【課件】等腰三角形+　課件人教版八年級數(shù)學(xué)上冊

15.3等腰三角形第十五章軸對稱15.3.1等腰三角形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的判定知識點(diǎn)等腰三角形的性質(zhì)1知1－講文字語言符號語言圖示性質(zhì)1等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡寫成“等邊對等角”)如圖，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C知1－講文字語言符號語言圖示性質(zhì)2等腰三角形底邊上的中線、高及頂角平分線重合(簡寫成“三線合一”)如圖，在△ABC中，AB＝AC.①∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC且BD＝CD；②∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC

且BD＝CD；③∵BD＝CD，∴AD平分∠BAC

且AD⊥BC知1－講文字語言符號語言圖示軸對稱性等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線(頂角的平分線、底邊上的高)所在直線就是它的對稱軸特別提醒1.適用條件：必須在同一個(gè)三角形中.2.作用：是證明角相等的常用方法，應(yīng)用它證角相等時(shí)可省去三角形全等的證明，因而更簡便.知1－講特別解讀1.適用條件：(1)必須是等腰三角形；(2)必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角的平分線才相互重合.2.作用：是證明線段相等、角相等、線段垂直等關(guān)系的重要方法.3.知道其中“一線”，就可以說明是其他“兩線”.知1－講拓展延伸：等腰三角形的其他性質(zhì)(1)等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等；(2)等腰三角形兩底角的平分線相等；(3)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等；(4)等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高；(5)當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時(shí)，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個(gè)銳角都是45°.知1－講如圖15.3-1，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.(1)求∠

ADB的度數(shù)；解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.由角平分線得到高線解題秘方：緊扣等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.知1－練例1(2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C

的度數(shù)；

等邊對等角知1－練(3)若BC=3cm，求BD

的長.

由角平分線得到中線知1－練1-1.[中考·蘭州]如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，則∠ADB＝()A.100°B.115°C.130°D.145°知1－練B1-2.[期中·天津和平區(qū)]如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D.若AB＝6，CD＝4，則△ABC的周長是()A.10B.14C.16D.20知1－練D[中考·北京]如圖15.3-2，在△

ABC中，AB=AC，AD

是BC

邊上的中線，BE⊥AC于點(diǎn)E.求證：∠CBE=∠BAD．解題秘方：根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)和同角的余角相等解決問題.知1－練例2證明：∵AB=AC，AD

是BC

邊上的中線，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.又∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠ADC=90°.∴∠CBE=90°－∠C，∠CAD=90°－∠C.∴∠CBE=∠CAD.∴∠CBE=∠BAD．知1－練2-1.[中考·宿遷]如圖，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求證：∠C=2∠D．知1－練證明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD.∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD，∴∠ABC＝∠CBD＋∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D.∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D.又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.知1－練如圖15.3-3，在△ABC中，AB=AC，D，E

是BC

邊上的點(diǎn)，且BD=CE．求證：AD=AE．解題秘方：利用等腰三角形的邊角性質(zhì)為證明△

ABD和△ACE

全等創(chuàng)造條件，或者作出底邊BC上的高，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)證明其垂直平分DE.知1－練例3證法一：∵AB=AC，∴∠B=∠C.在△ABD

和△

ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS).∴AD=AE．AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，知1－練證法二：如圖15.3-3，過點(diǎn)A

作AF⊥BC于點(diǎn)F.∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF.∵BD=CE，∴DF=EF.即AF垂直平分DE，∴AD=AE．知1－練3-1.如圖，在△ABC

中，∠BAC=90°，E

為邊BC上的點(diǎn)，且AB=AE，D

為線段BE

的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AE，過點(diǎn)A

作AF∥BC，且AF，EF相交于點(diǎn)F.求證：知1－練(1)∠C=∠BAD；證明：∵AB＝AE，∴△ABE是等腰三角形．又∵D為線段BE的中點(diǎn)，∴AD⊥BC.∴∠C＋∠DAC＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∴∠C＝∠BAD.知1－練(2)AC=EF.證明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠AEB.∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.∴∠EAF＝∠ABC.又∵∠BAC＝∠AEF＝90°，AB＝AE，∴△BAC≌△AEF(ASA)．∴AC＝EF.知1－練如圖15.3-4，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E

分別在AC，AB邊上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A

的度數(shù).知1－練例4思路導(dǎo)引：知1－練

知1－練知1－練解題策略：利用等腰三角形的性質(zhì)求角度，若沒有已知角度，常通過設(shè)未知數(shù)，利用“等邊對等角”、三角形外角的性質(zhì)表示相關(guān)角，再利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)造方程求解.4-1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是邊AC上一點(diǎn)，AD＝BD，BC＝DC，求∠A的度數(shù).知1－練知1－練知識點(diǎn)等腰三角形的判定2知2－講1.等腰三角形的判定方法文字語言符號語言圖示定義法有兩邊相等的三角形是等腰三角形如圖，在△ABC中，∵AB=AC，∴△ABC為等腰三角形知2－講文字語言符號語言圖示判定定理法有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(簡寫成“等角對等邊”)如圖，在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC知2－講辨析：等腰三角形的判定與性質(zhì)的區(qū)別條件結(jié)論作用性質(zhì)(等邊對等角)在同一個(gè)三角形中，兩邊相等這兩邊所對的角也相等證明角相等判定(等角對等邊)在同一個(gè)三角形中，兩個(gè)角相等這兩個(gè)角所對的邊也相等證明線段相等特別提醒1.等腰三角形的定義也是一種判定方法.2.“等角對等邊”是證明兩條線段相等的常用方法，在證明過程中，經(jīng)常通過計(jì)算三角形各角的度數(shù)，或利用角的關(guān)系得到角相等，從而得到所對的邊相等.知2－講2.已知底邊及底邊上的高作等腰三角形已知：一個(gè)等腰三角形底邊長為a，底邊上的高為h(如圖15.3-5).求作這個(gè)等腰三角形.知2－講作法：如圖15.3-6所示.(1)作線段AB=a；(2)作線段AB

的垂直平分線MN，交AB

于點(diǎn)D；(3)在MN

上取一點(diǎn)C，使DC=h；(4)連接AC，BC，則△

ABC就是求作的等腰三角形．知2－講特別解讀解決復(fù)雜作圖題的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.知2－講如圖15.3-7，在△ABC

中，D

為AC

的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且DE=DF．求證：△ABC是等腰三角形．解題秘方：利用“等角對等邊”判定等腰三角形，只需證明三角形兩個(gè)內(nèi)角相等即可.知2－練例5證明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，∴∠AED=∠CFD=90°.∵D為AC

的中點(diǎn)，∴AD=DC.在Rt△ADE

和Rt△CDF中，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠A=∠C.∴BA=BC，即△ABC

是等腰三角形．AD=DC，DE=DF，知2－練5-1.[中考·自貢]如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C.知2－練(1)求證：∠BDF＝∠A；(2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，請直接寫出△ABC的形狀.知2－練證明：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C.∵∠EDF＝∠C，∴∠EDF＝∠AED.∴DF∥AC.

∴∠BDF＝∠A.解：△ABC是等腰直角三角形．尺規(guī)作圖：已知線段a(如圖15.3-8)，畫一個(gè)底邊長為a，底邊上的高也為a的等腰三角形.知2－練例6解：(1)作線段BC=a；(2)作線段BC

的垂直平分線MN，與BC

相交于點(diǎn)D；(3)在MN

上取一點(diǎn)A，使DA=a；(4)連接AB，AC，則△ABC

就是所求作的等腰三角形.