2023屆北京通州區(qū)高考數(shù)學(xué)押題試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.定義在R上的函數(shù)滿足/（4）=1,/"）為八外的導(dǎo)函數(shù)，已知），=/*）的圖象如圖所示，若兩個(gè)正數(shù)。力

2.音樂，是用聲音來展現(xiàn)美，給人以聽覺上的享受，熔鑄人們的美學(xué)趣味.著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂聲的本質(zhì)，他

證明了所有的樂聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，它們是一些形如。sin/zr的簡(jiǎn)單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項(xiàng)是

基本音，其余的為泛音.由樂聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波.下

列函數(shù)中不能與函數(shù)y=（）.（）6sinl80（X）0/構(gòu)成樂音的是（）

A.y=0.02sin360000/B.y=0.03sin180000/C.y=0.02sin181800;

D.y=0.05sin540000/

3.一個(gè)正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側(cè)面積是（）

田

A.16B.12C.8D.6

4.已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和與展開式中常數(shù)項(xiàng)相等，則/項(xiàng)系數(shù)為（）

A.10B.32C.40D.80

22

5.已知集合4={-2,B={x\x<a,aeN^}t若他4,則。的最小值為（）

6.一個(gè)封閉的棱長(zhǎng)為2的正方體容器，當(dāng)水平放置時(shí)，如圖，水面的高度正好為棱長(zhǎng)的一半.若將該正方體繞下底面

（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉(zhuǎn)，則容器里水面的最大高度為（）

B.>/2C.石D.2>/2

7.已知雙曲線C:鼻一斗=1（。>0/>0）,點(diǎn)尸（x0,%）是直線/以一分+4。=0上任意一點(diǎn)，若圓

?X))2二1與雙曲線C的右支沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率取值范圍是（）.

A.(1,2]B.(1,4]

8.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對(duì)2019年這一年的收支情況，下列說法中錯(cuò)誤的是（）

°12344567X9IOIII2）\

A.月收入的極差為60B.7月份的利潤最大

C.這12個(gè)月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30D.這一年的總利潤超過400萬元

9.已知等邊內(nèi)接于圓r：x2+j2=l,且尸是圓r上一點(diǎn)，則兩?（M+正）的最大值是（）

A.72B.1C.73D.2

10.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-/LBiGOi中，尸為Aid的中點(diǎn)，若三棱錐P-A6C的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上,

則球0的表面積為（）

A.12兀B.-C.-D.10TI

24

11.已知復(fù)數(shù)〃+"佃+〃為純虛數(shù)。為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)（）

A.-1B.1C.0D.2

12.已知集合用={1,2,3,…（〃￡*）,若集合A={q,%}qM,且對(duì)任意的bwM,存在％〃￡{一1,0,1}使

得力=/lq.十〃勺，其中\(zhòng)<i<j<21則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合

M={1,2,3,4,5,6}的基底的是（）

A.{1,5}B.{3,5}C.{2,3}D.{2,4}

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列{〃"}滿足4=1,%對(duì)任意〃22,〃eN*,若4（47+2《山）=3q.[4+1,則數(shù)列{〃〃}的通項(xiàng)公式

%=________

0V

15.某校13名學(xué)生參加軍事冬令營活動(dòng)，活動(dòng)期間各自扮演一名角色進(jìn)行分組游戲，角色按級(jí)別從小到大共9種，分

別為士兵、排長(zhǎng)、連長(zhǎng)、營長(zhǎng)、團(tuán)長(zhǎng)、旅長(zhǎng)、師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)和司令.游戲分組有兩種方式，可以2人一組或者3人一組.

如果2人一組，則必須角色相同；如果3人一組，則3人角色相同或者3人為級(jí)別連續(xù)的3個(gè)不同角色,已知這13名學(xué)

生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，現(xiàn)在新加入1名學(xué)生，將這14名學(xué)生分成5組進(jìn)行游戲，則新

加入的學(xué)生可以扮演的角色的種數(shù)為.

16.已知a,°w—,7i,cos（a+/）=一，cosp---=-—,則sina+二=_____.

【4J5I4；13I4；

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）隨著現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展，我國對(duì)于環(huán)境保護(hù)越來越重視，企業(yè)的環(huán)保意識(shí)也越來越強(qiáng).現(xiàn)某大型企業(yè)為此建

立了5套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，并制定如下方案：每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用預(yù)算定為1200萬元，日常全天候開啟3套環(huán)境監(jiān)

測(cè)系統(tǒng)，若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，則立即檢查污染源處理系統(tǒng)；若有旦另有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，則

立即同時(shí)啟動(dòng)另外2套系統(tǒng)進(jìn)行1小時(shí)的監(jiān)測(cè)，且后啟動(dòng)的這2套監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，也立

即檢查污染源處理系統(tǒng).設(shè)每個(gè)時(shí)間段（以1小時(shí)為計(jì)量單位）被每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)的概率均為〃

且各個(gè)時(shí)間段每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)情況相互獨(dú)立.

（1）當(dāng)p=:時(shí)，求某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；

（2）若每套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)運(yùn)行成本為300元/小時(shí)（不啟動(dòng)則不產(chǎn)生運(yùn)行費(fèi)用），除運(yùn)行費(fèi)用外，所有的環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)

每年的維修和保養(yǎng)費(fèi)用需要100萬元.現(xiàn)以此方案實(shí)施，問該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用是否會(huì)超過預(yù)算（全年按9000小時(shí)計(jì)

算）？并說明理由.

18.（12分）已知在四棱錐產(chǎn)一A3CZ）中，/%，平面48。。，B4=在四邊形A3CO中，D4_LAB,ADHBC,

AB=AD=2BC=2f￡為相的中點(diǎn)，連接OE,尸為OE的中點(diǎn)，連接A廠.

D

（i）求證：AF±ra.

（2）求二面角A—EC—。的余弦值.

19.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系無。>，中，已知橢圓J+4=im>b>0）的離心率為不，且過點(diǎn)1，;.F為

a~b~2V2；

橢圓的右焦點(diǎn)，AB為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，連接AF,BF分別交橢圓于C,D兩點(diǎn).

⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若求空的值；

FD

⑶設(shè)直線A8,CO的斜率分別為占，Q是否存在實(shí)數(shù)〃2,使得％2=〃的，若存在，求出機(jī)的值；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

20.（12分）以直角坐標(biāo)系X。），的原點(diǎn)為極坐標(biāo)系的極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸.已知曲線G的極坐標(biāo)方程為

p=4cos8+8sin。，尸是G上一動(dòng)點(diǎn)，OP=2OQ,點(diǎn)。的軌跡為。2?

（1）求曲線C2的極坐標(biāo)方程，并化為直角坐標(biāo)方程；

x=tcosa-I-

（2）若點(diǎn)M（0,l）,直線/的參數(shù)方程?。為參數(shù)），直線/與曲線G的交點(diǎn)為A，3,當(dāng)M4+/

y=l+rsincr

最小值時(shí)，求直線/的普通方程.

21.（12分）［選修45不等式選講］:已知函數(shù)/（x）=|x+2a|+|x—a

（1）當(dāng)。=1時(shí),求不等式/。）24—次+2|的解集；

12

（2）設(shè)〃>0,b>0,且八x）的最小值為/.若，+3）=3,求一十1的最小值.

ab

22.（10分）如圖在四邊形ABC。中，BA=6BC=2,E為4c中點(diǎn)，BE=—.

2

（1）求AC；

（2）若D=《，求AACO面積的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

先從函數(shù)單調(diào)性判斷2〃十人的取值范圍，再通過題中所給的。功是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定叱的取值

4+1

范圍.

【詳解】

由尸f（x）的圖象知函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,+8）單調(diào)遞增，而加+匕>0,故由/（加+。）<1=/（4）可知2〃+8<4.

b+\4-2a+\c7u

故---<--------=-2+----<5,

a+\a+\a+\

b+\b+\-2+工」

綜上得篙的取值范圍是e，5）.

又有a+\公b3〃3,

J---

22

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題.

2.C

【解析】

由基本音的諧波的定義可得＜=初(〃wN、),利用/=』二/■可得/(〃￡N),即可判斷選項(xiàng).

【詳解】

由題，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波，

由/=!=*,可知若＜=時(shí)、(〃wN)則必有的=〃&,(?eN*),

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.

3.B

【解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖，以及長(zhǎng)度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)矩形的面積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：該幾何體的底面正二角形的邊長(zhǎng)為2

所以該正三棱柱的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)為2的正方形，

所以該正三棱柱的側(cè)面積為3x2x2=12

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查正三棱柱側(cè)面積的計(jì)算以及三視圖的認(rèn)識(shí)，關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長(zhǎng)，掌握一些常見的幾何體的三

視圖，比如；三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式(+i=C：a'V可得常數(shù)項(xiàng)，然后二項(xiàng)式系數(shù)和，可得。，最后依據(jù)(+1=，可得

結(jié)果.

【詳解】

rsr

由題可知：Tr+i=C；xa-

當(dāng)r=0時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為7；=4

又(x+a)5展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為25

由=2'=＞。=2

所以7^=C"r25f

當(dāng)〃二2忖，7；=C；/23=80/

所以/項(xiàng)系數(shù)為80

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式，熟悉公式，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

解出x2<分別代入選項(xiàng)中。的值進(jìn)行驗(yàn)證.

【詳解】

解：?.?儲(chǔ)《。2,當(dāng)4=1時(shí),8={-1,0,1},此時(shí)A=B不成立.

當(dāng)。=2時(shí),4={一2,-1,0,1,2},此時(shí)AqB成立，符合題意.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.

6.B

【解析】

根據(jù)已知可知水面的最大高度為正方體面對(duì)角線長(zhǎng)的一半，由此得到結(jié)論.

【詳解】

正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為2枝，又水的體積是正方體體積的一半，

且正方體繞下底面（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉(zhuǎn)，

所以容器里水面的最大高度為面對(duì)角線長(zhǎng)的一半，

即最大水面高度為血，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方體的幾何特征，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線bx-ay+2a=0與直線bx-ay=0的距離d,根據(jù)圓

自一*0『+（丫-丫0『=1與雙曲線。的右支沒有公共點(diǎn)，可得dNl,解得即可.

【詳解】

x2v?b

由題意，雙曲線C:J—3=1（2>02>0）的一條漸近線方程為丫=一*,即bx-ay=O,

a'b-a

VP（Xo，yo）是直線bx-ay+4a=0上任意一點(diǎn)，

j4a4a

則直線bx-ay+4a=0與直線bx-ay=O的距離d=/。=一,

Va"+b~c

???圓（x-Xo『+（y-y0y=1與雙曲線C的右支沒有公共點(diǎn)，則d之1,

4ac

/.—>1,即e=-V4,又e>l

ca

故e的取值范圍為（1,4],

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據(jù)圓與雙曲線。的右支沒有公

共點(diǎn)得出d21是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基砧題.

8.D

【解析】

直接根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.

【詳解】

由圖可知月收入的極差為90-30=60,故選項(xiàng)A正確；

1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高，故選項(xiàng)B正確；

易求得總利潤為380萬元，眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折線圖，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.

9.D

【解析】

如圖所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)「（cos"sin。），貝ij西?（而十卮）=l—cos。，計(jì)算得到答案.

【詳解】

/./T\/.

如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則A。,。)，B,C——,——,設(shè)。(cos。,sin"),

\乙乙/\乙乙/

則可?(麗+無)=(1-cos8一sin。)?(-1-2cos仇-2sin8)

=(1-cos^)(-1—2cos^)+2sin20=2cos20—cos0—1+2sin2=1-cos^<2.

當(dāng)0=一不，即p(—l,o)時(shí)等號(hào)成立.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的計(jì)算，建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

10.C

【解析】

取8G的中點(diǎn)。，連接P0,80,CQ,PDf則三棱柱"CQ-AOP為直三棱柱，此直三棱柱和三棱錐尸-A5C有相同

的外接球，求出等腰三角形QBC的外接圓半徑，然后利用勾股定理可求出外接球的半徑

【詳解】

如圖，取BiG的中點(diǎn)。，連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱3C0-4O尸為直三棱柱，所以該直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都

在球。的球面上，整8。的外接圓直徑為2r=03石"，球。的半徑R滿足R2=，+(/"=2,所以球。的

sinZ.QCB2216

417[

表面積S=47tR2=——,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系，及球的表面積公式，解題時(shí)要注意審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬

于中檔題.

11.B

【解析】

化簡(jiǎn)得到z=。-/+（。+根據(jù)純虛數(shù)概念計(jì)算得到答案.

【詳解】

z=（7++i）=a-/+Q+/），為純虛數(shù)，故0-1=0且"+1*0,即a=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)類型求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

12.C

【解析】

根據(jù)題目中的基底定義求解.

【詳解】

因?yàn)閘=-lx2+lx3,

2=1x24-0x3,

3=0x2+lx3,

4=1x2+lx2>

5=lx2+lx3,

6=Ix3+lx3,

所以｛2,3｝能作為集合M=｛1,2,3,4,5.6｝的基底，

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

由4(0~+2〃的)=34.￡.可得----------=2(------------),利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得----------=2\再利用

累加法求和與等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論.

【詳解】

/、11?11、

由4(4-+冽用)=3%%,得二———=2(~~~

4+1anUnWn-I

11c,111

----------2,數(shù)列｛----------｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2,公比為2,

%qq+i4

——-=2\n>2,-———=2n-',

/an%

1/11、/11、z11.1

——=(-----------)+(--------------)-----(-----------)----

%a”C*%%a24q

=2"1+2,r2+...4-2+1=-^-=2M-1,

1-2

滿足上式，/二工

%2"-1

故答案為:白

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵，利用累加法求通項(xiàng)公式，屬于中檔題.

14.2

【解析】

直接利用關(guān)系式求出函數(shù)的被積函數(shù)的原函數(shù)，進(jìn)一步求出。的值.

【詳解】

解：若心丁灶\,則

3

即〃一*,所以。=2.

33

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：定積分的應(yīng)用，被積函數(shù)的原函數(shù)的求法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，

屬于基礎(chǔ)題.

15.9

【解析】

對(duì)新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類討論，分析各種情況下14個(gè)學(xué)生所扮演的角色的分組，綜合可得出結(jié)論.

【詳解】

依題意，14名學(xué)生分成5組，則一定是4個(gè)3人組和1個(gè)2人組.

①若新加入的學(xué)生是士兵，則可以將這14個(gè)人分組如下；3名士兵；士兵、排長(zhǎng)、連長(zhǎng)各I名；營長(zhǎng)、團(tuán)長(zhǎng)、旅長(zhǎng)各1

名；師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)、司令各1名；2名司令.所以新加入的學(xué)生可以是士兵，由對(duì)稱性可知也可以是司令；

②若新加入的學(xué)生是排長(zhǎng)，則可以將這14個(gè)人分組如下：3名士兵；連長(zhǎng)、營長(zhǎng)、團(tuán)長(zhǎng)各1名；旅長(zhǎng)、師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)各1

名；3名司令；2名排長(zhǎng).所以新加入的學(xué)生可以是排長(zhǎng)，由對(duì)稱性可知也可以是軍長(zhǎng)；

③若新加入的學(xué)生是連長(zhǎng)，則可以將這14個(gè)人分組如下：2名士兵；士兵、排長(zhǎng)、連長(zhǎng)各1名；連長(zhǎng)、營長(zhǎng)、團(tuán)長(zhǎng)各1

名；旅長(zhǎng)、師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)各1名；3名司令.所以新加入的學(xué)生可以是連長(zhǎng)，由對(duì)稱性可知也可以是師長(zhǎng)；

④若新加入的學(xué)生是營長(zhǎng)，則可以將這14個(gè)人分組如下：3名士兵；排長(zhǎng)、連長(zhǎng)、營長(zhǎng)各1名；營長(zhǎng)、團(tuán)長(zhǎng)、旅長(zhǎng)各1

名；師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)、司令各1名；2名司令.所以新加入的學(xué)生可以是營長(zhǎng)，由對(duì)稱性可知也可以是旅長(zhǎng)；

⑤若新加入的學(xué)生是團(tuán)長(zhǎng)，則可以將這14個(gè)人分組如下：3名士兵；排長(zhǎng)、連長(zhǎng)、營長(zhǎng)各1名；旅長(zhǎng)、師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)各1

名；3名司令；2名團(tuán)長(zhǎng).所以新加入的學(xué)生可以是團(tuán)長(zhǎng).

綜上所述，新加入學(xué)生可以扮演9種角色.

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】

本題考查分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是對(duì)新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類討論，屬于中等題.

【解析】

(\

由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得sin(o+〃)，sinp--的值，由兩角差的正弦公式即可計(jì)算得

的值.

I4)

【詳解】

5

cos(a+0=±,cosp——

V4J13

:.a+/3e

sin(a+4)=-yji-cos2+/3)=-3

5

sin

(a+Q)_(/

\一￡I

33

=sin(a4-/7)cos

1I卜65

故答案為:

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

25

17.(1)—；(2)不會(huì)超過預(yù)算，理由見解析

32

【解析】

(1)求出某個(gè)時(shí)間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為

2

C；(1)xl+C；(g)3=C；g)3+C；d)3=1，某個(gè)時(shí)間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系

統(tǒng)的概率為C；(1)3[l-(^)2]=白，可得某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；

(2)設(shè)某個(gè)時(shí)間段環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為X元，則X的可能取值為900,1500.求得P(X=1500)=C\p[\-p)2,

p(X=9OO)=l-C；p(l-p)2,求得其分布列和期望E(X)=900+1800p(l-p)2,對(duì)其求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性,

可得期望的最大值，從而得出結(jié)論.

【詳解】

(1)???某個(gè)時(shí)間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為

明)2xg+Cig)=*)3+鋸曠=1,

某個(gè)時(shí)間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為

C：(工卉1一d)2]=三?.某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為-+—=

■223223232

(2)設(shè)某個(gè)時(shí)間段環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為X元，則X的可能取值為900,1500.

?/尸(X=1500)=—〃-，P(X=900)=p)2

E(X)=900x[l-C>(l-p)2]+1500xC]p(l-/7)2=9OO+I8OO/?(1-p)2

令g(〃)="(1一〃〃G則=(1一〃)2—2〃(1一〃)=(3〃-1)(〃一1)

當(dāng)〃6(0,；)時(shí)，g'(P)>0,g(p)在(0,；)上單調(diào)遞增；

當(dāng)〃￡(上1)時(shí)，g'(p)<0,g(p)在上(：1)單調(diào)遞減，

J3

g(P)的最大值為^(―)=—,

4

???實(shí)施此方案，最高費(fèi)用為100+9000x(900+1800x—)x107=1150(萬元)，

27

?.?1150<1200,故不會(huì)超過預(yù)算.

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生的概率、期望，及運(yùn)用求導(dǎo)函數(shù)研究期望的最值，由根據(jù)期望值確定方案，此類題目解決

的關(guān)鍵在于將生活中的量轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中和量，屬于中檔題.

18.(1)見解析；(2)叵

7

【解析】

(D連接AE,證明依_L4),AE_L依得到依_1面4。石，得到證明.

(2)以出，AB,A。所在直線分別為工，)'，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一肛z,〃=。,一1,2)為平面的法

向量，平面OEC的一個(gè)法向量為〃;二(31,2),計(jì)算夾角得到答案.

【詳解】

(D連接AE,在四邊形ABCO中，DA±AB,%_L平面ABC。，

AZ)u面ABC。，.?.AD_L總，尸4八4^=4,..A。，面以B,

又「PBu面BAB,.?.PB_LA力，

又.?在直角三角形Q鉆中，PA=AB,E為PB的中點(diǎn)，，AE上PB,AOcAE=A,.?.。8_1_面4力月，AFu

面AOE,..A尸JLP8.

(2)以Q4,AB,A力所在直線分別為刀，)'，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—“z,

P(2,0,0),3(020),￡(1,1,0),0(021),A(0,0,0),0(0,0,2),

iiAC=02y+z=0

設(shè)〃=",y,z)為平面A￡C的法向量，AC=(O,2,l),XE=(l,l,0),,令x=l,則

n-AE=0x+y=0

y=T,z=2?.-.77=(1,-1,2),

同理可得平面DEC的一個(gè)法向量為而=(3』,2).

3-14-4_>/21

設(shè)向量而與［的所成的角為仇cos8=

^xV14-7，

由圖形知，二面角A-EC-力為銳二面角，所以余弦值為上.

7

【點(diǎn)睛】

本題考查了線線垂直,二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

FV27,、5

19.(1)—+2_=1(2)-(3)"!二一

4333

【解析】

22(3、/3A

試題分析：⑴三+工=1；⑵由橢圓對(duì)稱性，知A1,：，所以8,此時(shí)直線旅方程為力一4丁一3=(),

43k2；2)

BF1-(-1)_7

故尸。一133.（3）設(shè)A（Xo，%）,則8（—5，-%）,通過直線和橢圓方程，解得

------1

7

3yo_-3%

8-5與-3yo8+5x03)'o），所以-湍登好衿2?

C，D(

5+2x5+

(5-2x05-2x0>02x0

5+2x05-2x0

試題解析:

1

-c--_----

（D設(shè)橢圓方程為二十4=1（。＞〃＞0）,由題意知：＜a2

a-b~19

—+—

a~4b-

a=2v-2v2

解之得：公，所以橢圓方程為：—+^=1

b=643

（2）若A/uRr,由橢圓對(duì)稱性，知A（1弓,所以8（-1,一；）,

此時(shí)直線方程為31一4），-3二0,

3工一4y-3=0,

由」x2y2，得7/一6工一13=0,解得x=（x=—l舍去），

—+—=1,7

43

BF1-（-1）_7

故而一13一§?

------1

7

（3）設(shè)4“0，%），則見一天），一X）），

直線A尸的方程為）'二一%（1-1）,代入橢圓方程/+^=1,得

與一143

（15—6%）V_8y；—15片+24.%=0,

8—5x

因?yàn)楣ざ?是該方程的一個(gè)解，所以C點(diǎn)的橫坐標(biāo)％=不妥，

〉一，玉）

又。&,九）在直線丁二號(hào)（工一1）上，所以%=&（毛-1）=涔7,

X。-1xo—1J—z,xo

,8十5/3\\、

同理,。點(diǎn)坐標(biāo)為(E'G)'

3%

所以&7浸_；8左-〉-0=爭(zhēng)3x=為3

0

5+2升)5一2x0

即存在加小使得「濟(jì)

20.(1)P=2cos<9+4sin<9,(x-1)2+(y-2)2=5；(2)x+y-l=O.

【解析】

(1)設(shè)點(diǎn)P,。極坐標(biāo)分別為3，e),(p,e),由麗=2而可得0=；/90=28$。+4疝。,整理即可得到極坐標(biāo)方

程，進(jìn)而求得直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)AB對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為九%,則|M4卜同，|加8|二回，將直線/的參數(shù)方程代入G的直角坐標(biāo)方程中，再

2

利用韋達(dá)定理可得4+芍=2(cosa+sina),格=-3,=|/1|+|r2|=|r)-r2|=^+r2)-4r,r2,求得

|A^4|+|MB|取最小值時(shí)a符合的條件,進(jìn)而求得直線I的普通方程.

【詳解】

(1)設(shè)點(diǎn)P,Q極坐標(biāo)分別為3，夕),(。,6),

因?yàn)辂?2而，則0=耳2()=2cos0+4sin。,

所以曲線C?的極坐標(biāo)方程為0=2cos夕+4sin。，

兩邊同乘。，得p?=2pcos0+4s0inO,

所以G的直角坐標(biāo)方程為Y+y2=2x+4)，，即(X—1『+()，—2)2=5.

x=/coscc

(2)設(shè)點(diǎn)A8對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為.出，貝四四呻2|，將直線/的參數(shù)方程［、二］+稱而q口參數(shù))'代

入。2的直角坐標(biāo)方程(工一1『+(y-2)2=5中，整理得/-2(cosa+sina?—3=0.

由韋達(dá)定理得乙+q=2(cosa+sina),txt2=-3,

所以|M4|+=聞+同=1-I?I=7(ZI+Z2)2-472=J4(cosa+sinay+12=,4sin2a+16>2>/3，當(dāng)且僅

當(dāng)sin2(z=—1時(shí)，等號(hào)成立，貝!Jtana=-1,

所以當(dāng)|M4|+|A叫取得最小值