2023~2024學(xué)年北京房山區(qū)高考數(shù)學(xué)試題三模帶解析

2023-2024學(xué)年北京市房山區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試題（三模）一、單選題1．已知集合，．若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C．且 D．且【正確答案】D【分析】根據(jù)并集結(jié)果可知，進(jìn)而可構(gòu)造不等式，解不等式求得結(jié)果.【詳解】解：，

，且，，，解得：且的取值范圍為且故選：D2．如果復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)的值為.A．－2 B．1 C．2 D．1或－2【正確答案】A【詳解】試題分析：由題意得復(fù)數(shù)相關(guān)概念3．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合，利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，當(dāng)時，，，，，則，當(dāng)時，有，，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4．若抽氣機(jī)每次可抽出容器內(nèi)空氣的60%，要使容器內(nèi)的空氣少于原來的0.1%，則至少要抽（）（參考數(shù)據(jù)：）A．6次 B．7次 C．8次 D．9次【正確答案】C【分析】由題意可得抽取次后容器內(nèi)的空氣為，然后解出不等式即可.【詳解】由題意可得抽取次后容器內(nèi)的空氣為由可得所以要使容器內(nèi)的空氣少于原來的0.1%，至少要抽8次故選：C5．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【正確答案】D【分析】根據(jù)空間中線面、面面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】由是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，若，則與可能相交、平行或，A錯；若，則或，B錯；若，則或相交，C錯；若，則確定一個平面，設(shè)為，又，所以，則由面面平行的判定定理得，D正確.故選：D6．某物體做直線運(yùn)動，位移y(單位：m)與時間t(單位：s)滿足關(guān)系式，那么該物體在s時的瞬時速度是（

）A．2m/s B．4m/s C．7m/s D．12m/s【正確答案】D對求導(dǎo)，將代入導(dǎo)函數(shù)，可求出答案.【詳解】對求導(dǎo)，得，當(dāng)時，（m/s），所以物體在s時的瞬時速度是12m/s.故選：D.本題考查瞬時速度，考查導(dǎo)數(shù)與瞬時變化率之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．直線x＋a2y＋6＝0和(a－2)x＋3ay＋2a＝0無公共點(diǎn)，則a的值為()A．3或－1 B．0或3 C．0或－1 D．－1或0或3【正確答案】C兩直線無公共點(diǎn)，即兩直線平行,先按照和分兩種情況討論，再按照和分兩種情況討論，即可得到答案.【詳解】兩直線無公共點(diǎn)，即兩直線平行．當(dāng)a＝0時，這兩條直線分別為x＋6＝0和x＝0，無公共點(diǎn)；當(dāng)a≠0時，由－＝－，解得a＝3或a＝－1.若a＝3，這兩條直線分別為x＋9y＋6＝0，x＋9y＋6＝0，兩直線重合，有無數(shù)個公共點(diǎn)，不符合題意，舍去；若a＝－1，這兩條直線分別為x＋y＋6＝0和3x＋3y＋2＝0，兩直線平行，無公共點(diǎn)．綜上，a＝0或a＝－1.故選：C本題考查了分類討論思想，考查了兩條直線平行的條件，屬于基礎(chǔ)題.8．已知點(diǎn).若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，記的面積為，則使得的點(diǎn)的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【正確答案】B【分析】先求出直線AB的方程，然后利用點(diǎn)到直線距離求出，解方程即可判斷點(diǎn)的個數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以直線AB：即，則點(diǎn)到直線AB：的距離為，又，所以，則，由題意，所以，即，所以或，即或，解得或或，故使得的點(diǎn)有3個.故選：B9．某學(xué)校高三年級有兩個文科班，四個理科班，現(xiàn)每個班指定1人，對各班的衛(wèi)生進(jìn)行檢查.若每班只安排一人檢查，且文科班學(xué)生不檢查文科班，理科班學(xué)生不檢查自己所在的班，則不同安排方法的種數(shù)是A．48 B．72 C．84 D．168【正確答案】D分兩步，第一步選2名理科班的學(xué)生檢查文科班，第二步，理科班檢查的方法，需要分三類，根據(jù)分布和分類計數(shù)原理可得.【詳解】第一步：選2名理科班的學(xué)生檢查文科班，有種第二步：分三類①2名文科班的學(xué)生檢查剩下的2名理科生所在的班級，2名理科生檢查另2名理科生所在的班級，有種②2名文科班的學(xué)生檢查去文科班檢查的2名理科生所在班級，剩下的2名理科生互查所在的班級，有種③2名文科生一人去檢查去文科班檢查的2名理科生所在的班級的一個和一人去檢查剩下的2名理科生其中一個所在的班級，有種根據(jù)分步分類技術(shù)原理可得，共有不同的安排方法故選：D本題考查的是分步分類計數(shù)原理及排列組合的知識，怎么將一個復(fù)雜的事情進(jìn)行合理的分步分類去完成是解題的關(guān)鍵.10．函數(shù)，則（

）A．若，則為奇函數(shù) B．若，則為偶函數(shù)C．若，則為偶函數(shù) D．若，則為奇函數(shù)【正確答案】B【分析】根據(jù)選項(xiàng)中的關(guān)系，代入的解析式，對AD用特值說明不是奇函數(shù)，對BC用奇偶性的定義驗(yàn)證即可.【詳解】的定義域?yàn)?，對A：若，，若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；對B：若，，，故為偶函數(shù)，B正確；對C：若，，，故不是偶函數(shù)，故C錯誤；對D：若，，若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；故選：B二、填空題11．函數(shù)的圖像沿向量平移后得到函數(shù)的圖像，則在上的最大值為__________.【正確答案】0【分析】先根據(jù)向量平移得出函數(shù)解析式，再求余弦函數(shù)的最值即可.【詳解】函數(shù)的圖像沿向量平移后得到函數(shù)的圖像,則函數(shù)的圖像沿向量平移后得到,,,,當(dāng).故答案為:0.12．若，則__________(用數(shù)字作答)．【正確答案】-80【詳解】分析：由題意可得，是展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)，即為的系數(shù)，由此求得結(jié)果.解析：，則.故-80.點(diǎn)睛：解題時注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件．使用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式時要注意：①通項(xiàng)公式表示的是第r＋1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；②通項(xiàng)公式中a和b的位置不能顛倒．13．已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，則的周長是__________．【正確答案】34【分析】由雙曲線定義可得，再利用之間的關(guān)系求得，從而得到所求周長.【詳解】因?yàn)?，所以，故，則，又，故，則，，所以的周長為.故34.三、雙空題14．已知菱形的邊長為，，（）．當(dāng)時，________；當(dāng)取得最小值時，________．【正確答案】【分析】當(dāng)時，，根據(jù)向量的三角形法則和數(shù)量積的運(yùn)算法則計算可得的值；而，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出當(dāng)取得最小值時的值.【詳解】當(dāng)時，，；，所以所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為.故；.關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于第二空，可由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則得出，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.四、填空題15．已知平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集，給出下列四個結(jié)論：（1）當(dāng)直線為時，與沒有公共點(diǎn)；（2）存在直線與有且只有一個公共點(diǎn)；（3）存在直線經(jīng)過中的無窮個點(diǎn)；（4）存在直線與沒有公共點(diǎn)，且中存在兩點(diǎn)在的兩側(cè)．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．【正確答案】（2）（4）【分析】令，由直線與圓的位置關(guān)系的判定可判斷（1）；分別找兩條直線，可判斷（2）、（4）；用極限思想判斷（3）.【詳解】令，點(diǎn)集即為圓，圓心為，半徑為2，直線的方程即為，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，故（1）錯誤；取直線：，時，點(diǎn)集為，顯然直線與無交點(diǎn)；當(dāng)時，點(diǎn)集表示以為圓心，為半徑的圓，則圓心到直線的距離，當(dāng)時，，則，又，因?yàn)椋?，所以?dāng)時有；當(dāng)時，即時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號，綜上有，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號，即當(dāng)時，直線與圓相切，有一個公共點(diǎn)，當(dāng)時，直線與圓相離，沒有公共點(diǎn)，故（2）正確；設(shè)直線的方程為，則圓心到直線的距離為，當(dāng)時，，所以直線只能與有限個圓相交，故（3）錯誤；取直線：，則對于任意的，有，故此時圓均在直線的下方；對于任意的，有，故此時圓均在直線的上方；而時，點(diǎn)集表示原點(diǎn)，在直線的下方，綜上，點(diǎn)集中所有的點(diǎn)均不在直線上，且存在點(diǎn)在直線的兩側(cè)，故（4）正確.故（2）（4）五、解答題16．在△ABC中，．(1)求B的值；(2)給出以下三個條件：①；②，；③，若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：（i）求的值；（ii）求∠ABC的角平分線BD的長．【正確答案】(1)(2)正確條件為①③，（i），（ii）【分析】（1）利用和角正弦公式可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)即可求B的值；（2）根據(jù)條件組合判斷出正確條件為①③，（i）應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式求各邊長，最后由正弦定理求；（ii）由角平分線性質(zhì)求得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式求出，再根據(jù)正弦定理求BD的長．【詳解】（1）由題設(shè)，而，所以，故；（2）若①②正確，則，得或，所以①②有一個錯誤條件，則③是正確條件，若②③正確，則，可得，即②為錯誤條件，綜上，正確條件為①③，（i）由，則，即，又，可得，所以，可得，則，故；（ii）因?yàn)榍遥?，由平分得，在中，，在中，由，得?7．某超市銷售種不同品牌的牙膏，它們的包裝規(guī)格均相同，銷售價格（元/管）和市場份額（指該品牌牙膏的銷售量在超市同類產(chǎn)品中所占比重）如下：牙膏品牌銷售價格市場份額（1）從這種不同品牌的牙膏中隨機(jī)抽取管，估計其銷售價格低于元的概率；（2）依市場份額進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取管牙膏進(jìn)行質(zhì)檢，其中和共抽取了管．①求的值；②從這管牙膏中隨機(jī)抽取管進(jìn)行氟含量檢測．記為抽到品牌的牙膏數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（3）品牌的牙膏下月進(jìn)入該超市銷售，定價元/管，并占有一定市場份額．原有個品牌的牙膏銷售價格不變，所占市場份額之比不變．設(shè)本月牙膏的平均銷售價為每管元，下月牙膏的平均銷售價為每管元，比較的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）【正確答案】（1）；（2）①；②分布列見解析；期望為；（3）．【分析】（1）求出銷售價格低于元的頻率，用頻率來衡量概率；（2）①利用分層抽樣的定義求解即可，②隨機(jī)變量的可能取值為，然后求出各自對應(yīng)的概率，即可列出分布列，求出期望；（3）求出平均值比較即可【詳解】解：（1）記“從該超市銷售的牙膏中隨機(jī)抽取管，其銷售價格低于元”為事件．由題設(shè)，．（2）①由題設(shè)，品牌的牙膏抽取了管，品牌的牙膏抽取了管，所以．（ⅱ）隨機(jī)變量的可能取值為．；；．所以的分布列為：的數(shù)學(xué)期望為．（3）．（理由：，設(shè)品牌的市場占有額為，市場占有額分別為，則）18．如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，．

(1)求證：；(2)若．（ⅰ）求直線與直線所成角的余弦值；（ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離；（ⅲ）設(shè)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），證明：直線與平交.【正確答案】(1)證明見解析(2)（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）證明見解析【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)法計算即可.【詳解】（1）因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．?）（ⅰ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則所以，設(shè)直線與直線所成角為，則（ⅱ）設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，于是．所以點(diǎn)到平面的距離（ⅲ）設(shè)是線段上一點(diǎn)，設(shè)．則因?yàn)椋灾本€與平交.19．已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求證：存在唯一的，使得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為；（Ⅲ）比較與的大小，并加以證明．【正確答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【詳解】試題分析：（1）求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出,可得的值，從而得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）由已知，只需證明方程在區(qū)間有唯一解，先利用導(dǎo)數(shù)證明在區(qū)間單調(diào)遞增，再利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)論；（3）當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得，即，令即可的結(jié)果.試題解析：（1）函數(shù)的定義域是，導(dǎo)函數(shù)為．

所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

（2）由已知．

所以只需證明方程在區(qū)間有唯一解．即方程在區(qū)間有唯一解．

設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時，，故在區(qū)間單調(diào)遞增．

又，，所以存在唯一的，使得．

綜上，存在唯一的，使得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．（3）．證明如下：首先證明：當(dāng)時，．設(shè)，則．當(dāng)時，，所以，故在單調(diào)遞增，

所以時，有，即當(dāng)時，有．所以．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.20．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為，離心率為，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，直線分別與直線交于點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：以為直徑的圓恒過定點(diǎn)．【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓方程定義和離心率，解得；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組得表示出直線，的方程進(jìn)而可得，，然后利用向量關(guān)系結(jié)合條件即得.【詳解】（1）由題可得，解得：，所以；（2）由題可知，

聯(lián)立得，，∴．設(shè)，則，所以，直線的方程為：