北京市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級下冊3月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024-2025學(xué)年第二學(xué)期3月質(zhì)量監(jiān)測

高一年級數(shù)學(xué)試卷

2025年3月

考試時間120分鐘，試卷滿分150分

一、選擇題(共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項

1,已知向量”=(1'2),b=且(a+6),a,則實數(shù)加等于

A.-1B.2C.-3D.4

【答案】C

【解析】

【詳解】V向量&=(1,2),b=(m,-\)

a+b=(1+m,1)

:(a+b)

「?(〃+/?)?"=0,即1+帆+2=0

m——3

故選C

2.在AABC中，已知人=66,。=6,。=30°,則。=

A.6B.12C.6或12D.無解

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦定理求得sin3=且，再根據(jù)6>c,得B>C,可得B,從而可得

2

【詳解】由正弦定理得?口bsinC°036.

sinn=----------=------------=

c62

因為b>c,所以8>C.

又因為0°<3<180°，

所以8=60°或120。.

當(dāng)3=60°時，A=90°,a=^^=12；

sinC

當(dāng)3=120時,A=30=C,=c=6.

所以〃=6或a=12.

故選：C

【點睛】本題考查了利用正弦定理解三角形，注意求出sin3=@后得3的時候有兩解，屬于中檔題.

2

3.在邊長為3的等邊三角形ABC中，BM=^MC,則§45河=()

6331

A.B.-C.-D.-

2242

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積模與夾角計算公式可得結(jié)果.

【詳解】因為3河=工河。，則又等邊三角形ABC的邊長為3

23

則加?=］癡?3C=?cos3=gx3x3xcos60°=萬

故選：B

4.設(shè)向量人=(0,1),〃=［一/'-］)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.a11bB.a.Lb

D①方向上的投影為自

C”的夾角為彳

【答案】c

【解析】

【分析】利用向量平行，垂直，夾角以及向量投影的坐標公式對各個選項進行檢驗即可.

即兩個向量不滿足平行的坐標公式，故錯誤;

B'l-ljxo+lxl-lj*0,即不滿足向量垂直的坐標公式，故錯誤;

1

a.boA/237r

C.cos0=--——=—r=-=—,^e[0,7i\,所以夾角為—，正確；

|〃||6|在2L」4

_i

a-b?也

D2在。方向上的投影為可=虛=-3,故錯誤.

了

故選：C

【點睛】本題考查兩個向量平行，垂直以及兩個向量的夾角坐標公式，考查向量投影的計算方法，屬于基

礎(chǔ)題.

在中，分別為角的對邊），則的形狀為

5.VABCCOS2^=￡±￡6,cA,B,CVABC

22c

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】由二倍角公式和余弦定理化角為邊后變形可得.

…如、..B_a+c.B_a+c_a+c,a2+c2-b2a+c,

【詳解】?cos2—,..2cos2—，1+cosBv—,1H--------------------‘整理1A可H

22c2cclacc

[+廿=。2,.?，三角形為直角三角形.

故選：B.

【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角為邊是解題關(guān)鍵.

6.在直角梯形ABC。中，ADAB=0>NB=30。，AB=2。BC=2,BE=；BC,貝|()

A.AE=-AB+-ADB.AE=-AB+-AD

6363

C.AE=-AB+-ADD.AE=-AB+-AD

6366

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)題意得A。=1,CD=5進而得A8=2OC，再結(jié)合已知和向量的加減法運算求解即

可得的答案.

【詳解】由題意可求得AD=1,CD=陋

所以A8=2￡）C，

又BE==BC,

3

則AE=AB+BE=AB+，C=46+1（區(qū)4+AD+℃）

33、）

^\1--\AB+-AD+-DC^\1--\AB+-AD+-AB

I33I36

I363

故選：C.

【點睛】本題考查用基底表示向量，考查運算能力，是基礎(chǔ)題.

7.已知非零空間向量口力，且A3=a+2d3C=—5a+6b,C￡>=7a—2Z?,則一定共線的三點是（

A.A,B,CB.A,B,DC.B,C,DD,A,C,D

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量加法求出AC、BD，結(jié)合已知向量及向量共線定理判斷點共線即可.

、.UUULUUIUULUU11

【詳解】由題設(shè)AC=A5+5C=—4a+8b，BD=BC+CD=2a+4b，

結(jié)合題設(shè)中的向量，顯然只有5。=2A5,即A3,。一定共線.

故選：B

]I,[2.2.2

8.已知向量4=（1,左）/=（2,4）,則“左=—3”是[=。+6”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可

【詳解】由+6,得a+2ci-b-\-b=〃+b，得a,b=0，得（1，女），（2,4）=0,解得

2

|2.2.2

反之,當(dāng)上=一萬時,a-b=O>所以/+2。.5+片=/+片,所以卜+目=a+b,

|2.2.2

所以“左=-g"是"a+0=a+b”的充要條件.

故選：C.

【點睛】此題考查充分條件和必要條件的判斷，考查向量的運算，屬于基礎(chǔ)題

9.將函數(shù)y=cos2光圖象上的點尸現(xiàn)向右平移s(s>0)個單位長度得到點P.若P位于函數(shù)

7T

y=cos（2x-2）的圖象上，貝U（）

6

1JT]兀

A.m=—,S的最小值為一B.m=—,s的最小值為一

21226

c.m=*s7T

最小值為不D.加二——,$的最小值為一

1226

【答案】A

【解析】

【分析】由題意P在函數(shù)y=cos2x上，可得加的值，求出p的坐標，由題意可得關(guān)于$的方程，可得s的

最小值.

【詳解】點尸在函數(shù)上，所以機=cos（2xe）=：,則P%+s,；）,

將P（°+s」）代入>=cos（2x-二）中可得cos（?+2s-四）=—^>COS（25+—）=—,

62636262

TTTTTTTT

2s+—=±——F2ht,kGZ,可得s=1~阮或5=---Ffat,A:eZ,

63124

JT

由于s>0,所以s的最小值為一.

12

故選：A

jia

10.已知向量a,b夾角為\b1=2,對任意有|。+%々閆。-5|,則“-al+l=-]（￡￡R）的最小

值是（）

A.B.-C.f+-D.立

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

【詳解】對任意尤GR,有|6+尤兩邊平方得/(a)?+2xa—[(4)2-2a20,則

A=4(a?6>+4(a)2[(a)2-2a-b]<0

即有[(a)2—q?句2MO,即(a)2=a.6,則(a-6)，a

???向量〃，b夾角為§，仍1=2

工(。)2-a-b=|^|-|/?|-COSy=|d：|

1^1=1

—/?|=Q(a-b)2=J(a)2+s、_2a?b=A/3

設(shè)AO=Q，AB=b，建立平面直角坐標系，如圖所示：

則AQ0)，5(0,73)

.??〃(—1,0),b(-l，6)

\tb-C^+tb=J(1_t)2+(g/)2+j(g—)2+(也%)2=2(Jq_；)2+(0_^~)2+^(/^-^)2+(0+^^)2它表不點

P(/，0)與點M(：,孝)、N(g,—%的距離之和的2倍

當(dāng)"，P,N三點共線時，取得最小值MN,即23|=2,(；—")2+(中+當(dāng)2二4,故選D

點睛：平面向量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路：①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題

轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行判斷；②“數(shù)化”，即利用平面

向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)的最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用

函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解.

二、填空題(共6小題，每小題5分，共30分)

11.設(shè)向量a=(1,0),〃=(1,1),若向量彳。+〃與向量c=(6,2)共線，則實數(shù)4=.

【答案】2

【解析】

【分析】求得4。+6=(>1+1/)，根據(jù)(4a+6)//c,列出方程,即可求解.

【詳解】由題意，向量a=(1,0)/=(1,1),可得+=0)+(1,1)=(4+1,1),

因為向量Xa+b與向量2=(6,2)共線，所以2(2+1)—6=0,解得；1=2.

故答案為：2.

12.AA5C的角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若一"，則角C的大小為.

71

【答案】-

3

【解析】

【分析】直接利用余弦定理計算可得；

【詳解】解：在△A5C中由余弦定理可得c?=4+)2—2"cosC,又c?=a?+b?-ab

所以cos。=,

2

Ce(0,

:.C=-

3

71

故答案為：—

3

【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.

13.已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos3=L,b=4,sinA=2sinC,貝!J

4

NABC的面積為.

【答案】V15

【解析】

【詳解】sinC=2sinA,,由正弦定理可得c=2a,由余弦定理可得廿="—2accos3，

/.42=a2+c2~~ac，與c=2a,聯(lián)立解得Q=2,C=4,cosB=—,B,

sinB=^1-cos2B=15,則AABC的面積S=—acsinB==y/15，故答案為

4224

jr

14.將函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向右平移一個單位后得到函數(shù)g(x)的圖如則g(x)的解析式為g(x)=

6

；對于滿足|/(七)一8(%2)|=2的和々，?七一的最小值等于-

TTTT

【答案】①.sin(2x—g)②.1

【解析】

【分析】根據(jù)圖象變換規(guī)律得gO),根據(jù)條件結(jié)合圖象確定|石-馬|的最小值.

7T

【詳解】/(x)=sin2x的圖象向右平移二個單位后得：

6

77兀

函數(shù)g(x)=sin2(x——)=sin(2x——),

由于l『a)—g@)l=2,

所以，和々分別是/(X)，g(無)最大值或最小值點的橫坐標，

JTTT

不妨設(shè)/(xi)是最大值，g(x2)是最小值，則+x2=m7r--,k,m^Z,

15.在等腰VABC中，AB=AC=2,BABC=2,則3C=；若點尸滿足

CP=^CA-2CB,則.PB的值為.

【答案】①.2②.24

【解析】

【分析】利用余弦定理、平面向量及其線性運算、平面向量數(shù)量積的定義及運算分析運算即可得解.

【詳解】解:

如上圖，由題意等腰VABC中，AB=AC=2,貝”54卜2,

VBABC=2^^BA,BC^=ZB,

：.BABC=|BA||BC|cos3=2cos3=2,

|BC|cosB=l,即3c<053=1,

:由余弦定理得AC2=AB-+BC--2ABBCcosB，

?1.4=4+BC2-2x2x1，即8C2=4,又因邊長BO〉。，

:.BC=2.

...VABC是等邊三角形，則A=5=C=g,|C4|="q=2,

CP=-CA-2CB,

2

：,PA=CA-CP=-CA+2CB,PB=CB-CP=3CB--CA,

22

/.PAPB=\-CA+2CB\\3CB--CA\=-CACB--CA2+6CB2-CACB

（2只2）24

=|CA-CB-^CA2+6CB2=||G4||CB|COSC-1|C4|2+6|CB|2

=-X2X2X---X22+6X22=24.

224

故答案：2；24.

16.在直角VABC中，斜邊AB=2,尸為VABC所在平面內(nèi)一點，AP=^sin20-AB+cos23-AC（其中

OeR）,

①AB?AC的取值范圍是（0,4）

②點P經(jīng)過VA3C的外心

③點尸所在軌跡的長度為2

④PC-(PA+P3)的取值范圍是—g,0

則以上結(jié)論正確的是—.(填寫序號)

【答案】①②④

【解析】

【分析】對①，由直角三角形結(jié)合向量的運算可得器.淺=注2判斷即可；對②③，由題意推導(dǎo)

AP=sin?/AO+cos2/AC，進而可得P在線段0c上判斷；對④，根據(jù)平面向量的線性運算可得

PCiPA+PB)=-2IPCWP0I，再根據(jù)基本不等式求解即可.

【詳解】對①，由VA5C中AB為斜邊，

可得A3AC=(AC+CB)AC=ACAC+C3AC=AC2,

又斜邊AS=2,則IAC《0,2)|,則A5-ACW(O,4),①正確；

對②，若。為中點，則故AP=sin2e.AO+cos2，AC

又sin2O+cos20=l,所以。，P,C共線，故P在線段OC上，軌跡長為1,

又。是AABC的外心，所以②正確，③錯誤；

對④，又PA+PB=2PO,則PC(PA+PB)=2PCPO=-2|PCI|POI,

PC+PO1

又IPCI+IPOITOCI=1，則IPCIIPO區(qū)J_1=：，

24

\7

當(dāng)且僅當(dāng)IPCI=IPOI=3時，等號成立，

所以尸U(PA+P3)=—2IPCIIPOIC-1,o,④正確.

故答案為：①②④

三、解答題(共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程)

17.已知向量2=(1,百),J=(—2,0)

(1)求〃一/?坐標以及o-z?與a之間的夾角;

(2)當(dāng)上為何值時，左a+人與〃—3人垂直？

(3)當(dāng)p—1,1］時，求卜—例的取值范圍.

【答案】(1)a—沙=(1+2,6)，6=(；(2)左=(；(3)y/3<\a-tb\<2y/3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)向量差公式與夾角公式可得結(jié)果;

(2)由上q+b與3b垂直可得(左a+)》(a_3))=0,即可求得結(jié)果;

(3)由卜―乃卜“?！友?小小—2R./+JG化簡再結(jié)合d—1,1］即可求范圍.

【詳解】(1)因為a=(l,百)/=(一2,0),則a—>=(1+2,小卜

\a-bya3xl+V3x>/3_V3

設(shè)a與a之間的夾角為。則cos。=----r-j-r,因為6G[0,?|

-2

故8=工

6

(2)ka+b=(k-2,~j3k^,a-3b=(1+6,6)=(7,6)

因為左a+人與a—3Z?垂直，所以,a+b>(a—3b)=0,則7億一2)+3左=0得左=]

(3)由卜町=da'-25:+廣片=,4產(chǎn)+4/+4=++3

所以百<」41+口+3<273

因為/e[—1,1],

所以小〈卜—回426

【點睛】本題的解題關(guān)鍵在于準確掌握向量線性運算，以及求角和模公式.

18.在VABC中，2asin8=同.

(1)求A；

(2)若b=2娓,從下列三個條件中選出一個條件作為已知，使得VA3C存在且唯一確定，求VA3C

的面積.條件①：cosC=—亞；條件②：a=2；條件③：sinB=—

105

注：如果選擇了不合適的條件，則第（2）問記0分.

【答案】（1）生或型

44

（2）18

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知條件利用正弦定理求解即可.

（2）由題意可知只有①符合，②③不符合，通過面積公式和正弦定理求解即可.

【小問1詳解】

因為2asin8=41b，

則由正弦定理可得，

2sinAsinB=5/2sinB，

因為3e（0,兀）,sin5＞0

所以A=;或A=」.

44

【小問2詳解】

若選①，即cosC=—典，則烏＜。＜兀，

102

所R二以I'l0<AA<兀一八n兀,s,m廠C=3--y-l--0-

2210

jr

所以A=；,

4

則sinB=sin（兀一（A+C））=sin（A+C）=sin|—+C

V2（屈）3MV2_A/5

-------X-------------H-----------------X-----------------

2I10J1025

由正弦定理得：

a_b_c

sinAsinBsinC

276V2/-2瓜3MA/-

a=-——=2oW5,c=-------=673

V5210

1~1~

則VABC存在且唯一確定,

VABC面積為S=^acsin3=,倉673?—18.

225

若選②，即。=2,又b=2瓜'2asinB—y/2b

所以sin3=Q，矛盾

所以②不成立；

若選③，

由sinB=，b=2^/6，2asinB=垃b

得(2=2\/15，

由余弦定理可得：a2=/+。2-2Z?ccosA，

jr

當(dāng)A=:時，60=24+c2-2/?ccosA

4

得c2—4y/3c—36=0=>c=6^/5^或c=—2y/3舍；

,4371,c

當(dāng)A=一時，60=24+c2-2Z?ccosA

4

得c2+4A/3C-36=0nc=2y/3或c=—6y/3舍；

此時VABC存在但不唯一確定，所以不合題意.

JI

19.函數(shù)/(x)=45]!1(8+。)(4>0,<?>0,|夕|<5)的部分圖象如圖所示.

（1）求函數(shù)/（X）的解析式；

7T1

（2）將函數(shù)/（無）的圖象先向右平移一個單位，再將所有點的橫坐標縮短為原來的3（縱坐標不變），得

4/

TT7T

到函數(shù)g。)的圖象，求8(%)在[—-上的最大值和最小值；

126

(3)若函數(shù)/(%)的圖象向右平移?>0)個單位得到函數(shù)〃(%),若〃(尤)為奇函數(shù)，求?的最小值.

【答案】(1)f(x)=2sin^2x+^

(2)最大值為石，最小值為-2

(3)—.

12

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合“五點法”作圖求出函數(shù)解析式.

(2)利用函數(shù)圖象變換求出g(x),再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出指定區(qū)間上的最值.

(3)求出函數(shù)〃(%),再結(jié)合正弦型函數(shù)是奇函數(shù)的特征列式求解.

【小問1詳解】

41112兀

由函數(shù)/(幻的部分圖象知A=2,最小正周期T=—(一兀—―71)=—,解得。=2,

3126co

函數(shù)/(%)=2sin(2x+。)，由/1(2)=2,得2義工+夕=工+2版,左eZ,而|夕|<四，則°=百，

66226

JT

所以/(x)=2sin(2x+—).

6

【小問2詳解】

將/(%)向右平移一77"個單位，得到y(tǒng)=2sin[2(x—T2T)+2TT]=2sin(2x—TT2)，

4463

再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的;，得到g(x)=2sin(4x--),

由工且一碧，魯，得4x-ge[-W，爭，則當(dāng)4x—三=々,即x=2時,g(%)1mx=6,

12o33333O

當(dāng)4XJ=￡,即戶七時，g(X)mm=-2,

所以g(x)在[-2TT苫7T]上的最大值為拓，最小值為—2.

126

【小問3詳解】

ITJT

由(1)知力(%)=/(%-r)=2sin[2(x-，)+—]=2sin[2%-(2方——)],

66

jrjrKTT

由〃（x）為奇函數(shù)，得2f——=kn,ke'N,解得/=一+一，左eN,

6122

JT

所以/最小值為一.

12

20.某中學(xué)新校區(qū)有一塊形狀為平面四邊形ABCD的土地準備種一些花圃，其中A,B為定點,AB=6

（百米），AD=DC=1（百米）.

（1）若NC=120，BD=6（百米），求平面四邊形ABCD的面積；

（2）若BC=1（百米）.

（i）證明：73cosZBAD=1+cosZBCD;

（ii）若△ABD,△BCD面積依次為加，S2,求+的最大值.

【答案】（1）G+J行（平方百米）;（2）（/）證明見解析；3）最大值為1（平方百米）.

48

【解析】

【分析】（1）由已知利用余弦定理可求得BC的值，進而根據(jù)三角形的面積公式得面積，求和即可計算求

解.

（2）（i）分別在△A3Z）,△2。中應(yīng)用余弦定理化簡即可得證.

（ii）利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求

2

5/+52=[-2|^cosZBCD++1],利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）令5C=x,在△BCD中，由余弦定理可得：3=l+x2-2xlxxcosl20

即無2+工一2=0，解得：x=l或1=—2（舍）

在△5。中，BC=CD=1,NC=120,所以S“0=^xl><lxsinl20=—，

BCD24

在△AB。中，AB=BD=出,AD=1,所以AD邊上的高為J}—[；]=平，

所以S=Lxlx?=姮，所以SABC?=SABD+SB°=/上叵(平方百米).

(2)(i)在△AB￡>中，BD2AB2+AD2-2xABxADxcosZBAD=4-273cosZBAD

在ABCD中BD2=BC2+CD2-2xBCxCDxcosZBCD=2-2cos/BCD

所以4-26cosZBAD=2-2cosZBCD,

所以6cos/BAD=1+cosZBCD.

故得證.

(ii)S：=(；x1x百義sinZBADj=|sin2ZBAD=1(l-cos2ABAD)

S；=lg義1x1xsinZBCD^=|sin2ZBCD=^(l-cos2NBCD)

所以S；+S；=；(3-3cos2ZBAD+1-cos2NBCD)

=-[4-(1+008ZBCD)2-cos2ZBCD]=-[-2cos2ZBCD-2cos/BCD+3]

4L」4

因A/3COSZBAD=1+cosZBCD，

所以—若<1+COSZBCD<6，可得—1<COSN3CD<6—1

S；+S；=：-2^cosZBCD+71(1Y7