2025年高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與演練(上海專用)專題04統(tǒng)計(jì)與概率(六大題型)(原卷版+解析)

/專題04統(tǒng)計(jì)與概率（六大題型）TOC\o"1-1"\h\u題型01統(tǒng)計(jì)估計(jì)與概率 1題型02統(tǒng)計(jì)圖表與概率 4題型03隨機(jī)變量的分布與特征 5題型04線性回歸及其綜合應(yīng)用 7題型05獨(dú)立性檢驗(yàn)列聯(lián)表 11題型06函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用與統(tǒng)計(jì)概率綜合 15【解題規(guī)律·提分快招】1、離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值．(2)利用“在某個范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．2、求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每個值的概率．(3)寫出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ)．3、獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式χ2＝計(jì)算．(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷．題型01統(tǒng)計(jì)估計(jì)與概率【典例1-1】．（24-25高三上·上海金山·期末）某高中舉行了一次知識競賽．為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．將成績進(jìn)行整理后，依次分為五組（），其中第1組的頻率為第2組和第4組頻率的等比中項(xiàng)．請根據(jù)下面的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：(1)求a、b的值；(2)從樣本數(shù)據(jù)在兩個小組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生，再從這7名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的兩人恰好來自不同小組的概率；(3)某老師在此次競賽成績中抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：已知這10個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，方差，若剔除其中的95和81兩個分?jǐn)?shù)，求剩余8個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差．【典例1-2】．（2024·上海青浦·一模）第七屆中國國際進(jìn)口博覽會于2024年11月5日至10日在上海舉辦，某公司生產(chǎn)的、三款產(chǎn)品在博覽會上亮相，每一種產(chǎn)品均有普通裝和精品裝兩種款式，該公司每天產(chǎn)量如下表:（單位:個）產(chǎn)品產(chǎn)品產(chǎn)品普通裝

180400精品裝300420600現(xiàn)采用分層抽樣的方法在某一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100個，其中款產(chǎn)品有30個.(1)求的值；(2)用分層抽樣的方法在款產(chǎn)品中抽取一個容量為5的樣本，從樣本中任取2個產(chǎn)品，求其中至少有一個精品裝產(chǎn)品的概率;(3)對抽取到的款產(chǎn)品樣本中某種指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，普通裝產(chǎn)品的平均數(shù)為10，方差為2，精品裝產(chǎn)品的平均數(shù)為12，方差為1.8，試估計(jì)這天生產(chǎn)的款產(chǎn)品的某種指標(biāo)的總體方差（精確到0.01）.【變式1-1】．（2024·上海嘉定·一模）在一場盛大的電競比賽中，有兩支實(shí)力強(qiáng)勁的隊(duì)伍甲和乙進(jìn)行對決.比賽采用5局3勝制，最終的勝者將贏得10萬元獎金，比賽過程中，每局比賽雙方獲勝的概率相互獨(dú)立且甲隊(duì)每局獲勝概率為0.4，乙隊(duì)每局獲勝概率為0.6.比賽開始后，甲隊(duì)先連勝兩局，此時(shí)，主辦方記錄了兩隊(duì)隊(duì)員在這兩局比賽中的一些數(shù)據(jù).甲隊(duì)隊(duì)員的擊殺數(shù)（單位：個）數(shù)據(jù)如下：；乙隊(duì)隊(duì)員的擊殺數(shù)（單位：個）數(shù)據(jù)如下：然而此時(shí)比賽場地突發(fā)技術(shù)故障，比賽不得不中止.請回答以下問題：(1)根據(jù)目前情況（甲隊(duì)已連勝兩局），寫出甲?乙兩隊(duì)“采用5局3勝制”的比賽結(jié)果的樣本空間；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，繪制甲?乙兩隊(duì)隊(duì)員的擊殺數(shù)分布的莖葉圖；(3)在目前情況下（甲隊(duì)已連勝兩局），估算甲乙兩隊(duì)獲勝概率，并據(jù)此分配10萬元獎金.【變式1-2】．（2024·上海虹口·一模）2024年法國奧運(yùn)會落下帷幕．某平臺為了解觀眾對本次奧運(yùn)會的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了本市1000名觀眾，得到他們對本屆奧運(yùn)會的滿意度評分（滿分100分），平臺將評分分為共5層，繪制成頻率分布直方圖（如圖1所示）．并在這些評分中以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評分，繪制成莖葉圖，但由于某種原因莖葉圖受到了污損，可見部分信息如圖2所示．(1)求圖2中這20名觀眾的滿意度評分的第35百分位數(shù)；(2)若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分的概率；(3)已知這1000名觀眾的評分位于上的均值為67，方差為64.7，位于上的均值為73，方差為134.6，求這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差．【變式1-3】．（24-25高三上·上?！て谥校┠彻S為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式，完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間不超過70分鐘的工人為“優(yōu)秀”，否則為“合格”.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：分鐘）繪制了如下莖葉圖：(1)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的第75百分位數(shù)；(2)獨(dú)立地從兩種生產(chǎn)方式中各選出一個人，求選出的兩個人均為優(yōu)秀的概率；(3)為了解該工廠職工的基本信息，從工廠中抽取了100個職工的體重?cái)?shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)全部介于45公斤到75公斤之間，現(xiàn)將100個體重?cái)?shù)據(jù)分為6組：第一組，第二組，，第六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.其中第一組有2人，第二組有13人.求與的值.題型02統(tǒng)計(jì)圖表與概率【典例2-1】．（2024·上海長寧·一模）2024年第七屆中國國際進(jìn)口博覽會（簡稱進(jìn)博會）于11月5日至10日在上海國家會展中心舉行.為了解進(jìn)博會參會者的年齡結(jié)構(gòu)，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15-75歲之間的200名參會者進(jìn)行調(diào)查，并按年齡繪制了頻率分布直方圖，分組區(qū)間為.把年齡落在區(qū)間內(nèi)的人稱為“青年人”，把年齡落在區(qū)間內(nèi)的人稱為“中年人”，把年齡落在內(nèi)的人稱為“老年人”.

(1)求所抽取的“青年人”的人數(shù)；(2)以分層抽樣的方式從“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名參會者做進(jìn)一步訪談，發(fā)現(xiàn)其中女性共4人，這4人中有3人是“中年人”.再用抽簽法從所抽取的10名參會者中任選2人.①簡述如何采用抽簽法任選2人；②設(shè)事件A：2人均為“中年人”，事件B：2人中至少有1人為男性，判斷事件A與事件B是否獨(dú)立，并說明理由.【變式2-1】．（2024·上海奉賢·一模）某芯片代工廠生產(chǎn)甲、乙兩種型號的芯片，為了解芯片的某項(xiàng)指標(biāo)，從這兩種芯片中各抽取100件進(jìn)行檢測，獲得該項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖，如圖所示：假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以樣本估計(jì)總體，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)求頻率分布直方圖中x的值并估計(jì)乙型芯片該項(xiàng)指標(biāo)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)已知甲型芯片指標(biāo)在為航天級芯片，乙型芯片指標(biāo)在為航天為航天級芯片．現(xiàn)分別采用分層抽樣的方式，從甲型芯片指標(biāo)在內(nèi)取2件，乙型芯片指標(biāo)在內(nèi)取4件，再從這6件中任取2件，求至少有一件為航天級芯片的概率．【變式2-2】．（24-25高三上·上海松江·期末）某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個等級，等級系數(shù)依次為1、2、3、4、5，現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取20件，對其等級系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下：12345(1)若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件，求a、b、c的值；(2)在（1）的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為、、，等級系數(shù)為5的2件日用品記為、，現(xiàn)從、、、、這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率．題型03隨機(jī)變量的分布與特征【典例3-1】．（2024·上海松江·二模）某素質(zhì)訓(xùn)練營設(shè)計(jì)了一項(xiàng)闖關(guān)比賽.規(guī)定：三人組隊(duì)參賽，每次只派一個人，且每人只派一次：如果一個人闖關(guān)失敗，再派下一個人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作比賽勝利，無需繼續(xù)闖關(guān).現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為、、，假定、、互不相等，且每人能否闖關(guān)成功的事件相互獨(dú)立.(1)計(jì)劃依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，若，，，求該小組比賽勝利的概率；(2)若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，則寫出所需派出的人員數(shù)目的分布，并求的期望；(3)已知，若乙只能安排在第二個派出，要使派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙誰先派出.【典例3-2】．（24-25高三上·上海奉賢·期中）某市數(shù)學(xué)競賽初賽結(jié)束后，為了解競賽成績情況，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，得到他們的成績，將數(shù)據(jù)分成五組：，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：(1)若只有前的學(xué)生能進(jìn)決賽，則入圍分?jǐn)?shù)應(yīng)設(shè)為多少分？(2)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績?yōu)榈膶W(xué)生中抽取容量為的樣本，再從該樣本中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，設(shè)為其中達(dá)到分及以上的學(xué)生的人數(shù)，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.【變式3-1】．（24-25高三上·上?！ら_學(xué)考試）為了緩解高三學(xué)生學(xué)業(yè)壓力，學(xué)校開展健美操活動，高三某班文藝委員調(diào)查班級學(xué)生是否愿意參加健美操，得到如下的列聯(lián)表.性別愿意不愿意男生610女生186(1)根據(jù)該列聯(lián)表，并依據(jù)顯著水平的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為“學(xué)生性別與是否愿意參加健美操有關(guān)”；(2)在愿意參加的所有學(xué)生中，根據(jù)性別，分層抽樣選取8位學(xué)生組織班級健美操隊(duì)，并從中隨機(jī)選取2人作為領(lǐng)隊(duì)，記這2人中女生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布及期望.附：.【變式3-2】．（2023·上海閔行·三模）某學(xué)校有兩個餐廳為學(xué)生提供午餐與晩餐服務(wù)，甲、乙兩位學(xué)生每天午餐和晩餐都在學(xué)校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況（午餐，晩餐）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天為了吸引學(xué)生就餐，餐廳推出就餐抽獎活動，獲獎的概率為，而餐廳推出就餐送貼紙活動，每次就餐送一張.假設(shè)甲、乙選擇餐廳就餐相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.(1)分別估計(jì)一天中甲午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的概率，乙午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的概率；(2)記為學(xué)生乙在一天中獲得貼紙的數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)餐廳推出活動當(dāng)天學(xué)生甲就參加了抽獎活動，已知如果學(xué)生甲抽中獎品，則第二天午餐再次去餐廳就餐的概率為，如果學(xué)生甲并沒有抽中獎品，第二天午餐依然在餐廳就餐的概率為，若餐廳推出活動的第二天學(xué)生甲午餐去餐廳就餐的概率是，求.【變式3-3】．（24-25高三上·上海松江·階段練習(xí)）某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：賠償次數(shù)01234單數(shù)800100603010假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元．假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差．（i）記為一份保單的毛利潤，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（ii）如果無索賠的保單的保費(fèi)減少4%，有索賠的保單的保費(fèi)增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中估計(jì)值的大?。咀兪?-4】．（23-24高三下·上海青浦·階段練習(xí)）中國首個海外高鐵項(xiàng)目——雅萬高鐵全線長142.3千米，共設(shè)有哈利姆站、卡拉旺站、帕達(dá)拉朗站、德卡伯爾站4個車站.在運(yùn)營期間，鐵路公司隨機(jī)選取了100名乘客的乘車記錄，統(tǒng)計(jì)分析，得到下表（單位：人）：下車站上車站卡拉旺站帕達(dá)拉朗站德卡魯爾站總計(jì)哈利姆站5201540卡拉旺站102030帕達(dá)拉朗站3030總計(jì)53065100用頻率代替概率，根據(jù)上表解決下列問題：(1)在運(yùn)營期間，從卡拉旺站上車的乘客中任選3人，設(shè)這3人到德卡魯爾站下車的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(2)已知地處在哈利姆站與卡拉旺站之間，地居民到哈利姆站乘車的概率為，到卡拉旺站乘車的概率為（地居民不可能在卡拉旺站下車）.在高鐵離開卡拉旺站時(shí)，求從哈利姆站上車的乘客來自地的概率與從卡拉旺站上車的乘客來自地的概率的比值.題型04線性回歸及其綜合應(yīng)用【典例4-1】．（2024·上?！ひ荒＃閹椭l(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量（單位：克每立方米）與樣本對原點(diǎn)的距離（單位：米）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值．（表中）．697.900.212400.1414.1226.13(1)利用相關(guān)系數(shù)的知識，判斷與哪一個更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對原點(diǎn)的距離的回歸方程類型；(2)根據(jù)（1）的結(jié)果建立關(guān)于的回歸方程，并估計(jì)樣本對原點(diǎn)的距離米時(shí)，平均金屬含量是多少？【典例4-2】．（2023·上海楊浦·模擬預(yù)測）某科技公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)，需了解年研發(fā)費(fèi)x（單位：萬元）對年銷售量y（單位：百件）和年利潤（單位：萬元）的影響，現(xiàn)對近6年的年研發(fā)費(fèi)和年銷售量（，2，…，6）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

12.52223.5157.5168004.51254270表中，.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個更適宜作為年研發(fā)費(fèi)x的回歸方程類型；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤，根據(jù)（2）的結(jié)果，當(dāng)年研發(fā)費(fèi)為多少時(shí)，年利潤z的預(yù)報(bào)值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，.【變式4-1】．（2023·上海奉賢·一模）某連鎖便利店從年到年銷售商品品種為種，從年開始，該便利店進(jìn)行了全面升級，銷售商品品種為種.下表中列出了從年到年的利潤額.年份利潤額/萬元(1)若某年的利潤額超過萬元，則該便利店當(dāng)年會被評選為示范店；若利潤額不超過萬元，則該便利店當(dāng)年不會被評選為示范店.試完成列聯(lián)表，并判斷商品品種數(shù)量與便利店是否為示范店有關(guān)？（顯著性水平，）品種為種品種為種總計(jì)被評為示范店次數(shù)未被評為示范店次數(shù)總計(jì)(2)請根據(jù)年至年（剔除年的數(shù)據(jù)）的數(shù)據(jù)建立與的線性回歸模型①；根據(jù)年至年的數(shù)據(jù)建立與的線性回歸模型②.分別用這兩個模型，預(yù)測年該便利店的利潤額并說明這樣的預(yù)測值是否可靠？（回歸系數(shù)精確到，利潤精確到萬元）回歸系數(shù)與的公式如下：【變式4-2】．（2024·上?！つM預(yù)測）某航天公司研發(fā)了一種火箭推進(jìn)器，為測試其性能，對推進(jìn)器飛行距離與損壞零件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：飛行距離5663717990102110117損壞零件數(shù)（個）617390105119136149163(1)建立關(guān)于的回歸模型，根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求回歸方程及相關(guān)系數(shù).（精確到0.1，精確到1，精確到0.0001）(2)該公司進(jìn)行了第二次測試，從所有同型號推進(jìn)器中隨機(jī)抽取100臺進(jìn)行等距離飛行測試，對其中60臺進(jìn)行飛行前保養(yǎng)，測試結(jié)束后，有20臺報(bào)廢，其中保養(yǎng)過的推進(jìn)器占比，請根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為推進(jìn)器是否報(bào)廢與保養(yǎng)有關(guān)？保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)報(bào)廢20未報(bào)廢合計(jì)60100附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【變式4-3】．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）環(huán)境監(jiān)測部門為調(diào)研汽車流量對空氣質(zhì)量的影響，在某監(jiān)測點(diǎn)統(tǒng)計(jì)每日過往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：）．調(diào)研人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制作了關(guān)于的散點(diǎn)圖，并用直線與將散點(diǎn)圖分成如圖所示的四個區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對應(yīng)區(qū)域的樣本點(diǎn)的個數(shù)依次為6，20，16，8．(1)完成下面的列聯(lián)表，并判斷至少有多大把握認(rèn)為“平均濃度不小于與“汽車日流量不小于1500輛”有關(guān)；汽車日流量汽車日流量合計(jì)的平均濃度的平均濃度合計(jì)(2)經(jīng)計(jì)算得回歸方程為，且這50天的汽車日流量的標(biāo)準(zhǔn)差，的平均濃度的標(biāo)準(zhǔn)差．①求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價(jià)值；②若這50天的汽車日流量滿足，試推算這50天的日均濃度的平均數(shù)．（精確到0.1）參考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回歸方程，其中．相關(guān)系數(shù)．若，則認(rèn)為與有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．題型05獨(dú)立性檢驗(yàn)列聯(lián)表【典例5-1】．（24-25高三上·上?！て谥校W(xué)校為了解學(xué)生對“公序良俗”的認(rèn)知情況，設(shè)計(jì)了一份調(diào)查表，題目分為必答題和選答題．其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道題，被調(diào)查者在選答題中自主選擇其中道題目回答即可．現(xiàn)從④、⑥、⑧、⑩四個題目中至少選答一道的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)1道2道3道4道人數(shù)(1)現(xiàn)規(guī)定：同時(shí)選答④、⑥、⑧、⑩的學(xué)生為“公序良俗”達(dá)人．學(xué)校還調(diào)查了這位學(xué)生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達(dá)人的大概比例，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別“公序良俗”達(dá)人非“公序良俗”達(dá)人總計(jì)男性女性總計(jì)請完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“公序良俗”達(dá)人與性別是否有關(guān)．(2)從這名學(xué)生中任選名，記表示這名學(xué)生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．附表見上圖．【典例5-2】．（24-25高三上·上海·階段練習(xí)）為了了解廣大消費(fèi)者購買新能源汽車意向與年齡是否具有相關(guān)性，某汽車APP采用問卷調(diào)查形式對400名消費(fèi)者進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)顯示這400人中中老年人共有150人，且愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的2倍；青年中愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的4倍.年齡段購車意向合計(jì)愿意購買新能源車愿意購買燃油車青年中老年合計(jì)(1)完善2×2列聯(lián)表，請根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析消費(fèi)者對新能源車和燃油車的意向購買與年齡是否有關(guān)；(2)采用分層隨機(jī)抽樣從愿意購買新能源車的消費(fèi)者中抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取5人，求這5人中青年人數(shù)的分布和期望.附：，.0.050.010.0013.8416.63510.828【變式5-1】．（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）某校體育鍛煉時(shí)間準(zhǔn)備提供三項(xiàng)體育活動供學(xué)生選擇．為了解該校學(xué)生是否同意“三項(xiàng)體育活動中要有籃球”，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了名學(xué)生，數(shù)據(jù)如表：男生女生合計(jì)同意50不同意50合計(jì)(1)能否有的把握認(rèn)為學(xué)生對“三項(xiàng)體育活動中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān)?(2)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩供學(xué)生選擇．若甲、乙兩學(xué)生從三項(xiàng)運(yùn)動中隨機(jī)選一種（他們的選擇相互獨(dú)立）．若在甲學(xué)生選擇足球的前提下，兩人的選擇不同的概率為．記事件為“甲學(xué)生選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學(xué)生的選擇不同”，判斷事件是否獨(dú)立，并說明理由．(3)經(jīng)觀察，該校學(xué)生每分鐘跳繩個數(shù)，由往年經(jīng)驗(yàn)，訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個數(shù)比開始時(shí)增加10個，該校有1000名學(xué)生，預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后每分鐘跳個以上人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．參考公式和數(shù)據(jù)：，其中；若，則，，．【變式5-2】．（24-25高三上·上?！て谥校?024年某瓷器公司計(jì)劃向市場推出兩種高檔中國紅瓷杯A和，已知A和燒制成功率分別為和，燒制成功一個A，盈利30元，否則虧損10元；燒制成功一個，盈利80元，否則虧損20元.(1)設(shè)為燒制一個A和一個所得的利潤之和，求隨機(jī)變量的分布和數(shù)學(xué)期望；(2)求燒制4個A所得的利潤不少于80元的概率；(3)公司將用戶對中國紅瓷器的喜歡程度分為“非常滿意”（得分不低于85分）和“滿意”（得分低于85分）兩類，通過調(diào)查完成下表.年齡低于45歲61442317年齡不低于45歲4647358根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表，并依據(jù)顯著性水平的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷居民對瓷器的喜歡程度是否與年齡有關(guān)聯(lián)？非常滿意滿意合計(jì)年齡低于45歲年齡不低于45歲合計(jì)附：，，，與的若干對應(yīng)數(shù)值見下表：0.250.050.0051.3233.8417.879【變式5-3】．（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）近年來，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)上買菜迅速進(jìn)入了我們的生活?，F(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過3次的市民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的市民認(rèn)定為“不喜歡網(wǎng)上買菜”．某市社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上買菜情況，隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計(jì)年齡不超過45歲的市民401050年齡超過45歲的市民203050合計(jì)6040100(1)能否有95%的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上頭菜與年齡有關(guān)？(2)M社區(qū)的市民小張周一、二均在網(wǎng)上買菜，且周一等可能地從兩個買菜平臺隨機(jī)選擇一個下單買菜如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇平臺買菜的概率為，如果周一選每平臺買菜，那么周二選擇平合買菜的概率為，求小張周二選擇平臺買菜的概率；(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從M社區(qū)隨機(jī)抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)為隨機(jī)變量，并記隨機(jī)變量，求、的期望和方差．參考公式：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【變式5-4】．（24-25高三·上?！ふn堂例題）“日行萬步”正成為健康生活的代名詞．某地一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)1000位居民的日行步數(shù)，得到如下表格：日行步數(shù)（單位：千步）人數(shù)（人）206017020030020050(1)為研究日行步數(shù)與居民年齡的關(guān)系，以日行步數(shù)是否超過8千步為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000位居民中抽取200人，得到如下列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)2列聯(lián)表判斷是否有95％把握認(rèn)為日行步數(shù)與居民年齡超過40歲有關(guān)；日行步數(shù)千步日行步數(shù)>8千步總計(jì)40歲以上（人）10040歲以下（含40歲）（人）50總計(jì)2000.500.400.250.150.0100.050.0250.0100.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635(2)以這1000位居民日行步數(shù)超過8千步的頻率，代替該地區(qū)1位居民日行步數(shù)超過8千的概率，每位居民日行步數(shù)是否超過8千相互獨(dú)立．為了深入研究，該研究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了20位居民，其中日行步數(shù)超過8千的最有可能（即概率最大）是多少位居民？【變式5-5】．（2024·上海徐匯·二模）為了解中草藥甲對某疾病的預(yù)防效果，研究人員隨機(jī)調(diào)查了100名人員，調(diào)查數(shù)據(jù)如表.（單位：個）未患病者患病者合計(jì)未服用中草藥甲服用中草藥甲合計(jì)(1)若規(guī)定顯著性水平，試分析中草藥甲對預(yù)防此疾病是否有效；(2)已知中草藥乙對該疾病的治療有效率數(shù)據(jù)如下：對未服用過中草藥甲的患者治療有效率為，對服用過中草藥甲的患者治療有效率為.若用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從患此疾病的人員中隨機(jī)選取2人（分兩次選取，每次1人，兩次選取的結(jié)果獨(dú)立）使用中草藥乙進(jìn)行治療，記治療有效的人數(shù)為，求的分布和數(shù)學(xué)期望.附：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828題型06函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用與統(tǒng)計(jì)概率綜合【典例6-1】．（2023·上海金山·二模）某網(wǎng)站計(jì)劃4月份訂購草莓在網(wǎng)絡(luò)銷售，每天的進(jìn)貨量相同，成本價(jià)為每盒15元.假設(shè)當(dāng)天進(jìn)貨能全部售完，決定每晚七點(diǎn)前（含七點(diǎn)）售價(jià)為每盒20元，每晚七點(diǎn)后售價(jià)為每盒10元.根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，每天晚七點(diǎn)前的購買量與網(wǎng)站每天的瀏覽量（單位：萬次）有關(guān).為確定草莓的進(jìn)貨量，相關(guān)人員統(tǒng)計(jì)了前兩年4月份（共60天）網(wǎng)站每天的瀏覽量（單位：萬次）、晚七點(diǎn)前購買草莓的數(shù)量（單位：盒）以及達(dá)到該流量的天數(shù)，如下表所示：每天的瀏覽量0,1每天晚七點(diǎn)前的購買量300900天數(shù)3624以每天的瀏覽量位于各區(qū)間的頻率代替瀏覽量位于該區(qū)間的概率.(1)求4月份草莓一天晚七點(diǎn)前的購買量（單位：盒）的分布；(2)設(shè)4月份銷售草莓一天的利潤為（單位：元），一天的進(jìn)貨量為（單位：盒），為正整數(shù)且，當(dāng)為多少時(shí)，的期望達(dá)到最大值，并求此最大值.【變式6-1】．（2023·上海長寧·二模）某地新能源汽車保有量符合阻沛型增長模型，其中為自統(tǒng)計(jì)之日起，經(jīng)過t年后該地新能源汽車保有量、和r為增長系數(shù)、M為飽和量．下表是該地近6年年底的新能源汽車的保有量（萬輛）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20182019202020212022t01234保有量9.612.917.123.231.4假設(shè)該地新能源汽車飽和量萬輛．(1)若，假設(shè)2018年數(shù)據(jù)滿足公式，計(jì)算的值（精確到0.01）并估算2023年年底該地新能源汽車保有量（精確到0.1萬輛）；(2)設(shè)，則與t線性相關(guān)．請依據(jù)以上表格中相關(guān)數(shù)據(jù)，利用線性回歸分析確定和r的值（精確到0.01）．附：線性回歸方程中回歸系數(shù)計(jì)算公式如下：.【變式6-2】．（2023·上海浦東新·模擬預(yù)測）為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量（單位：）與樣本對原點(diǎn)的距離（單位：）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.（表中）660(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識，判斷與哪一個更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對原點(diǎn)的距離的回歸方程類型？(2)根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問題：（i）建立關(guān)于的回歸方程；（ii）樣本對原點(diǎn)的距離時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值是多少？(3)已知該金屬在距離原點(diǎn)米時(shí)的平均開采成本（單位：元）與關(guān)系為，根據(jù)（2）的結(jié)果回答，為何值時(shí)，開采成本最大？【變式6-3】．（2023·上海松江·二模）某城市響應(yīng)國家號召，積極調(diào)整能源結(jié)構(gòu)，推出多種價(jià)位的新能源電動汽車．根據(jù)前期市場調(diào)研，有購買新能源車需求的約有2萬人，他們的選擇意向統(tǒng)計(jì)如下：車型ABCDEF價(jià)格9萬元12萬元18萬元24萬元30萬元40萬元占比5%15%25%35%15%5%(1)如果有購車需求的這些人今年都購買了新能源車，今年新能源車的銷售額預(yù)計(jì)約為多少億元？(2)車企推出兩種付款方式：全款購車：購車時(shí)一次性付款可優(yōu)惠車價(jià)的3%；分期付款：無價(jià)格優(yōu)惠，購車時(shí)先付車價(jià)的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付車價(jià)的．①某位顧客現(xiàn)有a萬元現(xiàn)金，欲購買價(jià)值a萬元的某款車，付款后剩余的資金全部用于購買半年期的理財(cái)產(chǎn)品（該理財(cái)產(chǎn)品半年期到期收益率為1.8%），到期后，可用資金（含理財(cái)收益）繼續(xù)購買半年期的理財(cái)產(chǎn)品，問：顧客選擇哪一種付款方式收益更多？（計(jì)算結(jié)果精確到0.0001）②為了激勵購買理財(cái)產(chǎn)品，銀行對采用分期付款方式的顧客，贈送價(jià)值1888元的大禮包，試問：這一措施對哪些車型有效？（計(jì)算結(jié)果精確到0.0001）一、解答題1．（2023·上海普陀·一模）我國隨著人口老齡化程度的加劇，勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已成為公眾關(guān)注的熱點(diǎn)話題之一，為了了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度，某研究機(jī)構(gòu)對屬地所在的一社區(qū)進(jìn)行了調(diào)查，并將隨機(jī)抽取的50名被調(diào)查者的年齡制成如圖所示的莖葉圖.(1)經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，投贊成票的人均年齡恰好是這50人年齡的第60百分位數(shù)，求此百分位數(shù)；(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)年齡在的被調(diào)查者中，投贊成票的男性有3人，女性有2人，現(xiàn)從該組被調(diào)查者中隨機(jī)選取男女各2人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）2．（2024·上海徐匯·一模）某企業(yè)招聘員工，指定“英語聽說”?“信息技術(shù)”?“邏輯推理”作為三門考試課程，有兩種考試方案.方案一：參加三門課程的考試，至少有兩門及格為通過；方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，并參加這兩門課程的考試，兩門都及格為通過.假設(shè)某應(yīng)聘者參加三門指定課程考試及格的概率分別是.，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.(1)分別求該應(yīng)聘者選方案一考試通過的概率和選方案二考試通過的概率；(2)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小，并說明理由.3．（2024·上海奉賢·三模）在剛剛結(jié)束的杭州亞運(yùn)會上，中國羽毛球隊(duì)延續(xù)了傳統(tǒng)優(yōu)勢項(xiàng)目，以4金3銀2銅的成績傲視亞洲．在舊制的羽毛球賽中，只有發(fā)球方贏得這一球才可以得分，即如果發(fā)球方在此回合的爭奪中輸球，則雙方均不得分．但發(fā)球方輸?shù)舸嘶睾虾?，下一回合改為對方發(fā)球．(1)在舊制羽毛球賽中，中國隊(duì)某運(yùn)動員每一回合比賽贏球的概率均為，且各回合相互獨(dú)立．若第一回合該中國隊(duì)運(yùn)動員發(fā)球，求第二回合比賽有運(yùn)動員得分的概率；(2)羽毛球比賽中，先獲得第一分的隊(duì)員往往會更加占據(jù)心理上的優(yōu)勢，給出以下假設(shè)：假設(shè)1：各回合比賽相互獨(dú)立；假設(shè)2：比賽雙方運(yùn)動員甲和乙的實(shí)力相當(dāng)，即每回合比賽中甲獲勝的概率均為；求第一回合發(fā)球者在整場比賽中先得第一分的概率，并說明舊制是否合理？4．（2024·上海·模擬預(yù)測）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長（精確到0.1）(3)是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？（附：其中，．）5．（2024·上海·三模）某學(xué)校為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動的情況，從學(xué)校內(nèi)隨機(jī)抽取了500名高中學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，收集了他們參加公益勞動時(shí)間（單位:小時(shí)）分配情況等數(shù)據(jù)，并將樣本數(shù)據(jù)分成，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)認(rèn)為大于10小時(shí)的公益勞動時(shí)間為長，小于10小時(shí)的公益勞動時(shí)間為短，填寫下列列聯(lián)表，并判斷是否有95%把握認(rèn)為公益勞動時(shí)間與學(xué)生性別有關(guān).性別公益勞動時(shí)間合計(jì)長短男110女120合計(jì)(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生參加公益勞動時(shí)間的分配情況，從參加公益勞動時(shí)間在三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人.記參加公益勞動時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和期望；(3)以調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)概率，從該學(xué)校所有高中學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，用“”表示這20名學(xué)生中恰有名學(xué)生參加公益勞動時(shí)間在]（單位:小時(shí)）內(nèi)的概率，其中.當(dāng)最大時(shí)，寫出的值.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.6356．（2024·上?！と＃榱私馊藗兪欠裣矚g跑步，某機(jī)構(gòu)在一小區(qū)隨機(jī)抽取了40人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表．喜歡不喜歡合計(jì)男12820女101020合計(jì)221840(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷能否有95%的把握認(rèn)為人們對跑步的喜歡情況與性別有關(guān)？附：，其中，(2)該小區(qū)居民張先生每天跑步或開車上班，據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，張先生跑步上班準(zhǔn)時(shí)到公司的概率為，張先生跑步上班遲到的概率為．對于下周（周一～周五）上班方式張先生作出如下安排：周一跑步上班，從周二開始，若前一天準(zhǔn)時(shí)到公司，當(dāng)天就繼續(xù)跑步上班，否則，當(dāng)天就開車上班，且因公司安排，周五開車去公司（無論周四是否準(zhǔn)時(shí)到達(dá)公司）．設(shè)從周一開始到張先生第一次開車去上班前跑步上班的天數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．7．（2024·上?！と＃┰趥魅静W(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛伏期，一研究團(tuán)隊(duì)在當(dāng)?shù)馗腥灸骋环N傳染病的人群中隨機(jī)抽取了200名患者，其中潛伏期超過5天的患者人數(shù)為80．(1)為了研究這200名患者中潛伏期超過5天的群體與不超過5天的群體的性別是否有顯著性差異，該團(tuán)隊(duì)將患者按性別分成兩組進(jìn)行對比，人數(shù)分布如下表所示：潛伏期≤5天潛伏期>5天總計(jì)男6734101女534699總計(jì)12080200請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷這兩類人群的性別有無顯著性差異（顯著性水平），并說明理由；（附：，其中，）(2)為了進(jìn)一步深化研究，該團(tuán)隊(duì)擬在當(dāng)?shù)仉S機(jī)抽取名患者開展個案分析．現(xiàn)用200名患者中潛伏期超過5天的頻率值，作為“從當(dāng)?shù)仉S機(jī)抽取一名患者，其潛伏期超過5天”的概率的估計(jì)值．若該團(tuán)隊(duì)希望事件“這n名患者中，至少有2人的潛伏期超過5天”發(fā)生的概率不低于0.9，同時(shí)為了保障個案分析的質(zhì)量，考慮到時(shí)間與成本的制約，希望抽取的患者數(shù)盡可能少，則該團(tuán)隊(duì)?wèi)?yīng)該抽取多少名患者?8．（2024·上?！と＃┠呈信e行了一次大型宣傳活動，會后組辦方分別從7個不同的地方的問卷調(diào)查中各隨機(jī)抽取了相同數(shù)量的數(shù)據(jù)構(gòu)成一個樣本，依據(jù)相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)該樣本中各地抽取的數(shù)據(jù)人均得分構(gòu)成數(shù)列，且，由各地的得分可以認(rèn)為各地人均得分2服從正態(tài)分布，近似為抽取的樣本中7個地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整數(shù)）.(1)利用正態(tài)分布的知識求；(2)組辦方為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下兩種獎勵方案：方案一：（i）得分不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi)；（ii）每次獲贈的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為獲贈的隨機(jī)話費(fèi)（單位：元）50100概率方案二：參加了此次問卷調(diào)查的市民可獲得價(jià)值100元的“元旦迎新”大型晚會活動入場券，參加了此次問卷調(diào)查的市民可選擇其中一種獎勵方案.①市民小李參加了此次問卷調(diào)查，記X（單位：元）為小李參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；②請問小李是選擇參加獲贈隨機(jī)話費(fèi)活動，還是獲得價(jià)值100元的參加“元旦迎新”入場券？請用統(tǒng)計(jì)中相關(guān)知識為小李作出決策.（附：若，則，，）

專題04統(tǒng)計(jì)與概率（六大題型）TOC\o"1-1"\h\u題型01統(tǒng)計(jì)估計(jì)與概率 1題型02統(tǒng)計(jì)圖表與概率 7題型03隨機(jī)變量的分布與特征 10題型04線性回歸及其綜合應(yīng)用 17題型05獨(dú)立性檢驗(yàn)列聯(lián)表 25題型06函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用與統(tǒng)計(jì)概率綜合 36【解題規(guī)律·提分快招】1、離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值．(2)利用“在某個范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．2、求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每個值的概率．(3)寫出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ)．3、獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式χ2＝計(jì)算．(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷．題型01統(tǒng)計(jì)估計(jì)與概率【典例1-1】．（24-25高三上·上海金山·期末）某高中舉行了一次知識競賽．為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．將成績進(jìn)行整理后，依次分為五組（），其中第1組的頻率為第2組和第4組頻率的等比中項(xiàng)．請根據(jù)下面的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：(1)求a、b的值；(2)從樣本數(shù)據(jù)在兩個小組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生，再從這7名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的兩人恰好來自不同小組的概率；(3)某老師在此次競賽成績中抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：已知這10個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，方差，若剔除其中的95和81兩個分?jǐn)?shù)，求剩余8個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差．【答案】(1)，；(2)；(3)平均數(shù)為88，方差為19.【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖，應(yīng)用頻率和為1及等比中項(xiàng)性質(zhì)列方程求參數(shù)；（2）根據(jù)分層抽樣的等比例性質(zhì)有來自的分別為2人、5人，結(jié)合組合數(shù)及古典概型的概率求法求概率；（3）由平均數(shù)、方差公式求剔除數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差.【解析】（1）由題設(shè)，且，所以且，故，所以，.（2）由題圖知：在兩個小組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)比為，所以抽取7名學(xué)生中，來自的分別為2人、5人，隨機(jī)選出2人，兩人恰好來自不同小組的概率.（3）由題設(shè)得，，假設(shè)剔除的兩個為，則平均值為，此時(shí)方差為.【典例1-2】．（2024·上海青浦·一模）第七屆中國國際進(jìn)口博覽會于2024年11月5日至10日在上海舉辦，某公司生產(chǎn)的、三款產(chǎn)品在博覽會上亮相，每一種產(chǎn)品均有普通裝和精品裝兩種款式，該公司每天產(chǎn)量如下表:（單位:個）產(chǎn)品產(chǎn)品產(chǎn)品普通裝

180400精品裝300420600現(xiàn)采用分層抽樣的方法在某一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100個，其中款產(chǎn)品有30個.(1)求的值；(2)用分層抽樣的方法在款產(chǎn)品中抽取一個容量為5的樣本，從樣本中任取2個產(chǎn)品，求其中至少有一個精品裝產(chǎn)品的概率;(3)對抽取到的款產(chǎn)品樣本中某種指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，普通裝產(chǎn)品的平均數(shù)為10，方差為2，精品裝產(chǎn)品的平均數(shù)為12，方差為1.8，試估計(jì)這天生產(chǎn)的款產(chǎn)品的某種指標(biāo)的總體方差（精確到0.01）.【答案】(1)100；(2)；(3).【分析】（1）由分層隨機(jī)抽樣的抽樣比直接計(jì)算即可；（2）由古典概型結(jié)合組合數(shù)公式即可求解；（3）根據(jù)分層抽樣總體的方差公式求解即可.【解析】（1）由題意可知，該工廠一天所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100個，其中B款產(chǎn)品有30個，則，解得.（2）設(shè)所抽取的樣本中有個精品裝產(chǎn)品，則，解得所以容量為5的樣本中，有3個精品裝產(chǎn)品，2個普通裝產(chǎn)品.因此從樣本中任取2個產(chǎn)品，至少有1個精品裝產(chǎn)品的概率為（3）由題意，某項(xiàng)指標(biāo)總體的平均數(shù)為，所以由分層抽樣的總體方差公式可得【變式1-1】．（2024·上海嘉定·一模）在一場盛大的電競比賽中，有兩支實(shí)力強(qiáng)勁的隊(duì)伍甲和乙進(jìn)行對決.比賽采用5局3勝制，最終的勝者將贏得10萬元獎金，比賽過程中，每局比賽雙方獲勝的概率相互獨(dú)立且甲隊(duì)每局獲勝概率為0.4，乙隊(duì)每局獲勝概率為0.6.比賽開始后，甲隊(duì)先連勝兩局，此時(shí)，主辦方記錄了兩隊(duì)隊(duì)員在這兩局比賽中的一些數(shù)據(jù).甲隊(duì)隊(duì)員的擊殺數(shù)（單位：個）數(shù)據(jù)如下：；乙隊(duì)隊(duì)員的擊殺數(shù)（單位：個）數(shù)據(jù)如下：然而此時(shí)比賽場地突發(fā)技術(shù)故障，比賽不得不中止.請回答以下問題：(1)根據(jù)目前情況（甲隊(duì)已連勝兩局），寫出甲?乙兩隊(duì)“采用5局3勝制”的比賽結(jié)果的樣本空間；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，繪制甲?乙兩隊(duì)隊(duì)員的擊殺數(shù)分布的莖葉圖；(3)在目前情況下（甲隊(duì)已連勝兩局），估算甲乙兩隊(duì)獲勝概率，并據(jù)此分配10萬元獎金.【答案】(1)；(2)莖葉圖見解析；(3)甲乙獲勝的概率分別為，獎金分別為萬元和萬元.【分析】（1）根據(jù)給定條件，寫出比賽結(jié)果的樣本空間.（2）繪制擊殺數(shù)分布的莖葉圖.（3）利用相互獨(dú)立事件的概率及對立事件的概率估計(jì)概率，再按概率分配獎金.【解析】（1）用表示甲隊(duì)在第局獲勝，則表示乙隊(duì)第局獲勝，所以所求樣本空間.（2）甲?乙兩隊(duì)隊(duì)員的擊殺數(shù)分布的莖葉圖，如圖，（3）乙隊(duì)獲勝的事件為，則，，因此甲隊(duì)獲勝的概率為，由此分配10萬元獎金，甲隊(duì)分得（萬元），乙隊(duì)分得萬元.【變式1-2】．（2024·上海虹口·一模）2024年法國奧運(yùn)會落下帷幕．某平臺為了解觀眾對本次奧運(yùn)會的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了本市1000名觀眾，得到他們對本屆奧運(yùn)會的滿意度評分（滿分100分），平臺將評分分為共5層，繪制成頻率分布直方圖（如圖1所示）．并在這些評分中以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評分，繪制成莖葉圖，但由于某種原因莖葉圖受到了污損，可見部分信息如圖2所示．(1)求圖2中這20名觀眾的滿意度評分的第35百分位數(shù)；(2)若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分的概率；(3)已知這1000名觀眾的評分位于上的均值為67，方差為64.7，位于上的均值為73，方差為134.6，求這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差．【答案】(1)(2)(3)這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差分別為，.【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可；（2）先求出的人數(shù)，利用對立事件結(jié)合古典概型求解即可；（3）根據(jù)題意利用分層抽樣的平均數(shù)和方差公式運(yùn)算求解.【解析】（1）∵，∴第35百分位數(shù)為第兩個數(shù)的平方數(shù)（2）由圖1可知，圖2中有2人，所以從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分設(shè)為事件，所以.（3）由題意可知：落在的頻率為，落在的頻率為，因?yàn)檫@1000名觀眾的評分位于上的均值為67，方差為64.7，位于上的均值為73，方差為134.6，所以，設(shè)這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差分別為，所以，解得：，，解得：.這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差分別為，.【變式1-3】．（24-25高三上·上?！て谥校┠彻S為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式，完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間不超過70分鐘的工人為“優(yōu)秀”，否則為“合格”.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：分鐘）繪制了如下莖葉圖：(1)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的第75百分位數(shù)；(2)獨(dú)立地從兩種生產(chǎn)方式中各選出一個人，求選出的兩個人均為優(yōu)秀的概率；(3)為了解該工廠職工的基本信息，從工廠中抽取了100個職工的體重?cái)?shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)全部介于45公斤到75公斤之間，現(xiàn)將100個體重?cái)?shù)據(jù)分為6組：第一組，第二組，，第六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.其中第一組有2人，第二組有13人.求與的值.【答案】(1)(2)(3)；【分析】（1）按照求百分?jǐn)?shù)的計(jì)算步驟計(jì)算即可；（2）分別算出第一種與第二種生產(chǎn)方式中優(yōu)秀的概率相乘即可；（3）據(jù)直方圖面積為1的性質(zhì)及第一組第二組的人數(shù)建立方程組，解出，進(jìn)而得解.【解析】（1）40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間按從小到大排列為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，因?yàn)?，所以?5百分?jǐn)?shù)為；（2）由題意可知，第一種生產(chǎn)方式中優(yōu)秀的概率為，第二種生產(chǎn)方式中優(yōu)秀的概率為，所以選出的兩個人均為優(yōu)秀的概率為.（3）依題意，則，又因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以?題型02統(tǒng)計(jì)圖表與概率【典例2-1】．（2024·上海長寧·一模）2024年第七屆中國國際進(jìn)口博覽會（簡稱進(jìn)博會）于11月5日至10日在上海國家會展中心舉行.為了解進(jìn)博會參會者的年齡結(jié)構(gòu)，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15-75歲之間的200名參會者進(jìn)行調(diào)查，并按年齡繪制了頻率分布直方圖，分組區(qū)間為.把年齡落在區(qū)間內(nèi)的人稱為“青年人”，把年齡落在區(qū)間內(nèi)的人稱為“中年人”，把年齡落在內(nèi)的人稱為“老年人”.

(1)求所抽取的“青年人”的人數(shù)；(2)以分層抽樣的方式從“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名參會者做進(jìn)一步訪談，發(fā)現(xiàn)其中女性共4人，這4人中有3人是“中年人”.再用抽簽法從所抽取的10名參會者中任選2人.①簡述如何采用抽簽法任選2人；②設(shè)事件A：2人均為“中年人”，事件B：2人中至少有1人為男性，判斷事件A與事件B是否獨(dú)立，并說明理由.【答案】(1)80(2)①答案見解析；②事件A與事件B不獨(dú)立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得的值，然后求得“青年人”人數(shù)占比，從而可得“青年人”人數(shù)；（2）①利用簡單隨機(jī)抽樣設(shè)計(jì)抽簽法任選2人即可；②根據(jù)獨(dú)立事件判斷公式，結(jié)合超幾何分布概率問題求解，從而可得結(jié)論.【解析】（1）由頻率分布直方圖可得，解得：，又“青年人”占比為，所以所抽取的“青年人”人數(shù)為人；（2）①先將10名參會者進(jìn)行編號：1、2、、10，并將10個號碼寫在完全相同的紙片上，放入某容器中充分混合均勻，再取出2張，2張紙片上所對應(yīng)的參會者就是要選取的人，②“青年人”“中年人”“老年人”的人數(shù)之比為，所以10人中“中年人”共有5人，2人均為“中年人”的概率，2人中至少有1人為男性的概率，2人均為“中年人”且至少有1人為男性的概率，因?yàn)椋允录嗀與事件B不獨(dú)立.【變式2-1】．（2024·上海奉賢·一模）某芯片代工廠生產(chǎn)甲、乙兩種型號的芯片，為了解芯片的某項(xiàng)指標(biāo)，從這兩種芯片中各抽取100件進(jìn)行檢測，獲得該項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖，如圖所示：假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以樣本估計(jì)總體，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)求頻率分布直方圖中x的值并估計(jì)乙型芯片該項(xiàng)指標(biāo)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)已知甲型芯片指標(biāo)在為航天級芯片，乙型芯片指標(biāo)在為航天為航天級芯片．現(xiàn)分別采用分層抽樣的方式，從甲型芯片指標(biāo)在內(nèi)取2件，乙型芯片指標(biāo)在內(nèi)取4件，再從這6件中任取2件，求至少有一件為航天級芯片的概率．【答案】(1)，.(2).【分析】（1）由頻率和為1求出得值，根據(jù)平均數(shù)公式求出平均值.（2）根據(jù)條件列舉樣本容量和樣本點(diǎn)的方法，列式求解.【解析】（1）由題意得，解得.由頻率分布直方圖得乙型芯片該項(xiàng)指標(biāo)的平均值：.（2）根據(jù)分層抽樣得，來自甲型芯片指標(biāo)在和的各1件，分別記為和，來自甲型芯片指標(biāo)在和分別為3件和1件，分別記為，，和，從中任取2件，樣本空間可記為，，，，，，，，，，，，，，共15個，記事件：至少有一件為航天級芯片,則，，，，，，，，共9個，所以.【變式2-2】．（24-25高三上·上海松江·期末）某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個等級，等級系數(shù)依次為1、2、3、4、5，現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取20件，對其等級系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下：12345(1)若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件，求a、b、c的值；(2)在（1）的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為、、，等級系數(shù)為5的2件日用品記為、，現(xiàn)從、、、、這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率．【答案】(1)，，(2)所有可能的結(jié)果詳見解析；概率為．【分析】（1）根據(jù)頻率和頻數(shù)的關(guān)系可求的值，根據(jù)頻率和為可求的值.（2）用列舉法寫出所有的可能性，再結(jié)合古典概型公式求解即可.【解析】（1）因?yàn)榈燃壪禂?shù)為4的恰有3件，所以；等級系數(shù)為5的恰有2件，所以；因?yàn)?，所?故，，.（2）從、、、、這5件日用品中任取兩件，所有可能得結(jié)果有：，，，，，，，，，共10種情況.這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的結(jié)果有：，，，，共4個.因?yàn)槊糠N結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，所以這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率為：.題型03隨機(jī)變量的分布與特征【典例3-1】．（2024·上海松江·二模）某素質(zhì)訓(xùn)練營設(shè)計(jì)了一項(xiàng)闖關(guān)比賽.規(guī)定：三人組隊(duì)參賽，每次只派一個人，且每人只派一次：如果一個人闖關(guān)失敗，再派下一個人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作比賽勝利，無需繼續(xù)闖關(guān).現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為、、，假定、、互不相等，且每人能否闖關(guān)成功的事件相互獨(dú)立.(1)計(jì)劃依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，若，，，求該小組比賽勝利的概率；(2)若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，則寫出所需派出的人員數(shù)目的分布，并求的期望；(3)已知，若乙只能安排在第二個派出，要使派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙誰先派出.【答案】(1)(2)(3)先派出甲【分析】（1）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解；（2）由題意可知，的所有可能取值為1，2，3，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而得到的分布，再結(jié)合期望公式求解；（3）分別計(jì)算出依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)和依次派丙乙甲進(jìn)行闖關(guān)，所派出人員數(shù)目的期望，再利用作差法比較大小即可．【解析】（1）設(shè)事件表示“該小組比賽勝利”，則；（2）由題意可知，的所有可能取值為1，2，3，則，，，所以的分布為：所以；（3）若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為，由（2）可知，，若依次派丙乙甲進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為，則，則，因?yàn)?，所以，，所以，即，所以要使派出人員數(shù)目的期望較小，先派出甲．【典例3-2】．（24-25高三上·上海奉賢·期中）某市數(shù)學(xué)競賽初賽結(jié)束后，為了解競賽成績情況，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，得到他們的成績，將數(shù)據(jù)分成五組：，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：(1)若只有前的學(xué)生能進(jìn)決賽，則入圍分?jǐn)?shù)應(yīng)設(shè)為多少分？(2)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績?yōu)榈膶W(xué)生中抽取容量為的樣本，再從該樣本中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，設(shè)為其中達(dá)到分及以上的學(xué)生的人數(shù)，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)分(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義，結(jié)合頻率分布直方圖，可得答案；（2）寫出變量的可能取值，分別求得概率，寫出分布列，利用期望公式，可得答案.【解析】（1）成績在區(qū)間的比例為：；成績在區(qū)間的比例為：，因此分位數(shù)位于區(qū)間；因此入圍分?jǐn)?shù)為：，因此入圍分?jǐn)?shù)應(yīng)設(shè)為分.（2）在這六個人中，有兩人的分?jǐn)?shù)在分及以上，因此，，，，變量的分布列為：所以的數(shù)學(xué)期望為.【變式3-1】．（24-25高三上·上海·開學(xué)考試）為了緩解高三學(xué)生學(xué)業(yè)壓力，學(xué)校開展健美操活動，高三某班文藝委員調(diào)查班級學(xué)生是否愿意參加健美操，得到如下的列聯(lián)表.性別愿意不愿意男生610女生186(1)根據(jù)該列聯(lián)表，并依據(jù)顯著水平的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為“學(xué)生性別與是否愿意參加健美操有關(guān)”；(2)在愿意參加的所有學(xué)生中，根據(jù)性別，分層抽樣選取8位學(xué)生組織班級健美操隊(duì)，并從中隨機(jī)選取2人作為領(lǐng)隊(duì)，記這2人中女生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布及期望.附：.【答案】(1)能(2)分布列見解析，【分析】（1）完善列聯(lián)表，作出零假設(shè)，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)公式計(jì)算的值，推斷出零假設(shè)成立與否，從而得出判斷；（2）根據(jù)列聯(lián)表得出選取8人中男生與女生人數(shù)，由超幾何分布計(jì)算出對應(yīng)概率值，得出隨機(jī)變量的分布列，求出數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）列聯(lián)表如下：性別愿意不愿意合計(jì)男生61016女生18624合計(jì)241640零假設(shè)為：是否愿意參加健美操與學(xué)生性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得,根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立,既認(rèn)為是否愿意參加健美操與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)，此判斷犯錯誤的概率不大于0.005.（2）根據(jù)列聯(lián)表可得愿意參加健美操的學(xué)生中女生占全部的，∴選取的8人中，女生有人，男生有人，∴隨機(jī)變量的可取值：0,1,2.∴，，.∴隨機(jī)變量的分布列：012數(shù)學(xué)期望.【變式3-2】．（2023·上海閔行·三模）某學(xué)校有兩個餐廳為學(xué)生提供午餐與晩餐服務(wù)，甲、乙兩位學(xué)生每天午餐和晩餐都在學(xué)校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況（午餐，晩餐）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天為了吸引學(xué)生就餐，餐廳推出就餐抽獎活動，獲獎的概率為，而餐廳推出就餐送貼紙活動，每次就餐送一張.假設(shè)甲、乙選擇餐廳就餐相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.(1)分別估計(jì)一天中甲午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的概率，乙午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的概率；(2)記為學(xué)生乙在一天中獲得貼紙的數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)餐廳推出活動當(dāng)天學(xué)生甲就參加了抽獎活動，已知如果學(xué)生甲抽中獎品，則第二天午餐再次去餐廳就餐的概率為，如果學(xué)生甲并沒有抽中獎品，第二天午餐依然在餐廳就餐的概率為，若餐廳推出活動的第二天學(xué)生甲午餐去餐廳就餐的概率是，求.【答案】(1)0.3，0.4(2)，分布列見解析(3)【分析】（1）根據(jù)古典概型公式計(jì)算即可.（2）求得的可能取值及對應(yīng)概率完成分布列，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望公式求解即可.（3）根據(jù)全概率和條件概率公式求解即可.【解析】（1）設(shè)事件C為“一天中甲員工午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐”，事件D為“乙員工午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐”，因?yàn)?00個工作日中甲員工午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的天數(shù)為30，乙員工午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的天數(shù)為40，所以.（2）由題意知，可以取的值為：0，1，2，，，故的分布為：.（3）設(shè)表示事件“去餐廳就餐獲獎”，表示事件“學(xué)生甲午餐去餐廳就餐”，由題知，，，，，則，解得.即如果學(xué)生甲并沒有抽中獎品，第二天午餐依然在餐廳就餐的概率.【變式3-3】．（24-25高三上·上海松江·階段練習(xí)）某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：賠償次數(shù)01234單數(shù)800100603010假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元．假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差．（i）記為一份保單的毛利潤，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（ii）如果無索賠的保單的保費(fèi)減少4%，有索賠的保單的保費(fèi)增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中估計(jì)值的大?。敬鸢浮?1)(2)（i）；（ii）答案見解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率；（2）（i）設(shè)為賠付金額，則可取，用頻率估計(jì)概率后可求的分布列及數(shù)學(xué)期望，從而可求；（ii）先算出下一期保費(fèi)的變化情況，結(jié)合（1）的結(jié)果可求，從而即可比較大小得解.【解析】（1）設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得：.（2）（i）設(shè)為賠付金額，則可取，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得：，，，，，故，故（萬元）.（ii）由題設(shè)保費(fèi)的變化為，故.【變式3-4】．（23-24高三下·上海青浦·階段練習(xí)）中國首個海外高鐵項(xiàng)目——雅萬高鐵全線長142.3千米，共設(shè)有哈利姆站、卡拉旺站、帕達(dá)拉朗站、德卡伯爾站4個車站.在運(yùn)營期間，鐵路公司隨機(jī)選取了100名乘客的乘車記錄，統(tǒng)計(jì)分析，得到下表（單位：人）：下車站上車站卡拉旺站帕達(dá)拉朗站德卡魯爾站總計(jì)哈利姆站5201540卡拉旺站102030帕達(dá)拉朗站3030總計(jì)53065100用頻率代替概率，根據(jù)上表解決下列問題：(1)在運(yùn)營期間，從卡拉旺站上車的乘客中任選3人，設(shè)這3人到德卡魯爾站下車的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(2)已知地處在哈利姆站與卡拉旺站之間，地居民到哈利姆站乘車的概率為，到卡拉旺站乘車的概率為（地居民不可能在卡拉旺站下車）.在高鐵離開卡拉旺站時(shí)，求從哈利姆站上車的乘客來自地的概率與從卡拉旺站上車的乘客來自地的概率的比值.【答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）首先求出樣本中從卡拉旺站上車的乘客到德卡魯爾站下車的概率，即可得到，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出分布列，再計(jì)算其期望即可；（2）記事件：該乘客來自地；記事件：該乘客在哈利姆站上車；記事件：該乘客在卡拉旺站上車，依題意得到，，，，再由概率乘法公式得到，從而得到.【解析】（1）從卡拉旺站上車的乘客到德卡魯爾站下車的概率，根據(jù)頻率估計(jì)概率，從卡拉旺站上車的乘客中任選3人，則這3人到德卡魯爾站下車的人數(shù)，即的可能取值為，，，，所以，，，，所以的分布列如下：0123則；（2）由表中數(shù)據(jù)可知，在高鐵離開卡拉旺站時(shí)，在哈利姆站上車的有35人，在卡拉旺站上車的有30人.記事件：該乘客來自地；記事件：該乘客在哈利姆站上車；記事件：該乘客在卡拉旺站上車；，，，，從哈利姆站上車的乘客中是來自地的概率為，從卡拉旺站上車的乘客中是來自地的概率為，，，，，，在高鐵離開卡拉旺站時(shí)，所求概率的比值為.題型04線性回歸及其綜合應(yīng)用【典例4-1】．（2024·上海·一模）為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量（單位：克每立方米）與樣本對原點(diǎn)的距離（單位：米）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值．（表中）．697.900.212400.1414.1226.13(1)利用相關(guān)系數(shù)的知識，判斷與哪一個更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對原點(diǎn)的距離的回歸方程類型；(2)根據(jù)（1）的結(jié)果建立關(guān)于的回歸方程，并估計(jì)樣本對原點(diǎn)的距離米時(shí)，平均金屬含量是多少？【答案】(1)更適宜作為回歸方程類型；(2)，.【分析】（1）根據(jù)題意，分別求得相關(guān)系數(shù)的值，結(jié)合和，結(jié)合，即可得到結(jié)論.（2）（i）根據(jù)最小二乘法，求得回歸系數(shù)，進(jìn)而求得回歸方程；（ii）當(dāng)時(shí)，結(jié)合回歸方程，即可求得預(yù)報(bào)值.【解析】（1）因?yàn)榈木€性相關(guān)系數(shù)，的線性相關(guān)系數(shù)，因?yàn)?，所以更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對原點(diǎn)的距離的回歸方程類型.（2）依題意，，則，于是，所以關(guān)于的回歸方程為.當(dāng)時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值為.【典例4-2】．（2023·上海楊浦·模擬預(yù)測）某科技公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)，需了解年研發(fā)費(fèi)x（單位：萬元）對年銷售量y（單位：百件）和年利潤（單位：萬元）的影響，現(xiàn)對近6年的年研發(fā)費(fèi)和年銷售量（，2，…，6）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

12.52223.5157.5168004.51254270表中，.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個更適宜作為年研發(fā)費(fèi)x的回歸方程類型；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤，根據(jù)（2）的結(jié)果，當(dāng)年研發(fā)費(fèi)為多少時(shí)，年利潤z的預(yù)報(bào)值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，.【答案】(1)；(2)；(3)30萬元.【分析】（1）由散點(diǎn)圖可以判斷更適宜作為年研發(fā)費(fèi)x的回歸方程類型；（2）令，建立y關(guān)于的線性回歸方程，再利用最小二乘法求出y關(guān)于μ的線性回歸方程即得解；（3）求出，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值得解.【解析】（1）由散點(diǎn)圖可以判斷更適宜作為年研發(fā)費(fèi)x的回歸方程類型.（2）令，所以.，，所以y關(guān)于μ的線性回歸方程，因此，關(guān)于x的回歸方程為.（3）由（2）可知，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)研發(fā)費(fèi)為30萬元時(shí)，年利潤z的預(yù)報(bào)值最大.【變式4-1】．（2023·上海奉賢·一模）某連鎖便利店從年到年銷售商品品種為種，從年開始，該便利店進(jìn)行了全面升級，銷售商品品種為種.下表中列出了從年到年的利潤額.年份利潤額/萬元(1)若某年的利潤額超過萬元，則該便利店當(dāng)年會被評選為示范店；若利潤額不超過萬元，則該便利店當(dāng)年不會被評選為示范店.試完成列聯(lián)表，并判斷商品品種數(shù)量與便利店是否為示范店有關(guān)？（顯著性水平，）品種為種品種為種總計(jì)被評為示范店次數(shù)未被評為示范店次數(shù)總計(jì)(2)請根據(jù)年至年（剔除年的數(shù)據(jù)）的數(shù)據(jù)建立與的線性回歸模型①；根據(jù)年至年的數(shù)據(jù)建立與的線性回歸模型②.分別用這兩個模型，預(yù)測年該便利店的利潤額并說明這樣的預(yù)測值是否可靠？（回歸系數(shù)精確到，利潤精確到萬元）回歸系數(shù)與的公式如下：【答案】(1)列聯(lián)表見解析，商品品種的提升與該便利店是否是示范店有關(guān).(2)答案見解析【分析】（1）列出列聯(lián)表后計(jì)算出后，與比較大小即可得；（2）分別計(jì)算出線性回歸模型后，結(jié)合所得數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷即可得.【解析】（1）列聯(lián)表為品種為種品種為種總計(jì)被評為示范店次數(shù)未被評為示范店次數(shù)總計(jì)，可以判斷商品品種的提升與該便利店是否是示范店有關(guān).（2）線性回歸模型①：，，則，則，故，當(dāng)時(shí)，預(yù)測值為；線性回歸模型②：，，則，，故，當(dāng)時(shí)，預(yù)測值為.模型①的預(yù)測不可靠，根據(jù)（1）可以知道商品品種與便利店的品質(zhì)有關(guān)，影響了利潤額，因此按照經(jīng)濟(jì)發(fā)展規(guī)律，應(yīng)該用比較新的數(shù)據(jù)即品種為3000種的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測；

模型②的預(yù)測不可靠，2022年可能因?yàn)槭芤咔橛绊懟蛘咂渌豢梢蛩?，其利潤額60.5為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)該剔除.【變式4-2】．（2024·上?！つM預(yù)測）某航天公司研發(fā)了一種火箭推進(jìn)器，為測試其性能，對推進(jìn)器飛行距離與損壞零件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：飛行距離5663717990102110117損壞零件數(shù)（個）617390105119136149163(1)建立關(guān)于的回歸模型，根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求回歸方程及相關(guān)系數(shù).（精確到0.1，精確到1，精確到0.0001）(2)該公司進(jìn)行了第二次測試，從所有同型號推進(jìn)器中隨機(jī)抽取100臺進(jìn)行等距離飛行測試，對其中60臺進(jìn)行飛行前保養(yǎng)，測試結(jié)束后，有20臺報(bào)廢，其中保養(yǎng)過的推進(jìn)器占比，請根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為推進(jìn)器是否報(bào)廢與保養(yǎng)有關(guān)？保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)報(bào)廢20未報(bào)廢合計(jì)60100附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)，(2)列聯(lián)表見解析，能認(rèn)為【分析】（1）利用最小二乘法求出，即可得出回歸方程，再根據(jù)公式求出相關(guān)系數(shù)即可；（2）根據(jù)題意可將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，根公式求得，再對照臨界值表即可得出結(jié)論.【解析】（1），，又由，可得，則，所以變量關(guān)于的線性回歸方程為，，；（2）設(shè)零假設(shè)為：是否報(bào)廢與是否保養(yǎng)無關(guān)，由題意，報(bào)廢推進(jìn)器中保養(yǎng)過的共臺，未保養(yǎng)的推進(jìn)器共臺，補(bǔ)充列聯(lián)表如下：保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)報(bào)廢61420未報(bào)廢542680合計(jì)6040100則，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為是否報(bào)廢與保養(yǎng)有關(guān)，此推斷的錯誤概率不大于.【變式4-3】．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）環(huán)境監(jiān)測部門為調(diào)研汽車流量對空氣質(zhì)量的影響，在某監(jiān)測點(diǎn)統(tǒng)計(jì)每日過往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：）．調(diào)研人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制作了關(guān)于的散點(diǎn)圖，并用直線與將散點(diǎn)圖分成如圖所示的四個區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對應(yīng)區(qū)域的樣本點(diǎn)的個數(shù)依次為6，20，16，8．(1)完成下面的列聯(lián)表，并判斷至少有多大把握認(rèn)為“平均濃度不小于與“汽車日流量不小于1500輛”有關(guān)；汽車日流量汽車日流量合計(jì)的平均濃度的平均濃度合計(jì)(2)經(jīng)計(jì)算得回歸方程為，且這50天的汽車日流量的標(biāo)準(zhǔn)差，的平均濃度的標(biāo)準(zhǔn)差．①求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價(jià)值；②若這50天的汽車日流量滿足，試推算這50天的日均濃度的平均數(shù)．（精確到0.1）參考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回歸方程，其中．相關(guān)系數(shù)．若，則認(rèn)為與有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．【答案】(1)列聯(lián)表見解析，至少有的把握；(2)①0.84，有價(jià)值；②【分析】（1）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表，再計(jì)算，結(jié)合表格即可求得結(jié)果.（2）代入公式計(jì)算可判斷與的相關(guān)性強(qiáng)弱，由可得，結(jié)合回歸直線必過樣本中心可求得的值.【解析】（1）列聯(lián)表如下：汽車日流量汽車日流量合計(jì)的平均濃度16824的平均濃度62026合計(jì)222850零假設(shè)：“PM2.5平均濃度不小于100μg/m3”與“汽車日流量不小于1500輛”無關(guān)，因?yàn)椋灾辽儆械陌盐眨ǖ€不能有的把握）認(rèn)為“平均濃度不小于”與“汽車日流量不小于1500輛有關(guān)”．（2）①因?yàn)榛貧w方程為，所以，又因?yàn)?，，所以．與有較強(qiáng)的相關(guān)性，該回歸方程有價(jià)值．②，解得而樣本中心點(diǎn)位于回歸直線上，因此可推算.題型05獨(dú)立性檢驗(yàn)列聯(lián)表【典例5-1】．（24-25高三上·上海·期中）學(xué)校為了解學(xué)生對“公序良俗”的認(rèn)知情況，設(shè)計(jì)了一份調(diào)查表，題目分為必答題和選答題．其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道題，被調(diào)查者在選答題中自主選擇其中道題目回答即可．現(xiàn)從④、⑥、⑧、⑩四個題目中至少選答一道的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)1道2道3道4道人數(shù)(1)現(xiàn)規(guī)定：同時(shí)選答④、⑥、⑧、⑩的學(xué)生為“公序良俗”達(dá)人．學(xué)校還調(diào)查了這位學(xué)生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達(dá)人的大概比例，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別“公序良俗”達(dá)人非“公序良俗”達(dá)人總計(jì)男性女性總計(jì)請完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“公序良俗”達(dá)人與性別是否有關(guān)．(2)從這名學(xué)生中任選名，記表示這名學(xué)生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．附表見上圖．【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有關(guān)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全列聯(lián)表，求得，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的可能有0，1，2，3，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.【解析】（1）這100位學(xué)生中，“公序良俗”達(dá)人有20人，由此補(bǔ)全列聯(lián)表如下：

性別“公序良俗”達(dá)人非“公序良俗”達(dá)人總計(jì)男性133043女性75057總計(jì)2080100零假設(shè)：“公序良俗”達(dá)人與性別無關(guān)，可得，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們可推斷不成立，即認(rèn)為“公序良俗”達(dá)人與性別有關(guān)．（2）由題意，隨機(jī)變量的可能有，，，，可得，，，，所以的分布列如下：0123所以數(shù)學(xué)期望.【典例5-2】．（24-25高三上·上海·階段練習(xí)）為了了解廣大消費(fèi)者購買新能源汽車意向與年齡是否具有相關(guān)性，某汽車APP采用問卷調(diào)查形式對400名消費(fèi)者進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)顯示這400人中中老年人共有150人，且愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的2倍；青年中愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的4倍.年齡段購車意向合計(jì)愿意購買新能源車愿意購買燃油車青年中老年合計(jì)(1)完善2×2列聯(lián)表，請根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析消費(fèi)者對新能源車和燃油車的意向購買與年齡是否有關(guān)；(2)采用分層隨機(jī)抽樣從愿意購買新能源車的消費(fèi)者中抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取5人，求這5人中青年人數(shù)的分布和期望.附：，.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有關(guān)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題意分別求出愿意購買新能源車的中年人數(shù)和青年人數(shù)以及愿意購買燃油車中年人數(shù)和青年人數(shù)，即可補(bǔ)全列聯(lián)表，再根據(jù)公式計(jì)算出，根據(jù)表格即可判斷；（2）先求出抽取9人中青年人數(shù)和中年人數(shù)，求出青年人數(shù)的可能取值及其對應(yīng)的概率，即可求出分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式即可求解.【解析】（1）