2025屆河北省秦皇島市高三第一次模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省秦皇島市2025屆高三第一次模擬數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.某籃球興趣小組7名學(xué)生參加投籃比賽，每人投10個(gè)，投中的個(gè)數(shù)分別為：8、5、7、5、8、6、8，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）A.、 B.、 C.、 D.、【答案】D【解析】將數(shù)據(jù)由小到大進(jìn)行排列為：、、、、、、，因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為.故選：D.2.二次函數(shù)的圖像為拋物線，其準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將，化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)時(shí)，，得到，由拋物線的準(zhǔn)線方程為；當(dāng)時(shí)，，得到，由拋物線的準(zhǔn)線方程為；綜上：其準(zhǔn)線方程.故選：C.3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.18 B.27 C.45 D.63【答案】C【解析】由題意得成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，即，解得.故選：C4.某單位計(jì)劃從5人中選4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排兩人，則安排方法數(shù)為（）A.30 B.60 C.120 D.180【答案】B【解析】先從5人中選出4人值班，再?gòu)?人中選出2人值第三天，剩余2人分別值第一、二天，所以安排方法數(shù)為.故選：B.5.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．如圖，，為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，中心為原點(diǎn)，橢圓的面積為，直線上一點(diǎn)滿足是等腰三角形，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知，，即，是以為頂角的等腰三角形，則有：，，，所以，又因?yàn)?，即，，可得：，解得，故離心率為．故選：B．6.在等邊中，已知點(diǎn)，滿足，，與交于點(diǎn)，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，，，則，得，，即,則在上的投影向量為，，所以在上的投影向量為.故選：C7.函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B.4 C. D.1【答案】C【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，所以在為增函?shù)，，所以，又，在為增函數(shù)，所以，即，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C8.正三棱柱中，，，O為的中點(diǎn)，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，N為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)檎庵?，為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖，以為原點(diǎn)，，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)槭抢馍弦粍?dòng)點(diǎn)，設(shè)，且，因?yàn)?，所以，于是令?所以，.又因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，即線段長(zhǎng)度的最小值為當(dāng)時(shí)，，即線段長(zhǎng)度的最大值為，所以線段長(zhǎng)度的取值范圍為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.的實(shí)部為B.的虛部為C.滿足：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在區(qū)域的面積為D.對(duì)應(yīng)的向量與軸正方向所在向量夾角的正切值為【答案】AC【解析】由，則，所以的實(shí)部為，虛部為，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，則，設(shè)，則，即，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在區(qū)域是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓內(nèi)的區(qū)域（包括圓），則所在區(qū)域的面積為，故C正確；如圖，對(duì)應(yīng)的向量為，則向量與軸正方向所在向量夾角的正切值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，其中，且，若邊上的中點(diǎn)為，則（）A. B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A：，由正弦定理得，即，，因?yàn)?，所以，所以，，，故A正確；對(duì)于B：由余弦定理知，，因?yàn)椋?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以的最大值為，故B正確；對(duì)于C：由B知，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，故C錯(cuò)；對(duì)于D：因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，，得，因?yàn)?，所以的最小值為，故D正確；故選：ABD.11.在平面直角坐標(biāo)系中，圓，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為B.已知點(diǎn)，圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為C.過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為可以為D.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則直線恒過(guò)定點(diǎn)【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A，由題意知，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，由，如圖可知與直線平行且與直線距離為的其中一條直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)，另一條直線與圓相離，即圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故A正確；選項(xiàng)B，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，解得，即，則，即的最小值為，故B正確；選項(xiàng)C，由切點(diǎn)為，則在中，，當(dāng)最小時(shí)，取最大值，最大，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，此時(shí)最小，最小值為，即最大值為，最大為，不可能為，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn)，切點(diǎn)，可得切線方程為，由點(diǎn)在切線上，得，同理可得，故點(diǎn)都在直線上，即直線的方程為，又由點(diǎn)在直線上，則，代入直線方程整理得，由解得，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，則___________．【答案】【解析】因?yàn)?，又，所?故答案為：13.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則正數(shù)ω的取值范圍是____．【答案】【解析】由，可得，即，令，則又在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則區(qū)間內(nèi)不存在整數(shù)，又，則正數(shù)ω滿足，則，則，解之得，則正數(shù)ω的取值范圍是.故答案為：14.若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則__________，的最小值為_(kāi)_____________．【答案】①.②.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，令，可得，可得或，由對(duì)稱(chēng)性可知，方程的兩根分別為、，由韋達(dá)定理可得，可得，所以，，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則，因?yàn)?，令，令，所以?故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)在及處取得極值．（1）求a，b的值；（2）若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求c的取值范圍．解：（1）∵，∴，由已知得，是的兩個(gè)根，故，解得，；此時(shí)，則，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.可知和均為極值點(diǎn)，符合題意，，.（2）由（1）得，，結(jié)合（1）可知，該函數(shù)的零點(diǎn)為，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴的極小值為，極大值為，若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，只需，解得，∴a的范圍是.16.某學(xué)校組織一項(xiàng)競(jìng)賽，在初賽中有兩輪答題：第一輪從類(lèi)的三個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)選兩題作答，每答對(duì)一題得20分，答錯(cuò)得0分；第二輪從類(lèi)的分值分別為20，30，40的3個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)選兩題作答，每答對(duì)一題得滿分，答錯(cuò)得0分.若兩輪總積分不低于90分，則晉級(jí)復(fù)賽.甲、乙同時(shí)參賽，在類(lèi)的三個(gè)問(wèn)題中，甲每個(gè)問(wèn)題答對(duì)的概率均為，乙只能答對(duì)兩個(gè)問(wèn)題；在類(lèi)的3個(gè)分值分別為20，30，40的問(wèn)題中，甲答對(duì)的概率分別為1，，，乙答對(duì)的概率分別為，，.甲、乙回答任一問(wèn)題正確與否互不影響.設(shè)甲、乙在第一輪的得分分別為，.（1）分別求，的概率分布列；（2）分別計(jì)算甲、乙晉級(jí)復(fù)賽的概率，并請(qǐng)說(shuō)明誰(shuí)更容易晉級(jí)復(fù)賽？解：（1）由已知得，，，，，所以的分布列為02040由已知得，，所以，.所以的分布列為2040（2）甲在第二輪得分分類(lèi)如下：選20分和30分的題所得分?jǐn)?shù)為20分和50分，選20分和40分的題所得分?jǐn)?shù)為20分和60分，選30分和40分題所得分?jǐn)?shù)為0分、30分、40分和70分，乙在第二輪得分分類(lèi)如下：選20分和30分的題所得分?jǐn)?shù)為0分、20分、30分和50分，選20分和40分的題所得分?jǐn)?shù)為0分、20分、40分和60分，選30分和40分的題所得分?jǐn)?shù)為0分、30分、40分和70分，由已知及（1）得，甲兩輪的總積分不低于90分的概率為；乙兩輪的總積分不低于90分的概率為，因?yàn)?，所以甲更容易晉級(jí)復(fù)賽.17.如圖，在四棱錐中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，底面，平面平面．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因?yàn)榈酌?，且底面，所以，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且平面，所以平面，又因平面，所以，因?yàn)椋移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以?）解：因?yàn)榍?，在直角中，可得又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，在中，可?又因?yàn)?，所以，由且，所以為等腰直角三角形，可得，所以，即，因?yàn)榈酌?，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，可得，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的右支上.為原點(diǎn)，且．（1）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度；（2）過(guò)作直線與的右支交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求直線的方程．解：（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，又由雙曲線的定義可知，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以．（2）根據(jù)題意，可設(shè)直線聯(lián)立方程化簡(jiǎn)得，由題意可知，且，設(shè)，所以，所以所以.令，解得（舍）或．當(dāng)時(shí)，，所以直線或．19.數(shù)列：滿足：，，或1．對(duì)任意，，都存在，，使得，其中且兩兩不相等．（1）若時(shí)，寫(xiě)出下列三個(gè)數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列序號(hào)；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2；（2）記，若，求的最小值；（3）若，求的最小值．解：（1）結(jié)合數(shù)列的定義，對(duì)①，，不滿足，故①不符合；對(duì)②，當(dāng)時(shí)，存在，同理當(dāng)時(shí)，存在，當(dāng)時(shí)，存在，故②符合；同理對(duì)③也滿足，故滿足題目條件的序列號(hào)為：②③；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列中1，2，3出現(xiàn)的頻次為，由題意知，，假設(shè)時(shí)，，（對(duì)任意），與已知矛盾，故，同理可證，假設(shè)，數(shù)列可表示為：，顯然，故，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，顯然符合，所以，，，數(shù)列的最短數(shù)列可表示為：，故；（3）由（2）知，數(shù)列首尾應(yīng)該滿足，假設(shè)中間各出現(xiàn)一次，此時(shí)，顯然滿足或1，對(duì)或時(shí)，顯然滿足（）；對(duì)，或時(shí)，顯然滿足（）；對(duì)時(shí)，則可選取，滿足；同理若，則可選取，滿足；如果，則可取，這種情況下每個(gè)數(shù)最多被選取一次，因此也成立，故對(duì)任意i，j，都存在s，t，使得，其中且兩兩不相等，故的最小值為1008.河北省秦皇島市2025屆高三第一次模擬數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.某籃球興趣小組7名學(xué)生參加投籃比賽，每人投10個(gè)，投中的個(gè)數(shù)分別為：8、5、7、5、8、6、8，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）A.、 B.、 C.、 D.、【答案】D【解析】將數(shù)據(jù)由小到大進(jìn)行排列為：、、、、、、，因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為.故選：D.2.二次函數(shù)的圖像為拋物線，其準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將，化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)時(shí)，，得到，由拋物線的準(zhǔn)線方程為；當(dāng)時(shí)，，得到，由拋物線的準(zhǔn)線方程為；綜上：其準(zhǔn)線方程.故選：C.3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.18 B.27 C.45 D.63【答案】C【解析】由題意得成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，即，解得.故選：C4.某單位計(jì)劃從5人中選4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排兩人，則安排方法數(shù)為（）A.30 B.60 C.120 D.180【答案】B【解析】先從5人中選出4人值班，再?gòu)?人中選出2人值第三天，剩余2人分別值第一、二天，所以安排方法數(shù)為.故選：B.5.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．如圖，，為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，中心為原點(diǎn)，橢圓的面積為，直線上一點(diǎn)滿足是等腰三角形，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知，，即，是以為頂角的等腰三角形，則有：，，，所以，又因?yàn)?，即，，可得：，解得，故離心率為．故選：B．6.在等邊中，已知點(diǎn)，滿足，，與交于點(diǎn)，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，，，則，得，，即,則在上的投影向量為，，所以在上的投影向量為.故選：C7.函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B.4 C. D.1【答案】C【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，所以在為增函?shù)，，所以，又，在為增函數(shù)，所以，即，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C8.正三棱柱中，，，O為的中點(diǎn)，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，N為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)檎庵?，為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖，以為原點(diǎn)，，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)槭抢馍弦粍?dòng)點(diǎn)，設(shè)，且，因?yàn)?，所以，于是令?所以，.又因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，即線段長(zhǎng)度的最小值為當(dāng)時(shí)，，即線段長(zhǎng)度的最大值為，所以線段長(zhǎng)度的取值范圍為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.的實(shí)部為B.的虛部為C.滿足：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在區(qū)域的面積為D.對(duì)應(yīng)的向量與軸正方向所在向量夾角的正切值為【答案】AC【解析】由，則，所以的實(shí)部為，虛部為，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，則，設(shè)，則，即，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在區(qū)域是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓內(nèi)的區(qū)域（包括圓），則所在區(qū)域的面積為，故C正確；如圖，對(duì)應(yīng)的向量為，則向量與軸正方向所在向量夾角的正切值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，其中，且，若邊上的中點(diǎn)為，則（）A. B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A：，由正弦定理得，即，，因?yàn)椋?，所以，，，故A正確；對(duì)于B：由余弦定理知，，因?yàn)椋?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以的最大值為，故B正確；對(duì)于C：由B知，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，故C錯(cuò)；對(duì)于D：因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，，得，因?yàn)椋缘淖钚≈禐?，故D正確；故選：ABD.11.在平面直角坐標(biāo)系中，圓，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為B.已知點(diǎn)，圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為C.過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為可以為D.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則直線恒過(guò)定點(diǎn)【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A，由題意知，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，由，如圖可知與直線平行且與直線距離為的其中一條直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)，另一條直線與圓相離，即圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故A正確；選項(xiàng)B，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，解得，即，則，即的最小值為，故B正確；選項(xiàng)C，由切點(diǎn)為，則在中，，當(dāng)最小時(shí)，取最大值，最大，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，此時(shí)最小，最小值為，即最大值為，最大為，不可能為，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn)，切點(diǎn)，可得切線方程為，由點(diǎn)在切線上，得，同理可得，故點(diǎn)都在直線上，即直線的方程為，又由點(diǎn)在直線上，則，代入直線方程整理得，由解得，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，則___________．【答案】【解析】因?yàn)?，又，所?故答案為：13.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則正數(shù)ω的取值范圍是____．【答案】【解析】由，可得，即，令，則又在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則區(qū)間內(nèi)不存在整數(shù)，又，則正數(shù)ω滿足，則，則，解之得，則正數(shù)ω的取值范圍是.故答案為：14.若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則__________，的最小值為_(kāi)_____________．【答案】①.②.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，令，可得，可得或，由對(duì)稱(chēng)性可知，方程的兩根分別為、，由韋達(dá)定理可得，可得，所以，，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則，因?yàn)椋?，令，所以?故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)在及處取得極值．（1）求a，b的值；（2）若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求c的取值范圍．解：（1）∵，∴，由已知得，是的兩個(gè)根，故，解得，；此時(shí)，則，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.可知和均為極值點(diǎn)，符合題意，，.（2）由（1）得，，結(jié)合（1）可知，該函數(shù)的零點(diǎn)為，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴的極小值為，極大值為，若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，只需，解得，∴a的范圍是.16.某學(xué)校組織一項(xiàng)競(jìng)賽，在初賽中有兩輪答題：第一輪從類(lèi)的三個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)選兩題作答，每答對(duì)一題得20分，答錯(cuò)得0分；第二輪從類(lèi)的分值分別為20，30，40的3個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)選兩題作答，每答對(duì)一題得滿分，答錯(cuò)得0分.若兩輪總積分不低于90分，則晉級(jí)復(fù)賽.甲、乙同時(shí)參賽，在類(lèi)的三個(gè)問(wèn)題中，甲每個(gè)問(wèn)題答對(duì)的概率均為，乙只能答對(duì)兩個(gè)問(wèn)題；在類(lèi)的3個(gè)分值分別為20，30，40的問(wèn)題中，甲答對(duì)的概率分別為1，，，乙答對(duì)的概率分別為，，.甲、乙回答任一問(wèn)題正確與否互不影響.設(shè)甲、乙在第一輪的得分分別為，.（1）分別求，的概率分布列；（2）分別計(jì)算甲、乙晉級(jí)復(fù)賽的概率，并請(qǐng)說(shuō)明誰(shuí)更容易晉級(jí)復(fù)賽？解：（1）由已知得，，，，，所以的分布列為02040由已知得，，所以，.所以的分布列為2040（2）甲在第二輪得分分類(lèi)如下：選20分和30分的題所得分?jǐn)?shù)為20分和50分，選20分和40分的題所得分?jǐn)?shù)為20分和60分，選30分和40分題所得分?jǐn)?shù)為0分、30分、40分和70分，乙在第二輪得分分類(lèi)如下：選20分和30分的題所得分?jǐn)?shù)為0分、20分、30分和50分，選20分和40分的題所得分?jǐn)?shù)為0分、20分、40分和60分，選30分和40分的題所得分?jǐn)?shù)為0分、30分、40分和70分，由已知及（1）得，甲兩輪的總積分不低于90分的概率為；乙兩輪的總積分不低于90分的概率為，因?yàn)椋约赘菀讜x級(jí)復(fù)賽.17.如圖，在四棱錐中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，底面，平面平面．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因?yàn)榈酌?，且底面，所以，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面?/p>