2025屆河北省保定市高考二模數(shù)學(xué)試題及答案

2025年高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)參考答案1.A【解析】本題考查基本不等式,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號(hào)成立,所以的最小值為6.2.B【解析】本題考查三角恒等變換,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.C【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù),考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4.C【解析】本題考查統(tǒng)計(jì)中的中位數(shù),考查數(shù)據(jù)處理能力.將數(shù)據(jù)1,4,5,6,4,5,4按照從小到大的順序排列為1,4,4,4,5,5,6,則原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4,若刪除一個(gè)數(shù)后,所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變,則被刪除的數(shù)為5或6.5.C【解析】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查邏輯推理的核心素養(yǎng).當(dāng)x∈[1,2]時(shí),2x∈[2,4].當(dāng)m∈(-∞,2]時(shí),f(x)=2x-m,f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增;EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up7(m),2x)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up7(2x),m)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(x),x)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up7(1),lo)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up6(log2),g2m)當(dāng)m∈[4,+∞)時(shí),f(x)=m-2x,f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減.綜上,m∈(-∞,2]∪[4,+∞).6.D【解析】本題考查集合、二次函數(shù)、拋物線的綜合,考查直觀想象的核心素養(yǎng).設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)(x-5),則f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)M(1,0),N(3,-4),P(5,0).當(dāng)x=3時(shí),拋物線y2=4x對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)為±23>-4,作出f(x)的圖象,如圖所示,由圖可知,f(x)的圖象與拋物線y2=4x有4個(gè)不同的交點(diǎn),則A∩B有4個(gè)元素,從而A∩B的真子集的個(gè)數(shù)為24-1=15.【解析】本題考查曲率與二面角,考查空間想象能力與推理論證能力.如圖,設(shè)AC∩BD=O,連接SO,則SO⊥平面ABCD.取BC的中點(diǎn)M,連接OM,SM.在正四棱錐S-ABCD中,∠SMO為側(cè)面與底面的夾角,則tan∠SMO==2.設(shè)OM=1,則SO=2,BM=BC=1,則SM=3,SB=2,所以正四棱錐S-ABCD的每個(gè)側(cè)面均為正三角形,則頂點(diǎn)S的每個(gè)面角均為,故正四棱錐S-ABCD在頂點(diǎn)S處的曲率為8.A【解析】本題考查二項(xiàng)式定理,考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng).(x-1)n(n∈N*)的展開式各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和等于(x+1)n(n∈N*)的展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,則(1+1)n=512,得n=9,則(x+1)8(x-1)n=(x2-1)8(x-1).因?yàn)?x2-1)8的展開式中沒有x11的項(xiàng),所以(x+1)8(x-1)n的展開式中x11的系數(shù)為(x2-1)8的展開式中x10的系數(shù),即CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(3),8)(-1)3=-56.9.BC【解析】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).因?yàn)?)=-lgx+lg(2x2)=lg(2x)(x>0),所以f(x)為增函數(shù),f(x)的值域?yàn)镽,A錯(cuò)誤,C正確.f(x)=1?lg(2x)=1?2x=10?x=5,B正確.f(x)<2?lg(2x)<2?0<2x<100?0<x<50,D錯(cuò)誤.10.ACD【解析】本題考查二項(xiàng)分布、正態(tài)分布以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(1),6)p)5,設(shè)函數(shù)f(p)=CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(1),6)p(1-p)5(0<p<1),則f'(p)=6(1-p)4(1-6p),當(dāng)0<p<p)>0,當(dāng)<p<1時(shí),f'(p)<0,所以5,D正確.11.ABD【解析】本題考查直線與橢圓的綜合,考查邏輯推理與直觀想象的核心素養(yǎng).由x2y+=y,得x2+=1或y=0,則C由橢圓x2+=1與直線y=0組成.易知F1(0,-2),F2(0,2)為橢圓x2+=1的兩個(gè)焦點(diǎn),所以|PF1|+|P|PF2確.將y=mx-3代入得(m2+5)x2-6mx+4=0,設(shè)該方程的兩個(gè)根為x1,x2,則Δ=20m2 且由y=mx-3=0,得假設(shè)存在直線l:y=mx-3,使得l與C的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為,則+=,解得m2=10>4,D正確.當(dāng)m>3時(shí),介于x1,x2之間,假設(shè)存在直線l:y=mx-3,使得l與C的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以構(gòu)成等比數(shù)列,則x1x2=得5m2+45=0,顯然該方程無實(shí)數(shù)解,C錯(cuò)誤.12.【解析】本題考查正切函數(shù)的周期與對(duì)稱性,考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).T,由0<m<T,得0<2m<π,則2m,即m=.13.7【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).因?yàn)橹本€y=x+m與圓C:(x+1)2+y2=2相切,所以=2,解得m=3(負(fù)根舍去).設(shè)函數(shù)f(x)=-則由即a=4,故a+m=7.【解析】本題考查正四棱臺(tái)的側(cè)面展開圖與余弦定理的綜合,考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).如圖1,設(shè)燈帶經(jīng)過側(cè)棱BB1上的E點(diǎn).如圖2,連接A1B,將側(cè)面ABB1A1和BCC1B展開到同一個(gè)平面,則A1E+CE≥A1C,當(dāng)且僅當(dāng)線段A1C與線段BB1有交點(diǎn)時(shí),等號(hào)成立,即當(dāng)燈帶的長度取得最小值時(shí),交點(diǎn)即為點(diǎn)E.因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1是等腰梯形,所以cos∠A由余弦定理可得 米,則所以即即線段A1C與線段BB1有交點(diǎn)可得而米,則所需燈帶的長度的最小值為米.15.【解析】本題考查直線與雙曲線,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).解:(1)(方法一)由題意可知分2解得2......................................................................................................................................4分故C的方程為x2-=1......................................................................................................................5分 ,a(方法二)設(shè)C的焦距為2 ,a44分故C的方程為1......................................................................................................................5分(2)由(1)可知C的左頂點(diǎn)為A(-1,0),.................................................................................................6分則點(diǎn)A到直線l的距離........................................................................................................7分聯(lián)立得5x2-18x+13=0,....................................................................................................9分解得...............................................................................................................................10分則分故△APQ的面積為|PQ|d=........................................................................................................13分16.【解析】本題考查立體幾何初步與空間向量的綜合,考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)解:因?yàn)椤鰽BE為等腰直角三角形,AB=AE=2,所以AB⊥AE,且BE=2,........................................1分因?yàn)樗倪呅蜝CDE為正方形,所以AA1=BC=BE=22分所以該五棱柱的體積×2=103分⊥AB4分因?yàn)椤螦BD=∠ABE+∠EBD×2,所以AB⊥BD,.............................................................................5分∩BD=B,所以AB⊥平面BDD1B1,............................................................................................6分又ABC平面ABC1,所以平面ABC1⊥平面BDD1B17分(3)解:易證EB,ED,EE1兩兩垂直,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,..................8分則B(2,0,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),E1(0,0,2),A1(1,-1,2),.............................................................................9分EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(→),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),D)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(→),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),1)即-x-y+2z=-x+y=0,.........................................................................................................................11分取x=1,得m=(1,1,1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),D)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(2),2)故直線B1D與平面A1BE1所成角的正弦值為..............................................................................15分17.【解析】本題考查隨機(jī)變量的概率與數(shù)學(xué)期望,考查數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).解:(1)若甲以每箱優(yōu)惠8%的價(jià)格成交,則成交的金額為500×(1-8%)×200=9.2萬元;.............1分若甲以每箱優(yōu)惠6%的價(jià)格成交,則成交的金額為500×(1-6%)×200=9.4萬元;2分若甲以每箱優(yōu)惠5%的價(jià)格成交,則成交的金額為500×(1-5%)×200=9.5萬元3分故甲以低于9.5萬元的金額購買這200箱零件的概率為0.3+0.4=0.74分(2)若乙選擇方案一,則成交的金額為500×400-×12×500=18.8萬元.........................5分若乙選擇方案二,設(shè)成交的金額為X萬元,則P=0.3,.................6分=0.4,............................................................................................7分=0.3,................................................................................................8分所以E(X)=18.4×0.3+18.8×0.4+19×0.3=18.74萬元9分因?yàn)?8.74<18.8,所以方案二更優(yōu)惠..........................................................................................10分(3)設(shè)丙用方案一購買100n(3≤n≤9,n∈N)箱,則丙用方案一需要支付的金額為100n×500-.4n+1.2)×104元,..........11分方案二需要支付的金額的期望為×18.74×104=(44.976-4.685n)×104元,................12分所以丙購買的金額的期望為4.4n+1.2+44.976-4.685n=(46.176-0.285n)萬元....................13分因?yàn)閥=46.176-0.285n(3≤n≤9,n∈N)為減函數(shù),所以n越大,y越小,故應(yīng)該選擇900箱使用方案一,60箱使用方案二,這樣才能獲得最多的優(yōu)惠15分18.【解析】本題考查數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式與求和,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及利用給定新信息解決問題的能力.所以α+β=b,αβ=-c,......................................................................................................................1分n+B)......................................................2分3分(2)①解:由題意知an+2=7an+1+8an的一元二n+Bn.,64A+B=65,.........................................................................................................................所以8A-B=64A+B=65,.........................................................................................................................解得A=1,.......................................................................................................................................②解:由n(n+1)dn+2=7n(n+2)dn+1+8(n+1)(n+2)dn,得=+...............................................................................................................................9分因?yàn)?7,=65,所以由①知an=,.................................................................................................10分則dn=nan=n×8n+n×(-1)n..............................................................................................................11分2+則8Tn=82+2×83+3×84+…+n×8n+1,.................................................................................................12分則-7Tn=8+82+…+8n-n×8n+1..............................................................................................................13分 分所以........................................................................................................................15分當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn=Tn+[-1+2-3+4-…-(n-1)+n]=+;.....................................................16分當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=Tn+[-1+2-3+4-…-(n-2)+(n-1)-n]=+-n=-.......17分19.【解析】本題考查新定義與導(dǎo)數(shù)的綜合,考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)解:h(x)不是“金字塔函數(shù)”1分證明:因?yàn)樗詆的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱2分 .................................................................................................................3分因?yàn)閚∈N*,(x-1)2+1>0,所以令g'(x)>0,得x<1,令g'(x)<0,得x>1,................................................4分所以g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,則g(x)存在唯一的極值點(diǎn)1,故g(x)為“金字塔函數(shù)”5分(3)解:因?yàn)閒(x)為“金字塔函數(shù)”,所以f(2-x)=f(x),所以e2-x+ex+a(2-x)2+b(2-x)-a=ex+e2-x+ax2+bx-a,整理得(2a+b)x=2a+b對(duì)x∈R恒成立,.............................................................................................6分則2a+b=0,得b=-2a7分所以f(x)=ex+e2-x+ax2-2ax-則f'(x)=ex-e2-x+2a(x-1),f'(x)的導(dǎo)數(shù)f″(x)=ex+e2-x+2a≥2e+2a...