福建省泉州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期8月開學(xué)考試含解析

Page27保密★使用前泉州市2025屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）高三數(shù)學(xué)本試卷共19題，滿分150分，共8頁(yè).考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效.在草稿紙?試題卷上答題無(wú)效.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用05毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整?筆跡清楚.4.保持答題卡卡面清潔，不折疊?不破損.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A.B.C.D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1B.-1C.D.163.已知向量滿足與的夾角為，則與的夾角為（）A.B.C.D.4.若，則（）A.B.C.D.5.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.6.已知正四棱臺(tái)的頂點(diǎn)都在同一球面上，其上?下底面邊長(zhǎng)分別為，高為3，則該球的表面積為（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)滿足，若，則（）A.25B.125C.625D.156258.已知函數(shù)，則（）A.是的一個(gè)周期B.是圖象的一條對(duì)稱軸C.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某校在開展“弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，深植文化自信之根”主題教育的系列活動(dòng)中，舉辦了“誦讀國(guó)學(xué)經(jīng)典，傳承中華文明”知識(shí)競(jìng)賽.賽前為了解學(xué)生的備賽情況，組織對(duì)高一年和高二年學(xué)生的抽樣測(cè)試，測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)處理后，得到如下頻率分布直方圖，則下面說法正確的是（）A.高一年抽測(cè)成績(jī)的眾數(shù)為75B.高二年抽測(cè)成績(jī)低于60分的比率為C.估計(jì)高一年學(xué)生成績(jī)的平均分低于高二年學(xué)生成績(jī)的平均分D.估計(jì)高一年學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)低于高二年學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)10.已知函數(shù)，則（）A.的值域?yàn)锽.圖象的對(duì)稱中心為C.當(dāng)時(shí)，無(wú)極值D.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知是動(dòng)點(diǎn).下列命題正確的是（）A.若，則的軌跡的長(zhǎng)度等于2B.若，則的軌跡方程為C.若，則的軌跡與圓沒有交點(diǎn)D.若，則的最大值為3三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若曲線在處的切線與直線垂直，則__________.13.過雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別作實(shí)軸的垂線，交于四個(gè)點(diǎn)，若這四個(gè)點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，則的離心率為__________.14.如圖，有一個(gè)質(zhì)地均勻的正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8.將該八面體連續(xù)拋擲三次，按順序記錄它與地面接觸的面上的數(shù)字，則這三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（13分）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求；（2）若的角平分線與交于點(diǎn)，求.16.（15分）如圖，在圓柱中，分別為圓柱的母線和下底面的直徑，為底面圓周上一點(diǎn).（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若，圓柱的體積為，求二面角的正弦值.17.（15分）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求的方程；（2）過且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，記的面積為的面積為，求的取值范圍.18.（17分）已知曲線.（1）證明：；（2）若曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線為，則稱為與的一條對(duì)稱軸.請(qǐng)寫出與的一條對(duì)稱軸，并探究是否存在其它的對(duì)稱軸；（3）已知是上的兩點(diǎn)，是上的兩點(diǎn)，若四邊形為正方形，其周長(zhǎng)為，證明：.（參考數(shù)據(jù)：）19.（17分）已知正整數(shù)滿足，正整數(shù)滿足，.對(duì)于確定的正整數(shù)，記的最小值為.例如：當(dāng)時(shí)，或或.（1）當(dāng)時(shí)，寫出的所有值及的值；（2）探究的值；（3）證明：.泉州市2025屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）高三數(shù)學(xué)2024.08本試卷共19題，滿分150分，共8頁(yè).考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效.在草稿紙?試題卷上答題無(wú)效.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用05毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整?筆跡清楚.4.保持答題卡卡面清潔，不折疊?不破損.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【命題意圖】本小題主要考查集合的運(yùn)算?不等式等知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力等；考查函數(shù)與方程思想?化歸與轉(zhuǎn)化思想等；體現(xiàn)基礎(chǔ)性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】解法一：（排除法）因符合題意，排除D；因?yàn)榉项}意，排除；故選C.解法二：因?yàn)椋?，故選C.2.【命題意圖】本小題主要考查復(fù)數(shù)的概念?四則運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力?推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想?函數(shù)與方程思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性，導(dǎo)向?qū)?shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】解法一：設(shè)，則，解得，所以，所以，故選A.解法二：因?yàn)?，所以，故選A.解法三：方程兩邊同時(shí)平方，有，所以，故選A.3.【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解等能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等思想，體現(xiàn)基礎(chǔ)性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】解法一：設(shè)，由題得，所以，，所以，所以，又，所以，故選D.解法二：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，所以，所以，又，所以，故選D.解法三：運(yùn)用向量運(yùn)算的幾何表示，構(gòu)造平面圖形，觀察圖形可快速得解.4.【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)的定義?三角恒等變換等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等，考查函數(shù)與方程思想?特殊與一般思想等，體現(xiàn)基礎(chǔ)性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀想象?數(shù)學(xué)運(yùn)算?邏輯推理等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】解法一：（特殊法）由題知滿足條件，所以.故選C.解法二：由題得，所以，所以，所以.故選C.解法三：由題得，所以，即，所以，即.故選C.解法四：由題得，所以，所以，即，所以，所以.故選C.解法五：觀察，知同正，為第一象限角，其正切值為正，排除A，B.若，可取，則，不符合已知條件，排除D，故應(yīng)選C.5.【命題意圖】本小題主要考查分段函數(shù)?基本初等函數(shù)?函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力?抽象概括能力等，考查函數(shù)與方程思想?轉(zhuǎn)化和化歸的思想等，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算?邏輯推理?數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】由指數(shù)函數(shù)的底數(shù)要求只討論且，由題意得為單調(diào)遞增，故，又時(shí)，為單調(diào)遞增，故，再由，即得，綜上，，故選B.6.【命題意圖】本小題主要考查多面體?球的表面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力?運(yùn)算求解能力等，考查數(shù)形結(jié)合?轉(zhuǎn)化和化歸的思想等，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀想象?數(shù)學(xué)運(yùn)算?邏輯推理等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】解法一：正四棱臺(tái)的對(duì)角面的外接圓為其外接球球的大圓（如下圖），對(duì)角面為等腰梯形，其上下底邊長(zhǎng)分別為2，4，高為3，由正四棱臺(tái)的對(duì)稱性可知，球的球心在梯形上下底的中點(diǎn)連線所在直線上，設(shè)，則，設(shè)球半徑為，再由，可得，解得，所以所求的球的表面積為解法二：下底的外接圓不大于球的大圓，故球半徑（下底對(duì)角線長(zhǎng)的一半），表面積排除D；對(duì)角面等腰梯形的對(duì)角線長(zhǎng)，故球半徑，表面積，排除C；若，則.易求球心到的距離為，球心到的距離為，無(wú)法滿足，或，故A不正確.故選B.7.【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)?遞推數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)；考查推理論證?運(yùn)算求解等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化?特殊與一般的函數(shù)思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性，綜合性，導(dǎo)向?qū)壿嬐评?數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】解法一：由題意取，可得即知?jiǎng)t.故選C.解法二：令，則，所以，即，所以，則.故選C.解法三：由可構(gòu)造滿足條件的函數(shù)，可以快速得到.故選C.8.【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)?三角恒等變換等知識(shí)；考查推理論證能力?運(yùn)算求解能力等，考查特殊與一般思想?函數(shù)與方程思想?化歸與轉(zhuǎn)化思想等；體現(xiàn)基礎(chǔ)性?綜合性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀想象?邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算?數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】解法一：（排除法）因?yàn)?，，所以，故A錯(cuò)誤；同理，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，故D錯(cuò)誤.故選B.解法二：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，此時(shí)；同理當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；故選B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.【命題意圖】本小題主要考查頻率分步直方圖?樣本的數(shù)字特征等基礎(chǔ)知識(shí)；考查數(shù)據(jù)分析與處理?運(yùn)算求解等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化?或然與必然等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算?數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】選項(xiàng)A：高一年學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)為區(qū)間的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，故A正確.選項(xiàng)B：高二年學(xué)生成績(jī)得分在區(qū)間的學(xué)生人數(shù)頻率為，所以低于60分的比率為，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：高一年學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)約為分；高二年學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)約為分.因?yàn)椋蔆正確.選項(xiàng)D：高一年學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)位于[，高二年學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)位于，故D正確.故選ACD.10.【命題意圖】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?函數(shù)的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查推理論證?運(yùn)算求解等能力；考查數(shù)形結(jié)合?化歸與轉(zhuǎn)化等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀想象?邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】A選項(xiàng)：當(dāng)至少一個(gè)不為0，則函數(shù)為三次函數(shù)或者一次函數(shù)，值域均為；當(dāng)均為0時(shí)，值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤.B選項(xiàng)：函數(shù)滿足，可知為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于中心對(duì)稱，所以的圖象為的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位后得到的，即關(guān)于中心對(duì)稱，【或者用驗(yàn)證】，故B正確.C選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，恒大于0或者恒小于0，所以函數(shù)在上單調(diào)，無(wú)極值.故C正確.D選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，取，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上不單調(diào).D選項(xiàng)錯(cuò)誤；另一方面，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.故D錯(cuò)誤.故選BC.11.【命題意圖】本小題主要考查曲線與方程?向量數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解?推理論證等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化?數(shù)形結(jié)合?函數(shù)與方程等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性?綜合性與創(chuàng)新性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算?直觀想象?邏輯推理?數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】選項(xiàng)A：因?yàn)椋缘能壽E為線段，從而的軌跡的長(zhǎng)度等于2，故A正確.選項(xiàng)B：因?yàn)椋呻p曲線的定義知，的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，而結(jié)論的方程中未限制范圍，故B錯(cuò)誤.（由，得的軌跡方程為）.選項(xiàng)C：解法一：由，得，化簡(jiǎn)得，，聯(lián)立得，這與矛盾，所以方程組無(wú)解，故的軌跡與圓沒有交點(diǎn)，故C正確.解法二：若有交點(diǎn)，則，又，矛盾，所以的軌跡與圓沒有交點(diǎn)，故C正確.選項(xiàng)D：解法一：由得，，化簡(jiǎn)得，所以的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.等于在軸上的投影的長(zhǎng)度，由圖知其最大值為3，故D正確.解法二：同法一得的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.，由圓的方程知可取到最大值3，故D正確.解法三：由得，，當(dāng)在的反向延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào).①；②當(dāng)在的反向延長(zhǎng)線上，且時(shí)，滿足條件，此時(shí).所以的最大值為3，故D正確.故選ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【命題意圖】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義?直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解?推理論證等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化?數(shù)形結(jié)合?函數(shù)與方程等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)?shù)學(xué)運(yùn)算?邏輯推理等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】由題意得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，故在處切線的斜率為，直線的斜率存在為，根據(jù)題意得，，解得.故答案為-2.13.【命題意圖】本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解?推理論證等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化?數(shù)形結(jié)合?函數(shù)與方程等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性，導(dǎo)向?qū)?shù)學(xué)運(yùn)算?直觀想象?邏輯推理等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】解法一：不妨設(shè)雙曲線，令，可得，所以.依題意可得，，所以，又，所以，解得：，又因?yàn)?，所?故答案為.解法二：如圖，連結(jié)，在中，所以離心率.故答案為.解法三：，依題意知在曲線上，故，整理得（取正），所以，故答案為.14.【命題意圖】本小題主要考查古典概型?計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí)；考查推理論證?運(yùn)算求解等能力；考查分類與整合?或然與必然等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)據(jù)分析?邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算?數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】由題意可知所有可能情況共有種，按順序記錄的三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列，可以按照公差為分類，其中公差為和的做法數(shù)對(duì)應(yīng)相等.公差為0的有共8種做法；公差為1的有共6種做法，同公差為-1的；公差為2的有共4種做法，同公差為-2的；公差為3的有共2種做法，同公差為-3的；所以三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率.故答案為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（13分）【命題意圖】本小題主要考查正弦定理?余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力?運(yùn)算求解能力等，考查函數(shù)與方程思想?數(shù)形結(jié)合思想等，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀想象?邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】（1）依題意，由正弦定理可得所以，又所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所?（2）解法一：如圖，由題意得，，所以，又，所以，所以，即，所以.解法二：如圖，中，因?yàn)?，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以，所?16.（15分）【命題意圖】本小題主要考查旋轉(zhuǎn)體的體積?直線與平面的位置關(guān)系?求二面角等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象?推理論證?運(yùn)算求解等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀想象?邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】（1）解法一：如下圖，取中點(diǎn)，連結(jié)，分別為的中點(diǎn)，，又圓柱上下底面平行，且與平面交于和，，且，又且，四邊形為平行四邊形，，又平面平面平面.解法二：連結(jié)，圓柱的母線與旋轉(zhuǎn)軸平行，又平面平面，平面，分別為的中點(diǎn)，，又平面平面，平面，又平面，平面平面，又平面，平面.（2）為底面直徑，，又圓柱的體積為，得到.解法一：過作平面，則，又，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，，得到，，取，可得，又，得到，取，可得，設(shè)二面角的大小為，則則即二面角的正弦值為.解法二：如下圖，連結(jié)，過作，垂足，取中點(diǎn)，連結(jié)，過作，垂足，平面交直線于點(diǎn)，連結(jié)，分別為的中點(diǎn)，，又，，平面，，又，平面，平面，又平面，同理可證平面，，，又，平面，即平面，，為二面角的平面角，在中，，在中，，在中，，在平面四邊形中，如下圖，，，則，.即二面角的正弦值為.17.（15分）【命題意圖】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解?推理論證等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化?數(shù)形結(jié)合?函數(shù)與方程等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性，導(dǎo)向?qū)?shù)學(xué)運(yùn)算?直觀想象?邏輯推理等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，解得，所以，所以橢圓的方程為.【若方程求錯(cuò)，能體現(xiàn)各得1分】（1）解法一：由（1）得，依題意設(shè)，由消去，得，設(shè)，則設(shè)，則，，由得，，即因?yàn)?，所以，所以所以，令且，則，解得，且，所以，所以的取值范圍為.解法二：由（1）得，依題意設(shè)，由消去，得，設(shè)，則，所以，設(shè)，則，，令且，則代入可得，消去得：，因?yàn)椋?，所以，解得，且，所以，所以的取值范圍?18.（17分）【命題意圖】本題主要考查基本初等函數(shù)?函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性?導(dǎo)數(shù)的幾何意義?導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解?推理論證等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化?數(shù)形結(jié)合?函數(shù)與方程等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性?綜合性與應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)?shù)學(xué)運(yùn)算?直觀想象?邏輯推理等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題解析】解法一：（1）要證原命題，只需證，設(shè)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，顯然在單調(diào)遞增，且，故存在唯一的滿足，即，從而可得在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增；所以在處取到最小值，其中即，所以故本題得證.（2）與的一條對(duì)稱軸為直線，且是與的唯一對(duì)稱軸，證明如下：由（1）分析得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即曲線與直線相切于點(diǎn)，且曲線在直線的上方（除點(diǎn)）；同理曲線與直線相切于點(diǎn)，且曲線在直線的下方（除點(diǎn)）；而平行線的距離為，故曲線上的任意點(diǎn)與上任意點(diǎn)的距離不小于，注意到兩點(diǎn)距離恰為，故可得結(jié)論①：曲線上的任意點(diǎn)與上任意點(diǎn)的距離最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)這兩點(diǎn)分別為時(shí)取到.反證法：假設(shè)與存在除以外的其它對(duì)稱軸，那么關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，注意到兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，故在上且異于點(diǎn)，同理關(guān)于的