2025屆河北省石家莊市高三下學期教學質(zhì)量檢測（一）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省石家莊市2025屆高三下學期教學質(zhì)量檢測（一）數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為所以故選：C2.某同學記錄了3月1日到8日每天的最高溫（單位：℃），分別為，則該組數(shù)的第80百分位數(shù)為（）A.10 B.13 C.13.5 D.14【答案】D【解析】根據(jù)題意將數(shù)據(jù)從小到大排列有共8項數(shù)據(jù)，所以，故第80百分數(shù)為14.故選：D.3.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，那么的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知，，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以．故選：D．4.已知，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，當且僅當時等號成立故選：D5.已知角的始邊與軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三角函數(shù)的定義得，，所以，故選：C6.已知的數(shù)的高階導數(shù)為，即對函數(shù)連續(xù)求階導數(shù).例如，則，，若，則的展開式中的系數(shù)是（）A.210 B.255 C.280 D.360【答案】A【解析】由得：，再繼續(xù)求二階導整理得：，求三階導整理得：，此時可以把求函數(shù)的10階導理解為十次方的二項式展開式，則有的系數(shù)是，故選：A.7.在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1：發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的，已知接收的信號為0，則發(fā)送的信號是1的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)“發(fā)送的信號為0”，“接收到的信號為0”，則“發(fā)送的信號為1”，“接收到的信號為1”．由題意得，，，，，，．故選：B.8.在平面直角坐標系中.點，向量，且，若為拋物線上一點.則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，因為，所以，所以，即點在直線上，又拋物線，顯然拋物線與直線沒有交點，所以當點在過拋物線與點平行的切線上時，最小，由導數(shù)可得拋物線過點的切線斜率為，即，又點在拋物線上，所以，即，所以的最小值為.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，以下選項正確的是（）A.若，則的充要條件是B.若復數(shù)滿足，則C.D.若復數(shù)滿足，則的最大值為6【答案】ACD【解析】對于A，因，則等價于，等價于，即，故A正確；對于B，由可得，當時，等式成立，但與不一定相等，故B錯誤；對于C，因?qū)τ?，，則，于是，故C正確；對于D，由可理解為復平面內(nèi)以原點為圓心的單位圓，而可看成點到該圓上點的距離，易得的最大值即，故D正確.故選：ACD.10.在正方體中分別是的中點.下列說法正確的是（）A.平面B.異面直線與所成角的余弦值為C.過三點平面截正方體所得截面圖形的周長為D.若點在正方體表面上運動，且點到點的距離與到點的距離之比為，則點的軌跡長度為【答案】ABD【解析】對于A，設(shè)為的中點，連接，則，而，所以，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，故A正確；對于B，取的中點，連接，則且，故或其補角為異面直線所成的角，而，故，故，故B正確；對于C，設(shè)直線與直線交于，連接角于，因為，故，同理，故，故，而，，故截面圖形的周長為，故C錯誤；對于D，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)，則，則，故的軌跡為球與正方體表面的截線（如圖所示），每段弧的圓心角為，所在圓的半徑為，故三段弧長和為，故D正確.故選：ABD.11.在重伯努利試儉中，每次試驗事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的次數(shù)超過一半的概率為，下列敘述中正確的是（）A.若為奇數(shù)時，B.若為偶數(shù)時，C.若為奇數(shù)時，隨著的增大而增大D.若為偶數(shù)時，隨著的增大而增大【答案】BD【解析】當

時，二項分布對稱，即：,.對于選項A：由二項式系數(shù)的對稱性可知：事件

發(fā)生的次數(shù)超過一半的概率

等于事件

發(fā)生的次數(shù)少于一半的概率.因為

是奇數(shù)，所以事件

發(fā)生的次數(shù)恰好等于一半的概率為0，因此，，選項A錯誤；對于選項B：設(shè)

（

為正整數(shù)），則成功次數(shù)超過一半的條件為

.由于

，二項分布對稱，因此：，此外，

為中間項的概率.因此，總概率滿足：，由于

，有：，即：，由于

，因此：，因此，選項B是正確的；對于選項C：取，，取，，當很小，比如時，很接近于4，于是，所以，故C是錯誤的；對于選項D：當

為偶數(shù)時，設(shè)

，其中

為正整數(shù)，事件

發(fā)生的次數(shù)超過一半意味著

，設(shè)..由于

，且

，我們有：.由于

，則：.因此，

對于所有

成立.由于

且

，每一項的導數(shù)都是正的，因此

，即

隨著

的增大而增大，故D正確.故選：BD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為冪函數(shù)，目，則__________.【答案】【解析】依題意，設(shè)，由可得，解得，則，于是.故答案：.13.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點且斜率為的直線與雙曲線交于兩點，其中點在軸上方，設(shè)與的面積分別為，則__________.【答案】【解析】已知，則直線，即，將其代入雙曲線方程中得，設(shè)，則，故.故答案為：14.已知方程有且僅有兩個不相等的正實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】（1）當時，方程化為：，此時無解，舍去；（2）當時，考慮方程正實數(shù)根情況，只需研究當時方程解的情況，即此時方程化為，若此時方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則需（3）當時，因為，所以方程化為，若此時方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則需（4）當時，函數(shù)與軸有兩個零點函數(shù)與軸有兩個零點因為，所以即作出函數(shù)與函數(shù)圖象，由圖可知兩圖象有兩個不同交點，且交點橫坐標大于零，從而方程有兩個不相等的正實數(shù)根，綜上，滿足條件的取值范圍為或，即故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為.（1）求證：；（2）若，求的面積.（1）證明：由題意得：，由余弦定理得，，所以，由于，所以或，因為，所以.（2）由正弦定理可得，即，得，由余弦定理可得，代入得，解得舍去），所以，故.16.已知函數(shù).（1）討論的極值點個數(shù)；（2）若存在實數(shù)使得軸為的切線，求的最大值.解：（1）由題意得若，則在上單調(diào)遞增，無極值點若，令，得，由于是增函數(shù).所以時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，故是的唯一極小值點.綜上，當時，無極值點；時，有唯一極小值點，無極大值點.（2）設(shè)切點為，由（1）知，因為軸為切線，則解得，令，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，故是的唯一極大值點.，所以的最大值為1.17.在三棱柱中，，點為的延長線上一點，且滿足.（1）從這5個點中任取4個點，可以構(gòu)成多少個不同的三棱錐？并列舉所有符合條件的三棱錐；（2）證明：：（3）求直線與平面所成的角.解：（1）構(gòu)成4個不同的三棱錐，分別是三棱錐，三棱錐，三棱錐，三棱錐；（2）連接，因為，所以同理，取中點，連接，由等腰三角形三線合一,得,又平面平面，所以平面,平面，所以,（3）解法1：依題意，可知點在以為直徑的圓上，所以，由（2），所以，又平面平面，所以平面為平面的一個法向量.直線與平面所成的角即直線與直線夾角的余角因為由（2）知，，所以為正三角形，故,故直線與平面所成的角為;解法2：依題意，可知點在以為直徑的圓上，所以，由（2），所以，又平面平面，所以平面，平面，點到平面的距離等于點到平面的距離，也就是點到平面的距離的，點到平面的距離為1，由（2）知為正三角形，，直線與平面所成角的正弦值是，所以直線與平面所成角為解法3：由（2）知平面，又平面，可得平面平面，在平面內(nèi)，過作，垂足為因為平面平面，平面與平面，則平面，過作，可知平面，由此可知兩兩垂直，所以，以為坐標原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示.在等邊和等邊中，可求得，則在中，，，可知依題意，可知點在以為直徑的圓上，所以，由（2），所以，又平面平面，所以平面，為平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，，直線與平面所成角為18.已知橢圓的一個焦點短軸長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）連線與軸交于點，過焦點的直線與橢圓交于兩點.（i）證明：點在以為直徑的圓外：（ii）在上是否存在點使得是等邊三角形.若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.解：（1）由題意得，所以，則橢圓的標準方程為，（2）（i）證明：由題意得，，當直線斜率為0時，此時以為直徑的圓的方程為，顯然在此圓外；當直線斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，由可得，，恒成立，設(shè)，則故在以為直徑的圓外.（ii）當斜率不存在時，，此時到距離為1，故不存在等邊三角形，當斜率為0時，易得不存在等邊三角形，當斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程為，設(shè)中點為，又，由（i）得，，由于在直線上，所以直線的斜率為，所以.，因為是等邊三角形，所以，則解得，即，故直線的方程為或.19.已知數(shù)列，其中.（1）若，集合表示集合的非空子集個數(shù).集合的第個非空子集中的所有元素之和記為，設(shè).（i）直接寫出；（ii）計算的前項相和；（2）取，在數(shù)列中至少有一項為負值，且，將數(shù)列各項依次放在正五邊形各頂點上，每個頂點一項.任意相鄰三個頂點的三項為，若中間項，則進行如下交換，將變換為，直到正五邊形各頂點上的數(shù)均為非負時變換終止.求證：對任何符合條件的，上述變換終止只需進行有限多次.解：（1）（i）由則，，因此可得；由則，，因此可得；由則，，因此可得；故；（ii）由題意得集合，所以，解法1：（利用子集構(gòu)成特點）由于集合的每個元素在其子集中出現(xiàn)的次數(shù)均為，故，所以，所以.解法2：（利用遞推關(guān)系）將集合拆分為集合與，集合的所有非空集合中的元素之和的和為，集合的所有非空子集中的元素之和的和為與集合的所有子集中的元素加上的和，集合共有個子集，所以.即，易得，累加得，所以.所以，所以.（2）由題意所述的變換不變，且始終為整數(shù)，所以，構(gòu)造一個函數(shù)，不妨對進行一次操作，此時五邊形頂點上的數(shù)變?yōu)?，所以有，因為，得，又，所以，則經(jīng)過每一次變換，函數(shù)的值至少減少2，且恒非負，所以變換只能進行有限多次.河北省石家莊市2025屆高三下學期教學質(zhì)量檢測（一）數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為所以故選：C2.某同學記錄了3月1日到8日每天的最高溫（單位：℃），分別為，則該組數(shù)的第80百分位數(shù)為（）A.10 B.13 C.13.5 D.14【答案】D【解析】根據(jù)題意將數(shù)據(jù)從小到大排列有共8項數(shù)據(jù)，所以，故第80百分數(shù)為14.故選：D.3.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，那么的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知，，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以．故選：D．4.已知，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，當且僅當時等號成立故選：D5.已知角的始邊與軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三角函數(shù)的定義得，，所以，故選：C6.已知的數(shù)的高階導數(shù)為，即對函數(shù)連續(xù)求階導數(shù).例如，則，，若，則的展開式中的系數(shù)是（）A.210 B.255 C.280 D.360【答案】A【解析】由得：，再繼續(xù)求二階導整理得：，求三階導整理得：，此時可以把求函數(shù)的10階導理解為十次方的二項式展開式，則有的系數(shù)是，故選：A.7.在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1：發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的，已知接收的信號為0，則發(fā)送的信號是1的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)“發(fā)送的信號為0”，“接收到的信號為0”，則“發(fā)送的信號為1”，“接收到的信號為1”．由題意得，，，，，，．故選：B.8.在平面直角坐標系中.點，向量，且，若為拋物線上一點.則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，因為，所以，所以，即點在直線上，又拋物線，顯然拋物線與直線沒有交點，所以當點在過拋物線與點平行的切線上時，最小，由導數(shù)可得拋物線過點的切線斜率為，即，又點在拋物線上，所以，即，所以的最小值為.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，以下選項正確的是（）A.若，則的充要條件是B.若復數(shù)滿足，則C.D.若復數(shù)滿足，則的最大值為6【答案】ACD【解析】對于A，因，則等價于，等價于，即，故A正確；對于B，由可得，當時，等式成立，但與不一定相等，故B錯誤；對于C，因?qū)τ?，，則，于是，故C正確；對于D，由可理解為復平面內(nèi)以原點為圓心的單位圓，而可看成點到該圓上點的距離，易得的最大值即，故D正確.故選：ACD.10.在正方體中分別是的中點.下列說法正確的是（）A.平面B.異面直線與所成角的余弦值為C.過三點平面截正方體所得截面圖形的周長為D.若點在正方體表面上運動，且點到點的距離與到點的距離之比為，則點的軌跡長度為【答案】ABD【解析】對于A，設(shè)為的中點，連接，則，而，所以，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，故A正確；對于B，取的中點，連接，則且，故或其補角為異面直線所成的角，而，故，故，故B正確；對于C，設(shè)直線與直線交于，連接角于，因為，故，同理，故，故，而，，故截面圖形的周長為，故C錯誤；對于D，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)，則，則，故的軌跡為球與正方體表面的截線（如圖所示），每段弧的圓心角為，所在圓的半徑為，故三段弧長和為，故D正確.故選：ABD.11.在重伯努利試儉中，每次試驗事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的次數(shù)超過一半的概率為，下列敘述中正確的是（）A.若為奇數(shù)時，B.若為偶數(shù)時，C.若為奇數(shù)時，隨著的增大而增大D.若為偶數(shù)時，隨著的增大而增大【答案】BD【解析】當

時，二項分布對稱，即：,.對于選項A：由二項式系數(shù)的對稱性可知：事件

發(fā)生的次數(shù)超過一半的概率

等于事件

發(fā)生的次數(shù)少于一半的概率.因為

是奇數(shù)，所以事件

發(fā)生的次數(shù)恰好等于一半的概率為0，因此，，選項A錯誤；對于選項B：設(shè)

（

為正整數(shù)），則成功次數(shù)超過一半的條件為

.由于

，二項分布對稱，因此：，此外，

為中間項的概率.因此，總概率滿足：，由于

，有：，即：，由于

，因此：，因此，選項B是正確的；對于選項C：取，，取，，當很小，比如時，很接近于4，于是，所以，故C是錯誤的；對于選項D：當

為偶數(shù)時，設(shè)

，其中

為正整數(shù)，事件

發(fā)生的次數(shù)超過一半意味著

，設(shè)..由于

，且

，我們有：.由于

，則：.因此，

對于所有

成立.由于

且

，每一項的導數(shù)都是正的，因此

，即

隨著

的增大而增大，故D正確.故選：BD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為冪函數(shù)，目，則__________.【答案】【解析】依題意，設(shè)，由可得，解得，則，于是.故答案：.13.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點且斜率為的直線與雙曲線交于兩點，其中點在軸上方，設(shè)與的面積分別為，則__________.【答案】【解析】已知，則直線，即，將其代入雙曲線方程中得，設(shè)，則，故.故答案為：14.已知方程有且僅有兩個不相等的正實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】（1）當時，方程化為：，此時無解，舍去；（2）當時，考慮方程正實數(shù)根情況，只需研究當時方程解的情況，即此時方程化為，若此時方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則需（3）當時，因為，所以方程化為，若此時方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則需（4）當時，函數(shù)與軸有兩個零點函數(shù)與軸有兩個零點因為，所以即作出函數(shù)與函數(shù)圖象，由圖可知兩圖象有兩個不同交點，且交點橫坐標大于零，從而方程有兩個不相等的正實數(shù)根，綜上，滿足條件的取值范圍為或，即故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為.（1）求證：；（2）若，求的面積.（1）證明：由題意得：，由余弦定理得，，所以，由于，所以或，因為，所以.（2）由正弦定理可得，即，得，由余弦定理可得，代入得，解得舍去），所以，故.16.已知函數(shù).（1）討論的極值點個數(shù)；（2）若存在實數(shù)使得軸為的切線，求的最大值.解：（1）由題意得若，則在上單調(diào)遞增，無極值點若，令，得，由于是增函數(shù).所以時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，故是的唯一極小值點.綜上，當時，無極值點；時，有唯一極小值點，無極大值點.（2）設(shè)切點為，由（1）知，因為軸為切線，則解得，令，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，故是的唯一極大值點.，所以的最大值為1.17.在三棱柱中，，點為的延長線上一點，且滿足.（1）從這5個點中任取4個點，可以構(gòu)成多少個不同的三棱錐？并列舉所有符合條件的三棱錐；（2）證明：：（3）求直線與平面所成的角.解：（1）構(gòu)成4個不同的三棱錐，分別是三棱錐，三棱錐，三棱錐，三棱錐；（2）連接，因為，所以同理，取中點，連接，由等腰三角形三線合一,得,又平面平面，所以平面,平面，所以,（3）解法1：依題意，可知點在以為直徑的圓上，所以，由（2），所以，又平面平面，所以平面為平面的一個法向量.直線與平面所成的角即直線與直線夾角的余角因為由（2）知，，所以為正三角形，故,故直線與平面所成的角為;解法2：依題意，可知點在以為直徑的圓上，所以，由（2），所以，又平面平面，所以平面，平面，點到平面的距離等于點到平面的距離，也就是點到平面的距離的，點到平面的距離為1，由（2）知為正三角形，，直線與平面所成角的正弦值是，所以直線與平面所成角為解法3：由（2）知平面，又平面，可得平面平面，在平面內(nèi)，過作，垂足為因為平面平面，平面與平面，則平面，過作，可知平面，由此可知兩兩垂直，所以，以為坐標原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示.在等邊和等邊中，可求得，則在中，，，可知依題意，可知點在以為直徑的圓上，所以，由（2），所以，又平面平面，所以平面，為平面的一