必修4平面向量數(shù)量積考點(diǎn)歸納

“平面向量”誤區(qū)警示“平面向量”概念繁多容易混淆，對于初學(xué)者更是一頭霧水．現(xiàn)將與平面向量基本概念相關(guān)的誤區(qū)整理如下．⑴向量就是有向線段解析：向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．有向線段是向量的一種表示方法，不能說向量就是有向線段．⑵若向量與相等，則有向線段AB與CD重合解析：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．因此，若＝，則有向線段AB與CD長度相等且方向相同，但它們可以不重合．⑶若向量∥，則線段AB∥CD解析：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．故由與平行，只能得到線段AB與CD方向相同或相反，它們可能平行也可能共線．⑷若向量與共線，則線段AB與CD共線解析：平行向量也叫做共線向量，共線向量就是方向相同或相反的非零向量．故由與共線，只能得到線段AB與CD方向相同或相反，它們可能平行也可能共線．⑸若∥，∥，則∥解析：由于零向量與任一向量平行，故當(dāng)＝時(shí)，向量、不一定平行．當(dāng)且僅當(dāng)、、都為非零向量時(shí)，才有∥．⑹若||＝||，則＝或＝－解析：由||＝||，只能確定向量與的長度相等，不能確定其方向有何關(guān)系．當(dāng)與不共線時(shí)，＝或＝－都不能成立．⑺單位向量都相等解析：長度等于一個(gè)長度單位的向量叫做單位向量，由于單位向量的方向不一定相同，故單位向量也不一定相等．⑻若||＝0，則＝0解析：向量和實(shí)數(shù)是兩個(gè)截然不同的概念，向量組成的集合與實(shí)數(shù)集合的交集是空集．故若||＝0，則＝，不能夠說＝0．平面向量數(shù)量積四大考點(diǎn)解析考點(diǎn)一.考查概念型問題例1.已知、、是三個(gè)非零向量，則下列命題中真命題的個(gè)數(shù)()⑴;⑵反向⑶;⑷=A.1B.2C.3D.4評注：兩向量同向時(shí)，夾角為0(或0°)；而反向時(shí)，夾角為π(或180°)；兩向量垂直時(shí)，夾角為90°，因此當(dāng)兩向量共線時(shí)，夾角為0或π，反過來若兩向量的夾角為0或π，則兩向量共線.考點(diǎn)二、考查求模問題例2.已知向量，若不超過5，則k的取值范圍是__________。評注：本題是已知模的逆向題，運(yùn)用定義即可求參數(shù)的取值范圍。例3.（1）已知均為單位向量，它們的夾角為60°,那么＝（）A.B.C.D.4（2）已知向量，向量，則的最大值是___________。評注：模的問題采用平方法能使過程簡化?？键c(diǎn)三、考查求角問題例4.已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量與的夾角.練習(xí)一：數(shù)量積（內(nèi)積）的意義及運(yùn)算1．已知向量，為單位向量，當(dāng)它們之間的夾角為時(shí)，在方向上的投影與在方向上的投影分別為（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．圖1ＡＢＣ練習(xí)目的：區(qū)別在方向上的投影與在方向上的投影，達(dá)到正確理解投影的概念．圖1ＡＢＣ2．在邊長為2的等邊中，的值是（）．Ａ．２Ｂ．－２Ｃ．４Ｄ．－４練習(xí)目的：結(jié)合圖形１，根據(jù)投影的意義，理解的幾何意義．3．已知的夾角為，.(1)求的值；(2)當(dāng)m為何值時(shí)，垂直？練習(xí)目的：結(jié)合以前所學(xué)向量垂直的等價(jià)關(guān)系，類比數(shù)量積的運(yùn)算與實(shí)數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算關(guān)系，達(dá)到鞏固數(shù)量積的運(yùn)算目的．（2）由題意，知,又則的最大值為4。評注：模的問題采用平方法能使過程簡化。考點(diǎn)三、考查求角問題例4.已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量與的夾角.分析：要求與的夾角，首先要求出與的夾角的余弦值，即要求出｜｜及｜｜、·，而本題中很難求出｜｜、｜｜及·，但由公式cosθ=可知，若能把·，｜｜及｜｜中的兩個(gè)用另一個(gè)表示出來，即可求出余弦值，從而可求得與的夾角θ.解：設(shè)與的夾角為θ.∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2，即解之得2=2·2=2·∴2=2∴｜｜＝｜｜∴cosθ===∴θ=因此a與b的夾角為.練習(xí)一：數(shù)量積（內(nèi)積）的意義及運(yùn)算1．已知向量，為單位向量，當(dāng)它們之間的夾角為時(shí)，在方向上的投影與在方向上的投影分別為（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．1．答案B解答：在方向上的投影在方向上的投影練習(xí)目的：區(qū)別在方向上的投影與在方向上的投影，達(dá)到正確理解投影的概念．圖1ＡＢＣ2．在邊長為2的等邊圖1ＡＢＣＡ．２Ｂ．－２Ｃ．４Ｄ．－４2．答案Ｂ解答：由平面向量數(shù)量積公式得：＝＝因此的值為－２．練習(xí)目的：結(jié)合圖形１，根據(jù)投影的意義，理解的幾何意義．3．已知的夾角為，.(1)求的值(2)當(dāng)m為何值時(shí)，垂直？3．解答所以(2)由垂直，得，即①又因?yàn)榈膴A角為所以代入①得因此當(dāng)時(shí)，垂直.練習(xí)目的：結(jié)合以前所學(xué)向量垂直的等價(jià)關(guān)系，類比數(shù)量積的運(yùn)算與實(shí)數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算關(guān)系，達(dá)到鞏固數(shù)量積的運(yùn)算目的．練習(xí)二：數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、模及夾角4．直角坐標(biāo)系中，分別是與軸正方向同向的單位向量．在直角三角形中，若，則的可能值個(gè)數(shù)是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．44．答案B提示：由題設(shè)，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示：，是直角三角形可以分為三種情況：（1）得（2）得（3）即，無解故的可能有兩個(gè)值－1，－6，練習(xí)目的：結(jié)合向量垂直的等價(jià)關(guān)系，練習(xí)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，體會分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．5.已知向量，，求（1）；（2）與的夾角５．解答：由題設(shè)（1）由得即解得：所以因此=4（2）設(shè)夾角為，又所以練習(xí)目的：鞏固平面向量的模以及夾角公式，類比向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算的關(guān)系．6．設(shè)向量滿足，的夾角為，若向量與向量夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍。6．解答：由題設(shè)因?yàn)橄蛄颗c向量夾角為鈍角，所以由解得另一方面，當(dāng)夾角為時(shí)，也有，所以由向量與向量同方向得：＝（）（）因此解得：，＝由于，所以，得因此，當(dāng)時(shí)，兩向量的夾角為０不合題意．所以，若向量與向量的夾角為銳角，實(shí)數(shù)的取值范圍是：練習(xí)目的：綜合運(yùn)用向量的數(shù)量積、夾角公式以及向量共線的條件解題，在解題時(shí)要特別注意特殊情況，才能不遺漏地正確解題．練習(xí)三．平面向量的綜合應(yīng)用7．（1）已知中，，Ｂ是中的最大角，若，則的形狀為__________.7．答案：銳角三角形提示：由可得，即的夾角為鈍角，所以，為銳角，因此為銳角三角形．練習(xí)目的：體會應(yīng)用平面向量的夾角公式判斷三角形的形狀．平面向量鞏固檢測1已知，，其中

(1)求證：與互相垂直；

證明：與互相垂直(2)若與的長度相等，求的值(為非零的常數(shù))解析：；而，解：（1）∵=（4cos，3sin），=（3cos，4sin）∴||=||=1又∵（+）·（－）=2－2=||2－||2=0∴（+）⊥（－）（2）|+|2=（+）2=||2+||2+2·=2+2··=又·=（cos）=∴∵∴＜＜0∴sin（）=∴sin=sin（）·cos=3．設(shè)（1）計(jì)算解：4．已知向量EQ\o(a,\s\up5(→))＝(cosEQ\f(3,2)x，sinEQ\f(3,2)x)，EQ\o(b,\s\up5(→))＝(cosEQ\f(x,2)，－sinEQ\f(x,2))，其中x∈[0，EQ\f(π,2)]

(1)求EQ\o(a,\s\up5(→))·EQ\o(b,\s\up5(→))及|EQ\o(a,\s\up5(→))＋EQ\o(b,\s\up5(→))|；(2)若f(x)＝EQ\o(a,\s\up5(→))·EQ\o(b,\s\up5(→))－2λ|EQ\o(a,\s\up5(→))＋EQ\o(b,\s\up5(→))|的最小值為－EQ\f(3,2)，求λ的值解：(1)EQ\o(a,\s\up5(→))·EQ\o(b,\s\up5(→))＝cosEQ\f(3,2)xcosEQ\f(x,2)－sinEQ\f(3,2)xsinEQ\f(x,2)＝cos2x，|EQ\o(a,\s\up5(→))＋EQ\o(b,\s\up5(→))|＝EQ\r(2＋2cos2x)＝2cosx

(2)f(x)＝EQ\o(a,\s\up5(→))·EQ\o(b,\s\up5(→))－2λ|EQ\o(a,\s\up5(→))＋EQ\o(b,\s\up5(→))|＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－1－4λcosx＝2(cosx－λ)2－2λ2－1

注意到x∈[0，EQ\f(π,2