廣東省揭陽(yáng)市2025屆高三高考模擬測(cè)試（二）數(shù)學(xué)試題含答案VIP

/廣東省揭陽(yáng)市2025屆高三高考模擬測(cè)試（二）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，則A中元素的個(gè)數(shù)為（）A．7 B．9 C．11 D．133．已知平面向量與均為單位向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．正四棱臺(tái)中，，則四棱臺(tái)的體積為（）A． B． C．56 D．5．若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則（）A． B． C．2 D．6．已知為銳角，且，則（）A． B． C． D．7．是正四棱柱表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)直線與正四棱柱六個(gè)面所成角的大小相等時(shí)，與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意滿足，且當(dāng)時(shí)，.設(shè)，，則（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．洛陽(yáng)是我國(guó)著名的牡丹之鄉(xiāng)，以“洛陽(yáng)地脈花最宜，牡丹尤為天下奇”流傳于世.某種植基地通過(guò)植株高度研究牡丹的生長(zhǎng)情況，從同一批次牡丹中隨機(jī)抽取100株的植株高度（單位：）作為樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（）

A．基地牡丹植株高度的極差的估計(jì)值大于50B．基地牡丹植株高度不高于70的頻率估計(jì)值為30%C．基地牡丹植株高度的眾數(shù)與中位數(shù)的估計(jì)值相等D．基地牡丹植株高度的第75百分位數(shù)的估計(jì)值小于8010．已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．在上僅有1個(gè)零點(diǎn) D．的最小正周期為11．已知曲線，一條不過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與x，y軸分別交于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．曲線有4條對(duì)稱軸B．曲線形成封閉圖形的面積大于C．當(dāng)時(shí)，線段中點(diǎn)的軌跡與曲線相切D．當(dāng)時(shí)，直線與曲線相切三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，若，則.13．記雙曲線的離心率為，若直線與有公共點(diǎn)，則離心率的取值范圍為（請(qǐng)用區(qū)間表示）.14．在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)，的“曼哈頓距離”定義為.例如點(diǎn)的“曼哈頓距離”為.已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則的最小值為，的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求；(2)若，求的面積.16．已知A，B，C是橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若，是的左、右頂點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若點(diǎn)在第一象限，是否存在四邊形滿足是該四邊形的對(duì)稱軸，若存在，請(qǐng)寫出A，C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.17．如圖，，，都是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在平面的上方和下方，點(diǎn)為中點(diǎn).(1)求證：A，D，O，E四點(diǎn)共面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.18．一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上從原點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，每次運(yùn)動(dòng)的結(jié)果可能是原地不動(dòng)，也可能是向左或向右運(yùn)動(dòng)一個(gè)單位.記質(zhì)點(diǎn)原地不動(dòng)的概率為，向右運(yùn)動(dòng)的概率為，向左運(yùn)動(dòng)的概率為，其中，.(1)若，，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)3次后停在原點(diǎn)右側(cè)的概率；(2)若.①規(guī)定質(zhì)點(diǎn)只要運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)左側(cè)就立即停止運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)5次后停在原點(diǎn)右側(cè)的概率；②設(shè)計(jì)游戲規(guī)則如下：第一輪游戲，質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)置質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)的概率，若質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)3次后停在原點(diǎn)右側(cè)，則進(jìn)入第二輪游戲，否則游戲結(jié)束；第二輪游戲，質(zhì)點(diǎn)重新從原點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，重新設(shè)置質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)的概率，運(yùn)動(dòng)3次后，若質(zhì)點(diǎn)停在原點(diǎn)右側(cè)，則以質(zhì)點(diǎn)停留位置對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)值作為兩輪游戲的最終得分，若質(zhì)點(diǎn)停在原點(diǎn)左側(cè)或原點(diǎn)處，則兩輪游戲的最終得分為0分（規(guī)定游戲一輪結(jié)束的得分也是0分）.記兩輪游戲最終得分的期望，若存在極大值點(diǎn)，求的取值范圍.19．已知數(shù)列中每一項(xiàng)（其中，）構(gòu)成數(shù)組.定義運(yùn)算如下：，其中當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；用表示層嵌套運(yùn)算，.現(xiàn)取，記中相鄰兩項(xiàng)組成的數(shù)對(duì)滿足的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)為.(1)寫出，，以及，；(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)若，證明：對(duì)任意的都有.

參考答案1．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選D.2．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，可得，所以x可能取值為當(dāng)時(shí)：代入得，又，所以，此時(shí)得到元素；當(dāng)時(shí)：代入得，，，此時(shí)得到元素；當(dāng)時(shí)：代入得，.，，此時(shí)得到元素；當(dāng)時(shí)：代入得，，，此時(shí)得到元素；當(dāng)時(shí)：代入得，所以，此時(shí)得到元素；滿足條件的元素分別為：，，，，共11個(gè)，故選C.3．【答案】A【詳解】由已知，可得，，即.又平面向量與均為單位向量，所以.所以，，所以，，夾角為.故選A.4．【答案】B【詳解】如圖所示，由正四棱臺(tái)可知且，，，四邊形為等腰梯形，取上底下底的中心平面，過(guò)作，垂足為，，且，，，所以，所以.故選B.5．【答案】C【詳解】易知圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓心到直線l的距離為d，由弦長(zhǎng)公式可得，所以圓心到直線的距離，解得或，又，所以，故選C6．【答案】B【詳解】因?yàn)闉殇J角，所以，又，所以，,故選B.7．【答案】A【詳解】

如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則易知平面一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面、平面、平面所成的角分別為，由已知可得.又，，，所以有.又由是正四棱柱表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，易知，所以.若是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可知，，，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，與點(diǎn)重合，舍去；若是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可知，，，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，與點(diǎn)重合，舍去；若是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可知，，，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，與點(diǎn)重合，舍去；若是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可知，，，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)可以為；若是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可知，，，沒(méi)有滿足條件的點(diǎn)；若是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可知，，，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，重復(fù)舍去.綜上所述，.所以.又所以，與所成角的余弦值為.故選A.8．【答案】D【詳解】設(shè)，則有.當(dāng)時(shí)，由已知可得，化簡(jiǎn)可得.又由已知當(dāng)時(shí)，可得，，所以.所以，在上單調(diào)遞減.又時(shí)，構(gòu)造，則在上恒成立，所以，恒成立，所以在上恒成立.所以，有在上恒成立；當(dāng)時(shí)，有，所以有，即；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有，即.綜上所述，.故選D.9．【答案】BC【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由圖象可知，基地牡丹植株高度范圍在之間，所以極差的估計(jì)值應(yīng)不大于50，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，基地牡丹植株高度不高于70的頻率為.故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由頻率分布直方圖可知，基地牡丹植株高度不高于70的頻率為，不高于的頻率為，所以中位數(shù)位于，設(shè)為，則應(yīng)有，計(jì)算可得.眾數(shù)估計(jì)為的中點(diǎn)，也是，與中位數(shù)相同.故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，基地牡丹植株高度不高于的頻率為，不高于的頻率為，所以，基地牡丹植株高度的第75百分位數(shù)的估計(jì)值應(yīng)在內(nèi).故D錯(cuò)誤.故選BC.10．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，，其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，即為偶數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故B正確；對(duì)于C，令，即，即，又，當(dāng)時(shí)，，且，則，所以在上僅有1個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，，因?yàn)?，假設(shè)存在，使得對(duì)任意的恒成立，令，則，所以，因?yàn)?，所以，即，則，在的條件下，，且時(shí)，，所以的最小正周期為，故D正確；故選BCD.11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由絕對(duì)值的特征，曲線在四個(gè)象限內(nèi)都有對(duì)稱性，即關(guān)于軸，軸，以及直線和直線對(duì)稱，故曲線有4條對(duì)稱軸，A正確；對(duì)于B，因曲線在第一象限的方程為，即，，則曲線在第一象限內(nèi)的面積為，因曲線的對(duì)稱性，在四個(gè)象限內(nèi)的部分面積相同，故曲線形成封閉圖形的面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，考慮曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)直線與x，y軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，由圖知，，即點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，該圓與曲線都關(guān)于直線對(duì)稱，且在第一象限都經(jīng)過(guò)直線上的點(diǎn)，由圖可知圓與曲線相切，同理在其他象限也有相同的結(jié)論，故C正確；對(duì)于D，不妨設(shè)，則直線的方程為，其中，由消去，可得，將代入，化簡(jiǎn)得：，即，解得，由函數(shù)的定義，可得直線與曲線在第一象限有且只有一個(gè)共同點(diǎn)，故此時(shí)直線與曲線相切，同理在其他象限也有相同的結(jié)論，故D正確.故選ACD.12．【答案】0【詳解】由已知可得，，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，所以，.所以，.13．【答案】【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線為，又直線與有公共點(diǎn)，所以，則離心率，即離心率的取值范圍為.14．【答案】【詳解】設(shè)函數(shù)上與直線平行的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，所以切點(diǎn)為，即切線方程為，即，則的最小值為直線與直線間的距離，即；設(shè)，則，將看成關(guān)于的函數(shù)，則在或時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，則，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；綜上所述，.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由余弦定理，又，所以，則；（2）因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，又，所以，所以，又，所以，所以，則，所以.16．【答案】(1)(2)不存在，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）由已知可得，，，設(shè)，則，，所以.又，，所以，所以，，，所以，的取值范圍為.（2）設(shè)存在四邊形滿足是該四邊形的對(duì)稱軸設(shè)，為對(duì)角線的交點(diǎn)因?yàn)槭撬倪呅蔚膶?duì)稱軸，所以為的中點(diǎn)，且，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以直線的斜率均存在且不為0.且，所以有，所以有.又因?yàn)樵跈E圓上，所以有.作差整理可得，這與相矛盾，假設(shè)不正確.所以，不存在四邊形滿足是該四邊形的對(duì)稱軸.17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）連接DO、AO、EO，因?yàn)?，，都是等邊三角形，所以，又在平面?nèi)交于點(diǎn)O，在平面內(nèi)交于點(diǎn)O，所以平面，平面，因?yàn)檫^(guò)O只有一個(gè)平面與垂直，且平面與平面有公共點(diǎn)O，所以平面與平面是同一平面，即A，D，O，E四點(diǎn)共面；（2）連接DO、AO、EO，AD，以O(shè)A，OB分別為x、y軸，以過(guò)點(diǎn)O且垂直于平面ABC的直線空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)槭堑冗吶切?，邊長(zhǎng)，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，所以又，設(shè)，所以，解得，所以，因?yàn)槭堑冗吶切?，邊長(zhǎng)，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，又，設(shè)，所以，解得，由(1)得為二面角平面角，設(shè)，則點(diǎn)，故，設(shè)平面的法向量為，則，取得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，其中，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值.18．【答案】(1)(2)①；②【詳解】（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)次后停在原點(diǎn)右側(cè)的情況有種，分別是：次向右；次不動(dòng)，次向右；次向右，次向左；次不動(dòng)，次向右；所以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)次后停在原點(diǎn)右側(cè)的概率；（2）①質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)次后停在原點(diǎn)右側(cè)的情況有種，分別是：次向右；第次向右，后次有次向右，次向左；前次向右，后次有次向右，次向左；第次向右，第次向左，第次向右，后次有次向右，次向左；所以運(yùn)動(dòng)次后停在原點(diǎn)右側(cè)的概率；②第一輪游戲結(jié)束進(jìn)入第二輪游戲的情況有2種，分別是3次向右；2次向右、1次向左；則其概率為；設(shè)兩輪游戲最終得分為隨機(jī)變量，則的所有可能取值為、、，又，，所以，因?yàn)?，所以，即，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；記，則，令；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，，根?jù)零點(diǎn)存在性定理可得，存在使得，存在使得，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)的極大值點(diǎn)，所以；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，，根?jù)零點(diǎn)存在性定理可得，存在使得，存在使得，要使在上存在極大值點(diǎn)，則，解得或，因?yàn)?，所以；綜上所述.19．【答案】(1)，；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析；【詳解】（1）由題意得，所以．（