情況，則；（2）①設第次是第一次取到紅球，第次是第二次取到紅球的概率為，則，則第次恰好抽到第二個紅球的概率為中從到取值累加求和，即，利用等比數(shù)列求和公式即可得；②由題可知，的取值依次為，當時，，由數(shù)學期望的定義和①中的概率公式可知，，設，由錯位相減法可得，所以.19.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的代表作《圓錐曲線》一書中指出：平面內動點與兩定點的距離之比是一個常數(shù)，那么動點的軌跡是一個圓，且圓心在直線上，我們把由此產生的圓叫做阿波羅尼斯圓.已知阿波羅尼斯圓的兩個定點分別為橢圓的右焦點與右頂點，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，過右焦點斜率為的直線與橢圓相交于（點在軸上方），點是橢圓上異于的兩點，平分平分.①求的取值范圍；②若外接圓的周長為，求直線的方程.解：（1）令，由阿波羅尼斯圓的定義知，且，解得，則，故橢圓的方程為（2）①由，又，得（或由角平分線定理得）令，設聯(lián)立，解得則所以，即，則又，所以，解得又，所以，綜上②由①知，，由阿波羅尼斯圓定義知，在以為定點得阿波羅尼斯圓上，設該圓圓心為，半徑為，與直線的另一個交點為，則有，即，解得.又外接圓的周長為，故，則，又，則，得，解得則，故直線的方程為.湖北省十一校2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為對數(shù)函數(shù)是上的減函數(shù)，所以由，得，則；因為指數(shù)函數(shù)是上的增函數(shù)，所以由，得，則，由此，.故選：B.2.設復數(shù)（為虛數(shù)單位），的共軛復數(shù)是，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以.故選：C3.函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當時，，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】因為函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當時，，則，故.故選：A.4.已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，則數(shù)列的前2025項和為（）A. B. C.505 D.1013【答案】D【解析】設首項為，因為成等比數(shù)列，所以，則，解得或，當時，，此時與成等比數(shù)列矛盾，故排除，當時，，此時令，而其前2025項和為，.故選：D5.已知向量滿足：，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知：，因為，即，可得，所以在上的投影向量為.故選：B.6.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的是（）A.B.關于點對稱C.將函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到的函數(shù)圖象恰好關于原點對稱D.在區(qū)間上單調遞增【答案】D【解析】因為.因為函數(shù)的最小正周期為，且，所以，故A錯誤；因為，所以，所以是函數(shù)的一條對稱軸，不是函數(shù)的對稱中心.故B錯誤；將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的函數(shù)，不是奇函數(shù)，故C錯誤；當時，，因為在遞增，由復合函數(shù)單調性法則知在區(qū)間上單調遞增，故D正確.故選：D7.如圖，在棱長為1的正方體內部，有8個以正方體頂點為球心且半徑相等的部分球體，有1個以正方體體心為球心的球體與均相切，則該9部分的體積和的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設球體的半徑為半徑為，所以，即得，又，所以開口向下，對稱軸為，所以，該9部分的體積和為：.故選：C.8.函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設在上恒成立，知，此時在上都單調遞增，所以只需在上零點相同，即，所以，令，則，當時，，即在上單調遞增，當時，，即在上單調遞減，所以，即的取值范圍是.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分.9.下列命題正確的是（）A.在經驗回歸方程中，當解釋變量每增加1時，響應變量平均增加2.3B若，則事件相互獨立與互斥不可能同時成立C.在對高三某班學生物理成績的比例分配的分層隨機抽樣調查中，抽取男生12人，其平均數(shù)為75，方差為；抽取女生8人，其平均數(shù)為70，方差為23，則這20名學生物理成績的方差為33D.對于獨立性檢驗，隨機變量的觀測值越小，判定“兩變量有關系”犯錯誤的概率越大【答案】BCD【解析】對于A，因為，所以當解釋變量x每增加1時，響應變量y平均減少0.85，故A錯誤；對于B選項，若互斥，則.若A，相互獨立，則（因為.所以事件A，B相互獨立與A，B互斥不可能同時成立，B選項正確；對于C：這20名同學物理成績的平均數(shù)為：，所以這20名同學物理成績的方差為：，故C正確；D項，對于獨立性檢驗，隨機變量的觀測值越小，判定“兩變量有關系”犯錯誤的概率越大，故D項正確.故選：BCD10.已知為坐標原點，雙曲線的左頂點為，右焦點為，以為直徑的圓與軸正半軸交于點，過且垂直于軸的直線與的某條漸近線交于點，且與軸垂直，則下列式子中與的離心率相等的有（）A B.C. D.【答案】BCD【解析】由題可知，，∵軸，且交曲線漸近線與點，∴，∵以為直徑的圓與y軸正半軸交于點，且軸，∴，又，由射影定理得，所以，A錯誤；由得，故，即，解得，D正確.又，B正確，又，C正確.故選：BCD11.對于任意兩個正數(shù)，當時，記曲線與直線，直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積為，當時，約定，并約定.德國數(shù)學家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn).關于，下列說法正確的是（）A.B.C.D.對正數(shù)，有【答案】AD【解析】由題意，所以，當時，；當時，；當時，；當或時，也成立；綜上所述：.對于選項A：，故A正確；對于選項B：如圖，因為，所以即，故B錯誤.對于選項C，取，則，故C錯誤；對于選項D：因為陰影部分的面積小于上底長為，下底長為，高為的直角梯形的面積，所以，又陰影部分面積大于長為，寬為的矩形的面積，所以，綜上故有對正數(shù)有，故D正確.故選：AD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中第14題第一空2分，第二空3分.12.若，則__________.【答案】1【解析】由題意可得：..故答案為：113.若，則__________.【答案】【解析】由題意，，由通項公式可知：.故答案為：14.已知點在拋物線上，為直線上的一動點，過點作的2條切線，切點分別為，直線分別交軸于點，則的最小值為__________，外接圓半徑的最小值為__________.【答案】①.②.【解析】由題意知，，所以，所以拋物線，設，因為，則，故，直線，直線，令，有，由，可得，故，所以，即.，所以當時，的最小值為2；由題意可知C的焦點，故，，同理，故，所以四點共圓，則的外接圓的直徑為，即為到直線的距離，此距離為，即的外接圓的半徑的最小值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內角所對的邊分別為的面積為.已知①；②，從這兩個條件中任選一個，回答下列問題.（1）求角；（2）若，求周長的取值范圍.解：（1）選①，，由正弦定理可得，，，又.選②，由可得：，故有，又.（2）由余弦定理得.，當且僅當時取等號又有，.16.如圖，在四棱錐中，，底面是邊長為的菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若平面與平面所成角的正切值為2，點滿足，求直線與平面所成角的余弦值.（1）證明：連接交于點，連接，因為是菱形，所以，又因為為中點，，所以，又面，且，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：過作交于點，面面，面面面，所以面，因為面，所以面，又面，所以，所以為的交點，為等邊三角形，所以H為的重心，設DH與AB交點為M，連接，則為二面角的平面角，因為，在中，解得，因為，所以，所以平面，以為原點，所在直線為軸建立如圖坐標系，則，，設平面的法向量為，則，即，令，可得：即，又，設平面和直線所成的角為，則，所以.17.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間；（3）若不等式恒成立，求整數(shù)的最大值.解：（1）函數(shù)的定義域為，則曲線在點處的切線為，即.（2）因為，時，由，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.綜上所述，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（3）依題知，恒成立，即恒成立，設，則，當時，由，得，由，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則恒成立，整理得.設，則恒成立，所以在上單調遞增，又，且故整數(shù)的最大值為.18.某學校數(shù)學小組建立了如下的數(shù)學模型：將一個小盒里放入6個小球，其中4個黑球，2個紅球.模型一為：若取出黑球，則放回小盒中，不作任何改變；若取出紅球，則放回小盒并再往小盒里加入2個紅球；模型二為：若取出