分式方程的應(yīng)用七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三（滬科版）

專題9.4分式方程的應(yīng)用【八大題型】

【滬科版】

【題型1行程問題】.............................................................................1

【題型2工程問題】............................................................................4

【題型3銷售利潤問題】........................................................................7

【題型4航行問題】...........................................................................11

【題型5和、差、倍、分問題】.................................................................14

【題型6數(shù)字問題】...........................................................................17

【題型7圖形問題】...........................................................................19

【題型8方案問題】...........................................................................22

。。*十一及三

【題型1行程問題】

【例1】（2022?河南許昌,八年級(jí)期末）小麗和小穎相約周末到時(shí)代廣場看電影，她們的家

分別距離時(shí)代廣場1800m和2400m.兩人分別從家中同時(shí)出發(fā)，已知小麗和小穎的速度比是

2:3,結(jié)果小麗比小穎晚4min到達(dá)劇院.

（1）求兩人的速度.

（2）要想同時(shí)達(dá)到，小穎速度不變，小麗速度需要提高m/min.

【答案］（1）小麗和小穎的速度分別為50m/min和75tn/mim（2）6.25.

【分析】（1）設(shè)小麗和小穎的速度分別為而和緘加加%,根據(jù)題意，小麗所用時(shí)間

-小穎蘇勇時(shí)間=4分鐘，列出分式方程，解答即可.

（2）設(shè)小麗速度需要提高根據(jù)題意，小麗所用時(shí)間=小穎所用時(shí)間，列出分式方

程，解答即可.

【詳解】解:（1）設(shè)小麗和小穎的速度分別為2x,恤加和3x皿也加,根據(jù)題意，得：

18002400

------------------=4

2x3x

解得：x=25

經(jīng)檢驗(yàn)x=25是原分式方程的解，

則2A'=2x25=50（m/min）,3x=3x25=75（m/min）

答：小麗和小穎的速度分別為50ni/min和75"力"加

（2）設(shè)小麗速度需要提高4"，"而?，根據(jù)題意，得：

1800_2400

50+a75

解得：Q=6.25

經(jīng)檢驗(yàn)a=6.25是原分式方程的解

答：小麗速度需要提高6.25m/min.

故答案為6.25

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，分析題干，找到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【變式（2022?重慶?四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校九年級(jí)期中）某天運(yùn)動(dòng)員小偉沿

平路從家步行去銀行辦理業(yè)務(wù)，到達(dá)銀行發(fā)現(xiàn)沒有帶銀行卡（停留時(shí)間忽略不計(jì)），立即沿

原路跑回家.已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小偉家到銀

行的平路距離為2800米，小偉從離家到返回家共用50分鐘.

⑴求小偉在平路上跑步的平均速度是多少？

（2）小偉找到銀行卡后，發(fā)現(xiàn)離銀行下班時(shí)間僅剩半小時(shí)，為了節(jié)約時(shí)間，小偉選擇另外一

條近的坡路去銀行，小偉先上坡再下坡，用時(shí)9分鐘到達(dá)銀行.已知上坡的平均速度是平路

上跑步的平均速度的今下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的I且上坡路程是下坡路

程的2倍，求這段坡路的總路程是多少米？

【答案】⑴280米/分鐘

（2）2100米

【分析】（1）設(shè)小偉在平路上步行的平均速度是x米/分鐘，根據(jù)小偉在平路上跑步的平均

速度是平路上步行的平均速度的4倍，往返時(shí)間共用50分鐘，列方程絲些+等=50,解

X4X

得x=70,檢驗(yàn)后求出4%二280,回答問題；

（2）設(shè)這段坡路的下坡路程是），米，根據(jù)小偉上坡的平均速度是280x,=20（）,下坡的平

均速度是280xJ=350,上坡路程是下坡路程的2倍，上坡下坡共用時(shí)9分鐘，列方程黑+

春=9,解得y=700,掛出這段坡路的總路程是700+2X700=2100.

【詳解】（1）設(shè)小偉在平路上步行的平均速度是x米/分鐘，

根據(jù)題意得，竺竺+答=50,

X4X

解得，x=70,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=70是所列方程的解，且符合題意，

04x=280,

答：小偉在平路上跑步的平均速度是280米/分鐘；

（2）設(shè)這段坡路的下坡路程是），米，

回上坡的平均速度是，280x：=200,下坡的平均速度是280x：=350,

74

回根據(jù)題意得，2+1=9,

解得，y=700,

0700+2x700=2100,

答：這段坡路的總路程是2100米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程與一元一次方程的應(yīng)用一一行程問題，解決問題的關(guān)鍵是

熟練掌握路程和速度與時(shí)間的關(guān)系，列代數(shù)式列方程解答，解分式方程注意檢驗(yàn)，應(yīng)用題注

意設(shè)未知數(shù)和回答問題.

【變式1-2]（2022?全國?八年級(jí)）小明家距離科技館1900米，一天他步行去科技館看表演,

走到路程的一半時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)忘帶門票，此時(shí)離表演開始還有23分鐘，于是立刻步行回家

取票，隨后騎車趕往科技館.已知小明騎車到科技館比他步行到科技館少用20分鐘，且騎

車的速度是步行速度的5倍，小明進(jìn)家取票時(shí)間共用4分鐘.

（1）小明步行的速度是每分鐘多少米?

（2）請(qǐng)你判斷小明能否在表演開始前趕到科技館，并通過計(jì)算說明理由.

【答案】（1）小明步行的速度為76米/分鐘；（2）小明能在表演開始前趕到科技館，理由

見詳解.

【分析】（1）設(shè)小明步行的速度是每分鐘x米，則小明騎車的速度是每分鐘5x米，根據(jù)時(shí)

間=路程+速度結(jié)合小明騎車到科技館比他步行到科技館少用20分鐘，即可得出關(guān)于x的分

式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論;

（2）利用時(shí)間=路程+速度結(jié)合小明進(jìn)家取票時(shí)間共用4分鐘，即可得出小明回家取票后到

達(dá)科技館所需時(shí)間，將其與23分鐘比較后即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）設(shè)小明步行的速度為x米/分鐘，則小明騎車的速度為5x米/分鐘.根據(jù)題意,

^-x--5x=20,

解得：x=76.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=76是原分式方程的解.

答：小明步行的速度為76米/分鐘.

/、1900-X1900

(2)―5X76+^--7--6---+4=21.5<23,

所以小明能在表演開始前趕到科技館.

【點(diǎn)睛】本題考有了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)犍.

【變式1-3]（2022?湖北襄陽?八年級(jí)期末）小明和小強(qiáng)兩名運(yùn)動(dòng)愛好者周末相約到濱江大

道進(jìn)行跑步鍛煉.

（1）周六早上6點(diǎn)，小明和小強(qiáng)同時(shí)從家出發(fā)，分別騎自行車和步行到離家距離分別為4500

米和1200米的濱江大道入口匯合，結(jié)果同時(shí)到達(dá).若小明每分鐘比小強(qiáng)多行220米，求小明

和小強(qiáng)的速度分別是多少米/分?

（2）兩人到達(dá)濱江大道后約定先跑1000米再休息.小強(qiáng)的跑步速度是小明跑步速度的加倍,

（2）已知2017年環(huán)衛(wèi)處安排了50名環(huán)衛(wèi)工人參與了直接清掃工作，為保證順利完成每日

的420千米清掃工作，需派出多少輛道路清掃車參與工作（已知2017年環(huán)衛(wèi)工人與清掃車

每天工作時(shí)間為6小時(shí)）？

（3）為了鞏固文明城市創(chuàng)建成果，從2018年5月開始，環(huán)衛(wèi)處新增了一輛清掃車參與工作，

同時(shí)又增加了若干個(gè)環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃，使得每日能夠較早的完成清掃工作.2018年6

月市環(huán)衛(wèi)處擴(kuò)大清掃范圍60千米，同時(shí)又增加了20名環(huán)衛(wèi)工人直接參與清掃，此時(shí)環(huán)衛(wèi)工

人和清掃車每日工作時(shí)間仍與5月份相同，那么2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了多少名環(huán)衛(wèi)工人

參與直接清掃？

【答案】（1）1名環(huán)衛(wèi)工人每小時(shí)清掃0.6千米，1輛道路清掃車每小時(shí)8千米；（2）派

出5輛道路清掃車參與工作；（3）2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了10名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃.

【分析】（1）設(shè)1名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時(shí)分別清掃x千米和），千米，由題意

可得徽;沈影進(jìn)行求解即可；

（2）設(shè)派出6輛道路清掃車參與工作,則（50x0.6+8〃?）x6=420,進(jìn)行求解即可；

（3）設(shè)2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了〃名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃，由題意寫出分式方程進(jìn)行求

解即可.

【詳解】（1）設(shè)1名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時(shí)分別清掃x千米和），千米，

由題意可得，解得

答：1名環(huán)衛(wèi)工人每小時(shí)清掃0.6千米，1輛道路清掃車每小時(shí)8千米；

（2）設(shè)派出〃?輛道路清掃車參與工作，

則（50x0.6+8m）x6=420,解得m=5,

答：派出5輛道路清掃車參與工作：

（3）設(shè)2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了〃名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃，由題意得

420420+60Anza..

-；—；—=------:-----；解得:"=10.

0.6（50+71）+6x80.6（50+n+20j+6x8

答：2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了10名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用.綜合性

強(qiáng)，有一定難度.關(guān)鍵是理解題文，列出方程求解.這里涉及到工作效率問題以及合作問題，

要求學(xué)生對(duì)這類模型比較熟練.

【變式2?1】（2022?黑龍江?哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）某工廠制作一-批零件，由一

名工人做要80h完成，現(xiàn)計(jì)劃由一部分工人先做2h然后漕加5名工人與他們一起做8小時(shí),

完成這項(xiàng)工作的］假設(shè)這些工人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排幾名工人工作？

4

【答案】應(yīng)該先安排2名工人工作.

【分析】設(shè)安排x人先做2h,然后根據(jù)先后兩個(gè)時(shí)段完成這項(xiàng)工作的：，可列方程求解.

4

【詳解】解：設(shè)應(yīng)該先安排X名工人工作,

由題意得：各端H

解得％=2,

經(jīng)檢驗(yàn)無=2是原方程的解且符合題意，

回應(yīng)該先安排2名工人工作，

答：應(yīng)該先安排2名工人工作.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解題意列出方程求解.

【變式2-2］（2022?遼寧?大石橋市石佛中學(xué)八年級(jí)期末）大石橋市政府為了落實(shí)“暖冬惠民

工程"，計(jì)劃對(duì)城區(qū)內(nèi)某小區(qū)的部分老舊房屋及供暖管道和部分路段的人行地磚、綠化帶等

公共設(shè)施進(jìn)行全面更新改造.該工程乙隊(duì)單獨(dú)完成所需天數(shù)是甲隊(duì)單獨(dú)完成所需天數(shù)的1.5

倍，若甲隊(duì)先做10天，剩下兩隊(duì)合作30天完成.

（1）甲乙兩個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需多少天？

（2）已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為8.4萬元，乙對(duì)每天的施工費(fèi)用為5.6萬元，工程施工的預(yù)

算費(fèi)用為500萬兀，為了縮短工期并高效完成工程，擬預(yù)算的費(fèi)用是否夠用？若小夠用，需

追加預(yù)算多少萬元？請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要60天，乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要90天：（2）

工程預(yù)算的施T費(fèi)用不夠用，需追加預(yù)算4萬元.

【分析】（1）設(shè)甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)，表示出乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)及各

自的工作效率.根據(jù)工作量=工作效率X工作時(shí)間列方程求解；

（2）根據(jù)題意，甲乙合作工期最短，所以須求合作的時(shí)間，然后計(jì)算費(fèi)用，作出判斷.

【詳解】（1）設(shè)此工程甲隊(duì)單獨(dú)完成需x天，則乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需1.5八?天.由題意:

10+3030

-x-+1.5%~1

解得:x=60.

經(jīng)檢驗(yàn)，尸60是原方程的解，且適合題意.

1.5x=1.5x60=90.

答：甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要60天，乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要90天.

（2）因?yàn)樾杷？s短工期并高效完成工程，所以需兩隊(duì)合作完成，設(shè)兩隊(duì)合作這項(xiàng)工程需

y天，根據(jù)題意得：

上+2=1

6090

解得：產(chǎn)36.

所以需要施工費(fèi)用36X（8.4+5.6）=504（萬元）.

因?yàn)?04>500,所以工程預(yù)算的施工費(fèi)用不夠用，需追加預(yù)算4萬元.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，涉及方案決策問題，綜合性較強(qiáng).

【變式2-3]（2022?廣西貴港?八年級(jí)期中）某校改造維修田徑運(yùn)動(dòng)場所，項(xiàng)目承包單位派

遣了一號(hào)施工隊(duì)進(jìn)場施工，計(jì)劃用30天完成整個(gè)工程.當(dāng)一號(hào)施工隊(duì)施工10天后，由于實(shí)

際需要，要求整個(gè)工程比原計(jì)劃提前8天完成，于是承包單位再派遣二號(hào)施工隊(duì)與一號(hào)施工

隊(duì)共同施工，結(jié)果按實(shí)際需要如期完成整個(gè)工程

⑴如果二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工，完成整個(gè)工程需要多少天？

⑵如果一號(hào)、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場共同施工，完成整個(gè)工程需要多少天？

【答案】⑴》=45

（2）若由一、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場施工，完成整個(gè)工程需要18天

【分析】（1）設(shè)二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工需要匯天，根據(jù)題意列出分式方程進(jìn)行求解即可；

（2）直接列算式求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工需要x天，

根據(jù)題意得：甯+竺土

30X

解得：X=45,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=45是原分式方程的解.

答：若由二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工，完成整個(gè)工期需要45天.

（2）根據(jù)題意得：1+?+（）=18（天），

答：若由一、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場施工，完成整個(gè)工程需要18天.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用.根據(jù)題意正確的列出分式方程是解題的關(guān)鍵.注意臉根.

【題型3銷售利潤問題】

【例3】（2022?重慶巴蜀中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）飛盤運(yùn)動(dòng)由于門檻低、限制少，且具有較強(qiáng)

的團(tuán)體性和趣味性，在全國各地悄然興起，深受年輕人喜愛.某商家購進(jìn)了海綿和橡膠兩種

飛盤進(jìn)行銷售，已知一個(gè)橡膠飛盤比一個(gè)海綿飛盤的進(jìn)價(jià)多30元，其中購買海綿飛盤花費(fèi)

4000元，購買橡膠飛盤花費(fèi)3200元，且購買海綿飛盤的數(shù)量是購買橡膠飛盤數(shù)量的2倍.

⑴求一個(gè)海綿飛盤的進(jìn)價(jià)是多少元；

⑵商家第一次購進(jìn)的飛盤很快售完，決定再次購進(jìn)同種類型的海綿和橡膠兩種飛盤共80個(gè),

但海綿飛盤的進(jìn)價(jià)比第一次購買時(shí)提高了16%,而橡膠飛盤的進(jìn)價(jià)在第一次購買時(shí)進(jìn)價(jià)的基

礎(chǔ)上打9折，如果商家此次購買海綿和橡膠兩種飛盤的總費(fèi)用不超過4800元，那么此次最

多可購買多少個(gè)橡膠￡盤？

【答案】（1）50元，：

（2）11.

【分析】（1）設(shè)一個(gè)海綿飛盤的進(jìn)價(jià)為x元，則一個(gè)橡膠飛盤的進(jìn)價(jià)為（x+30）元，由題

意；購買海綿飛盤花費(fèi)4000元，購買橡膠飛盤花費(fèi)3200元，旦購買海綿飛盤的數(shù)量是購

買橡膠飛盤數(shù)量的2倍.列出分式方程，解方程即可；

（2）設(shè)此次可購買。個(gè)橡膠飛盤，則購買（80-a）個(gè)海綿飛盤，由題意：海綿飛盤的進(jìn)價(jià)比

第一次購買時(shí)提高了16%,而橡膠飛盤的進(jìn)價(jià)在第一次購買時(shí)進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上打9折，商家此

次購買海綿和橡膠兩種飛盤的總費(fèi)用不超過4800元，列出一元一次不等式，解不等式即可.

（1）

解：設(shè)一個(gè)海綿飛盤的進(jìn)價(jià)為x元，則一個(gè)橡膠飛盤的進(jìn)價(jià)為（A+30）元，

解得：x=50,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=50是原方程的解，且符合題意,

答：一個(gè)海綿飛盤的進(jìn)價(jià)為50元；

（2）

設(shè)此次可購買。個(gè)橡膠飛盤，則購買（80-a）個(gè)海綿飛盤，

由題意得：

50x（14-16%）（80-a）+80x0.9a<4800

解得：a<ll^

加是整數(shù)，

回。最大值為11,

答：此次最多可購買11個(gè)橡膠飛盤.

【點(diǎn)睛】此題考查分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)

系與不等關(guān)系，正確列出分式方程和一元一次不等式.

【變式3-1］（2022?四川南充?八年級(jí)期末）超市用2500元購進(jìn)某品牌蘋果，以每千克8元

的單價(jià)試銷.銷售良好，超市又安排4500元補(bǔ)貨.補(bǔ)貨進(jìn)價(jià)比上次每千克少0.5元，數(shù)量

是上次的2倍.

（1）求兩次進(jìn)貨的單價(jià)分別是多少元.

（2）當(dāng)售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求兩次銷售蘋果的毛利.

【答案】（1）第一次進(jìn)貨的單價(jià)是5元，第二次進(jìn)貨的單價(jià)是4.5元；（2）4600

【分析】（1）設(shè)第一次講貨的單價(jià)是f元，則第二次講貨的單價(jià)是-0.5）元，根據(jù)撅意，

列方程求解即可；（2）求出兩次的購進(jìn)數(shù)量，根據(jù)毛利=收入-成本，可求出結(jié)果.

【詳解】解：（1）設(shè)第一次進(jìn)貨的單價(jià)是x元，則第二次進(jìn)貨的單價(jià)是0.5）元，根據(jù)

題意，得

25004500

-------X2=———

xx—0.5

解得％=5

經(jīng)檢驗(yàn)：*=5是原方程的解

第二次進(jìn)貨的單價(jià)是:5-0.5=4.5（元）.

答：第一次進(jìn)貨的單價(jià)是5元，第二次進(jìn)貨的單價(jià)是4.5元.

（2）兩次銷售蘋果的毛利：

（釁2+竿—200）x8+200x8x0.75-2500-4500=4600（元）

答：兩次俏售蘋果的毛利為4600元.

【點(diǎn)睛】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是根據(jù)這次進(jìn)貨價(jià)比上次每千克少0.5元，購進(jìn)蘋

果的數(shù)量是上次的2倍，列出方程求出每千克多少元，然后總千克數(shù)，根據(jù)毛利公式，從而

求出解.

【變式3-2］（2022?湖南?邵陽市第六中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）在落實(shí)“精準(zhǔn)扶貧〃戰(zhàn)略中，三峽

庫區(qū)某駐村干部組織村民依托著名電商平臺(tái)“拼多多〃組建了某土特產(chǎn)專賣店，專門將進(jìn)貨自

本地各家各戶的A、B兩款商品銷售到全國各地.2020年10月份，該專賣店第一次購進(jìn)A

商品40件，4商品60件，進(jìn)價(jià)合計(jì)8400元；第二次購進(jìn)A商品50件，3商品30件，進(jìn)

價(jià)合計(jì)6900元.

（1）求該專賣店10月份A、8兩款商品進(jìn)貨單價(jià)分別為多少兀？

（2）10月底，該專賣店順利將兩次購進(jìn)的商品全部售出.由于季節(jié)原因，8商品缺貨，該

專賣店在11月份和12月份都只能銷售A商品，且A商品11月份的進(jìn)貨單價(jià)比10月吩上

漲了，〃元，進(jìn)價(jià)合計(jì)49000元；12月份的進(jìn)貨單價(jià)乂比11月份上漲了0.5〃?元，進(jìn)價(jià)合計(jì)

61200元，12月份的進(jìn)貨數(shù)量是11月份進(jìn)貨數(shù)量的1.2倍.為了盡快回籠資金，A商品在

11月份和12月份的銷售過程中維持每件150元的售價(jià)不變，到2021年元旦節(jié)，該專賣店

把剩下的50件4商品打八折促銷，很快便售完，求該專賣店在A商品進(jìn)貨單價(jià)上漲后的銷

售總金額為多少元？

【答案】（1）該店4、8兩款商品進(jìn)貨單價(jià)分別為90元和80元；（2）該專賣店在4商品

進(jìn)貨單價(jià)上漲后的銷售總金額為163500元.

【分析】（1）設(shè)每件A和商品的進(jìn)價(jià)為x元，每件B和商品的進(jìn)價(jià)為y元，根據(jù)“若購進(jìn)A

種商品40件，B種商品63件，需要8400元；若購進(jìn)A種商品50件，B種商品30件，需

要6900元〃，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)題意，可以得到相應(yīng)的分式方程，從而可以得到m的值，然后即可計(jì)算出商店銷

售這兩批A商品的銷售總金額.

【詳解】（1）設(shè)10月份A商品的進(jìn)貨單價(jià)為“元，8商品的進(jìn)貨單價(jià)為），元，由題意得：

（40x+60y=8400

（50x+30y=6900'

解得，好黑；，

答：該店4、8兩款商品進(jìn)貨單價(jià)分別為90元和80元；

（2）由題意可得，

12^x1,2=61200

90+m?90+m+0.5m*

解得，〃?=8，

經(jīng)檢驗(yàn)，機(jī)=8是原分式方程的解，

故11月份購進(jìn)的A商品數(shù)量為舞=500（件），

90+8

12月份購進(jìn)的A商品數(shù)量為500x1.2=600（件）,

（500+600-50）xl50+150x0.8x50=163500（元）.

答：該專賣店在A商品進(jìn)貨單價(jià)上漲后的銷售總金額為163500元.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，

列出相應(yīng)的方程組和分式方程，注意分式方程要檢驗(yàn).

【變式3-3]（2022?浙江?八年級(jí)期末）某藥店采購部于7月份和8月份分別用16000元和

40000購兩批口罩，8月份每盒口罩的進(jìn)價(jià)比7月份上潴20元，且數(shù)最是7月份購進(jìn)數(shù)量

的2倍.

（1）求7月份購進(jìn)了口罩多少盒？

（2）該藥店在7,8月份均將當(dāng)月購進(jìn)的口罩平均分給甲、乙兩家分店銷售，并統(tǒng)一規(guī)定每

盒口罩的標(biāo)價(jià)為150元.已知7月份兩店按標(biāo)價(jià)各賣出a盒后，甲店剩余口罩按標(biāo)價(jià)的八折

出售；乙店剩余口罩先按標(biāo)價(jià)的九折售出b盒后，再將余下口罩按標(biāo)價(jià)七折全部售出，結(jié)果

利潤與甲店相同.

①用含b的代數(shù)式表示a.

②8月份，乙店計(jì)劃將分到的口罩按標(biāo)價(jià)出售幾箱后，剩余口罩全部捐獻(xiàn)給醫(yī)院.若至少捐

贈(zèng)96盒口罩，且預(yù)計(jì)乙店7,8月份能從這兩批口罩銷售中獲得的總利潤為2000元，求a,4幾

所有可能的值.

【答案】（1）200盒；（2）①Q(mào)=100-2b；②〃=100,/?=0,〃=100或a=90,b=5,^=102

或。=80,b=10,/?=104

【分析】（1）設(shè)7月份購進(jìn)了口罩工盒，根據(jù)8月份每盒口罩的進(jìn)價(jià)比7月份上漲20元列

出方程，解之即可；

（2）①根據(jù)7月份乙店利潤與甲店相同列出關(guān)于“，〃的方程，化簡即可；

②首先求出兩個(gè)月乙店的利潤，根據(jù)總利潤為2000元列出方程，得到72=100I2；,再根

據(jù)至少捐贈(zèng)96盒口罩，求出〃的范圍，得到匕的范圍，再求整數(shù)解即可.

【詳解】解：（1）設(shè)7月份購進(jìn)了口罩x盒，

由題意可得：竺9竺+20=竺吧，

X2X

解得：x=200,

國月份購進(jìn)了口罩200盒；

（2）①由（1）可得7月份口罩每盒甯=80元，

由題意可得:(100-0)(150x80%-80)=4(150X90%-80)+(100-a-6)(150x

70%-80),

整理得：a=100-2b：

②由題意可得：8月份購進(jìn)了口罩400盒，8月份口罩進(jìn)價(jià)為每盒100元，

7月份乙店獲得的利潤為：

a(150-80)+6(150x90%-80)+(100-a-6)(150x70%-80)

=45a+30b+2500

8月份乙店獲得的利潤為：(150-100)n-100(200-n)=150n-20000,

045a+30b+2500+150n-20000=2000,HP3a+2b+lOn=1300,

0a=100—2b,

03(100-2b)4-2b4-lOn=1300,即5n—2b=500,即n=100+?,

團(tuán)至少捐贈(zèng)96盒口罩，

0200—n>96,

On<104,

町00+募W104,解得：b<10,

助可以取0,5,10,

當(dāng)"0時(shí)，a=100,〃=100；

當(dāng)b=5時(shí),a=90,n=102；

當(dāng)〃=10時(shí)，a=80,n=104.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，列代數(shù)式，二元一次方程的解以及不等式，解體

的關(guān)鍵是理清題意，本題條件較多，一定要仔細(xì)讀題.

【題型4航行問題】

【例4】(2022?福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)模擬預(yù)測)已知4B兩港之間的距離為150千

米，水流速度為5千米/時(shí).

⑴若?輪船從A港順流航行到8港所用的時(shí)間是從8港逆流航行到A港所用時(shí)間的j求該

輪船在靜水中的航行速度；

⑵記某船從入港順流航行到B港，再從B港逆流航行返I可到入港所用的時(shí)間為若該船

從A港航行到8港再返回到A港均為靜水航行，所用時(shí)間為匕，請(qǐng)比較與￡2的大小，并說

明理由.

【答案】⑴輪船在靜水中的航行速度為25千米/時(shí)

(2)^>t2,理由見解析

【分析】(1)設(shè)輪船在靜水中的航行速度為x千米/時(shí)，故可知順流速度為(x+5)千米/時(shí),

逆流速度為。-5）千米/時(shí)，列分式方程晏乂|=翳，求解即可.

（2）設(shè)船在靜水中的航行速度為“千米/時(shí)，由題意可知口=覆+氏，4=^x2,比較

與。的大小.

（1）

解：設(shè)輪船在靜水中的航行速度為-

則順流速度為a+5）千米/時(shí)，逆流速度為a-5）千米/時(shí);

.2150

x-=—

解得無=25

經(jīng)檢驗(yàn)得x=25是原方程的解

因該輪船在靜水中的航行速度為25千米/時(shí).

（2）

解：設(shè)船在靜水中的航行速度為uT?米/時(shí)

由題意知口=學(xué)+=

xv+5v-S

150

t=-----x2

2v

150150150

ti-t=-----z-H-----------------X2

2v+5v-5v

150r,

=心+5)(吁5)[心-5)+心+5)-2(v+5)(吁5)]

150

=-----——-------x50>0

v(v+5)(v-5)

???tx-t2>0

￡]＞《2?

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程與異分母分式的加減.解題的關(guān)鍵在于正確的列分式方程與分

式的比較大小.

【變式4-1】（2022?新疆?吐魯番市高昌區(qū)第一中學(xué)八年級(jí)期中）一艘輪船在靜水中的最大

航速為40千米/時(shí)，它沿江以最大航速順流航行70千米所用時(shí)間，與以最大航速逆流航行30

千米所用時(shí)間相等.求江水的流速為多少千米/時(shí).

【答案】16千米/時(shí)

【分析】設(shè)江水的流速為%千米/時(shí)，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解.

【詳解】設(shè)江水的流速為xl■?米/時(shí)，根據(jù)題意得，

7030

x+4040-X

解得％=16,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=16是原方程的解，

答：江水的流速為16千米/時(shí).

【點(diǎn)睛】本題考行了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2】(2022?吉林四平?七年級(jí)期末)兩船從同一港口同時(shí)出發(fā)反向而行，甲船順?biāo)?

乙船逆水，兩船在靜水中的速度都是50km/h,水流速度是akm/h.

(1)2h后兩船相距多遠(yuǎn)？

(2)2h后甲船比乙船多航行多少千米？

(3)一?艘小快艇送游客在甲、乙兩個(gè)碼頭間往返，其中去程的時(shí)間是回程的時(shí)間3倍，則

小快艇在靜水中的速度v與水流速度a的關(guān)系是.

【答案】(1)2h后兩船相距200千米(2)2h后甲船比乙船多航行4a千米；(3)v=2a

【分析】(1)分別求得甲乙兩船行駛的路程，即可求解：

(2)用甲船行駛的路程減去乙船行駛的路程，即可求解；

(3)由題意可得去程是逆水行駛，返程是順?biāo)旭?，設(shè)碼頭之前的距離為s,列方程求解即

可.

【詳解】解：(l)2h后，甲船行駛的路程為2x(50+a)(km),乙船行駛的路程為2X(50-

a)(km)

兩船相距為2x(50+a)+2x(50-a)=200(km)

答：2h后兩船相距200千米

(2)由(1)得2h后，甲船行駛的路程為2x(50+a)(km),乙船行駛的路程為2x(50-

a)(km)

甲船比乙船多航行2x(50+a)-2x(50-a)=4a(km)

答：2h后甲船比乙船多航行4a千米

(3)由題意可得去程是逆水行駛，返程是順?biāo)旭?，設(shè)碼頭之前的距離為s

則去程時(shí)間為tl=返程時(shí)間為￡2=

由題意可得￡1=3匕，即氏二3高，解得U=2Q

快艇在靜水中的速度，與水流速度a的關(guān)系是為u=2a

故答案為u=2a

【點(diǎn)睛】此題考查了列代數(shù)式，以及分式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握船順流航行和逆流航行

的速度公式是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2022?全國?八年級(jí)單元測試)一小船由4港到B港順流航行需6小時(shí)，由B港

到4港逆流航行需8小時(shí).小船從早晨6時(shí)由A港到B港時(shí)，發(fā)現(xiàn)一救生闔在途中掉落水中，

立即返航，2小時(shí)后找到救生圈.

問：(1)小船由A港漂流到B港需要多少小時(shí)？

(2)救生圈是何時(shí)掉入水中的？

【答案】(1)48：(2)10時(shí).

【分析】(1)先設(shè)小船找水流速度由A港漂流到B港需要x小時(shí),根據(jù)題目中的等量關(guān)系

列出方程，求出X的值，在進(jìn)行檢驗(yàn)即可；

（2）先設(shè)救生圈是在x點(diǎn)鐘落下水中的，則救生圈每小時(shí)順?biāo)鞯木嚯x等于全程的9

，根據(jù)小船早晨6時(shí)從港出發(fā)，順流航行需6小時(shí)，得出它在中午12點(diǎn)鐘到達(dá)B港，根據(jù)

救生圈在y點(diǎn)鐘就已掉下水，到這時(shí)已漂流的時(shí)間為（12-x）小時(shí)，在這段時(shí)間里，每小時(shí)

船行駛?cè)痰膅救生圈沿著航行方向漂流全程的白，船勺救生圈同向而行，距離拉大，船

o4o

到B港后立刻掉頭去找救圈，2小時(shí)后找到，在這一小時(shí)內(nèi)，船與救生圈相向而行，將原已

拉開的距離縮短為U,列出力程，求出力程的解即可

【詳解】（1）設(shè)船由4港漂流到B港需要％小時(shí)，

依題意得，:一二=：+△,解得％=48.

6x8x

經(jīng)檢驗(yàn)，％=48是原方程的解，且有意義.

（2）設(shè)救生圈在工時(shí)落入水中，由（1）知水的速度為總則（6+6-）=*+》x2,

解得x=10.

經(jīng)檢驗(yàn)，％=10是原方程的解，且符合實(shí)際意義.

【點(diǎn)睛】此題考查分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于列出方程

【題型5和、差、倍、分問題】

【例5】（2022?江蘇淮安?八年級(jí)期末）第5代移動(dòng)通信技術(shù)簡稱5G,某地己開通5G業(yè)務(wù),

經(jīng)測試5G下載速度是4G下載速度的15倍，小明和小強(qiáng)分別用5G與4G下載一部6CO兆

的公益片，小明比小強(qiáng)所用的時(shí)間快140秒，求該地5G下載速度是每秒多少兆？

【答案】60兆

【分析】設(shè)該地4G的下載速度是每秒人兆，則該地5G的下載速度是每秒15八兆，根據(jù)“小

明比小強(qiáng)所用的時(shí)間快140秒〃列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒15x兆

由題意得：—--=140

x15x

解得：x=4,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=4是原分式方程的解，且符合題意，

15x4=60,

答：該地5G的下載速度是每秒60兆.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)

系，設(shè)出未知數(shù)列出方程.

【變式5-1］（2022?江蘇?儀征市實(shí)驗(yàn)中學(xué)東區(qū)校九年級(jí)階段練習(xí)）某生態(tài)示范村種植基地

計(jì)劃種植一批葡萄，原計(jì)劃總產(chǎn)量要達(dá)到36萬斤.為了滿足市場需求，現(xiàn)決定改良葡萄品

種.改良后平均每畝產(chǎn)量是原計(jì)劃的1.5倍，總產(chǎn)量比原計(jì)劃增加了8萬斤，種植畝數(shù)減少

了20畝，則改良后平均每畝產(chǎn)量是多少萬斤？

【答案】改良后平均每畝產(chǎn)量是0.5萬斤

【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：原計(jì)劃種植的畝數(shù)一改良后種植的畝數(shù)=20畝，根據(jù)等量

關(guān)系列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每畝產(chǎn)量x萬斤，改良后每畝產(chǎn)量1.5%萬斤，

「八

丁363市6+8二20,

解得，%=%

經(jīng)檢驗(yàn)，X=；是原分式方程的解，

**?1.5%—0.5,

答：改良后平均每畝產(chǎn)量是0.5萬斤.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

【變式5-2］（2022?北京八中八年級(jí)期中）“綠色環(huán)保，健康出行〃新能源汽車越來越占領(lǐng)汽

車市場，以“北汽”和“北汽新能源EV500”為例，分別在某加油站和某充電站加油和充電的

電費(fèi)均為300元，而續(xù)航里程之比則為104.經(jīng)計(jì)算新能源汽車相比燃油車節(jié)約0.6元/

公里.

（1）分別求出燃油車和新能源汽車的續(xù)航單價(jià)（每公里費(fèi)用）；

（2）隨著更多新能源車進(jìn)入千家萬戶，有條件的小區(qū)及用戶將享受0.48元/度的優(yōu)惠專用

電費(fèi).以新能源EV500為例，充電55度可續(xù)航400公里，試計(jì)算每公里所需電費(fèi)，并

求出與燃油車相同里程下的所需費(fèi)用（油電）百分比.

【答案】（1）燃油車08新能源汽車02（2）8.25%

【分析】（1）設(shè)新能源汽車?yán)m(xù)航單價(jià)為X元/公里.，則燃油車?yán)m(xù)航單價(jià)為（X+0.6）元/公里，

根據(jù)等量關(guān)系式：新能源汽車?yán)m(xù)航里程：燃油車?yán)m(xù)航里程=4團(tuán)1,列出方程，解之即可.

（2）根據(jù)總價(jià)=單價(jià)x數(shù)量可得新能源汽車400公里所需費(fèi)用，再用此費(fèi)用+總公里數(shù)即可

得新能源汽車每公里所需電電費(fèi)；由（1）知燃油汽車每公里費(fèi)用，用此費(fèi)用乘以總公里數(shù)

可得燃油汽車總費(fèi)用，再用新能源汽車的總費(fèi)用+燃油車相同里程下的所需費(fèi)用即可得答案.

【詳解】解：（1）設(shè)新能源汽車?yán)m(xù)航單價(jià)為x元/公里，則燃油車?yán)m(xù)航單價(jià)為（x+0.6）元/

公里，依題可得：

，

-30-0：-3-0-0+-0-.-6=4:1?4

XX

解得：x=0.2,

團(tuán)燃油車?yán)m(xù)航單價(jià)為:x+0.6=0.2+0.6=0.8（元/公里），

答：新能源汽車?yán)m(xù)航單價(jià)為0.2元/公里，燃油車?yán)m(xù)航單價(jià)為0.8元/公里.

（2）依題可得新能源汽車400公里所需費(fèi)用為：

0.48x55=26.4（元），

團(tuán)新能源汽車每公里所需電電費(fèi)為：

26.44-400=0.066（元/公里），

依題可得燃油汽車400公里所需費(fèi)用為：

400x0.8=320（元），

回新能源汽車與燃油車相同里程下的所需費(fèi)用（油電）百分比為：

26.44-320=0.0825=8.25%.

答：新能源汽車每公里所需電電費(fèi)為0.066元；新能源汽車與燃油車相同里程下的所需費(fèi)

用（油電）百分比為8.25%.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的

關(guān)鍵.

【變式5-3］（2022?浙江舟山?七年級(jí)期末）舟山市疫情防控工作領(lǐng)導(dǎo)小組在5月30日發(fā)布

了常態(tài)化核酸檢測工作的通知，6月3日起我市居民進(jìn)入公共場所須憑7天內(nèi)核酸采樣或檢

測陰性證明.根據(jù)文件要求，學(xué)生在校期間每周要組織核酸檢測一次，某校積極響應(yīng)，安排

校醫(yī)甲和教師乙進(jìn)行核酸采集培訓(xùn).經(jīng)過培訓(xùn)后，甲采集的速度是乙的兩倍?，且甲采集52

人用時(shí)比乙采集30人用時(shí)少2分鐘.

⑴求甲、乙平均每分鐘分別采集多少人？

（2）該校七年級(jí)學(xué)生人數(shù)比八年級(jí)少18人，其中七年級(jí)有7個(gè)班，每班機(jī)人，8八年級(jí)有6

個(gè)班，每班〃人，兩名采集員各自用了87分鐘完成了七、八年級(jí)學(xué)生核酸采集工作，求加

和〃的值；

⑶該校教職工70人完成核酸采集后要放入10人試管或20人試管中，在保證每個(gè)試管不浪

費(fèi)情況下，有哪幾種分裝方案？

【答案】（1）甲平均每分鐘采集4人，乙平均每分鐘采集2人：

⑶有4種方案：①5個(gè)10人試管，1個(gè)20人試管；

②3個(gè)10人試管，2個(gè)20人試管；

③1個(gè)10人試管，3個(gè)20人試管；

④7個(gè)10人試管，。個(gè)20人試管.

【分析】（1）可設(shè)乙速度為平均每分鐘采集x人，甲為2工人，根據(jù)所用的時(shí)間可列出方程,

解方程即可：

（2）根據(jù)題意列出關(guān)于小〃的二元一次方程組，解方程組即可；

（3）設(shè)10人試管有x個(gè)，20人試管有y個(gè)，從而得到10x+20v=70,根據(jù)x與y都是正整數(shù),

從而可求解.

(1)

解：設(shè)乙速度為平均每分鐘采集工人，則甲為每分鐘采集2%人，

依題意得：募+2=爭

解得A-2,

2x2=4人，

經(jīng)檢驗(yàn)：x=2是方程的解且符合題意，

答：甲平均每分鐘采集4人，乙平均每分鐘采集2人；

(2)

解:依題意得:7m+76n=87x(2+4),

解峨溶

(3)

解：設(shè)10人試管有“個(gè)，20人試管有)，個(gè)，依題意得：

10,v+20>=70,即x=7-2.y,

則有:k;端:域:;或丁,

有4種方案：①5個(gè)10人試管，1個(gè)20人試管；

②3個(gè)10人試管，2個(gè)20人試管；

③1個(gè)10人試管，3個(gè)20人試管；

④7個(gè)10人試管，。個(gè)20人試管.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題

意找到等量關(guān)系.

【題型6數(shù)字問題】

【例6】(2022?貴州?銅仁市第十一中學(xué)八年級(jí)期中)一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是6,如果把十

位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，那么所得的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)之比是點(diǎn)原來得兩位數(shù)是

【答案】63

【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)為x,,再根據(jù)等量關(guān)系列出方程，最后檢驗(yàn)并作答.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)為X,

則可列方程：蘭魯=：，

6X10+X7

整理得66匕=198,

解得x=3,

經(jīng)檢驗(yàn)x=3是原方程的解，則60+K=63,

故答案為：63.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熱練掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般

步驟，即①根據(jù)題意找出等量關(guān)系②列出方程③解出分式方程④檢驗(yàn)⑤作答.注意：分

式方程的解必須檢驗(yàn).

【變式6-1］（2022?全國?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）有一個(gè)兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大1,

這個(gè)兩位數(shù)被個(gè)位數(shù)字除時(shí)，商是8,余數(shù)是2,求這個(gè)兩位數(shù).

【答案】34

【分析】設(shè)十位上的數(shù)字為刈則個(gè)位上的數(shù)字為工+1,兩位數(shù)是10%+%+1,利用兩位數(shù)

減2除以個(gè)位數(shù)字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，檢驗(yàn)后求出兩位數(shù)即可.

【詳解】解：設(shè)十位上的數(shù)字為％,則個(gè)位上的數(shù)字為x+1,

則：1。心+1）-2=8,

解方程得：x=3,

經(jīng)檢驗(yàn)：無=3是原方程的根，

所以個(gè)位上的數(shù)字為：x+l=3+l=4,

所以這個(gè)兩位數(shù)是：3x104-4=34.

答：這個(gè)兩位數(shù)是34.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字問題分式方程應(yīng)用題，掌握分式方程解應(yīng)用題的步驟與解法，關(guān)鍵是

抓住兩位數(shù)減2除以個(gè)位數(shù)字，商是8列出方程.

【變式6-2］（2022?山東濰坊?八年級(jí)期末）一個(gè)二位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和是12,

如果交換H立數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的位置并把所得到的新的二位數(shù)作為分子，把原來的二位數(shù)作

為分母，所得的分?jǐn)?shù)約分為點(diǎn)則這個(gè)二位數(shù)是.

【答案】84

【分析】設(shè)這個(gè)二位數(shù)的十位數(shù)字為-則個(gè)位數(shù)字為（12■外，根據(jù)“如果交換十位數(shù)字

與個(gè)位數(shù)字的位置并把所得到的新的二位數(shù)作為分子，把原來的二位數(shù)作為分母，所得的分

數(shù)約分為；”，即可得出關(guān)Fx的分式方程，經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)這個(gè)二位數(shù)的十位數(shù)字為X,則個(gè)位數(shù)字為（12-x）,

()

根據(jù)題意得:1012-X4-X_4

1OX+(12-X)7'

解得：x=8,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=8是所列分式方程的解，且符合題意,

012-x=4.

故答案為84.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，壬確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3］（2022?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)比十位上的數(shù)大4,用

個(gè)位上的數(shù)去除這個(gè)兩位數(shù)商是3,求這個(gè)兩位數(shù).

【答案】15.

【分析】設(shè)十位上的數(shù)字為x,則個(gè)位上的數(shù)字為x+4,這個(gè)兩位數(shù)為：10x+(x+4),根據(jù)

用個(gè)位上的數(shù)去除這個(gè)兩位數(shù)商是3,列出分式方程，求解即可得出答案.

【詳解】解：*鬻=3,

解得：x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=l是分式方程的解,

10x+（X+4）=10x1+1+4=15.

答：這個(gè)兩位數(shù)為15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，利用個(gè)位與十位的關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鋌.在

解答本題的過程中根據(jù)條件從而得到本題的結(jié)果.

【題型7圖形問題】

【例7】(2022?全國?七年級(jí)單元測試)已知一個(gè)長方形的長是40,寬是30,現(xiàn)要把它的長

和寬減少相同的長度后，使新的長方形的長和寬之比是7：5,減少的長度是.

【答案】5

【分析】設(shè)減少的長度是X,根據(jù)題意列出方程，解方程，檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：設(shè)減少的長,度是，由題意，得

40-x_7

30-x=5

去分母得：5(40-X)=7(30-X)

去括號(hào)得：200-5%=210-7%

移項(xiàng)得：7x-5x=210-200

合并同類項(xiàng)得：2==10

系數(shù)化為1得：x=5

經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是該方程的解

故填：5.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用.能根據(jù)題意列出方程是解決此題的關(guān)鍵，還需注意對(duì)方

程的解要進(jìn)行檢驗(yàn).

【變式7-1](2022?福建省泉州第一中學(xué)八年級(jí)期末)如圖，“豐收1號(hào)〃小麥的試驗(yàn)田是邊

長為am(a>I)的正方形去掉一個(gè)邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號(hào)”小

麥的試驗(yàn)田是邊長為(a-l)m的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲/500kg.

（1）“豐收1號(hào)〃單位面積產(chǎn)量為kg/m2,“豐收2號(hào)〃單位面積產(chǎn)量為kg/m2（結(jié)

果用含a的式子表示）；

⑵若“豐收2號(hào)”的單位面積產(chǎn)量是“豐收1號(hào)”的單位面積產(chǎn)量的1.5倍，求a的值.

【答案】（1巖：島

（2）5

【分析】⑴分別求出“豐收1號(hào)〃、“豐收2號(hào)〃的面積，再用500除以面積即可;

（2）根據(jù)題意列出關(guān)于Q等式求解即可，注意需要驗(yàn)根.

⑴

解：“豐收1號(hào)〃的面積為：a2-l,

單位面積產(chǎn)量為：辭?

“豐收2號(hào)"的面積為：（a-I）2,

單位面積產(chǎn)量為:500

(a-1)2

故答案為:500500

a2-l'(a-1)2

⑵

解：由題意，可得嗯x1.5=谷,

a2-l（a-1）2

解得a=5,

經(jīng)檢驗(yàn)，a=5是原分式方程的解，

回。的值為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，分式方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應(yīng)的分式方程.

【變式7-2］（2022?浙江?七年級(jí)階段練習(xí)）李師傅要給一塊長9米，寬7米的長方形地面

鋪瓷磚，如圖，現(xiàn)有A和4兩種款式的瓷磚，且A款正方形瓷磚的邊長與3款長方形瓷磚

的長相等，B款瓷磚的長大于寬，李師傅打算按如下設(shè)計(jì)圖的規(guī)律進(jìn)行鋪瓷磚，若4款瓷磚

的用量比B款瓷磚的2倍少14塊，且恰好鋪滿地面，則B款瓷磚的長為米，寬為

米.

9

---------------------------------_7

_____寬：：：：：：

□山

A款正方形瓷磚B款長方形謊轉(zhuǎn)IIIIIII,_

【答案】13或*

【分析】設(shè)A款瓷磚邊長為a米，3款瓷磚長為a米、寬為力米，則2x乙x昌=2（汽+1）x

a2a+b2a+n'

；-14,解得a=l,由題意知蜉是正整數(shù)，設(shè)蕓=k"為正整數(shù)），解得b=瞪，將"為

正整數(shù)代入即可得出結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)A款瓷磚邊長為a米，3款瓷磚長為a米、寬為b米，

則2x-x9:=2（片I1）x714,

a2a+bv2a+b'a

解得：Q=1,

經(jīng)檢驗(yàn)，a=l是原方程的解，

由題意得：點(diǎn)是正整數(shù)，

2+b

設(shè)衿=k（k為正整數(shù)），

C十。

解得一=鬻,

當(dāng)*=1時(shí)，b=L（L>Xt舍去）；

當(dāng)k=2時(shí)，b=!（|>1,舍去）；

當(dāng)k=3時(shí)，b=-；

4

當(dāng)k=4時(shí)，b=1.

故答案為：1,：或，.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意，根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)列出方程組

是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3］（2022?浙江杭州?七年級(jí)期末）某工廠承接了一批紙箱加工任務(wù)，用如圖1所

示的長方形和正方形紙板（長方形的寬與正方形的邊長相等）作側(cè)面和底面，加工成如圖2

所示的豎式和橫式兩種無蓋的長方體紙箱.（加工時(shí)接縫材料不計(jì)）

模式

圖1圖2

（1）若該廠倉庫里有1000張正方形紙板和2000張長方形紙板.問豎式和橫式紙箱各加工

多少個(gè)，恰好將庫存的兩種紙板全部用完？

（2）該工廠原計(jì)劃用若干天加工紙箱2400個(gè)，后來由于對(duì)方急需要貨，實(shí)際加工時(shí)每天加

工速度是原計(jì)劃的1.5倍，這樣提前2天完成了任務(wù)，問原計(jì)劃每天加工紙箱多少個(gè)？

【答案】（1）加工豎式紙盒200個(gè)