信號(hào)分析筆記

PAGEPAGE4第一章、傅立葉變換1、連續(xù)信號(hào)的傅立葉變換f(t)←→F（jΩ）正變換:F（jΩ）=反變換：f(t)=性質(zhì)：移位：若卷積定理：若，則：對(duì)稱性：若則Parseval定理：若，則：能量定理：例：2、連續(xù)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)變換（1）、周期信號(hào)如果,其中m為任意整數(shù)，則我們稱為周期信號(hào)。其中滿足上式的最小T為周期信號(hào)的周期。對(duì)于周期為T的周期信號(hào)，記為。將，記為一對(duì)Fourier級(jí)數(shù)變換對(duì)，表示為：（FST：FourierSeriesTransformation）簡記為：。正變換：反變換：性質(zhì)：移位性：若，則：卷積定理：若，，則：=Parseval定理：若，，則：能量定理：例：3．離散信號(hào)的傅立葉變換其中正變換：反變換：性質(zhì)：移位：卷積定理：若則帕斯瓦爾定理：若則能量定理：若4．離散周期信號(hào)的傅立葉變換級(jí)數(shù)正變換：反變換：性質(zhì)：移位：對(duì)稱性：若則卷積定理：若則帕斯瓦爾定理：若則能量定理：若則5．各種變換之間的關(guān)系：①傅立葉變換與傅立葉級(jí)數(shù)變換：非周期的模擬信號(hào)周期：假定f(t)為一個(gè)非周期的模擬信號(hào)，且以T為周期將f(t)周期化，其數(shù)學(xué)過程為：從系統(tǒng)觀點(diǎn)看：根據(jù)卷積定理，有：①其中：①FTFTFTFTFST②Fourier變換與離散Fourier變換直接作的Fourier變換得：TT③離散Fourier級(jí)數(shù)變換與其它變換的關(guān)系首先將一個(gè)模擬信號(hào)周期化，然后再將該周期信號(hào)離散化。假定N=T/τ為一正整數(shù)給定為一整數(shù)（其中）設(shè)設(shè)①又由卷積法直接作Fourier變換：設(shè)②①、②兩式對(duì)比得：6．從Fourier變換到離散Fourier級(jí)數(shù)變換。設(shè)f(t)為一周期模擬信號(hào)，且f(t)F(j)1）對(duì)f(t)進(jìn)行采樣。數(shù)學(xué)原理：時(shí)域：頻域：＝＝＝（possin公式）2）將f(t)以T為周期作周期化。＝＝（3）簡化時(shí)域表達(dá)式假設(shè)為整數(shù)。令這時(shí)可將表示為：（4）簡化頻域表達(dá)式令這時(shí)可以將表示為：（5）與之間的關(guān)系做的Fourier變換可得：令，則：由①式和②式對(duì)比可得：所以：同樣作：的Fourier反變換可得：令，則：7.Fourier變換的局限性①時(shí)寬有限，頻寬無限②分辨率頻域周期：頻域采樣間隔：時(shí)域周期：時(shí)域采樣間隔：③測不準(zhǔn)原理⑴信號(hào)的重心的能量可以表示為利用數(shù)學(xué)均值的概念分別：取和為信號(hào)在時(shí)域和頻域的能量重心。⑵信號(hào)能量分布的時(shí)間寬度和頻率寬度測不準(zhǔn)原理：證明：由于上式可以表示為⑶沒有瞬時(shí)頻譜信息時(shí)寬與帶寬如果f(t)為一帶限信號(hào)，則f(t)不能在時(shí)域的某區(qū)間[a,b]內(nèi)為零。證明：假定f(t)為帶限信號(hào)且它的Fourier變換F(jΩ)為F(jΩ)=0，假定，取則由此得到這表明的假定是不正確的。第二章、信號(hào)空間1.問題的提出2.信號(hào)空間①集合②賦范信號(hào)空間在信號(hào)的集合上。對(duì)X的每個(gè)元素賦一個(gè)不小于零的數(shù)，這個(gè)處理過程為X上的范數(shù)，范數(shù)符號(hào)記為，它滿足如下公理：（I）當(dāng)且僅當(dāng)x=0（測度）（II）（三角形法則）（III）（x為標(biāo)量）賦范空間X的元素可以示為向量，其范數(shù)則可以示為該向量的長度。③連續(xù)時(shí)間信號(hào)空間的范數(shù)其中且為整數(shù)常用的范數(shù)則：使誤差最小，得出的解h(t)為最優(yōu)解。證明：滿足范數(shù)的三角不等式。Young（楊）不等式設(shè)p>1,，則對(duì)于a>0,b>0，有考慮在區(qū)間(0,a]的積分由于，則，考慮在區(qū)間(0,b]的積分由圖可知：bbayx（2）證明如下不等式：令,根據(jù)Young不等式有：,（3）證明三角不等式其中：④離散信號(hào)空間常見的范數(shù)為3.距離空間表示兩個(gè)信號(hào)的相似程度對(duì)信號(hào)空間X的兩個(gè)元素x和y分配一個(gè)不小于零的數(shù)，記為d（x,y），如果d（x,y）滿足如下特征，我們稱d（）為定義于X上的距離。（I）,當(dāng)且僅當(dāng)x=y，（II）如果取則我們?cè)谫x范空間上定義了距離，該賦范空間也為距離。4.內(nèi)積空間對(duì)X的二元x,y分配一個(gè)數(shù)，記為<x,y>，如果<>，滿足如下三個(gè)公理，則稱<>為定義在X上的內(nèi)積：（I）*表示復(fù)共軛（II），當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，（III）對(duì)于標(biāo)量α，β有內(nèi)積有如下性質(zhì)：（I）證明：得證。（II）（α為標(biāo)量）證明：得證。實(shí)際可以定義證明：（3個(gè)公理滿足即可）(i)由定義特性：(ii)(iii)連續(xù)信號(hào)的內(nèi)積常用常見的離散信號(hào)的內(nèi)積定義式：隨機(jī)信號(hào)5．積分變換：積分信號(hào)表示一般情況：(1)(2)perseval關(guān)系(3)卷積定理成立的條件上式成立。(4)卷積定理和perseval關(guān)系成立6．信號(hào)離散表示法問題是對(duì)于信號(hào)空間x我們希望找到一組信號(hào)如果存在這組信號(hào)，改組信號(hào)的元是線性無關(guān)的，就稱這組信號(hào)為該空間的一組基。(1)有限基空間的信號(hào)表示該基組那么對(duì)該空間的任意一個(gè)信號(hào)，可以唯一表示為其中為基對(duì)應(yīng)的系數(shù)問題，系數(shù)的確定？假定在該空間上定義的內(nèi)積，那么我們可以得到如果是正交的，即：如果，則稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基。這時(shí)，(2)正交化將基元進(jìn)行正交化處理重新構(gòu)造：(3)Parsval關(guān)系：推論：能量定理(4)正交投影研究的問題；假定信號(hào)空間X的正交基元組為，那么，若，如何表示出到X的距離首先考慮另外一個(gè)空間F，假定取，可令上式最小。最佳解：討論，若由此：(5)無限元的逼近假定，X的基元為可列無窮多，則X的任意元素可以表示為：假定，且X具有有限基元組，則對(duì)于任意，有：其中和正交。根據(jù)正交投影原理：由此可以得到：按范數(shù)收斂到x.設(shè)的Fourier變換為假定，，Z為整數(shù)集構(gòu)成信號(hào)X的標(biāo)準(zhǔn)正交基，根據(jù)上述假定：則，對(duì)任一信號(hào)有：對(duì)上式作Fourier變換有：令于是有：①式②式(6)對(duì)偶基對(duì)于一組基其對(duì)偶基定義為，且滿足：先考慮基元素個(gè)數(shù)為有限元的情況，不失一般性：假定AB矩陣A與B為互逆矩陣?yán)脤?duì)偶基證：為線性無關(guān)的無限元對(duì)于一個(gè)周期信號(hào)其中對(duì)偶基為從變換角度：為變換對(duì)例：區(qū)間為[0，1]逆陣為驗(yàn)證：。第三章、框架一．框架理論。希爾伯特空間：內(nèi)積空間是完備的，內(nèi)積空間中元素能收斂于此空間稱為該空間是完備的。框架的定義H表示希爾伯特空間，若（可以有限或無限的整數(shù)集）構(gòu)成一簇元素集，使任何一個(gè)有使得則稱為H的框架。若A=B,則稱為緊框架，若線性無關(guān)，則若為標(biāo)準(zhǔn)正交基，則A=B=1若A>1,則用表示H空間的信號(hào)有冗余度。例：引申：定義：令U:僅對(duì)f作用，算子U表示框架算符表示框架元素對(duì)f內(nèi)積作用的結(jié)果令為所有構(gòu)成的集合稱為U的像空間，記作ImU偽逆若框架元使線性相關(guān)的，則存在使得由此可得：于是ImU存在正交空間假定是U的左逆，即故U的左逆不是唯一。定義偽逆為作用上為零的左逆。命題：如果是線性相關(guān)的，則U的左逆如果存在，那么U的左逆有無窮多個(gè)。左逆的存在性表示U是個(gè)單射算子①單射（injact）：若則，換句話說，如果則f＝0②偽逆定義為：作用于伴隨算子：稱的伴隨算子，如果有：討論：的逆存在性證：1、單射不同得象，對(duì)應(yīng)于不同的源，相同的源對(duì)應(yīng)于相同的像如果＝0，則由單射的定義可知：是單射的2．是滿射的反證：假定由于f是H空間的任何元素，則可知Ug＝0，于是g＝0，推出矛盾，沒有正交。從而是滿射的。綜上所述的逆存在的證明：需證首先假定則顯然上式成立再假定，設(shè)x＝Uf于是有：則顯然上式成立證明思想：從偽逆的定義的兩個(gè)條件來證明的：則又知的逆存在：則有從信號(hào)的角度，偽逆式左逆的最小上確界。偽逆式左逆的能量最小的算子，能量其實(shí)式范數(shù)在信號(hào)中的運(yùn)用。工程上：能量最小的是最易確定的。對(duì)于Ax＝b，則x=其實(shí)最小2乘法是取誤差最小，能量最小的一個(gè)。系統(tǒng)是穩(wěn)定的，穩(wěn)定的系統(tǒng)比能量有限的系統(tǒng)要求更為嚴(yán)格，加強(qiáng)則要條件3．對(duì)偶框架定義：若為框架，其界為A，B。由定義為對(duì)偶框架，滿足：對(duì)若框架是緊的，則證明：對(duì)任意，有：如果取雙正交基（Riesz基）如果是線性無關(guān)，則ImU=H5．部分重構(gòu)如果是H子空間V的框架，則從完全重構(gòu)是不可能的，此時(shí)從重構(gòu)的部分，記為，則為在V的正交投影。正交6．求第四章、短時(shí)傅立葉變換一．時(shí)頻原子其中二．能量密度。三．短時(shí)Fourier變換。1．取其中實(shí)偶函數(shù)，且記稱為的短時(shí)Fourier變換。例：頻域范圍：2.正變換：反變換：重構(gòu)公式：條件：又其中證明：3.能量公式：4.再生核。其中：化成2維后有冗余度如果那么存在使得的充分必要條件為證明：必要性：假定通常令稱為再生核。四．離散短時(shí)Fourier變換。同理：式中為窗函數(shù)的位移長度在頻域上離散：式中的的求證范圍取決于的長度及窗函數(shù)的移動(dòng)長度第五章、小波變換基礎(chǔ)一．小波的基本概念。小波是均值為零的函數(shù)。即且為了分析簡便通常假定：，即由構(gòu)造一簇小波函數(shù)二．小波變換。設(shè)，則的小波變換定義為：三．參數(shù)的作用。1.參數(shù)稱之為尺度因子。假定的中心為的時(shí)寬，則的中心為時(shí)，時(shí)寬為，如果則的時(shí)寬比時(shí)寬寬。設(shè)的Fourier變換為，假定的中心為，頻寬