2024年高考數(shù)學(xué)(理科)模擬試卷(五)

2024年高考數(shù)學(xué)（理科）模擬試卷（五）

（本試卷分第|卷和第II卷兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）

第I卷（選擇題滿分60分）

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）

I.[2024.山東重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]定義集合4-8={.中￡4且依8},若集合M={1,2,345},

集合N=3x=2A-l,k￡Z）,則集合的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.多數(shù)個(gè)

2.[2024.河南平頂山檢測(cè)]設(shè)復(fù)數(shù)4Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，且引=2—>

則Zl-Z2=（）

A.-4+3iB.4+3iC.-3-4iD.-3+4i

3.[2024.湖北七校聯(lián)考]已知命題“已知a,b,c為實(shí)數(shù),若a加=0,貝!Ia,b,c中至少

有一個(gè)等于0"，在該命題的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

4.[2024?沈陽(yáng)模擬舊知昨（一方§且sin8+cose=a,其中a￡（0.1）,則lanO的可能取

值是（）

A.—3B.3或gC.—1D.一3或一T

5.[2024?吉大附中一模|“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徼在探討球的體積的過(guò)程中構(gòu)

造的一個(gè)和諧美麗的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲而構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲而在同一個(gè)圓柱

的側(cè)面上，好像兩個(gè)扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）.其直觀圖如圖所示，圖中四邊形是為

體現(xiàn)其直觀性所作的協(xié)助線.當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是（）

xW3,

6.[2024?重慶測(cè)試]設(shè)滿意約束條件卜+），力0，

若z=ax+y的最大值為3。+9,

工一丫+620,

最小值為3a—3,則〃的取值范圍是（)

A.（-8,—1]B.[1,+8)

C.[-1J]D.(一8,-1]U[|,+8)

7.[2024?洛陽(yáng)第一次聯(lián)考]已知(2x—l)5=ao+〃ix+32+田則2a2+3s+

444+5出=()

A.10B.5C.1D.0

8.[2024.四川聯(lián)考]已知P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，M、N分別是A3、PC的中點(diǎn),

若MN=BC=4,出=4小，則異而直線出與MN所成角的大小是()

A.30°B.45°C.60。D.90°

9.[2024?蘭州診斷]若將函數(shù)_/(x)=sin(2A?十仍十5cos(2t十砌0(夕6)的圖象向左平移彳個(gè)

單位長(zhǎng)度，平移后的圖象關(guān)于點(diǎn)9())對(duì)稱，則函數(shù)g(x)=cos(x+0)在[甘，目上的最小值

是()

A.一；B.—乎C.乎D.；

10.[2024.桂林聯(lián)考]己知拋物線.r=4.v的準(zhǔn)線與.V軸相交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P且斜率為k(k>0)

的直線/與拋物線交于A,B兩點(diǎn),尸為拋物線的焦點(diǎn)，若|“用=2|凡|,則48的長(zhǎng)度為()

3近

-2CD

A.2B.2

11.[2024?南昌調(diào)研]18世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家蒲豐(George-LouisLeclercdeBuffon)做/一個(gè)

聞名的求圓周率的試驗(yàn)，如圖，在泉面內(nèi)勻稱畫出相距為〃的一簇平行直線，細(xì)針長(zhǎng)度為

(，或?，隨機(jī)向桌面拋擲針的次數(shù)是小其中針與平行線相交的次數(shù)是，n，則圓周率H的估

計(jì)值為()

A?總B鎧2:na

。nlD.

.r2-l-(4^—3)r+3<7?r<0,

12"2024?天津高考]已知函數(shù)/U)=],一、一、八(a>0,且aWl)在R上單

調(diào)遞減，旦關(guān)于x的方程l/(x)|=2—x恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則。的取值范圍是()

A((0八,321B」.2a31

ri2~\DU

c.5引u榔(p3)S

第II卷（非選擇題滿分90分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.[2024?山東高考]執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的a,b的值分別為。和9,則輸

出的i的值為.

/輸出）/

結(jié)束）

14.[2024?北京高考]雙曲線，一l=1（必），8>0）的漸近線為正方形OA8C的邊OA,OC

所在的直線，點(diǎn)6為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OA6C的邊K為2,則“=.

—>—>—>—>—>—>

15.[2024?太原質(zhì)檢]已知向量A寸與4B的夾角為120%\CB-CA\=2,\BC-BA\=3,若向

—?—?—?—>—?

量AP=M8+AG且4P_L8C,則實(shí)數(shù)2的值為.

16.[2024?杭州模擬]己知在△A3C中,A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,H?2sinfi+（?2

ta,v=,

+b/）siM=0,'?f2cOsfi_j_|則角A等于.

三、解答題(共6小題，共70分，解答應(yīng)與出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

17.[2024?湖北聯(lián)考|(本小題滿分12分)在等比數(shù)列伍〃)中，斯乂)(〃￡1<),0a3=4,且的

+1是G和V的等差中項(xiàng),若瓦=10g2"”+L

(1)求數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛c,｝滿意金=為+|+瓦;區(qū)？求數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和.

18.[2024?武漢調(diào)研](本小題滿分12分)?個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，須要確定加工零件

所花費(fèi)時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如F：

零件數(shù)式個(gè))1()20304050

加工時(shí)間)，(分鐘)6268758189

(1)假如y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求回來(lái)直線方程：

(2)依據(jù)(1)所求回來(lái)直線方程，預(yù)料此車間加工這種零件70個(gè)時(shí)，所須要的加工時(shí)間.

n-----

iXjyi-nxy-

附：b=-------------------,y=hx

j￡]A?一〃x2

19.[2024?山東高考](本小題滿分12分)在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓。的直徑,

Eb是上底面圓0'的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線.

(1)己知G,〃分別為EC,的中點(diǎn)，求證：G"〃平而八8。：

(2)已知￡尸=q=%C=2/，AB=BC,求二面角產(chǎn)一BC-A的余弦值.

20.［2024?湖北八校聯(lián)考］體小題滿分12分淀義：在平面內(nèi)，點(diǎn)P到曲線「上的點(diǎn)的距

離的最小值稱為點(diǎn)尸到曲線廠的距離.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M：(x—g)2+>2

=12及點(diǎn)A(f，0),動(dòng)點(diǎn)P到圓M的距離與到八點(diǎn)的距離相等，記/>點(diǎn)的軌跡為曲線

W.

(1)求曲線W的方程：

(2)過(guò)原點(diǎn)的直線/(/不與坐標(biāo)軸重合)與曲線W交于不同的兩點(diǎn)C,，點(diǎn)E在曲線W上，

且?？贚CD,直線OQ與x軸交于點(diǎn)八設(shè)直線b的斜率分別為為，4,求今.

21.［2024.河南六市聯(lián)考］(本小題滿分12分)已知函數(shù)凡丫)二牛.

(1)求人。在［1,3(公>1)上的最小值：

(2)若關(guān)于x的不等式/(幻+樹(shù)(x)>0只有兩個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分.

22.［2024.黃岡質(zhì)檢］(本小題滿分10分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，曲線。的極坐標(biāo)方程為

sinl9

p=^a

(I)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)。(0,2)作斜率為1的直線/與曲線C交于4,B兩點(diǎn),試求高+向的值.

23.[2024?廣州綜合測(cè)試北本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

i殳函數(shù)7（x）=|x+Wl—卜一、1一旬.

⑴當(dāng)a=\時(shí)，求不等式小）制的解集；

⑵若對(duì)隨意〃￡[0,1],不等式八的解集為空集，求實(shí)數(shù)/，的取值范圍.

參考答案（五）

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）

1.[2024.山東重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]定義集合力-8={小￡人且m8},若集合M={1,234,5},

集合N={x|x=22-1,kWZ},則集合M-N的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.多數(shù)個(gè)

答案C

解析1,3.5WN,M-N={2,4）,所以集合M-N的子集個(gè)數(shù)為2?=4個(gè)，故選C.

2"2024?河南平頂山檢測(cè):設(shè)復(fù)數(shù)zi，Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，且z1=2—i,

則Zl-Z2=（）

A.-4+3iB.44-3iC.-3一5D.—3+4i

答案D

解析因?yàn)閺?fù)數(shù)Zl,Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，且ZI=2—i,所以22=-2—

i,"z7=-2+i,zv~Z2=（2-i）-（-2+i）=-3+4i,故選D.

3.[2024?湖北七校聯(lián)考]已知命題“已知a,b,c為實(shí)數(shù),若a〃c=0,則a,b,c中至少

有一個(gè)等于0"，在該命題的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

答案D

解析原命題為真命題，逆命題為“已知小仇c為實(shí)數(shù)，若a,b,。中至少有一個(gè)等

于0,則。機(jī)?=（）'',也為真命題.依據(jù)命題的等價(jià)關(guān)系可知其否命題、逆否命題也是真命題，

故在該命題的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為3.

4.[2024?沈陽(yáng)模擬]已知。￡（甘，?且sinB+cosO=a,其中則lanO的可能取

值是（）

A.—3B.3或gC.—1D.-3或一g

答案C

解析解法一：由sin，+cosO=a可得2sin^cos^=?2—1,由〃￡（0,1）及（一多。

得sin6?cos伏6且|sin6|<|cos6|,?！辏ㄒ?）,從而tan9W（—1,0）,故選C.

解法二：用單位圓中三角函數(shù)線的學(xué)問(wèn)可知。曰一去0，,從而lanjw(—1.0),故選C.

5.[2024.吉大附中一模]“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉敏在探討球的體積的過(guò)程中構(gòu)

造的一個(gè)和諧美麗的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱

的側(cè)面上，好像兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如圖所示，圖中四邊形是為

體現(xiàn)其直觀性所作的協(xié)助線.當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是()

答案B

解析俯視圖是正方形，曲線在其上面的投影恰為正方形的對(duì)角線且為實(shí)線，選B.

'W3,

6.[2024?重慶測(cè)試]設(shè)滿意約束條件,x+y20，若z=a^y的最大值為3a+9,

,x-y+6^0,

最小值為3a3,則以的取值范圍是()

A.(一8,-I]B.[1,+8)

C.[-1JJD.(一8,-1JUII,4-oo)

答案C

解析依題意，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域及直線at+y=0,平移該直

線，當(dāng)平移到經(jīng)過(guò)該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(3,9)時(shí)，相應(yīng)直線在)，軸二的截距達(dá)到最大；當(dāng)平移到

經(jīng)過(guò)該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(3,—3)時(shí)，相應(yīng)直緩在)，軸上的截距達(dá)到最小，相應(yīng)直線辦+)，=0

的斜率的取值范圍是[-1,1],即一〃8一1,1],。引一1,1],選C.

7.[2024?洛陽(yáng)第一次聯(lián)考舊知(2A—Ipuao+aix+gF+aK+e'+as/則2a2+3s+

4出+5出=()

A.10B.5C.1D.0

答案D

解析看似二項(xiàng)式綻開(kāi)，實(shí)則是導(dǎo)數(shù)題目.

求導(dǎo)得IO(Zt—1)4=。1+2儂:+3。3*+407+5。5/，

令％=0,得0=10,令x=l,得2a2+3。3+4出+5的=0,故選D.

8.[2024?四川聯(lián)考]已知己是△A8C所在平面外的一點(diǎn)，M、N分別是A3、PC的中點(diǎn),

若MN=BC=4,PA=4yf3,則異面直線必與MN所成角的大小是()

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案A

N

AMB

解析取AC的中點(diǎn)O,連接OM、ON,則。M,舔§8。，CW糾得外，，/ONM就是異面

直線附與MN所成的角.由MN=8C=4,PA=4y［3,得OM=2,ON=2?

?.cosNONM=2ONMN

12+16-4V3

-2X2V3X4-2，

AZOMW=30°,即異面直線PA與MN所成角的大小為3(F.故選A.

9.［2024.蘭州診斷偌將函數(shù)/")=sin(2.x+0)+J5cos(2K+①)(0元)的圖象向左平移;個(gè)

單位長(zhǎng)度，平移后的圖象關(guān)于點(diǎn)你0)對(duì)稱，則函數(shù)四)=cos(x+p)在［甘，意上的最小值

是()

A.一；B.一坐C.乎D.；

答案D

解析:幾￥)=$皿(21+9)+，5cos(2x+0)=2sin<2x+e+?,...將函數(shù)/U)的圖象向左平移

打單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)解析式為產(chǎn)25所［2(人十：)+e+E］=2,o*2x+s十字的圖象...,該圖

象關(guān)于點(diǎn)右，(”對(duì)稱，對(duì)稱中心在函數(shù)圖象上，...2cos(2X冷+8+§=28$(元+8+§=0,解

得n+8+鼻=履+去kGZ,即e=而一知，kWZ.

V0<^<7t,，8=襲，.?.g(x)=cosG+§,

則函數(shù)g(x)=cos(x+Q)在［一5，1上的最小值是:.故選D.

I0J2024.桂林聯(lián)考］已知拋物線產(chǎn)=4”的準(zhǔn)線與x軸相交丁點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P「1.斜率為《伙>0)

的直線/與拋物線交于A,B兩點(diǎn),產(chǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，若尸8|二2|雨|,則48的長(zhǎng)度為()

A.,^B.2C.^2D.yfTj

答案C

解析依題意知P(—1,0),尸(1,0),設(shè)Agyi),B(X2,”)，*|FB|=2|M|,得初+1=2(即

+1),即X2=2V+1①，?.?P(—l,0),則A8的方程為,，=&+上與聯(lián)立，得FF+

(2好-4次十d=0,則/=(2好一4尸一424>0,即lc<\,X\X2=\②，由①②得Xi=￡,則A&啦)，

4―02g._5

??K—|-3，-2'

1ABi=［(1+號(hào)［但+口)2—4加也［=曰］,選C.

11.［2024?南昌調(diào)研］18世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家蒲豐(George-LouisLeclercdeBuffon)做了一個(gè)

聞名的求圓周率的試驗(yàn)，如圖，在桌面內(nèi)勻稱畫出相距為〃的一簇平行直線，細(xì)針長(zhǎng)度為

4/W?,隨機(jī)向桌面拋擲針的次數(shù)是“，其中針與平行線相交的次數(shù)是〃人則圓周率黨的估

計(jì)值為()

解析設(shè)事務(wù)A為“針與平行直線相交”，如圖，設(shè)針的中心到平行線的最小距離為匕

與平行線所成角為。，則全部事務(wù)構(gòu)成的集合

OWaW3,

{0WY

A={(“，吶。曄收黑〃},則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，集合。對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積%=季

71

集合人對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積SA=(Wsinada=(-：cosa)，=|,所以尸5)=削=?=日，則”=

12/\,乙)Loncmn

Ji)o

2nl

ma'

f+(4?-3)x+3a,x〈0,

12.［2024?天津高考］已知函數(shù)凡t)=,,,j(eO,且a#l)在R上單

%(x+l)+l,GO

調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程貝x)|=2-x恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則。的取值范圍是()

2n2-

-J民-

3J-y

一，

12_3-—

c--uI--U

V3:4D.y

J-\-

答案C

4a—33

解析當(dāng)M0時(shí)，4目單調(diào)遞減，必需滿意一一y二20,故0*Wj,此時(shí)函數(shù)人力在［0,

+8)上單調(diào)遞減，若阿在R上單調(diào)遞減，還需3心I,即。咨，所以結(jié)合函數(shù)圖

象，當(dāng)x20時(shí)，函數(shù)y=|/(x)|的圖象和直線y=2—x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即當(dāng)x20時(shí)，方

程|/(幻|=2一％只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.因此，只需當(dāng).E0時(shí)，方程貝刈=2一不恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解.依

據(jù)已知條件可得，當(dāng)x<0時(shí)，火幻>0,即只需方程｛》)=2一“恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即『+(4〃一

3b+3〃=2一居即/+2(2〃-1卜+3a—2=0在(一8,0)上恰有唯一的實(shí)數(shù)解.判別式/=

3

-

4

即時(shí)，方程/+2(2”一1F+34—2=0有一個(gè)正實(shí)根、一個(gè)負(fù)實(shí)根，滿意要求；當(dāng)3“一2

=0,即時(shí)，方程/+2(2〃-1)%+3〃-2=0的一個(gè)根為0,一個(gè)根為一宗滿意要求；當(dāng)

23

3a—2>0,即鏟aq時(shí)，因?yàn)橐唬?〃-1)<0,此時(shí)方程9+2(2〃-l)x+3“-2=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根,

3

不滿意要求；當(dāng)時(shí)，方程f+2(2〃-l)x+3a—2=0有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，滿意要求.綜

上可知，實(shí)數(shù)”的取值范圍是及，制喝

第II卷(非選擇題，共90分)

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.［2024?山東高考］執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的小一的值分別為。和9,則輸

出的i的值為.

答案3

解析輸入。=0,b=9,第一次循環(huán)：“=0+1=1,。=9-1=8,i=l+l=2；其次次

循環(huán)：a=l+2=-3,6=8—2—6,i=2-H=3；第三次循環(huán)；々-3+3=6,6—3—3,a>b

成立，所以揄出i的值為3.

y,y

14.|2024.北京高考］雙曲線￡一$=l(a>0,〃>0)的漸近線為正方形O/18C的邊04,OC

所在的直線，點(diǎn)3為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形048。的邊長(zhǎng)為2,則。=.

答案2

解析由OA、OC所在直線為漸近線，且OAJ_OC,知兩條漸近線的夾角為90。，從而

雙曲線為等軸雙曲線，則其方程為『一)，2=/.08是正方形的對(duì)角線，且點(diǎn)8是雙曲線的焦

點(diǎn)，則c=2w，依據(jù)可得。=2.

—>—>—>—>—>—>

15.［2024?太原質(zhì)檢］已知向量48與AC的夾角為120。，\CB-CA\=2,\BC-BA\=3,若向

—?—*—?-?—?

量4P=Z48+AC,且AP_LBC,則實(shí)數(shù)7的值為.

1?

答案y

解析由條件可知依8|=2,|AC|=3,于是A8AC=2X3X(—J=-3.由AP_L8C,得AP8C

—?—?—?—?—?—?—?>—?

=0,即(Z48+AC),(AC-A8)=o,所以依仃+^一［、皿八。一型用2=。，即9+(A-l)X(-3)

—42=0,解得人=子.

16.［2024?杭州模擬］已知在△ABC中,A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且a2s68+(萬(wàn)

+從一/閭必:。，tanA=*：北;;,則角人等于.

答a案采—36

解析在△48C中，“飛曲+(/+〃2-1)§訪人=0,

.*.ci2sinB-]-2(ibcosCsinA=0,asin8+20cosCsinA=0,siii4sin54-2sinBcosCsinA=0,

又sinAWO,sinBWO,/.cosC=—且0<C<兀，。=拳

itMsinB+1

則化廠從又

/.sin(1-3)6cos3+sinl(；_B)=cos^-8)?巾2:sin54-cos(?_Bj,

...小?sine一^cos/?—cos(^~8)

kin8

,3

即Vising-28)=啦sin(；-會(huì)+

23=8一由或1-28—自+B=ji,解得8=患或3=一苧（舍去），故A=p器=強(qiáng)

三、解答題（共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.12024.湖北聯(lián)考|（本小題滿分12分）在等比數(shù)列（“J中，a”>05￡N）,旃=4,且內(nèi)

+I是“2和（14的等差中項(xiàng)，若/?w=l0g2（7nH.

（1）求數(shù)列｛乩｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛GJ滿意Cn=a^\+--------,求數(shù)列｛如｝的前n項(xiàng)和.

t>2n-Vl>2n+\

解（1）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,且g〉0,

在等比數(shù)列｛a”｝中,由。”>0,。]。3=4,得俏=2,①

（2分）

又小+?是a2和的等差中項(xiàng)，所以2（。3+1）=。2+。4,②

把①代入②，得2（24+1）=2+2/,解得<7=2或<7=0（舍土），（4分）

所以?！?"2/-2=2"-|,

則bn=Iog2?n+1=log22rt=/t.（6分）

=

（2）由（1）得，cna”+1+7

=2"+（2〃―1；2〃+1）=2"+氐2〃一].2〃+1）'6分）

所以數(shù)列｛c“｝的前〃項(xiàng)和S”=2+22+…+2”+/1-++6一3+…+（壯7—三?）

=半?+正非7）=2"，1-2+田12分）

18.[2024.武漢調(diào)研]（本小題滿分12分）一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，須要確定加工零件

所花費(fèi)時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如下：

零件數(shù)M個(gè)）1020304050

加工時(shí)間）'（分鐘）6268758189

（1）假如），與X具有線性相關(guān)關(guān)系，求回來(lái)直線方程：

（2）依據(jù)（1）所求回來(lái)直線方程，預(yù)料此車間加工這種零件70個(gè)時(shí)，所須要的加工時(shí)間.

n---

洛］孫一〃1y-

附：b=---------.y=bx

浩田一〃x2

解（1）設(shè)所求的回來(lái)直線方程為y=/?+〃.

列表：

Xi1020304050

y<626S758189

孫6201360225032404450

——55---

x=30,y=75,7￡］廿=5500,/幺］為獷=11920,5xy=11250.(4分)

5___

..產(chǎn)“920—11250

-b=~~=550()-5X3O2=0-67*

^XT~5X2

a=y=75-0.67X30=54.9,

A

二.回來(lái)直線方程為y=0.67r+549（8分）

（2）由（I）所求回來(lái)直線方程知，x=70時(shí)，

A

y=0.67X70+54.9=101.8（分鐘）.

???預(yù)料此車間加工這種零件70個(gè)時(shí)，所須要加工時(shí)間為101.8分鐘.（12分）

A

19.［2024?山東高考］（本小題滿分12分）在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓。的直徑,

￡尸是上底面圓。的直徑，用是圓臺(tái)的一條母線.

（I）已知G,，分別為EC,”3的中點(diǎn)，求證：GH〃平面ABC：

（2）己知￡尸=/*B=；AC=2，LAB=BC,求二面角尸一8C-4的余弦值.

解（1）證明：設(shè)“C的中點(diǎn)為/,連接G/,HI,在ACEF中，因?yàn)辄c(diǎn)G是CE的中點(diǎn),

所以G/〃￡"2分）

又EF〃。&所以G/〃。和

因?yàn)?次平面G”/.所以08〃平面GHf.（3分）

在△CFB中，因?yàn)椤ㄊ荈8的中點(diǎn)，

所以，/〃8c.同理8C〃平面GHM4分）

又OBCBC=B,所以平面GH/〃平面ABC（5分）

因?yàn)镚〃U平面GHI,

所以G"〃平面A8C（6分）

（2）解法一：連接00',則00'平面ABC.

又AB=BC,且AC是圓。的直徑，所以8。_LAC.

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系OxyzC分）

由題意得8（0.2小，0）,。（一2小，0.0）.

過(guò)點(diǎn)尸作「“垂直O(jiān)B于點(diǎn)M,

所以FM=7FB?-BM2=3,

可得尸（0,小，3）.（9分）

—?—>

故BC=（-2小,一2小，0）,?F=（0,一木，3）.

設(shè)機(jī)=（x,az）是平面8C尸的法向量，

m/?C=O,一25x-2巾y=0,

由＜可得

—*一小y+3z=0.

.m-BF=O,

可得平面8cb的一個(gè)法向量帆=（一1,1,坐）.（10分）

因?yàn)槠矫鍭BC的一個(gè)法向量〃=（0。1）,

所以CQS<w,n>=]^俞=平?（11分）

解法二：連接OO'.過(guò)點(diǎn)廣作FM垂直08于點(diǎn)M,

則有尸M〃O0.（7分）

又OO'，平面A8C,

所以FM_L平面八8C（8分）

可得可加=吊產(chǎn)爐一8M2=3.

過(guò)點(diǎn)M作MN垂直8C于點(diǎn)M連接QV

可得FNJ_BC,

從而2/NM為一面角F-BC-A的平面角.

又AB=BC,AC是圓。的直徑，

所以MN=8Msin45o=孝，（9分）

從而FN=卑，可得cos/MVM=S.（10分）

所以二面角F-BC-A的余弦值為（12分）

20.[2024?湖北八校聯(lián)考]（本小題滿分12分）定義：在平面內(nèi)，點(diǎn)尸到曲線廠上的點(diǎn)的距

離的最小值稱為點(diǎn)。到曲線，的距離.在平面直角坐標(biāo)系工0，中，己知圓M；。一裂）2+）2

=12及點(diǎn)A（一小，0）,動(dòng)點(diǎn)P到圓M的距離與到A點(diǎn)的距離相等，記P點(diǎn)的軌跡為曲線

W.

⑴求曲線卬的方程；

⑵過(guò)原點(diǎn)的直線/（/不與坐標(biāo)軸重合）與曲線卬交于不同的兩點(diǎn)C,D,點(diǎn)E在曲線W上,

且CE_LCD,直線。E與x軸交于點(diǎn)凡設(shè)直線。&CF的斜率分別為Mki，求費(fèi).

解（1）由題意知：點(diǎn)P在圓內(nèi)且不為圓心，故|2M+|PM=26＞26=|八M,（2分）

所以P點(diǎn)的軌跡為以A、W為焦點(diǎn)的橢圓，

2a=2小,4=小,

設(shè)橢圓方程為，+*=13＞於0）,則，

2c=2吸C=R

2

所以加=1,故曲線W的方程為光+）2=1.（4分）

(2)設(shè)yiXxiyi^O),E(*.?),則。(一方.-yi),則直線CO的斜率為k??/)=?,又

八1

CE1CD,所以直線CE的斜率是如=一卷，記一卷=上設(shè)直線CE的方程為產(chǎn)依+嘰由

題意知kWO,小W0,由得(1+3好lF+6”正丫+3"戶一3=0,/.xi+x2=—.?

屋fII

..，/.、?c2加

??>'1+方=4用+x2)+2〃】=i+3標(biāo),(8分)

由題意知，-所以晶=宏=一力會(huì)

所以直線?！?的方程為＞+）"=養(yǎng)。+即），令y=0,得尤=2xi,即"（2x1.0）.

可得依=一/，所以俗=一32,即*=一；.（12分）

21.［2024.河南六市聯(lián)考］（本小題滿分12分）已知函數(shù),”尸牛.

⑴求人用在［I,ms＞l）上的最小值；

（2）若關(guān)于X的不等式,Ax）+〃次x）＞0只有兩個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

71-In2x

解（1/（X）=——（A＞0）,

令/'（x）＞0,得本）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,9；

令/（x）＜0,得八0的單調(diào)遞減區(qū)間為（另+8）.（1分）

Vx€［l,a］,

.,.當(dāng)l＜a號(hào)時(shí),府）在［1,川上為增函數(shù)，

用）的最小值為/1）=m2；（3分）

當(dāng)若時(shí)，府）在［1,§上為增函數(shù)，在像［上為減函數(shù).

In4

又JQIu-=ln2=/（1）,

，若*aW2,,肛）的最小值為川）=加2,

若。＞2,凡丫）的最小值為人4）=為/，（5分）

綜上，當(dāng)l＜“W2時(shí)，貝x）為最小值為＜l）=ln2；當(dāng)〃＞2時(shí)，40的最小值為/（〃）=生六.（6

分）

（2）由（I）知,/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,，單調(diào)遞減區(qū)間為國(guó)+8）,且在&+8）上,

2

In2x>lne=l>0,又A>0,則凡6>0.又=0,

當(dāng)