2023~2024學(xué)年上海高考數(shù)學(xué)5月試題一模帶解析

2023-2024學(xué)年上海市高考數(shù)學(xué)5月模擬試題（一模）一、填空題1．已知，，若與互相平行，則實(shí)數(shù)的值是__________．【正確答案】【分析】由向量共線的坐標(biāo)公式，列出方程求解即可．【詳解】因?yàn)椋?，解得，故?．雙曲線的離心率為_______【正確答案】【詳解】思路分析：由題可得，故離心率此題考查雙曲線離心率的計(jì)算.點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，知道離心率的計(jì)算公式即可解答.3．已知數(shù)列滿足：，若為等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式為__________．【正確答案】/【分析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由求出和，即可寫出通項(xiàng)公式．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，所以，解得，所以，故．4．在中，已知，則此三角形最大內(nèi)角度數(shù)為______．【正確答案】【分析】利用正弦定理角化邊可得三邊比例關(guān)系，由大邊對(duì)大角知所求角為，利用余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】在中，利用正弦定理可得：，的最大內(nèi)角為，不妨設(shè)，，，則，，.故答案為.5．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)解，則實(shí)數(shù)__________．【正確答案】13【分析】由實(shí)系數(shù)方程復(fù)數(shù)根的性質(zhì)及根與系數(shù)的關(guān)系即可求得．【詳解】由題意，方程的另一個(gè)根為，則，故．6．如圖，在正四棱錐中，，則正四棱錐的體積為__________.

【正確答案】【分析】首先求四棱錐的高，再根據(jù)體積公式，即可求解.【詳解】作平面，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)為正方形的中心，連結(jié)，，，所以，

所以四棱錐的體積.故7．如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第10行中最大的數(shù)與第二大的數(shù)的數(shù)值之比為__________（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.【正確答案】【分析】第行從左至右依次為，由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得答案.【詳解】觀察知第行從左至右依次為，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得最大，其次為，所以第10行中最大的數(shù)與第二大的數(shù)的數(shù)值之比為.故答案為.8．函數(shù)的最大值為__________．【正確答案】/【分析】首先求得，設(shè)，，得出的單調(diào)區(qū)間，即可得出最大值．【詳解】，設(shè)，，令，得或，所以當(dāng)時(shí)，，即在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在上，單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以的最大值為，故?．某校高中三年級(jí)600名學(xué)生參加了區(qū)模擬統(tǒng)一考試，已知數(shù)學(xué)考試成績(jī)X服從正態(tài)分布（試卷滿分為150分）.統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次統(tǒng)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為__________.【正確答案】75【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可求得，即可求得答案.【詳解】由題意可知，且,則，故此次統(tǒng)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為，故7510．定義符號(hào)函數(shù)則方程的解集為__________.【正確答案】/【分析】由方程定義域，按照分段函數(shù)分類討論即可.【詳解】由方程定義域，當(dāng)時(shí)，原式等價(jià)于；當(dāng)時(shí)，原式等價(jià)于,故答案為.11．在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓,點(diǎn)在圓上,且則的取值范圍是_______.【正確答案】.【分析】本題可利用中點(diǎn)去研究,先通過坐標(biāo)關(guān)系,將轉(zhuǎn)化為,根據(jù)得到點(diǎn)的軌跡,由圖形的幾何特征,求出模的最值,得到本題答案.【詳解】設(shè),中點(diǎn).∵∴,∵圓,∴,圓心,半徑.∵點(diǎn)在圓上,,∴,即.點(diǎn)在以為圓心,半徑的圓上.∴,.∴,∴.故答案為:.本題考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程的思想,圓的平面幾何性質(zhì)，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.12．投票評(píng)選活動(dòng)中，經(jīng)常采用簡(jiǎn)單多數(shù)原則或積分原則.簡(jiǎn)單多數(shù)原則指?jìng)€(gè)評(píng)委對(duì)個(gè)候選人進(jìn)行一次表決，各自選出認(rèn)為最佳的人選，按每個(gè)候選人所得票數(shù)不同決定不同名次；積分原則指每個(gè)評(píng)委先對(duì)個(gè)候選人排定順序，第一名得分，第二名得分，依此類推，最后一名得1分，每個(gè)候選人最后的積分多少?zèng)Q定各自名次.下表是33個(gè)評(píng)委對(duì)A?B?C?D四名候選人作出的選擇，則按不同原則評(píng)選，名次不相同的候選人是__________.

選票數(shù)名次6753931stCACABD2ndACDDAA3rdBBBBDC4thDDACCB【正確答案】和.【分析】根據(jù)題意，分別按用簡(jiǎn)單多數(shù)原則或積分原則，求得的排名，再按不同的原則評(píng)選，即可求得名次不相同的候選人.【詳解】由題意，按簡(jiǎn)單多數(shù)原則排名，的得票數(shù)為，的得票數(shù)為，的得票數(shù)為，的得票數(shù)為，所以第一名為，第二名為，第三名為，第四名為，按積分原則排名，的得分為，的得分為，的得分為，的得分為，所以第一名為，第二名為，第三名為，第四名為，按不同的原則評(píng)選，名次不相同的候選人是，.故和.二、單選題13．“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)不等式求解答范圍，即可根據(jù)集合間的關(guān)系求解.【詳解】由可得，解得或，故是或的真子集，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A14．德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響.他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天賦，10歲時(shí)，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法.已知某數(shù)列通項(xiàng)，則（

）A．98 B．99 C．100 D．101【正確答案】C【分析】觀察要求解的式子，根據(jù)給的數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算是否為定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.【詳解】由已知，數(shù)列通項(xiàng)，所以，所以，所以.故選：C.15．已知平面所成角為為兩平面外一點(diǎn)，則過點(diǎn)且與平面所成角均為的直線有（

）條.A．1 B．2 C．3 D．4【正確答案】C【分析】作出兩平面所成二面角的平面角，先考慮二面角內(nèi)符合題意的直線，再考慮在二面角的鄰補(bǔ)的二面角內(nèi)符合題意的直線，綜合可得答案.【詳解】如圖，作出兩平面所成二面角的平面角，則，

設(shè)為的平分線，則，當(dāng)以O(shè)為中心，在二面角的角平分面上旋轉(zhuǎn)時(shí)，與兩平面的夾角變小，此時(shí)與平面所成角均為的直線僅這一條；設(shè)為的補(bǔ)角的角平分線，則，當(dāng)以O(shè)為中心，在二面角的鄰補(bǔ)的二面角的角平分面上旋轉(zhuǎn)時(shí)，與兩平面的夾角變小，此時(shí)在的兩側(cè)會(huì)各出現(xiàn)一條與兩平面成的直線，可設(shè)為，故過點(diǎn)P可作一條與平行的直線，符合題意；可作與平行的直線各一條，符合題意，故過點(diǎn)且與平面所成角均為的直線有3條，故選：C16．如果函數(shù)的圖像上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖像在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱具有性質(zhì).下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)具有性質(zhì)的含義，可得存在，使得，由此一一求得各選項(xiàng)中函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其是否滿足該性質(zhì)，即得答案.【詳解】由題意知具有性質(zhì)，即存在，使得；對(duì)于A，，存在，使得，A正確；對(duì)于B，定義域?yàn)椋?，故不存在，使得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故不存在，使得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故不存在，使得，D錯(cuò)誤；故選：A三、解答題17．某迷宮有三個(gè)通道,進(jìn)入迷宮的每個(gè)人都要經(jīng)過一扇智能門.首次到達(dá)此門,系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)(即等可能)為你打開一個(gè)通道.若是1號(hào)通道,則需要1小時(shí)走出迷宮;若是2號(hào)、3號(hào)通道,則分別需要2小時(shí)、3小時(shí)返回智能門,再次到達(dá)智能門時(shí),系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)打開一個(gè)你未到過的通道,直至走出迷宮為止.令ξ表示走出迷宮所需的時(shí)間.(1)求ξ的分布列;(2)求ξ的數(shù)學(xué)期望.【正確答案】(1)分布列見解析.（2）E(ξ)=(小時(shí)).【詳解】解：（1）的所有可能取值為：1，3，4，6，，，，所以的分布列為：1346P（2）（小時(shí)）18．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，.

(1)證明：平面；(2)求二面角的大小.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)圓的半徑為1,求出各線段的長(zhǎng)度,利用勾股定理即可得到,,進(jìn)而得證;（2）建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面PBC及平面PCE的法向量,利用向量的夾角公式即可得解.【詳解】（1）由題設(shè)知為等邊三角形，設(shè)圓錐底面半徑為1，則，所以，又為等邊三角形，則，即為等腰直角三角形，故同理，又，平面，平面,所以平面；（2）過O作交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，可求得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為故，二面角為銳角，故其大小為.19．某公司按銷售額給銷售員提成作獎(jiǎng)金，每月的基本銷售額為20萬元，超額中的第一個(gè)5萬元（含5萬元以下），按超額部分的提成作獎(jiǎng)金；超額中的第二個(gè)5萬元，按超額部分的提成作獎(jiǎng)金；……后每增加5萬元，其提成比例也增加一個(gè)．如銷售員某月銷售額為27萬元，則按照合約，他可得獎(jiǎng)金為元．試求：(1)銷售員某月獲得獎(jiǎng)金7200元，則他該月的銷售額為多少？(2)若某銷售員、月份的總銷售額為60萬元，且兩月都完成基本銷售額，那么他這兩個(gè)月的總獎(jiǎng)金的最大、最小值分別是多少？【正確答案】(1)3.65萬元(2)最高1萬元，最低0.6萬元【分析】（1）由題分析出銷售員該月的銷售超額部分在15萬元到20萬元之間，設(shè)超額部分比15萬多元，列出方程，求解即可；（2）設(shè)兩個(gè)月的總獎(jiǎng)金為，某銷售員月份的銷售額為萬元，則銷售員月份的銷售額為萬元，分類討論的范圍，得出關(guān)于的分段函數(shù)，畫出圖像即可得解．【詳解】（1）超額第一個(gè)5萬元可得獎(jiǎng)金1000元，超額第二個(gè)5萬元可得獎(jiǎng)金2000元，超額第三個(gè)5元可得獎(jiǎng)金3000元，超額第四個(gè)5萬元可得獎(jiǎng)金4000元，所以當(dāng)銷售員的銷售額超額部分為15萬元時(shí)，可得獎(jiǎng)金3000元，當(dāng)銷售員的銷售額超額部分為20萬元時(shí)，可得獎(jiǎng)金7000元，因?yàn)殇N售員某月獲得獎(jiǎng)金7200元，所以銷售員該月的銷售超額部分在15萬元到20萬元之間，設(shè)超額部分比15萬多元，提成比例為，則，可得，故他該月的銷售額為萬元．（2）設(shè)兩個(gè)月的總獎(jiǎng)金為，某銷售員月份的銷售額為萬元，則銷售員月份的銷售額為萬元，則，①當(dāng)時(shí)，則，，②當(dāng)時(shí)，則，，③當(dāng)時(shí)，則，④當(dāng)時(shí)，則，綜上所述，，作出圖像，

由圖可知，當(dāng)，即7月份銷售額為30萬元，獎(jiǎng)金最低為0.6萬元；當(dāng)或時(shí)，即7月份銷售額為20或40萬元，獎(jiǎng)金最高為1萬元．20．已知雙曲線，點(diǎn)為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn).(1)求以為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；(3)點(diǎn)在什么位置時(shí)，取得最大？求出最大值及點(diǎn)的坐標(biāo).【正確答案】(1)(2)和(3)或，最大為.【分析】（1）設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意求得，即可求得答案；（2）討論l斜率不存在情況是否符合題意，斜率存在時(shí)，設(shè)出直線l的方程，并聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合判別式即可求得答案.（3）利用雙曲線對(duì)稱性，先設(shè)點(diǎn)在第一象限，坐標(biāo)為，利用到角公式求得，結(jié)合基本不等式求得最大值，可得答案.【詳解】（1）由題意可設(shè)橢圓方程為，則，又因?yàn)闉闄E圓焦點(diǎn)，故，故橢圓方程為.（2）由于直線經(jīng)過點(diǎn)，直線斜率不存在時(shí)與雙曲線無公共點(diǎn)；可設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立整理后得當(dāng)，得，當(dāng)時(shí)，直線為雙曲線的一條漸近線，不符題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線為，與雙曲線的另一條漸近線平行，與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，即解得，（舍去），此時(shí)l方程為為；綜上，滿足要求的直線有兩條，分別為和.（3）根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，，則，

于是，為銳角，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，此時(shí)，此時(shí)，則，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，當(dāng)或時(shí)，取得最大為.方法點(diǎn)睛：求解直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立方程后要注意討論，將直線與雙曲線漸近線進(jìn)行比較，從而取舍；求解角的最大值時(shí)，要注意結(jié)合直線的斜率，利用到角公式并結(jié)合基本不等式求解.21．已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的最小值；(2)過點(diǎn)的直線與交于A?B兩點(diǎn)，求證：為定值；(3)求證：有且只有兩條直線與函數(shù)的圖像都相切．【正確答案】(1)2(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由求出其單調(diào)區(qū)間，即可得出最小值；（2）由題可知，直線的斜率存在，設(shè)，，，直線方程與聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系得出和，代入，化簡(jiǎn)即可證明；（3）設(shè)直線與函數(shù)的圖像都相切，設(shè)直線與函數(shù)相切于點(diǎn)，得出，再由直線與函數(shù)相切，則，則，兩式聯(lián)立，得，設(shè)，，由得出的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合，，，即可證明．【詳解】（1），定義域?yàn)?，則