湖南省衡陽市2023-2024學年高二數學上學期第四階段測試試題含答案

/衡陽市2022級高二第四階段測試數學（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）一、單選題：本題共8題，每題3分，共24分.在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，則=A． B． C． D．2．設，“”是“復數是純虛數”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件3．函數的圖像大致是（）A．B．C．D．4．設函數是定義在上的偶函數，，當時，單調遞增，則不等式的解集為（）A．或B．C．D．5．把滿足條件（1），，（2），，使得的函數稱為“D函數”，下列函數是“D函數”的個數為（）①②③④⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．已知曲線在點處的切線方程為，則（）A． B． C． D．7．設函數的定義域為R，滿足，且當時，.若對任意，都有，則m的最小值是（）A． B． C． D．8．已知定義在上的奇函數滿足：當時，.若不等式對任意實數t恒成立，則實數m的取值范圍是()A． B．C． D．二、多選題：每小題4分，共16分.全部選對的得4分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．如圖是函數導函數的圖象，下列選項中正確的是（）A．在處函數有極大值 B．在，處導函數有極小值C．在處函數有極大值 D．在處函數有極小值10．已知函數，若過點（其中是整數）可作曲線的三條切線，則的所有可能取值為（）A．3 B．4 C．5 D．611．已知符號函數，則（）A．B．C．是奇函數D．函數的值域為（﹣∞，1）12．已知是定義在上的函數，是的導函數，給出如下四個結論，其中正確的是（）A．若，且，則的解集為B．若，且，則函數有極小值0C．若，且，則不等式的解集為D．若，則三、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分.13．已知，設函數的圖象在點處的切線為，則在軸上的截距為．14.已知函數，則_______，的最小值是______．15.已知函數（為自然對數的底數）有兩個極值點，則實數的取值范圍是．16.已知定義在上的函數滿足，其中是函數的導函數.若，則實數的取值范圍為_________.四、解答題：本題共4小題，共44分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）函數在區(qū)間上是單調遞減函數，求的取值范圍.18.（10分）已知函數（I）討論的單調性；（II）設有兩個極值點若過兩點的直線與軸的交點在曲線上，求的值．19.（12分）新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護服短缺，某地政府決定為防護服生產企業(yè)A公司擴大生產提供(萬元)的專項補貼，并以每套80元的價格收購其生產的全部防護服.A公司在收到政府(萬元)補貼后，防護服產量將增加到(萬件)，其中為工廠工人的復工率（）.A公司生產萬件防護服還需投入成本(萬元).（1）將A公司生產防護服的利潤(萬元)表示為補貼(萬元)的函數(政府補貼x萬元計入公司收入)；（2）在復工率為k時，政府補貼多少萬元才能使A公司的防護服利潤達到最大？（3）對任意的(萬元)，當復工率達到多少時，A公司才能不產生虧損？（精確到0.01）.20.（12分）已知函數．（1）證明：曲線在點處的切線恒過定點；（2）若有兩個零點，且，證明：．

2021年上學期高二創(chuàng)新班“周周考”第四輪——數學試卷(5.15)（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）一、單選題：本題共8題，每題3分，共24分.在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.題號12345678答案CBBABDAA二、多選題：每小題4分，共16分.全部選對的得4分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.題號9101112答案BCDABCBCABD1．已知集合，則=A． B． C． D．解析：依題意可得，所以故選C．2．設，“”是“復數是純虛數”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】時不一定是純虛數，但是純虛數一定成立，故“”是“復數是純虛數”的必要而不充分條件．3．函數的圖像大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，則為奇函數，故其圖象關于原點對稱，排除C；當時，，，故，故排除A、D，4．設函數是定義在上的偶函數，，當時，單調遞增，則不等式的解集為（）A．或B．C．D．【答案】A【解析】當時，函數單調遞增，且函數是上的偶函數，，由，得，故，得或.5．把滿足條件（1），，（2），，使得的函數稱為“D函數”，下列函數是“D函數”的個數為（）①②③④⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】滿足（1）（2）的函數是偶函數且值域關于原點對稱，①不滿足（2）；②不滿足（1）；③不滿足（2）；④⑤均滿足（1）（2）.6．已知曲線在點處的切線方程為，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】詳解：，將代入得，故選D．7．設函數的定義域為R，滿足，且當時，.若對任意，都有，則m的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，∴當時，，時，，，時，，，將函數大致圖象繪制如下：時，令，解得：，，若對于任意，都有，所以，故選：A.8．已知定義在上的奇函數滿足：當時，.若不等式對任意實數t恒成立，則實數m的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知，時，，則，因為是上的奇函數，所以，所以當時，.因為函數為上的減函數，所以為上的增函數，故為上的增函數，由，可得，即對任意恒成立，當時，不等式可化為，顯然不符合題意，所以，可得，解得.9．（多選題）如圖是函數導函數的圖象，下列選項中正確的是（）A．在處函數有極大值 B．在，處導函數有極小值C．在處函數有極大值 D．在處函數有極小值【答案】BCD【解析】根據導函數的圖像可知：的兩側左減右增，所以在，處導函數有極小值；的兩側左增右減，所以在處導函數有極大值.根據導函數的圖像可知：的左側導數大于零，右側導數小于零，所以在處函數有極大值.的左側導數小于零，右側導數大于零，所以在處函數有極小值.而左右兩側導函數符號相同，原函數不取得極值.故選：BCD10．（多選題）已知函數，若過點（其中是整數）可作曲線的三條切線，則的所有可能取值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】ABC【解析】解：由題知，設切點為，則切線方程為，將，代入得；令，則，或時，；時，，的極大值為，極小值為，由題意知，又為整數，.11．（多選題）已知符號函數，則（）A．B．C．是奇函數D．函數的值域為（﹣∞，1）【答案】BC【解析】根據題意，依次分析選項：對于A，log23＞0而log3＜0，則log23?log3＜0，故sgn（log23?log3）＝﹣1，A錯誤；對于B，＝﹣2＜0，則sgn（）＝﹣1，B正確；對于C，sgn（x）＝，當x＞0時，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝﹣1，當x＜0時，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝1，當x＝0時，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝0，則對于任意的x，都有sgn（﹣x）＝﹣sgn（x），故sgn（x）是奇函數，C正確；對于D，函數y＝2x?sgn（﹣x）＝，其圖象大致如圖，值域不是（﹣∞，1），D錯誤；故選：BC．12．（多選題）已知是定義在上的函數，是的導函數，給出如下四個結論，其中正確的是（）A．若，且，則的解集為B．若，且，則函數有極小值0C．若，且，則不等式的解集為D．若，則【答案】ABD【解析】對選項A：設，因為，且，則，所以在上增函數，又因為，所以當時，，即的解集為，故A正確.對選項B，設，因為所以當時，，為減函數，當時，，為增函數，故當，取得極小值，極小值為，故B正確.對選項C，設，.因為，，所以，在上增函數.又因為，所以.所以當時，，故C錯誤.對選項D，設，因為，所以，在上增函數.所以，，即.故D正確.三、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分.題號13141516答案0，13．已知a∈R，設函數f（x）＝ax﹣lnx的圖象在點（1，f（1））處的切線為l，則l在y軸上的截距為．【答案】1【解析】函數f（x）＝ax﹣lnx，可得f′（x）＝a﹣，切線的斜率為：k＝f′（1）＝a﹣1，切點坐標（1，a），切線方程l為：y﹣a＝（a﹣1）（x﹣1），l在y軸上的截距為：a+（a﹣1）（﹣1）＝1．故答案為：1．14．已知函數，則_______，的最小值是______．【答案】0，【解析】∵，，即．又在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以．15.已知函數（為自然對數的底數）有兩個極值點，則實數的取值范圍是．【解答】解：，，由函數有兩個極值點可得和在上有兩個交點，，令，則，在上單調遞減且（1），當，時，，即，在，上單調遞增，（1），當時，，即，在上單調遞減．故（1），而當時，，當時，；若和的圖象在上有兩個交點，只需，故．故答案為：，．16.已知定義在上的函數滿足，其中是函數的導函數.若，則實數的取值范圍為_________.【答案】【分析】令，求得函數的導數，根據函數的單調性，把題設中的不等式轉化為，即可求解.【詳解】令，則，因為，所以，所以函數在為單調遞減函數，又由，所以，即，所以，即，所以，解得，綜上可得，實數的取值范圍為.四、解答題：本題共4小題，共44分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）函數在區(qū)間上是單調遞減函數，求的取值范圍.【解析】（1），，，因此，曲線在點處的切線方程，即；…4分（2），，令，得或，由于函數在區(qū)間上是單調遞減函數，則，解得.因此，實數的取值范圍是.…………………10分18．（10分）已知函數（I）討論的單調性；（II）設有兩個極值點若過兩點的直線與軸的交點在曲線上，求的值．【解析】（I），當時，，當且僅當時，，所以是上增函數；當時，的兩個根為，，，，綜上所述，當時，單調遞增區(qū)間是；當時，單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是；…………………4分（II）由題設知，是方程的兩個根，故有，，因此，同理，因此直線的方程為，設直線與軸的交點為，得，，由題設知，點在曲線上，故，解得或或所以的值為.…………………10分19．（12分）新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護服短缺，某地政府決定為防護服生產企業(yè)A公司擴大生產提供(萬元)的專項補貼，并以每套80元的價格收購其生產的全部防護服.A公司在收到政府(萬元)補貼后，防護服產量將增加到(萬件)，其中為工廠工人的復工率（）.A公司生產萬件防護服還需投入成本(萬元).（1）將A公司生產防護服的利潤(萬元)表示為補貼(萬元)的函數(政府補貼x萬元計入公司收入)；（2）在復工率為k時，政府補貼多少萬元才能使A公司的防護服利潤達到最大？（3）對任意的(萬元)，當復工率達到多少時，A公司才能不產生虧損？（精確到0.01）.【解析】（1）由題意，