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高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江西省上饒市多校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.角是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因?yàn)?,根?jù)終邊相同角的集合知,與終邊相同,又是第二象限角.故選:B.2.已知角的終邊上有一點(diǎn),,則的值是()A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意,.故選:C.3.已知函數(shù),則的增區(qū)間是()A. B.C. D.【答案】C【解析】令,解得,所以函數(shù)的增區(qū)間是.故選:C.4.如圖所示的幾何圖形,設(shè)弧的長度是,弧的長度是,扇環(huán)的面積為,扇形的面積為.若,則()A.3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】設(shè),由,得,即,所以.故選:D.5.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù),為偶函數(shù),所以奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱,故排除AB;當(dāng)時(shí),,故排除C.故選:D.6.已知函數(shù)的圖象相鄰的兩條對稱軸間的距離為,為得到的圖象,可將的圖象上所有的點(diǎn)()A.先向右平移個單位長度,再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?,縱坐標(biāo)不變B.先向右平移個單位長度,再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?,縱坐標(biāo)不變C.先向右平移個單位長度,再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變D.先向右平移個單位長度,再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變【答案】A【解析】由題意可知,所以,所以可將的圖象上所有的點(diǎn)先向右平移個單位長度得到,再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變得到的圖象,即的圖象.故選:A.7.已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù),,且,則下列選項(xiàng)不正確的是()A. B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.以為周期的函數(shù) D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的偶函數(shù),所以,,對于A,令,可得,因?yàn)?,可得,故A正確;對于B,因?yàn)椋?,可得,從而,又因?yàn)?,可得,所以,可得,所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,故B正確;對于C,因?yàn)?,所以,所以,可得,所以有,所以?為周期的函數(shù),故C正確;對于D,,,令可得,可得,令可得,可得,令可得,可得,令可得,可得,所以,所以,故D錯誤.故選:D.8.已知函數(shù)在上恰有3個零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】C【解析】,,其中,解得:,則,要想保證函數(shù)在恰有三個零點(diǎn),滿足①,,令,解得:;或要滿足②,,令,解得:;經(jīng)檢驗(yàn),滿足題意,其他情況均不滿足條件,綜上:的取值范圍是.故選:C.二、多項(xiàng)選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.下列三角函數(shù)值正確的是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】由,,,.故選:BC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A.將的圖象向右平移個單位,得到的圖象B.C.,都有D.為函數(shù)的一條對稱軸【答案】BC【解析】由題設(shè)知,,則,所以,又,所以,則,,可得,所以,由,故A錯;,B對;由的最小值、最大值分別為,所以,都有,C對;,顯然不是對稱軸,D錯.故選:BC.11.如圖,摩天輪的半徑為50米,摩天輪的中心點(diǎn)距離地面的高度為55米,摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),每24分鐘轉(zhuǎn)一圈,摩天輪上點(diǎn)的起始位置在最高點(diǎn)處,下列結(jié)論正確的是()A.經(jīng)過12分鐘,點(diǎn)首次到達(dá)最低點(diǎn)B.第16分鐘和第32分鐘點(diǎn)距離地面一樣高C.從第28分鐘至第40分鐘點(diǎn)距離地面的高度一直在降低D.摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周過程中,點(diǎn)有8分鐘距離地面的高度不低于80米【答案】ABD【解析】設(shè)為摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間,單位為分鐘,則.對于A選項(xiàng),由于摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),每24分鐘轉(zhuǎn)一圈,因?yàn)?,則,令,解得,所以經(jīng)過12分鐘,點(diǎn)P首次到達(dá)最低點(diǎn),故A選項(xiàng)正確;對于B選項(xiàng),因?yàn)?,即,所以?6分鐘和第32分鐘點(diǎn)P距離地面一樣高,B選項(xiàng)正確;對于C選項(xiàng),由于摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),每24分鐘轉(zhuǎn)一圈,所以第28分鐘至第40分鐘,相當(dāng)于第4分鐘至第16分鐘,根據(jù)A選項(xiàng)可知,經(jīng)過12分鐘,點(diǎn)P首次到達(dá)最低點(diǎn),所以第4分鐘至第12分鐘,摩天輪高度降低,第12分鐘至第16分鐘,摩天輪高度上升,所以C選項(xiàng)錯誤;對于D選項(xiàng),由,則,其中,即,則或,解得或,故摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周的過程中點(diǎn)P有分鐘距離地面不低于80米,D選項(xiàng)正確.故選:ABD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知,則____.【答案】【解析】因?yàn)椋?13.若,則_______【答案】【解析】由已知可得,,設(shè),則.代入已知可化為,所以,解得,所以,所以.14.當(dāng)時(shí),不等式的解集是_______.【答案】【解析】令,①當(dāng)時(shí),,因,則,則在上單調(diào)遞增,又,則得;②當(dāng)時(shí),,則恒成立;③當(dāng)時(shí),,因,則恒成立,綜上,不等式的解集為.四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(1)化簡:;(2)求證:函數(shù)的最小正周期為.解:(1).(2)對于函數(shù),,,所以是函數(shù)的一個周期,假設(shè)存在,使得對于恒成立,則對于恒成立,令,則,此時(shí),,即,,顯然不存在滿足的值,與假設(shè)矛盾,所以函數(shù)的最小正周期為.16.函數(shù)的一個對稱中心是.(1)求以及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間、最大值;(2)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在上的簡圖.解:(1)由題設(shè),則,,故,,,則,所以,其最大值為2,令,,則,,所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為,.(2)0200在上的簡圖如下,17.如圖是函數(shù)的部分圖象,M,N是它與x軸的兩個不同交點(diǎn),D是M?N之間的最高點(diǎn)且橫坐標(biāo)為,點(diǎn)是線段DM的中點(diǎn).(1)求函數(shù)的解析式及上的單調(diào)增區(qū)間;(2)若時(shí),函數(shù)有兩個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)是線段DM中點(diǎn),所以,,則,,所以,所以,由,故,,所以,,又因?yàn)?,則.所以,由,得,令,得,所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為.(2)因?yàn)椋瑒t,令,因?yàn)楹瘮?shù)有兩個零點(diǎn),則方程有兩個不等實(shí)數(shù)根,即方程有兩個不等實(shí)數(shù)根,即有兩個不等實(shí)數(shù)根,即函數(shù)的圖象與在上有兩個交點(diǎn),如圖所示,作出函數(shù)的圖象,由圖可知,.18.已知二次函數(shù).(1)若恒成立,求的取值范圍.(2)令,若時(shí)有唯一零點(diǎn),求的取值范圍.解:(1)由題意,對于二次函數(shù),,要使恒成立,則,解得,即的取值范圍為.(2)由,令,則,因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)有唯一零點(diǎn),所以方程在時(shí)有唯一解,當(dāng)時(shí),方程為,顯然不成立,不符合題意;當(dāng)時(shí),等價(jià)于方程在時(shí)有唯一解,令,,則等價(jià)于方程在時(shí)有唯一解,畫出函數(shù),的圖象(實(shí)線部分):由圖可知,要使方程在時(shí)有唯一解,則,即的取值范圍為.19.已知函數(shù),如果對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)及給定的非零常數(shù),總存在非零常數(shù),恒有成立,則稱函數(shù)是上的“級遞減類周期函數(shù)”,類周期為;若恒有成立,則稱函數(shù)是上的“級類周期函數(shù)”,類周期為.(1)判斷函數(shù)是不是上的類周期為1的“2級遞減類周期函數(shù)”,并說明理由.(2)已知是在上的“級類周期函數(shù)”,類周期,且在上嚴(yán)格單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),.求當(dāng)時(shí),函數(shù)的解析式,并求實(shí)數(shù)的取值范圍.(3)是否存在非零實(shí)數(shù),使函數(shù)是上的類周期為的“級類周期函數(shù)”?給出結(jié)論并證明你的結(jié)論.解:(1)依題意,函數(shù)的定義域是,,即任意成立,所以函數(shù)是上的類周期為1的2級遞減類周期函數(shù).(2)因?yàn)槭窃谏系募夘愔芷诤瘮?shù),類周期,所以,即,而當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,則;當(dāng)時(shí),,則;當(dāng)時(shí),,則.并且有當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.因?yàn)樵谏蠂?yán)格單調(diào)遞增,則有解得,所以當(dāng)時(shí),,且.(3)假定存在非零實(shí)數(shù),使函數(shù)是上的類周期為的級類周期函數(shù),即任意,恒有成立,則任意,恒有成立,即任意,恒有成立.當(dāng)時(shí),,則,于是得,要使恒成立,則有:當(dāng),即時(shí),由函數(shù)與的圖象存在交點(diǎn)知,方程有解,此時(shí)恒成立,則,即;當(dāng),即時(shí),若,則,,無解.若,即,令,即,由和的圖象可知,,兩者無交點(diǎn),故無解.綜上,,符合題意,其中滿足.江西省上饒市多校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.角是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因?yàn)椋鶕?jù)終邊相同角的集合知,與終邊相同,又是第二象限角.故選:B.2.已知角的終邊上有一點(diǎn),,則的值是()A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意,.故選:C.3.已知函數(shù),則的增區(qū)間是()A. B.C. D.【答案】C【解析】令,解得,所以函數(shù)的增區(qū)間是.故選:C.4.如圖所示的幾何圖形,設(shè)弧的長度是,弧的長度是,扇環(huán)的面積為,扇形的面積為.若,則()A.3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】設(shè),由,得,即,所以.故選:D.5.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù),為偶函數(shù),所以奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱,故排除AB;當(dāng)時(shí),,故排除C.故選:D.6.已知函數(shù)的圖象相鄰的兩條對稱軸間的距離為,為得到的圖象,可將的圖象上所有的點(diǎn)()A.先向右平移個單位長度,再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?,縱坐標(biāo)不變B.先向右平移個單位長度,再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?,縱坐標(biāo)不變C.先向右平移個單位長度,再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變D.先向右平移個單位長度,再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變【答案】A【解析】由題意可知,所以,所以可將的圖象上所有的點(diǎn)先向右平移個單位長度得到,再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變得到的圖象,即的圖象.故選:A.7.已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù),,且,則下列選項(xiàng)不正確的是()A. B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.以為周期的函數(shù) D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的偶函數(shù),所以,,對于A,令,可得,因?yàn)?,可得,故A正確;對于B,因?yàn)?,所以,可得,從而,又因?yàn)?,可得,所以,可得,所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,故B正確;對于C,因?yàn)?,所以,所以,可得,所以有,所以?為周期的函數(shù),故C正確;對于D,,,令可得,可得,令可得,可得,令可得,可得,令可得,可得,所以,所以,故D錯誤.故選:D.8.已知函數(shù)在上恰有3個零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】C【解析】,,其中,解得:,則,要想保證函數(shù)在恰有三個零點(diǎn),滿足①,,令,解得:;或要滿足②,,令,解得:;經(jīng)檢驗(yàn),滿足題意,其他情況均不滿足條件,綜上:的取值范圍是.故選:C.二、多項(xiàng)選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.下列三角函數(shù)值正確的是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】由,,,.故選:BC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A.將的圖象向右平移個單位,得到的圖象B.C.,都有D.為函數(shù)的一條對稱軸【答案】BC【解析】由題設(shè)知,,則,所以,又,所以,則,,可得,所以,由,故A錯;,B對;由的最小值、最大值分別為,所以,都有,C對;,顯然不是對稱軸,D錯.故選:BC.11.如圖,摩天輪的半徑為50米,摩天輪的中心點(diǎn)距離地面的高度為55米,摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),每24分鐘轉(zhuǎn)一圈,摩天輪上點(diǎn)的起始位置在最高點(diǎn)處,下列結(jié)論正確的是()A.經(jīng)過12分鐘,點(diǎn)首次到達(dá)最低點(diǎn)B.第16分鐘和第32分鐘點(diǎn)距離地面一樣高C.從第28分鐘至第40分鐘點(diǎn)距離地面的高度一直在降低D.摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周過程中,點(diǎn)有8分鐘距離地面的高度不低于80米【答案】ABD【解析】設(shè)為摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間,單位為分鐘,則.對于A選項(xiàng),由于摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),每24分鐘轉(zhuǎn)一圈,因?yàn)椋瑒t,令,解得,所以經(jīng)過12分鐘,點(diǎn)P首次到達(dá)最低點(diǎn),故A選項(xiàng)正確;對于B選項(xiàng),因?yàn)?,即,所以?6分鐘和第32分鐘點(diǎn)P距離地面一樣高,B選項(xiàng)正確;對于C選項(xiàng),由于摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),每24分鐘轉(zhuǎn)一圈,所以第28分鐘至第40分鐘,相當(dāng)于第4分鐘至第16分鐘,根據(jù)A選項(xiàng)可知,經(jīng)過12分鐘,點(diǎn)P首次到達(dá)最低點(diǎn),所以第4分鐘至第12分鐘,摩天輪高度降低,第12分鐘至第16分鐘,摩天輪高度上升,所以C選項(xiàng)錯誤;對于D選項(xiàng),由,則,其中,即,則或,解得或,故摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周的過程中點(diǎn)P有分鐘距離地面不低于80米,D選項(xiàng)正確.故選:ABD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知,則____.【答案】【解析】因?yàn)椋?13.若,則_______【答案】【解析】由已知可得,,設(shè),則.代入已知可化為,所以,解得,所以,所以.14.當(dāng)時(shí),不等式的解集是_______.【答案】【解析】令,①當(dāng)時(shí),,因,則,則在上單調(diào)遞增,又,則得;②當(dāng)時(shí),,則恒成立;③當(dāng)時(shí),,因,則恒成立,綜上,不等式的解集為.四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(1)化簡:;(2)求證:函數(shù)的最小正周期為.解:(1).(2)對于函數(shù),,,所以是函數(shù)的一個周期,假設(shè)存在,使得對于恒成立,則對于恒成立,令,則,此時(shí),,即,,顯然不存在滿足的值,與假設(shè)矛盾,所以函數(shù)的最小正周期為.16.函數(shù)的一個對稱中心是.(1)求以及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間、最大值;(2)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在上的簡圖.解:(1)由題設(shè),則,,故,,,則,所以,其最大值為2,令,,則,,所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為,.(2)0200在上的簡圖如下,17.如圖是函數(shù)的部分圖象,M,N是它與x軸的兩個不同交點(diǎn),D是M?N之間的最高點(diǎn)且橫坐標(biāo)為,點(diǎn)是線段DM的中點(diǎn).(1)求函數(shù)的解析式及上的單調(diào)增區(qū)間;(2)若時(shí),函數(shù)有兩個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)是線段DM中點(diǎn),所以,,則,,所以,所以,由,故,,所以,,又因?yàn)椋瑒t.所以,由,得,令,得,所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為.(2)因?yàn)?,則,令,因?yàn)楹瘮?shù)有兩個零點(diǎn),則方程有兩個不等實(shí)數(shù)根,即方程有兩個不等實(shí)數(shù)根,即有兩個不等實(shí)數(shù)根,即函數(shù)的圖象與在上有兩個交點(diǎn),如圖所示,作出函數(shù)的圖象,由圖可知,.18.已知二次函數(shù).(1)若恒成立,求的取值范圍.(2)令,若時(shí)有唯一零點(diǎn),求的取值范圍.解:(1)由題意,對于二次函數(shù),,要
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