北京市西城區(qū)2024-2025學年高三年級下冊4月統(tǒng)一測試數(shù)學試卷（解析版）

西城區(qū)高三統(tǒng)一測試試卷

數(shù)學

2025.4

本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.

考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知集合A={#2<4,3=卜旭%>0},那么集合43=()

A.(-2,+co)B.(^0,-2)_(1,+oo)

C.(-<?,2)D.(1,+co)

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合A、B,利用并集的定義可求得集合AB.

【詳解】因為A={X,<4}=(—2,2),3={x|lgx>0}=(l,+"),所以，AOB=(-2,4?).

故選：A.

2.下列函數(shù)中，圖像關(guān)于y軸對稱的是()

A.y=(x-1)-B.y=2A

C.y=x4+x2D.y=|lnx|

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性，綜合可得答案.

【詳解】A選項，由二次函數(shù)圖像及性質(zhì)可知，對稱軸為x=l,A選項錯誤；

B選項，由指數(shù)函數(shù)圖像及性質(zhì)可知，函數(shù)沒有對稱軸，B選項錯誤；

C選項，因為(―％y+(—%)2=尤4+/，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，C選項正確；

D選項，函數(shù)定義域為(0,+"),不是偶函數(shù)，D選項錯誤.

故選：C.

3.在［x2+Z］的展開式中，產(chǎn)的系數(shù)等于()

A.6B.12

C.18D.24

【答案】D

【解析】

【分析】應(yīng)用二項式定理寫出展開式的通項，進而求/的系數(shù).

2

【詳解】由題設(shè)，二項式展開式通項為(+1=C；(X2)4T(—)r=2「C>8-3r,r=0,1,,4,

令8—3r=2nr=2,則7；=22(2*2=24/,即犬的系數(shù)等于24.

故選：D

2

4.在長方形ABCD中，E為的中點，cosZAEB=-,貝UcosNAED二()

3

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)NA￡B=。，貝ijcos8=2,分析可知NAED=7i—28,利用誘導公式結(jié)合二倍角的余弦公式可

3

求得cosZAED的值.

【詳解】設(shè)NA￡B=6,則COS￡=2,如下圖所示：

3

因為|AB|=|DC|,忸目=|CE|,ZABE=NDCE=90，所以，AABE%ADCE,

所以，ZDEC=ZAEB=9,故NAED=?i—28,

因此，cosZAED=cos（兀-2。）=-cos23=1—2cos?8=1—2x

故選：B.

5.在平面直角坐標系xOy中，若從點A（0/）發(fā)出的光線經(jīng)過點8（1,0）,且被X軸反射后將圓

C:（x—4『+（y—3『=1平分，則實數(shù)/=（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】點A關(guān)于X軸的對稱點為M（0,T）,分析可知，點、M、B、圓心。（4,3）三點共線，結(jié)合心M=kBC

可求得/的值.

點A關(guān)于X軸的對稱點為M（0,-r）,

由對稱性可知，點以、B、圓心。（4,3）三點共線，則程用=限，即將=言，解得f=L

故選：A.

6.設(shè)直線機U平面a,平面a1平面，=直線/,則是“機的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)及充分、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】已知直線mu平面a,平面1、平面，=直線/,

若加上尸，由/u平面夕，則相，/;

若加，/,此時得不到根直線加可能與平面夕相交，如下圖:

所以““2，/”是"m±I”的充分不必要條件.

故選：A.

7.已知函數(shù)/(x)=sinx+J§cosx.若/(%)=/(%2)，則()

A.\-x2=2kn{kGZ)B.再=2?或石+%2=2E+§?(女￡Z)

C.x+x=E+'l■(keZ)

x2D.xl-x2=2E或％]+%2=kn+—^keZ)

【答案】B

【解析】

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)7(%)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期性和對稱性求解.

【詳解】因為/(x)=sinx+Gcosx=2sin[x+m；則該函數(shù)的最小正周期為2兀,

由x+]=E+'|■(左eZ)可得x=E+《(keZ),

所以，函數(shù)〃尤)的對稱軸方程為*=析+9(keZ),

6

兀)兀

[左兀+7J=Ikn+—^keZ),

故選：B.

8.已知雙曲線三—.Ml的左、右焦點分別為片、F2,若雙曲線上存在點尸，使得盧片|=3|「乙|,則

此雙曲線的離心率的取值范圍是

A.(1,3]B.[3,+s)C.(1,2]D.[2,+00)

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析：|「￡|=3|「乙|,|「印—|Pg|=2an|P《|=a"—anl<e<2

故選C.

考點：雙曲線離心率

【方法點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a,b,c的方程或不

等式，再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式，要充分利用

橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.

9.蜂巢的精密結(jié)構(gòu)是通過優(yōu)勝劣汰的進化自然形成的.若不計蜂巢壁的厚度，蜂巢的橫截面可以看成正六

邊形網(wǎng)格圖，如圖所示.設(shè)P為圖中7個正六邊形(邊長為4)的某一個頂點，A3為兩個固定頂點，則

PAPB的最大值為()

B.48

C.72D.76

【答案】B

【解析】

【分析】利用坐標法可得PA，B=x2+y2—64,設(shè)點P(x,y)到原點的距離為d,則如.依的最大值

為1％-64,利用數(shù)形結(jié)合法可知，離原點距離最遠的正六邊形頂點為最外圍的頂點，利用兩點間的距離

公式即可求解.

【詳解】設(shè)點P(x,y),正六邊形的邊長為4,

所以4-8,0),5(8,0),

所以PA=(—8_x,_y),PB=(8—x,_y),

所以=—(8+x)(8—%)+/=/+/—64,

設(shè)點P(x,y)到原點的距離為d,則PA.P6的最大值為-64,

由圖可知，離原點距離最遠的正六邊形頂點為最外圍的頂點,

如圖，可取尸（8,4百）,

所以aX—64=|?！浮阂?4=64+48—64=48,

即PAPB的最大值為48.

10.設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S",前〃項的乘積為7..若勾%<%%<0，則（）

A.S“無最小值，7；無最大值B.S）,有最小值，7；無最大值

c.S”無最小值，7；有最大值D.S“有最小值，7；有最大值

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本量法，可求出公比“滿足-1<4<0,根據(jù)前〃項和與前〃項積的定義進行討論計算，可

以得出S“有最小值，而7；有最大值.

【詳解】由已知，｛4｝是等比數(shù)列,44<。2%<°，即。力可得-i<q<o,

若4〉0,則S]=q,可計算當〃23時，S〃_S2="3（l_q"-）=4.（l_q“一）,

1-q1-q

結(jié)合—IvqvO,可得--邑>0即S2為小的最小值,

同理，當q<0,。2=。山〉0,當“22,s“_S]=a.Q_q）〉0,可知S”的最小值為S1,

1-q

綜上可得，S“有最小值.

由一l<q<0可得，|1<1a?\,

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，-l<q<0,必有N滿足對于所有〃〉N,

因為7；一定是正負交替出現(xiàn)，可得T,一定存在最大值.

綜上，對于滿足已知條件的等比數(shù)列{q},滿足S“有最小值，有最大值.

故選：D

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.設(shè)i為虛數(shù)單位，則上!■=.

2-1

【答案】j3-j1i

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運算法則計算即可.

1-i（l-i）（2+i）2+i-2i-i23-i31.

【詳角星】----=--------=--------------=-----=------1

"用牛［2-i（2-i）（2+i）22-i2555，

_,31

故答案為：---i.

12.設(shè)拋物線。：必=2加的焦點為尸（0,1）,準線為/,則拋物線C上一點A&2）至U/的距離為

【答案】3

【解析】

【分析】先求出P=2,然后得出拋物線準線方程，即可得出答案.

【詳解】由題可得5=1,所以。=2,

所以準線/：y=-1,所以C上一點2）到/的距離為2+1=3,

故答案為：3.

13.設(shè)平面向量a=（—1,1）,匕=（—2,1）,c=（x,y）,且『=5,則使得向量匕一。與。共線的一組值x=

,y=.

【答案】①.-4（答案不唯一，填3也對）②.3（答案不唯一，第一空填-4,則第二空填3,第

一空填3,則第二空填-4）

【解析】

【分析】由條件根據(jù)向量的模的坐標公式，向量共線的坐標表示列方程求x,y的關(guān)系，由此可得結(jié)論.

【詳解】因為，=5,o=(九,田，

所以西+丁=5,即f+y2=25,

因為〃=(一2,1),c=(x,j),所以b—c=(—2—尤,1-y),

又向量B—c與。共線，a=(-M)，

所以-2_x+l_y=0,

所以尤=_y_l,

所以（―y—l『+y2=25,

所以y=3或y=-4,

x=-4[x=3

所以O(shè)或J

[y=3[y=-4

故答案：T；3（答3；-4也對）

14.端午節(jié)又名端陽節(jié)、粽子節(jié)等，它是中國首個入選世界非遺的節(jié)日.從形狀來分，端午節(jié)吃的粽子有

三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等.其中，四角粽的形狀可以近似看成一個四面體ABCD,如圖所

示.設(shè)棱AO的長為6cm,其余的棱長均為2#cm,則該四角粽的表面積為cm2,內(nèi)含食物

的體積為cn?.（粽葉的厚度忽略不計）

【答案】?.1273+6715②.676

【解析】

【分析】根據(jù)棱錐的表面積公式和體積公式，結(jié)合線面垂直的判定定理、三角形的余弦定理，面積公式求解.

AC2+C￡)2—A￡)21

【詳解】cosZACD=

2ACxCD4

所以NACD為銳角，所以sinNACD=Jl—cos?NACD=巫

4

該四角粽的表面積

,△ABC+SABCD+^/\ABD+AACD=2x—x2^/6x2,\/6xsin60+2x—x2-J^>x2^/6x----=12,\/3+6A/15

r

取5c中點為0,連接QA,OD,

則OA=A/A82-OB2=3叵0D=^BD--OB2=3應(yīng)，

所以。42+OD2=AD?即a)，必，

且OALBC,8。門。￡>=。,8。,。。<=平面BCD,

所以。4J_平面BCD,

內(nèi)含食物的體積為:義5移8><。4=；xgx2"x2痣sin60義3?=6屈.

故答案為：12G+6y[15;6A/6.

15.記國表示不超過實數(shù)x最大整數(shù).設(shè)函數(shù)〃x)=x+|x],有以下四個結(jié)論：

①函數(shù)/(%)為單調(diào)函數(shù)；

②對于任意的x,/(%)+/(-%)=0或/(x)+/(—X)=-1；

③集合{x"(x)=a}(口為常數(shù))中有且僅有一個元素；

④滿足/(x)+<7的點(羽y)(x>0,y>0)構(gòu)成的區(qū)域的面積為8.

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【解析】

[分析】①利用定義法證明單調(diào)性；②分〃<x<〃+1和％=及兩種情況討論；③求出0Wx<l和1W%<2

時了(九)的值域，結(jié)合單調(diào)性可知，當。取值域未包含的值時，集合為空集；④令x=7篦+2,y=n+/3,

其中m.nGN*,a,/e[0,l),將問題轉(zhuǎn)化為加+〃W3,找出符合題意的單位正方形，即可求出區(qū)域面積.

【詳解】Vx!，x2eR,且玉<々，貝,石]4I%]，則

/(七)一/(工2)=%+同一七一[々]=(七一9)+([%]-[%2])<0，即/(%)</(9)，

則“X)在R上單調(diào)遞增，故①正確；

當〃Wx<〃+1,ZZGZ時，/(%)=x+[x]=x+〃，

故當〃<x<〃+l時，一〃一1<一刀<一〃，有/(x)=x+|x]=x+〃，f(-x)=-x+[-x]=-x-n-l,

此時/(%)+/(—x)=—l,

當％時，/(X)=2〃，/(-%)=-2M,止匕時+

故②正確；

當OWx<l時，/(x)=xe[O,l),當1WX<2時，/(x)=x+le[2,3),結(jié)合〃工)在R上單調(diào)遞增可

知，當ae[l,2)時，方程/(x)=a無解，故集合為空集，故③錯誤；

設(shè)％=根+a,y=n-\-/3,其中九N*,a,/3^[0,1),則/(x)+/(y)=2/〃+c+2〃+/7W7,因

Q<a+/3<2,則2〃z+2〃W7,

則772+/W3,

在每個單位正方形[〃帆+1)義[〃,〃+1)內(nèi)，/(x)+/(y)的值從2機+2八到2根+2〃+2,但不包括

2m+2n+2,因此在m+n<3的區(qū)域內(nèi)的每個單位正方形內(nèi)，/(1)+/(丁)<7的點(x,y)構(gòu)成的區(qū)域面

積為1,

由于根+〃43的區(qū)域內(nèi)的單位正方形有1+2+3+4=10個(和+〃=0,1,2,3),因此滿足

/(%)+/(丁)<7的點(光,日構(gòu)成的區(qū)域面積為圖中4043的面積8.

故答案為：①②④

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在多面體A3CDPQ中，AB_L平面？AZ),平面P0C1平面己45=PQ,AB//CD,

(1)求證：CD//PQ-

(2)設(shè)AB=00=4Q4=4,CD=PQ=PO=2,求直線以與平面Q8C所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵2

3

【解析】

【分析】(1)先利用線面平行的判定定理證〃平面A3QP,再利用線面平行的性質(zhì)定理即可；

(2)以。為原點建系，計算平面Q8C的法向量，再利用向量夾角的余弦公式求cosm,AP,最后利用線面

角與向量夾角之間的關(guān)系求即可.

【小問1詳解】

如圖，因為AB〃CD,平面ABQP,ABU平面ABQP,

所以〃平面ABQP,

又因為CDu平面CDPQ,平面CDPQ1平面ABQP=PQ,

所以CD〃PQ,

【小問2詳解】

在平面ABCD內(nèi)過點。作Oy//AB.

因為ABJ_平面PAD,所以。平面BLD,

因OPu平面PAO,ODu平面上40,所以。y，OP,Oy±OD,

因A3,平面BLD,ABu平面ABCD,則平面？AO，平面ABC。，

又因為尸。_LAZ）,平面R4Oc平面A3CD=A。，則POJ_平面ABCD,

所以8,Oy,OP兩兩互相垂直.

以。為原點，OD,Oy,OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系。-盯z,則

0(0,0,0),4(—1,0,0),r>(4,0,0),C(4,2,0),

8(-1,4,0),P(0,0,2),BC=(5,-2,0),AP=(l,0,2),

由題意，得CQ=DP=（T,0,2）,

設(shè)平面QBC的法向量為比=（羽y,z）,

m-CQ=0-4x+2z=0

則即《

m?BC=05x—2y=0

令％=2,則y=5,2=4,于是冽=(2,5,4),

m-AP2+8_2

所以COSM,AP=

|m||AP|745x75~3

故直線PA與平面QBC所成角的正弦值為

3

17.在VABC中，acosB+灰2sA=4ccosA.

(1)求cosA的值;

（2）若a=2函，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得VA3C存在,

求5c邊上的高.

3兀

條件①：B=—；

4

條件②：Z?=6；

條件③：cosC=建。.

4

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

【答案】（1）cosA=-

4

（2）條件選擇見解析，答案見解析

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出cosA的值；

（2）對于條件①，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求出角A的取值范圍，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理推出矛盾，可

值條件①，不符合要求；

選擇條件②，求出sinA的值，利用余弦定理可求出C的值，然后利用三角形的面積公式結(jié)合等面積法可

求出邊上的高；

選擇條件③；求出sinA、cosC的值，利用兩角和的正弦公式可求出sin8的值，利用正弦定理求出b的

值，進而可得出邊3C上的高為加inC,求解即可；

【小問1詳解】

abc

由正弦定理----=-----=-----,且6ZCOSB+Z?COSA=4ccosA，

sinAsinBsinC

得sinAcosB+sirtBcosA=4sinCcosA,即sin（A+5）=4sinCcosA.

由A+B+C=7C,得sin（A+5）=sinC.所以sinC=4sinCbosA.

由OVCVTT,得sinCwO,所以cosA='.

4

【小問2詳解】

選擇條件①：因為0<COSA=:<￥=COS：,且余弦函數(shù)y=cosx在（0,兀）上單調(diào)遞減，

ITJT371

故一<A<一,又因為8=—,從而可得A+3>兀，與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，故①不成立.

424

選擇條件②：由Ae（Oi）,且COSA=L,得sinA=Jl—COS2A=^.

由余弦定理/=匕2+02—2ACOSA，得（2VId『=62+c2_2><6xc><：,

解得c=4或c=-l（舍）.

設(shè)邊3C上高為3則三角形面積S=LbcsinA=La/z,

22

眄

所以bcsinAXX43店.

a2M2

選擇條件③：由人€（0,兀），且cosA=（,得sinA=JI=嬴%=乎.

由Ce（0,兀），且cosC=，得sinC=Jl-cos?C=近^.

44

所以si*in(A+C戶哈卓+%手=?

由正弦定理，得人=竺些=6,所以邊8。上的高/7=加m。=6義通=亞

sinA42

18.發(fā)展純電動、插電式混合動力等新能源汽車是我國從汽車大國邁向汽車強國的必由之路.為調(diào)查研

究，某地統(tǒng)計了轄區(qū)內(nèi)從2017年至2024年這8年的新能源汽車和純電動汽車的銷量，得到如下折線圖

(單位:百輛)：

百輛，

600

500

400

300

200

100

0

?????新能源一?一純電動

在每一年中，記該年純電動汽車銷量占該年新能源汽車銷量的比重為。.

(1)從2017年至2024年這8年中隨機抽取1年，求該年。值超過50%的概率；

(2)現(xiàn)從2019年至2024年這6年中依次隨機抽取，每次抽取1個年份，若該年的。值超過5。％,則停

止抽取，否則繼續(xù)從剩余的年份中抽取，直至抽到。值超過50%的年份.記抽取的次數(shù)為X,求X的分

布列和數(shù)學期望；

(3)記2020年至2024年這5年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的方差為s；,且這5年純電動汽車銷量數(shù)據(jù)的方差

為s；,寫出s；與s；的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

【答案】(1)y

7

(2)分布列見解析，y

(3)s；〉s；

【解析】

【分析】(1)求出各年的。值，利用古典概型概率公式求結(jié)論；

(2)確定隨機變量X的可能取值，再求X取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；

(3)先求新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)，純電動汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求兩組數(shù)據(jù)的方差，比較大小

即可.

【小問1詳解】

設(shè)從2017年至2024年這8年中隨機抽取1年，且該年的。值超過50%為事件A,

由圖表知，

3555

2017年的。值為3x100%<50%,2018年的。值為二二xl00%<50%,

80121

2019年的。值為名x100%<50%,

2020年的。值為—X100%<50%,

163182

2021年的。值為qx100%>50%,綏x100%>50%,

2022年的。值為

221398

312

2023年的。值為Jx100%>50%,2024年的。值為—X100%>50%,

412528

所以在2017年至2024年這8年中，有且僅有2021年至2024年這4年的。值超過50%,

41

所以尸(A)=W=5?

oZ

【小問2詳解】

由圖表知，在2019年至2024年這6年中,。值超過50%的有4年,

所以隨機變量X的所有可能取值為1,2,3.

422x42x1x41

則p(x=l)=—=—,P(X=2)=—,P(X=3)=

636x515'76x5x415

所以X的分布列為：

X123

241

P

1515

2417

故X的數(shù)學期望石(X)=lx§+2義區(qū)+3義話=：

【小問3詳解】

從2020年至2024年這5年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

|(182+221+398+412+528)=詈1=348.2,

所以從2020年至2024年這5年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的方差

=-[(182-348.2『+(221-348.2)2+(398-348.2)2+(412-348.2)2+(528-348.2)2

5-

所以s；=16536.16

從2020年至2024年這5年純電動汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

111QQ

-(85+121+298+312+366)=^-=236.4,

從2020年至2024年這5年純電動汽車銷量數(shù)據(jù)的方差

s；=g[(85—236.4)2+(121—236.47+(298—236.4)2+(312-236.47+(366-236.4)2,

所以s；=12509.04,

所以s；>s；.

19.已知橢圓E：W+/=l(a〉6〉0)離心率為好，A為橢圓E上一點，且點A到橢圓E的兩個焦

點的距離之和等于2#.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若A關(guān)于原點。的對稱點為8,過點A與AB垂直的直線與橢圓E的另一個交點為C,軸

于點H,直線5c與x軸交于點用SBOM與SAAOH分別表示與八40”的面積，證明：

uqBOM一=乙"。,AOH?

22

【答案】(1)—+^=1

62

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)橢圓性質(zhì)，已知離心率￡=近、長軸2a=2幾以及/=^+02,通過解方程組就能得

a3

出。、b的值，進而得到橢圓方程.

(2)先設(shè)點A、B、"坐標，再設(shè)直線3C方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理得到%、為表達式?因

為A3_ZAC,根據(jù)向量垂直性質(zhì)得到04AC=0,解出先與乜的關(guān)系.排除直線5c過原點的情況后,

確定%=3日。時直線方程，求出點以坐標，最后根據(jù)三角形面積公式得出SBOM=2SAOH.

【小問1詳解】

c_V6

廠亍

由題意，得<2a=2瓜解得a="，b=42>

a1=b-+c2,

22

所以橢圓E的方程為L+^=l.

62

【小問2詳解】

由題意，設(shè)點人（局,為乂％0為，0）,則點H（xo,O）.

/、/、[y=Ax+Ax-y,

設(shè)直線3C的方程為丁+%=左（1+/），C（x,y）.由1_°n,°n得

ccx?Jy2—?O

2

（3左2+1）%2+6^（fcr0-y0）x+3（Ax0-y0）-6=0.

所以八＞0丫+丫_一6左（也-%）3?-%）?-6

所以△＞（）,f+3J,r/c=342+i'

2

故x「6%（線f）_-6k（kx0-y0）

x+x2fcx

自義c-3左2+]o'yc-fcxc+fcx0-y0------3k2+]----+0_%

又因為ABIAC,

所以O(shè)4AC=（x°,%）.「6空。丁。）[6；*o；%）+2K_2y0]=0,

去分母化簡得到（%-依））（%—3ao）=0,所以％=飆或％=3kx0.

當先=為時，直線3C過原點，不符合題意.

當為=3日0時，直線3C的方程為y=履-2代），則點河坐標為（2%,0）,

xOHxx

所以SAOH=^\\\y0\=^0y^SBOM=^\OM\x\y0\=\x0y0\.

故SBOM=2sAOH.

20.已知函數(shù)/（x）=（x+a）e",其中aeR.

（1）若曲線y=/（x）在點（o,7（o））處的切線的斜率為2,求。的值；

（2）求函數(shù)/（%）的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)函數(shù)八%）在區(qū)間［—1,2］上的最大值和最小值分別為"（a）,N（a）,求使得不等式

M（a）-N（a）“2a—l）e°+e2成立的。的最小值.

【答案】（1）a=±\

（2）答案見解析（3）2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可；

（2）求導，分。=0和aw0兩種情況討論求解即可；

（3）結(jié)合⑵易得函數(shù)在[-1,2]上單調(diào)遞增，再結(jié)合題設(shè)將問題轉(zhuǎn)化為e2>0,令

g（tz）=（a2-?-l）ea-e2,利用導數(shù)分析其單調(diào)性，進而求解即可.

【小問1詳解】

由/（x）=（x+a）e（K,則/'（尤）=（改+“2+l）ea,

貝|]/'（0）=。2+1=2,解得。=±1.

【小問2詳解】

由/（X）=（x+a）e",則/'（%）=（以+/+l）e"“，

當a=0時，f（x）=x,函數(shù)/（尤）的單調(diào)遞增區(qū)間為（口,”），無單調(diào)遞減區(qū)間；

當awO時，令/'(x)=0,得％=—

a

,2?1(21\

若a>0,由/'(x)>0,得xe------,+oo；由/'(x)<0,得xe-oo,------

\aJI〃/

<21A（21,

所以/（九）的單調(diào)遞增區(qū)間為-巴上,+8,單調(diào)遞減區(qū)間為—，―巴士

Iaa

+

若avO,由/'（尤）>0,得_QO,，+；由/得九￡,+oo

a）（a

所以“X）的單調(diào)遞增區(qū)間為-8,-巴土，單調(diào)遞減區(qū)間為|-巴士,+8.

、a）I〃/

綜上，當a=0時，函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（口,”），無單調(diào)遞減區(qū)間；

/2jA（21

當a>0時，函數(shù)/（九）的單調(diào)遞增區(qū)間為一里二,+8,單調(diào)遞減區(qū)間為-8,-巴土

,d-ya

'cz2+P，2+]、

當a<0時，函數(shù)〃x）的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為'+,+8.

-00,-a---------------a

、?I）

【小問3詳解】

由(2)知,當a=0時，函數(shù)八%)在區(qū)間［—1,2］單調(diào)遞增,

2.-1

當avO時，-3----~a+

當且僅當即〃=—1時等號成立，則函數(shù)/(%)在［—1,2］上單調(diào)遞增;

當〃>。時，-

"+1ClH----a-———2

a

當且僅當a=：,即a=l時等號成立，則函數(shù)"%)在［—1,2］上單調(diào)遞增.

綜上所述，函數(shù)八%)在［T2］上單調(diào)遞增，

所以M(a)-N(a)==(2+。)式2〃.(_］+力尸=(?2+?-2)efl.

由M(a)-N(a)“2a—l)ea+e2,得(/—a—l)e”—e?20,

令g(a)=(a?-?-l)e0-e2,則g'(a)=(4+a-2)e",

由g'(a)=。,得a=-2或a=l.

當x變化時，g'(x)與g(%)的變化情況如下表：

a(r,—2)-2(-2,1)1(L+8)

g'(a)+0-0+

g(a)/極大值極小值/

所以g(九)在(-8,-2)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在(-2,1)上單調(diào)遞減.

又因為g(_2)=5e-2—e2<0,g(l)<g(—2)<0,且g(2)=0,

所以當ae［2,+co)時，g(?)>0；當ae(Yo,2)時，g(a)<0.

即當且僅當a?2,+co)時，"(。？/(0)之(20-1”+62恒成立，

所以使得M(a)-N(a)之(2a—l)e"+e?成立的。的最小值為2.

21.如圖，設(shè)A是由3)個實數(shù)組成的〃行〃列的數(shù)表，其中均表示位于第，行第/列的實數(shù)，且

滿足小,如，,，。加（'=1，2,與%，4（/=1，2,'，”）均是公差不為0的等差數(shù)列.

?11%2

〃

21。22a2n

%anlann

若根據(jù)條件P,能求出數(shù)表A中所有的數(shù)，則稱A能被P確定.

（1）已知〃=3,分別根據(jù)下列條件，直接判斷數(shù)表A能否被其確定：

條件P1「'已知陽，的，%”；

條件必：“已知的2，。21，。23