2025屆北京市房山區(qū)高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1北京市房山區(qū)2025屆高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】集合，集合，則.故選：A.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第二象限.故選：B3.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：舉反例可知不成立；對(duì)于B選項(xiàng)：舉反例可知不成立；對(duì)于C選項(xiàng)：，因?yàn)?，所以，而且不同時(shí)為0，故，即，正確；對(duì)于D選項(xiàng)：舉反例可知不成立；故選：C．4.直線與圓交于兩點(diǎn)，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由題意可得圓心，半徑，到直線的距離為，由幾何關(guān)系可得.故選：B.5.已知向量，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】若，則，即又，.故選：D.6.若，則（）A. B.41 C. D.40【答案】C【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令得，故，令得，故，所以.故選：C7.已知函數(shù)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由函數(shù)，則易知其圖象對(duì)稱中心，當(dāng)時(shí)，為函數(shù)圖象的對(duì)成中心，則當(dāng)時(shí)，，充分性成立；當(dāng)時(shí)，由，可能得到，必要性不成立.故選：A.8.如圖，將棱長(zhǎng)為2的正方體六個(gè)面的中心連線，可得到八面體，為棱上一點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.平面B.八面體的體積為C.的最小值為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】D【解析】在正方體中，連接可知相交于點(diǎn)，且被互相平分，故四邊形是平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面，故A正確；因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，所以四邊形是正方形且，面,，所以八面體的體積等于棱錐體積的2倍，而棱錐體積等于，故八面體的體積為，B正確；因?yàn)闉槔馍弦稽c(diǎn)，將和展開(kāi)成一個(gè)平面，由題和均為正三角形，且邊長(zhǎng)為，由三角形兩邊之和大于第三邊知最小值為，在中由余弦定理可知，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,由等體積法知：，故錯(cuò)誤.故選：D.9.自然界中，大多數(shù)生物存在著世代重疊現(xiàn)象，它們?cè)谏钍分袝?huì)持續(xù)不斷地繁殖后代，且有時(shí)不同的世代能在同一時(shí)間進(jìn)行繁殖.假定某類生物的生長(zhǎng)發(fā)育不受密度制約時(shí)，其增長(zhǎng)符合模型：，其中為種群起始個(gè)體數(shù)量，為增長(zhǎng)系數(shù)，為時(shí)刻的種群個(gè)體數(shù)量.當(dāng)時(shí)，種群個(gè)體數(shù)量是起始個(gè)體數(shù)量的2倍.若，則（）A.300 B.450 C.600 D.750【答案】C【解析】因?yàn)槟Ｐ停?，其中為種群起始個(gè)體數(shù)量，為增長(zhǎng)系數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，種群個(gè)體數(shù)量是起始個(gè)體數(shù)量的2倍.所以，所以，若，則.故選：C.10.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足（是常數(shù)，），則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A.若，則數(shù)列是等比數(shù)列B.若，則數(shù)列是遞增數(shù)列C.若數(shù)列是常數(shù)列，則D.若數(shù)列是周期數(shù)列，則最小正周期可能為2【答案】C【解析】對(duì)于A中，若，可得，即，當(dāng)且時(shí)，兩邊取對(duì)數(shù)，可得，即，此時(shí)數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，數(shù)列不能構(gòu)成等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，可得，即，例如：當(dāng)時(shí)，由，可得，又由，可得，此時(shí)，所以，當(dāng)，數(shù)列是不一定是遞增數(shù)列，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，若數(shù)列為常數(shù)列，則，因?yàn)?，即，又因?yàn)?，所以，所以的取值范圍為，所以C正確；對(duì)于D中，假設(shè)數(shù)列是周期數(shù)列，且最小正周期為，即且，因?yàn)?，可得，所以，則，即，又因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，即，所以，即，這與矛盾，所以數(shù)列的最小正周期不可能是，所以D錯(cuò)誤.故選：C.二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知函數(shù)，則__________.【答案】4【解析】，，故.故答案為：412.已知是等差數(shù)列，且，則的通項(xiàng)公式__________.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，因代入解得，故.故答案為：.13.已知是拋物線的焦點(diǎn)，則的坐標(biāo)為_(kāi)_________，設(shè)是直線上一點(diǎn)，直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)_________.【答案】①.②.1【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.過(guò)作垂直于直線于，則軸.設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，，由軸得，，所以，因此點(diǎn)到軸的距離為1.14.若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則滿足條件的一組的值為_(kāi)_________，__________.【答案】①.1②.【解析】若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,cos則滿足條件的一組的值為，.故答案為：1；（答案不唯一）.15.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一.設(shè)曲線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于軸對(duì)稱；②曲線恰好經(jīng)過(guò)2個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；③面積的最大值為1；④（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________.【答案】①③④【解析】曲線上的任意點(diǎn)，其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，代入曲線左側(cè)有，即點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，①對(duì)；由方程易知，均在曲線上，曲線至少經(jīng)過(guò)4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，②錯(cuò)；由，即，且，根據(jù)曲線關(guān)于軸對(duì)稱，只需研究時(shí)的曲線性質(zhì)，對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，對(duì)于在上單調(diào)遞增，則，令，則，可得，結(jié)合曲線的對(duì)稱性有，所以，最大，③對(duì)；在上，才能保證最大，令且，此時(shí)，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，④對(duì).故答案為：①③④三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.在中，.（1）求；（2）再?gòu)臈l件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）由正弦定理，得.所以.所以.因?yàn)?，所?所以.所以.（2）選條件①：，，由余弦定理，得.，不存在；選條件②：.由，可得.由正弦定理，得.由余弦定理，得，整理得.解得，或（舍）.所以的面積.條件③：.因?yàn)?，且，所?由余弦定理，得.解得，或（舍）所以的面積.17.如圖，在長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn).（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）若二面角的余弦值為，求的長(zhǎng)度.（1）證明：在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所?同理.所以是平行四邊形.所以.又，.所以.所以為的中點(diǎn).（2）解：在長(zhǎng)方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則.因此.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，因此.易知平面的法向量為，則.解得.所以.18.隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能已經(jīng)逐漸融入人們的日常生活，在教育領(lǐng)域，賦能潛力巨大.為了解某校學(xué)生對(duì)某款學(xué)習(xí)軟件的使用情況，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了90名學(xué)生，獲得數(shù)據(jù)如下：是否使用該款學(xué)習(xí)軟件男生女生使用40人30人不使用10人10人假設(shè)學(xué)生是否使用該款學(xué)習(xí)軟件相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.（1）估計(jì)該校學(xué)生使用該款學(xué)習(xí)軟件的概率；（2）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，記這3人中使用該習(xí)軟件的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，“”表示該生使用該款學(xué)習(xí)軟件，“”表示該生不使用該款學(xué)習(xí)軟件.假設(shè)該校一年級(jí)有200名男生和180名女生，從除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，“”表示該生使用該款學(xué)習(xí)軟件，“”表示該生不使用該款學(xué)習(xí)軟件.的方差分別記為，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）.解：（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，90名學(xué)生中使用該款學(xué)習(xí)軟件的共人，所以該校學(xué)生使用該款學(xué)習(xí)軟件的概率可估計(jì)為.（2）從該校全體男生中隨機(jī)抽取1人，“他使用該學(xué)習(xí)軟件”記為事件A，從該校全體女生中隨機(jī)抽取1人，“她使用該學(xué)習(xí)軟件”記為事件，根據(jù)題中數(shù)據(jù)可知：.隨機(jī)變量的可能取值為.則，，，.所以的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望.（3）設(shè)從一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，“”表示該生使用該款學(xué)習(xí)軟件，“”表示該生不使用該款學(xué)習(xí)軟件，的方差記為，一年級(jí)有200名男生和180名女生，一年級(jí)學(xué)生使用該學(xué)習(xí)軟件的概率為，則，該校所有學(xué)生中使用該款學(xué)習(xí)的概率為，則，因?yàn)?，即，所以除一年?jí)外其他年級(jí)學(xué)生中使用該款學(xué)習(xí)軟件的方差，即.19.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，一個(gè)焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1）由題意，得，所以.所以橢圓的方程為，離心率.（2）設(shè)直線的方程為（顯然），點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立方程，整理得.所以.法一：因?yàn)?又，所以.所以，直線斜率與直線的斜率互為相反數(shù).設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，，整理可得，，因?yàn)?，所以，，即，解?所以點(diǎn)的坐標(biāo).法二：因?yàn)?，又，所以，即，，所以，且，整理得，則，而，顯然，所以，故，所以，解得.所以點(diǎn)的坐標(biāo).20.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，求證：曲線存在兩條斜率為且不重合切線.（1）解：由，得.因?yàn)楹瘮?shù)在處有定義，所以.因在處取得極值，所以，解得，或（舍）.當(dāng)時(shí)，，.令，解得，或（舍）.與的變化情況如下：00極大值所以函數(shù)的單調(diào)遞增為；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）證明：由，得.由（1）可知，，因?yàn)?，所以存在，?方法一：曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即下面證明：.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，所以，即.所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所?所以，即.所以曲線存在兩條斜率為且不重合的切線.方法二：由，可得.所以曲線在處的切線的方程為，即.因?yàn)?，所以的方程?同理，曲線在處的切線的方程為.下面證明：.設(shè).所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所?所以，即.所以曲線存在兩條斜率為且不重合的切線.21.設(shè)為正整數(shù)，集合，對(duì)于集合中2個(gè)元素，若，則稱具有性質(zhì)．記為中的最小值．（1）當(dāng)時(shí)，若，判斷是否具有性質(zhì)．如果是，求出；如果不是，說(shuō)明理由；（2）當(dāng)時(shí)，若具有性質(zhì)，求的最大值；（3）給定不小于3的奇數(shù)，對(duì)于集合中任意2個(gè)具有性質(zhì)的元素，求的最大值．解：（1）因?yàn)?，所以具有性質(zhì)；因?yàn)?，所以．?）方法：1：由性質(zhì)得，所以，因?yàn)?，所以，則，，，所以，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，具有性質(zhì)，且，所以的最大值為1．方法2：先用反證法證明，假設(shè)，由，則，所以，同理，所以，由，所以，與已知矛盾，假設(shè)不成立，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以的最大值為1．（3）由性質(zhì)可得，所以①，且②，在①中不妨設(shè)，在②中不妨設(shè)，由對(duì)稱性可以設(shè)，所以，所以，即，因?yàn)榇嬖?，（其中有個(gè)個(gè)），（其中有個(gè)，個(gè)）具有性質(zhì)，并且，，，所以，綜上最大值為．北京市房山區(qū)2025屆高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】集合，集合，則.故選：A.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第二象限.故選：B3.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：舉反例可知不成立；對(duì)于B選項(xiàng)：舉反例可知不成立；對(duì)于C選項(xiàng)：，因?yàn)?，所以，而且不同時(shí)為0，故，即，正確；對(duì)于D選項(xiàng)：舉反例可知不成立；故選：C．4.直線與圓交于兩點(diǎn)，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由題意可得圓心，半徑，到直線的距離為，由幾何關(guān)系可得.故選：B.5.已知向量，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】若，則，即又，.故選：D.6.若，則（）A. B.41 C. D.40【答案】C【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令得，故，令得，故，所以.故選：C7.已知函數(shù)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由函數(shù)，則易知其圖象對(duì)稱中心，當(dāng)時(shí)，為函數(shù)圖象的對(duì)成中心，則當(dāng)時(shí)，，充分性成立；當(dāng)時(shí)，由，可能得到，必要性不成立.故選：A.8.如圖，將棱長(zhǎng)為2的正方體六個(gè)面的中心連線，可得到八面體，為棱上一點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.平面B.八面體的體積為C.的最小值為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】D【解析】在正方體中，連接可知相交于點(diǎn)，且被互相平分，故四邊形是平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面，故A正確；因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，所以四邊形是正方形且，面,，所以八面體的體積等于棱錐體積的2倍，而棱錐體積等于，故八面體的體積為，B正確；因?yàn)闉槔馍弦稽c(diǎn)，將和展開(kāi)成一個(gè)平面，由題和均為正三角形，且邊長(zhǎng)為，由三角形兩邊之和大于第三邊知最小值為，在中由余弦定理可知，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,由等體積法知：，故錯(cuò)誤.故選：D.9.自然界中，大多數(shù)生物存在著世代重疊現(xiàn)象，它們?cè)谏钍分袝?huì)持續(xù)不斷地繁殖后代，且有時(shí)不同的世代能在同一時(shí)間進(jìn)行繁殖.假定某類生物的生長(zhǎng)發(fā)育不受密度制約時(shí)，其增長(zhǎng)符合模型：，其中為種群起始個(gè)體數(shù)量，為增長(zhǎng)系數(shù)，為時(shí)刻的種群個(gè)體數(shù)量.當(dāng)時(shí)，種群個(gè)體數(shù)量是起始個(gè)體數(shù)量的2倍.若，則（）A.300 B.450 C.600 D.750【答案】C【解析】因?yàn)槟Ｐ停?，其中為種群起始個(gè)體數(shù)量，為增長(zhǎng)系數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，種群個(gè)體數(shù)量是起始個(gè)體數(shù)量的2倍.所以，所以，若，則.故選：C.10.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足（是常數(shù)，），則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A.若，則數(shù)列是等比數(shù)列B.若，則數(shù)列是遞增數(shù)列C.若數(shù)列是常數(shù)列，則D.若數(shù)列是周期數(shù)列，則最小正周期可能為2【答案】C【解析】對(duì)于A中，若，可得，即，當(dāng)且時(shí)，兩邊取對(duì)數(shù)，可得，即，此時(shí)數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，數(shù)列不能構(gòu)成等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，可得，即，例如：當(dāng)時(shí)，由，可得，又由，可得，此時(shí)，所以，當(dāng)，數(shù)列是不一定是遞增數(shù)列，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，若數(shù)列為常數(shù)列，則，因?yàn)?，即，又因?yàn)?，所以，所以的取值范圍為，所以C正確；對(duì)于D中，假設(shè)數(shù)列是周期數(shù)列，且最小正周期為，即且，因?yàn)?，可得，所以，則，即，又因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，即，所以，即，這與矛盾，所以數(shù)列的最小正周期不可能是，所以D錯(cuò)誤.故選：C.二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知函數(shù)，則__________.【答案】4【解析】，，故.故答案為：412.已知是等差數(shù)列，且，則的通項(xiàng)公式__________.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，因代入解得，故.故答案為：.13.已知是拋物線的焦點(diǎn)，則的坐標(biāo)為_(kāi)_________，設(shè)是直線上一點(diǎn)，直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)_________.【答案】①.②.1【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.過(guò)作垂直于直線于，則軸.設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，，由軸得，，所以，因此點(diǎn)到軸的距離為1.14.若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則滿足條件的一組的值為_(kāi)_________，__________.【答案】①.1②.【解析】若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,cos則滿足條件的一組的值為，.故答案為：1；（答案不唯一）.15.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一.設(shè)曲線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于軸對(duì)稱；②曲線恰好經(jīng)過(guò)2個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；③面積的最大值為1；④（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________.【答案】①③④【解析】曲線上的任意點(diǎn)，其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，代入曲線左側(cè)有，即點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，①對(duì)；由方程易知，均在曲線上，曲線至少經(jīng)過(guò)4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，②錯(cuò)；由，即，且，根據(jù)曲線關(guān)于軸對(duì)稱，只需研究時(shí)的曲線性質(zhì)，對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，對(duì)于在上單調(diào)遞增，則，令，則，可得，結(jié)合曲線的對(duì)稱性有，所以，最大，③對(duì)；在上，才能保證最大，令且，此時(shí)，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，④對(duì).故答案為：①③④三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.在中，.（1）求；（2）再?gòu)臈l件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）由正弦定理，得.所以.所以.因?yàn)?，所?所以.所以.（2）選條件①：，，由余弦定理，得.，不存在；選條件②：.由，可得.由正弦定理，得.由余弦定理，得，整理得.解得，或（舍）.所以的面積.條件③：.因?yàn)?，且，所?由余弦定理，得.解得，或（舍）所以的面積.17.如圖，在長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn).（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）若二面角的余弦值為，求的長(zhǎng)度.（1）證明：在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所?同理.所以是平行四邊形.所以.又，.所以.所以為的中點(diǎn).（2）解：在長(zhǎng)方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則.因此.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，因此.易知平面的法向量為，則.解得.所以.18.隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能已經(jīng)逐漸融入人們的日常生活，在教育領(lǐng)域，賦能潛力巨大.為了解某校學(xué)生對(duì)某款學(xué)習(xí)軟件的使用情況，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了90名學(xué)生，獲得數(shù)據(jù)如下：是否使用該款學(xué)習(xí)軟件男生女生使用40人30人不使用10人10人假設(shè)學(xué)生是否使用該款學(xué)習(xí)軟件相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.（1）估計(jì)該校學(xué)生使用該款學(xué)習(xí)軟件的概率；（2）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，記這3人中使用該習(xí)軟件的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，“”表示該生使用該款學(xué)習(xí)軟件，“”表示該生不使用該款學(xué)習(xí)軟件.假設(shè)該校一年級(jí)有200名男生和180名女生，從除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，“”表示該生使用該款學(xué)習(xí)軟件，“”表示該生不使用該款學(xué)習(xí)軟件.的方差分別記為，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）.解：（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，90名學(xué)生中使用該款學(xué)習(xí)軟件的共人，所以該校學(xué)生使用該款學(xué)習(xí)軟件的概率可估計(jì)為.（2）從該校全體男生中隨機(jī)抽取1人，“他使用該學(xué)習(xí)軟件”記為事件A，從該校全體女生中隨機(jī)抽取1人，“她使用該學(xué)習(xí)軟件”記為事件，根據(jù)題中數(shù)據(jù)可知：.隨機(jī)變量的可能取值為.則，，，.所以的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望.（3）設(shè)從一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，“”表示該生使用該款學(xué)習(xí)軟件，“”表示該生不使用該款學(xué)習(xí)軟件，的方差記為，一年級(jí)有200名男生和180名女生，一年級(jí)學(xué)生使用該學(xué)習(xí)軟件的概率為，則，該校所有學(xué)生中使用該款學(xué)習(xí)的概率為，則，因?yàn)?，即，所以除一年?jí)外其他年級(jí)學(xué)生中使用該款學(xué)習(xí)軟件的方差，即.19.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，一個(gè)焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的