2022中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：開(kāi)放探究題

2022中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：開(kāi)放探究題

I.類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完

整.

原題：如圖1,在平行四邊形488中，點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段4E上一點(diǎn)，砂的延長(zhǎng)線交射線

C。于點(diǎn)G.若空=3,求g2的值.

（I）嘗試探究

在圖1中，過(guò)點(diǎn)E作EH//AB交BG于點(diǎn)、H,則AB和石”的數(shù)量關(guān)系是,CG和￡77的數(shù)最關(guān)

系是_________，號(hào)CD的值是_________?

CG

（2）類比延伸

Aprn

如圖2,在原題的條件下，若蕓=/〃（〃?>0）,則彳的值是（用含有加的代數(shù)式表示）,試寫

hrCG

出解答過(guò)程.

（3）拓展遷移

AR

如圖3,梯形A3CQ中，ZX7/48,點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，A石和3。相交于點(diǎn)F.若而="

條（?>0^>0）,則空的值是

b,（用含〃的代數(shù)式表示）.

uE匕上

(1)如圖1,點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，以AD為邊作等邊三角形ADE,連接CE,求證：CEQAB.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，以AD為邊作等邊三角形ADE,求證：無(wú)論點(diǎn)D的位置如

何變化，「ADE的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)P始終在［:B的角平分線上.

(3)如圖3,以AC為腰作等腰直角三角形ACD,取斜邊CD的中點(diǎn)E,連接AE,交BD于點(diǎn)F試判斷

線段BF,AF,DF之間存在何種數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

3.綜合實(shí)踐

數(shù)學(xué)課上，各小組進(jìn)行了特殊四邊形的探究活動(dòng),如圖所示，在AA8C中，分別以AB,AC,BC為邊在

3c的同側(cè)作等邊三角形4?以等邊三角形ACE,等邊三角形BCF.

(1)奮進(jìn)小組發(fā)現(xiàn)：四邊形6止廠是平行四邊形，請(qǐng)你完成證明;

(2)當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，求/相。的度數(shù);

(3)當(dāng)四邊形D煙是菱形時(shí)，若ND4E=120。,請(qǐng)直接寫出3C與。尸之間的數(shù)量關(guān)系.

4.某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下列兩種基本圖形，請(qǐng)給予證明.

(1)如圖1,AC與BD交于點(diǎn)O,ABDCD,AB=CD,求證：0A=0C.

(2)如圖2,已知：在匚相。中，［MC=90。，AB=AC,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)4口直線/,CE□直線/,垂

足分別為點(diǎn)。、E.求證：BD=AE.

(3)數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的拱索精神，并鼓勵(lì)他們用圖1或圖2的基本圖形來(lái)解決問(wèn)題：如圖3,把一塊

含45。的直角三角板川無(wú)？(即是等腰直角三角形，ZC=90,AC=3C)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后成為

MDE、已知點(diǎn)8、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)。、E.連結(jié)BO，并作射線CE交80于點(diǎn)尸，試探究在旋轉(zhuǎn)過(guò)程

中，DF與BF的大小關(guān)系如何，并證明.

5.某學(xué)校活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：

操作發(fā)現(xiàn)：

(1)如圖1,分別以月8和月C為邊向山18c外側(cè)作等邊」川切和等邊」力"，連接8E、CD,請(qǐng)你完成作

圖并證明4GCD(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡)

類比探究：

(2)如圖2,分別以48和4為邊向EM8C外側(cè)作正方形力直犯和正方形4CFG,連接CE、8G,則線段

C￡、4G有什么關(guān)系？說(shuō)明理由.

靈活運(yùn)用：

(3)如圖3,在四邊形力8。。中，AC.是對(duì)角線，AB=BC,□力8c=60。，LLWC=30。，4)=3,

80=5,求CQ的長(zhǎng).

6.綜合與探究

問(wèn)題情境：如圖，已知0c平分NAO3,CD_LOA于點(diǎn)。，￡為￡)。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EF工0B于點(diǎn)、F,EG

平分ZDEF交。4于點(diǎn)G,/DEF+ZAOH=180°.

問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：(1)如圖1,當(dāng)乙4。8=90。時(shí)，Zl+Z2=1

(2)如圖2,當(dāng)NAO8為銳角時(shí)，N1與N2有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由;

拓展探究

(3)在(2)的條件下，已知直角三角形中兩個(gè)銳角的和是90。，試探究。。和GE的位置關(guān)系，并證明結(jié)

論；

（4）如圖3,當(dāng)NAO/3為銳角時(shí)，若點(diǎn)E為線段OC上一點(diǎn)，EFLOB于點(diǎn)凡EH平分NDEF交0A于

點(diǎn)〃，NDEF+NAOB=180°.請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的正確結(jié)論.

7.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方形Q18C,點(diǎn)C（0,4）,將長(zhǎng)方形048c沿4c折疊，使得點(diǎn)3落在

點(diǎn)。處，C"邊交x軸于點(diǎn)&ZCMC-30".

（1）求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）如圖2,在直線力C以及y軸上是否分別存在點(diǎn)M,N,使得△EMN的周長(zhǎng)最小？如果存在，求出

△EMN周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)尸為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，作直線4P交直線CO于點(diǎn)。，是否存在點(diǎn)，使得△CP。為等腰三角形？如果

存在，請(qǐng)求出NO/P的度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.【原題初探】（1）小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1,P是正方形A8CO內(nèi)一點(diǎn)，連

結(jié)附，PB,PC現(xiàn)將繞點(diǎn)?順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的SC8,連接尸P.若PA=6,PB=3,

4尸4=135。，求PC的長(zhǎng)和正方形/WCO的邊長(zhǎng).

D

【變式猜想】（2）如圖2,若點(diǎn)，是等邊AA8C內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=3,PB=4,PC=5,請(qǐng)猜想NA/2的度

數(shù)，并說(shuō)明理由.

【拓展應(yīng)用】（3）聰明的小明經(jīng)過(guò)上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問(wèn)題：如圖3,在

四邊形ABCQ中,AO=3,CD=2,ZABC=ZACB=ZADC=45°,請(qǐng)求出80的長(zhǎng)度.

9.問(wèn)題：如圖（1）,點(diǎn)M、N分別在正方形4?。的邊AC、C。上，ZMAN=45°,試判斷BM、MN、

NQ之間的數(shù)量關(guān)系.

（1）研究發(fā)現(xiàn)

如圖1，小聰把△力ON繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9（）。至/XABG,從而發(fā)現(xiàn)8必、MMON之間的數(shù)量關(guān)系為

（直接寫出結(jié)果，不用證明）

<2）類比引申

如圖2,在（1）的條件下，AM,4V分別交正方形48co的對(duì)角線BQ于點(diǎn)￡、F.已知所=5,DF=

4.求4E的長(zhǎng).

（3）拓展提升

如圖3,在（2）的條件下，AM.4V分別交正方形48co的兩個(gè)外角平分線于。、P,連接P。.請(qǐng)直接

寫出以4。、P。、。產(chǎn)為邊構(gòu)成的三角形的面積.

10.如圖，四邊形48co是菱形，點(diǎn)M在CD邊匕點(diǎn)N在菱形A8CO外部，且滿足MN//AD,

CM=MN,連接AN,CN,取AN的中點(diǎn)E,連接班;，AC.

（1）探究座與AC位置關(guān)系.

（2）若N42C=120。，探究線段跖、AO與CM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（3）若NA6C=60。，M在。C的延長(zhǎng)線上時(shí)，其余條件不變，CM=1,AD=3,請(qǐng)求出跖的長(zhǎng)度.

11.【認(rèn)識(shí)新知】對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

【概念理解】（1）如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,C4=C。，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形

嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

【性質(zhì)探究】（2）如圖2,四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,AC1BD.

①若OA=1,0B=5?0C=7,0D=2,則AB;CD、：AD2+BC2=

②求證：AB2+CD2=AD2+BC2;

【解決問(wèn)題】(3)如圖3,ziACB中，/ACB=90。，AC_LAG且AC=AG=4,AB_LAE且

AE=AB=5,連結(jié)CE、BG、GE.則GE=

圖1圖2圖3

12.己知，在△ABC中，DABC=90°,AB=BC=2,點(diǎn)0是邊AC的中點(diǎn)，連接OB,將"OB繞點(diǎn)A順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)a。至AANM,連接CM,點(diǎn)P是線段CM的中點(diǎn)，連接PB,PN.

（1）如圖1，當(dāng)a=180時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段PN和PB之間滿足的位置和數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,當(dāng)0VaV180時(shí).請(qǐng)?zhí)剿骶€段PN和PB之間滿足何位置和數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)AAOB旋轉(zhuǎn)至C,M,N三點(diǎn)共線時(shí)，線段BP的長(zhǎng)為.

13.已知A(m,n),且滿足|，〃-2|+(〃-2)2=0,過(guò)A作ABDy軸，垂足為B.

y

（2）如圖1,分別以4/?,A。為功作等功A43C和A4OO,試判定線段AC和OC的數(shù)量關(guān)系和位善關(guān)

系，并說(shuō)明理由;

（3）如圖2,過(guò)A作AEJ_.i軸，垂足為七，點(diǎn)r、G分別為線段OE、AE上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重

合），滿足"G=45。，設(shè)"AAG"FG=c,試探究方的值是否為定值？如果是求此定值；如

果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.如圖1,已知直角三角形ABC,ZACZ?=90°,/BAC=30。，點(diǎn)。是AC邊上一點(diǎn)，過(guò)。作OE_LAB

于點(diǎn)E,連接80,點(diǎn)尸是8。中點(diǎn)，連接EE,CF.

（1）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：

線段石尸，C尸之間的數(shù)量關(guān)系為：NEFC的度數(shù)為:

（2）拓展與探究：

若將△曲繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。角（0。＜。＜30。），如圖2所示，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理

由；

（3）拓展與運(yùn)用：

如圖3所示，若△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)。落到A8邊上時(shí)，AB邊上另有一點(diǎn)G,

AD=DG=GB,BC=3,連接EG,請(qǐng)直接寫出EG的長(zhǎng)度.

圖1圖2圖3

15.在等邊AA3C的兩邊48、4c所在直線上分別有兩點(diǎn)A/、N,。為aABC外一點(diǎn)，且NMON=6(Y,

ZBDC=120\BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在宜線48、ZC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系

及AAMN的周長(zhǎng)0與等邊AA8C的周長(zhǎng)上的關(guān)系.

圖3

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊4B、47上，且OA/=QNH寸，BM、NC、之間的數(shù)量關(guān)系是

此時(shí)￥=

L

(2)如圖2,點(diǎn)M、N邊力夙AC±.,且當(dāng)。加工ON時(shí),猜想(1)間的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜

想并加以證明;

(3)如圖3,當(dāng)M、N分別在邊力8、。的延長(zhǎng)線上時(shí),若AN=x,則Q=.(用工、L表

示).

16.問(wèn)題探究：如圖1,在△mC中，點(diǎn)。是4C的中點(diǎn)，DE工DF,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于匕F,

連接

(1)BE、b與E產(chǎn)之間的關(guān)系為：BE+CF_EF；(填“>”、"=”或“<”)

(2)若4=90。，探索線段BE、CF、所之間的等量關(guān)系，并加以證明.

(3)問(wèn)題解決:如圖2.在四邊形A8OC中，N8+NC=180,08=Z)C,N80C=130。以。為頂點(diǎn)作

NE。尸=65。,NK。廠的兩邊分別交A3、AC于區(qū)F兩點(diǎn)、,連接麻，探索線段BE、CF、"'之間的數(shù)量關(guān)

系，并加以證明.

17.如圖，在矩形/WCQ中，AB=afBC=b,點(diǎn)/在0c的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在A。上，且有

BE=BF,

(2)如圖2,當(dāng)人=］〃時(shí)，

□請(qǐng)直接寫出448石與N8FC的數(shù)量關(guān)系：

匚當(dāng)點(diǎn)E是A。中點(diǎn)時(shí)，求證：CF+BF=2a；

［在匚的條件下，請(qǐng)直接寫出“叱：S矩形ABCD的值.

18.直線MN與尸。相互垂直，垂足為點(diǎn)0,點(diǎn)A在射線刃上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)8在射線OW上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、點(diǎn)8

均不與點(diǎn)。重合.

(1)如圖1，4平分/8AO,B/平分4BO,若NB4O=40。，求NA出的度數(shù);

(2)如圖2,4平分/BAO,平分NAHM,AC的反向延長(zhǎng)線交4于點(diǎn)。.

□若N3AO=40。，貝1］乙4￡厲=度(直接寫出結(jié)果，不需說(shuō)理);

□點(diǎn)A、8在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，乙位＞8是否發(fā)生變化，若不變，試求NAOB的度數(shù)：若變化，請(qǐng)說(shuō)明變化規(guī)

律.

（3）如圖3,已知點(diǎn)E在雨的延長(zhǎng)線上，/84。的角平分線A/、/OAE的角平分線”與/BOP的角平

分線所在的直線分別相交于的點(diǎn)。、F,在△相）/中，如果有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的4